Luận văn thạc sĩ toán học định lý điểm bất động loại krasnosel’skii và ứng dụng vào phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM NGUYỄN ĐỨC ÁI ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSEL’SKII VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM NGUYỄN ĐỨC ÁI ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSEL’SKII VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chun ngành: Giải Tích Mã số : 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ HỒN HỐ Khoa Tốn – Tin ĐHSP TP.HCM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2009 LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Lê Hồn Hố khoa Toán –Tin Trường Đại HọcSư Phạm TPHCM hướng dẫn ,động viên giúp đỡ tơi tận tình suốt q trình học thực luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến q Thầy Cơ hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc,chỉnh sửa góp ý q báu giúp tơi hồn thành luận văn hồn chỉnh Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến tồn thể q thầy tận tình tham gia giảng dạy tơi lớp cao học giải tích khố 17 Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến BGH Trường THPT Nguyễn An Ninh tạo điều kiện cho tơi suốt q trình tham gia học thực luận văn Cuối tơi xin gởi lời cảm ơn đến phịng KHCN-SĐH,Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM TpHCM tháng năm 2009 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T MỞ ĐẦU T T 1.Lý chọn đề tài: T T 2.Mục đích: T T 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu: T T 4.ý nghĩa khoa học thực tiễn T T 5.Cấu trúc luận văn T T CHƯƠNG 1: MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSELS”KIISCHAEFER T T 1.1 Định nghĩa T T 1.2 Các định lý T T 1.3 Một định lý điểm bất đông loại Krasnoselskii-Schaefer T T 1.4 Sự tồn nghiệm T T CHƯƠNG 2: MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSELS”KII TRONG KHÔNG GIAN FRECHET 16 T T 2.1 Định nghĩa: 16 T T 2.2 Các định lý 16 T T 2.3 Vi ch ý kết Dhage 19 T T 2.4 Một định lý bất động loại Krasnoselskii 21 T T 2.5 Sự tồn nghiệm 22 T T CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT DẠNG ÁNH XẠ CĨ TRONG KHƠNG GIAN HÀM LIÊN TỤC 28 T T 3.1 Các kết 28 T T 3.1.1 Kết thứ 28 T T 3.1.2 Kết thứ 30 T T 3.2 Sự tồn nghiệm 33 T T KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 36 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 T T MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Hiện định lý điểm bất động vấn đề nghiên cứu lớn toán học đại,rất nhiều nhà toán học giới nghiên cứu phát triển.Trong định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii ứng dụng vào phương trình tích phân vấn đề quan tâm nhiều.Vì chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn 2.Mục đích: Luận văn nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii vào phương trình tích phân 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nội dung luận văn dựa vào ba báo [1] , [ 2] , [3] ,trong chúng tơi nghiên cứu định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii ứng dụng để chứng minh tồn nghiêm phương trình tích phân 4.ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn sở để tiếp tục nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân 5.Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương 1: Chúng tơi trình bày ,chứng minh định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii-Sheafer chứng minh tồn nghiêm phương trình tích phân Chương 2: Chúng tơi trình bày ,chứng minh định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii không gian Frechet chứng minh tồn nghiêm phương trình tích phân Chương 3: Chúng tơi trình bày ,chứng minh định lý điểm bất động cho dạng ánh xạ co không gian hàm liên tục ứng dụngvào phương trình tích phân CHƯƠNG 1: MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSELS”KII-SCHAEFER Trong chương trình bày chứng minh định lý điểm bất động loại Krasnoselskii-Schaefer ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân : x(t) =q(t) + ∫ µ (t ) v(t,s)x(θ(s))ds + ∫ σ (t ) k(t,s)g(s, x(η(s)))ds, t ∈ J FIE(1) Với J = [ 0,1] 1.1 Định nghĩa Định nghĩa1.1.1 Cho X không gian Banach, ánh xạ A: X → X gọi ánh xạ co phi tuyến + tồn hàm liên tục không giảm Φ: R → R + cho : Ax − Ay ≤ Φ ( x − y ) với x,y ∈ X , Φ (r ) < r , r > đặc biệt Φ (r) = αr , < α < A gọi ánh xạ co X với số co Định nghĩa 1.1.2 Anh xạ β : J × R → R gọi L - Caratheodory thoả: i) Anh xạ t a β(t, x) đo ∀x ∈ R ii) Anh xạ x a β(t, x) iii) ∀r ∈ R liên tục hầu khắp nơi với t∈J ,(r > 0) tồn hàm h r ∈ L1(J, R) thoa: β(t,x) ≤ h r (t), t ∈ J, ∀x ∈ R, x ≤ r Các ký hiệu ˜* BM(J,R) không gian hàm bị chặn đo J,với chuẩn x BM = max x(t) t∈J α ˜* L (J, R) không gian hàm đo Lebesque J ,với chuẩn x 1= L ∫ x(t) ds 1.2 Các định lý Trước hết ta xét định lý điểm bất động Boy Wong [ 4] , định lý dùng để chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Định lý 1.2.1 Cho S tập lồi đóng bị chặn khơng gian Banach X A:S → S ánh xạ co phi tuyến A có điểm bất đơng An x= x*, ∀x ∈ S x * limn→∞ Tiếp theo ta xét định lý điểm bất động Scheaefer [8] liên quan đến tốn tử hồn tồn liên tục Định lý 1.2.2 Cho T : X → X tốn tử hồn tồn liên tục ta có: i)Phương trình x= λ Tx có nghiệm với λ =1 hoặc: ii)Tập hợp ε = {u ∈ X, u = λTu, λ ∈ (0,1)} không bị chặn Burton Kirk [ 6] kết hợp định lý 1.2.1 1.2.2 để chứng minh định lý sau: Định lý 1.2.3 Cho A B :X → X toán tử thoả: a)A ánh xạ co b)B tốn tử hồn tồn liên tục Khi ta có: i)Phương trình Ax+Bx=x có nghiệm hoặc: ε   u λ   ii)Tập hợp =  u ∈ X : λA( ) + λBu= u, λ ∈ (0,1)  tập không bị chặn Nhận xét: Định lý 1.2.3 dùng chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân dạng hỗn hợp [ 6] Nhưng trường hợp A ánh xạ co định lý 1.2.3 khơng dùng ,vì ta xét định lý điểm bất động dạng Nashed-Wong-Shaefer 1.3 Một định lý điểm bất đông loại Krasnoselskii-Schaefer Định lý 1.3.1 Cho A , B :X → X toán tử thoả điều kiện : p a) A tuyến tính bị chặn tồn p ∈ N mà A ánh xạ co phi tuyến b) B hồn tồn liên tục đó: i) Phương trình Ax+ λ Bx=x có nghiệm với λ =1 hoặc: ii) Tập hợp ε= {u ∈ X : Au + λBu= u, λ ∈ (0,1)} tập không bị chặn Chứng minh: Định nghĩa ánh xạ T : X → X bởi: Tx = (I−A)−1Bx Ta có phương trình λ (I − A) Bx= −1 x ⇔ Ax + λBx= x, λ ∈ [ 0,1] Trước hết cần chứng minh T định nghĩa T hoàn toàn liên tục X Ta có: (I − A) −1 p −1 −1 = I + A + A + + A P −1 + = (I − A p ) ( ∑ A j) j= Do A p ánh xạ co phi tuyến nên toán tử (I − A p ) −1 tồn X, mặt khác A tuyến p −1 −1 p −1 p j (I − A ) ( ∑ A j) ∑ A tính bị chặn , tốn tử tuyến tính bị chặn từ X → X tồn j= j=0 nên T định nghĩa ánh xạ từ X → X, ta cần chứng minh (I − A) −1 liên j tục Thật vậy, A tuyến tính bị chặn nên A liên tục suy A liên tục (j =1,2,3,…) −1 nên (I − A) −1 liên tục X, B compact T = ( I − A ) B hoàn toàn liên tục từ X → X theo định lý 1.2.2 ta có điều phải chứng minh 1.4 Sự tồn nghiệm Ứng dụng định lý 1.3.1 ta chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến sau: x(t) =q(t) + ∫ µ (t ) v(t,s)x(θ(s))ds + ∫ σ (t ) Trong đó: k(t,s)g(s, x(η(s)))ds, t ∈ J FIE (1) q : J → R, v, k : J × J → R, g : J ì R R v à, , σ, η : J → J ,với = J [ 0,1] ⊂ R Ta xét giả thiết: ( H ):các hàm µ, θ, σ, η : J → J ( H1 ): hàm q:J → R ( H ): hàm v, k : J × J → R liên tục liên tục liên tục ( H ): hàm g L -Caratheodory ( H ):Tồn hàm cho φ ∈ L1(J, R) hàm ψ : [ 0, ∞ ) → ( 0, ∞ ) liên tục không giảm g(t, x) < φ(t)ψ ( x ), t ∈ J, ∀x ∈ R Định lý 1.4.1 Giả sử giả thiết từ ( H ) đến ( H ) thoả mản ∞ ds >C µ(t) ≤ t, θ(t) ≤ t, η(t) ≤ t, σ(t) ≤ t, ∀t ∈ J , ∫ q s (s) + ψ BM { C = max V,K φ } L1 ,V = max v(t,s) , K= max k(t,s) t,s∈J t,s∈J phương trình FIE(1) có nghiệm J Chứng minh Định nghĩa tốn tử A,B: BM(J,R) Ax(t) = ∫ µ (t ) Bx(t) =+ q(t) ∫ v(t,s)x( θ(s))ds σ (t ) → BM(J,R) định bởi: ,t ∈ J k(t,s)g(s, x(η(s)))ds , t ∈ J với Vậy tốn tìm nghiệm FIE (1) tốn tìm nghiệm phương trình Ax(t) +Bx(t) =x(t), t∈J hay Ax(t) + λ Bx(t) =x(t),với λ =1,cần chứng minh toán tử A,B thoả điều kiện đinh lý 1.3.1 A tốn tử tuyến tính bị chặn với chuẩn A ≤V Thật vậy: Ax BM max Ax(t) max = = t∈J ≤V ∫ ∫ µ (t ) v(t, s)x( θ(s))ds x =Vx ds BM BM ⇒ A ≤V Tiếp theo ta chứng minh tồn p ∈ N cho A P ánh xạ co ∀x,y∈ BM(J,R) Ta có: Ax(t) − Ay(t) = µ (t ) ∫ = ∫ µ (t ) ≤∫ µ (t ) ≤∫ t suy Ax − Ay Mặt khác: BM v(t, s)x( θ(s))ds − ∫ µ (t ) v(t, s)y( θ(s))ds v(t, s)  x( θ(s)) − y( θ(s))  ds v(t,s) x( θ(s)) − y( θ(s)) ds V x−y ds BM ≤ V x − y BM ≤ V x − y BM µ (t ) ∫ x(t) = q(t) + v(t,s)x(θ(s))ds + ∫ σ(t ) k(t,s)g(s,x(η(s)))ds , t ∈ R + R (2.5.1) R Định ly 2.5.1 Giả sử giả thiết sau thỏa: i) |g(t,x)| ≤ j(t) ψ ( x ) ,t ∈ R + , x ∈ Rd với j : R + → R + liên tục R R P P R R R R Y : R + → (0, + ∞) liên tục không giảm R ii) ∫ +∞ (.) R ds =+∞ S + Ψ (s) phương trình (2.5.1) Có nghiệm Chứng minh Đặt X = C c = {x : R + → Rd ,x liên tục} R R R R P P X không gian có họ đếm nửa chuẩn đủ x(t) } { t∈[0,n] x n = sup i∈ 1,d , Với x = (x i) i ∈Rd, R R R R P P (2.5.2) |x | = max {|x i |, i∈ 1,d } R R Ta có (C C , | |n ) không gian Frechet , ma trận vng d × d R R R R d C = (C i,j) i, j∈ 1,d ta đặt : |C| = max ∑ cij ,A, B toán tử : C c → C c định nghĩa : R i∈1,d j=1 R Ax(t) = q(t) + Bx(t) = ∫ µ (t ) ∫ σ(t ) R R R R k(t,s)g(s,x(η(s)))ds v(t,s)x(θ(s))ds Đặt K n = sup {|k(t,s)|, ≤ s ≤ t ≤ n} R R V n = sup {v(t,s)|, ≤ s ≤ t ≤ n} R R Đầu tiên ta chứng minh B ánh xạ co, xét C c họ nửa chuẩn : R ||x|| n = sup {|x(t)|e- h n t , t∈ [0,n], h n > 0} R R P P R R R (2.5.3) Ta có họ nửa chuẩn ||.|| n tương đương với họ |.|n R R R Vì e-n h n |x|n ≤||x|| n ≤ |x|n P P R R R R R ∀ x ∈C c, n ≥ R R R Tương tự chứng minh ta có : Vn ||x – y|| n hn ||Bx – By||n ≤ R R (2.5.4) R R R Chọn h n > V n suy B ánh xạ co họ nửa chuẩn ||.|| n (I – B)-1 tồn liên R R R R R R P P tục Tiếp theo ta phải chứng minh toán tử A : C c → C c toán tử compact R R R R Chứng minh A liên tục : Lấy x m , x ∈ C c , cho x m → x ta phải chứng minh R R R R R |Ax m - Ax|n ≤ e, R R R R R ∀ m ≥ m0 R Thật : x m → x nên : ∀ n ≥ 1, ∀e ≥ 0, ∃m0 (e, n), ∀m ≥ m0 , | x m - x |n < e R R R R R R R R R R (2.5.5) Ta có : ∫ |Ax m (t) – Ax(t)| ≤ R σ(t ) k(t,s) g(s,x m (η(s))) − g(s,x(η(s))) ds R Đối với t∈[0, n] ta có : n Ax m (t) − Ax(t) ≤ K n ∫ g(s,x m (η(s))) − g(s,x(η(s))) ds {x m } l dy hội tụ nên {x m } bị chặn ∃ Ln > cho : R R R R R R |x m (t)| ≤ L n , |x(t)| ≤ Ln ∀t ∈[0, n] ,n ≥ R R R R R R Mặt khác hàm g liên tục tập compact {(t,x) ∈ R + × Rd , t ∈[0,n], |x | ≤ Ln } R R P P R R Mà |x m (h(.)) – x(h(.))| ≤ |x m (.) – x(.)| R R R R Do : |g(t, x m (h(t))) – g(t, x (h(t))) | ≤ R R ε ∀m ≥ m0 nK n R (2.5.6) ε.n = e ∀ m ≥ m0 ⇒ A liên tục nK n ⇒ |Ax m - Ax|n ≤ K n R R R R R R Chứng minh A compact Lấy M ⊂ C c bị chặn, ta cần chứng minh: A(M) tập compact tương đối R R M bị chặn nên : ∀ n∈N* , ∃r n > 0,∀x ∈ M, |x| n ≤ r n P P R R R R R R ⇒ |Ax(t)| ≤ sup |q(t)| + n K n G n , t ∈ [0,n] R R t∈[0,n] Với G n = sup{ g ( t, x ) , t∈[0,n], |x | ≤ r n } R R R R ⇒ |Ax|n ≤ n K n G n + sup {|q(t)| , t ∈ [0, n]} R R R R ⇒ {Ax, x ∈M} bị chặn ∀t, t’ ∈ [0, n] ta có : |Ax(t) – Ax(t’)| ≤ - ∫ σ(t ) ∫ σ(t ') k(t ',s)g(s,x(η(s)))ds + q(t) − q(t ')   ≤ ∫ σ(t ) σ(t ) + ≤ Gn R R ∫ σ(t ) ∫σ k(t,s)g(s, x(η(s)))ds (t ')  k(t,s) − k(t′,s) g(s,x(η(s)))ds + k(t ',s) g(s,x(η(s))ds + q(t) − q(t ') k(t,s) − k(t ',s) ds + G n K n ( σ (t’) - σ (t)) + q(t ') − q(t) R R Vì σ , k, q liên tục nên |Ax(t) – Ax(t’)| < e t → t ' Suy {Ax, x∈M} đồng liên tục {Ax, x∈M} tập compact tương đối theo định lý Ascoli nên A compact Để áp dụng định lý 2.4.1 ta cịn phải kiểm tra điều kiện (iii) định lý 2.4.1 thỏa : Xét x∈C C cho : R R µ (t ) x(t) = lq(t) + ∫ v(t,s)x(θ(s))ds + λ ∫ σ(t ) x(t) ≤ Q n + Vn ∫ µ (t ) k(t,s)g(s,x(η(s))) ds ,l ∈(0,1) (25.7) x(θ(s))ds + K n φn ∫ σ (t ) ψ ( x(η(s) )ds (2.5.8) t∈[0, n] với Q n = sup {|q(t)|, t∈[0,n ]}, φn = sup {j(t), t ∈ [0, n]} R R Ta đặt W n (t) = sup {|x(s)|, ≤ s ≤ t ≤ n} R R ⇒ |x(t) | ≤ w n (t) R ∀t∈[0, n] R (2.5.9) Mặt khác tồn t* ∈ [0, t] cho : w n (t) = |x(t*)| w n (t) hàm tăng [0, n] R R R R Ta có: |x(θ(s))| ≤ w n (s), |x(h(s))| ≤ w n (s) R R R Do đó: w n (t) = |x(t*)| ≤ Q n + v n R R ∫ ≤ Qn + Cn R R R t R ∫ w n (s)ds R Đặt u n (t) = Q n + C n R R + k n φn R R σ(t* ∫ ) Ψ (w n (s))ds  w n (s) + Ψ (w n (s)) ds Với C n = max {vn , K n φn } R R µ (t* ) R R R R R R ∫ t R R R R R R  w n (s) + Ψ (w n (s)) ds t ∈[0, n] (2.5.10) Ta có : w n (t) ≤ u n (t) ∀t ∈ [0, n] R R R R Và u′n (t) = C n [w n (s) + Y( w n (s))] ≤ C n [u n (t) + Y(u n (t))] R ∫ t Cho nên : R R R R R R u′n (s) ds un (s)+Ψ (un (s)) R =∫ R R un (t ) u(0) R R ds s+Ψ (s) ≤ C n , t∈ [0, n] (2.5.11) R R Vì u n (0) = Q n nên ta có : R R R R un (t ) ∫ Qn Xét hàm : F n (t) = R R ds s+Ψ (s) ≤ C n R ∫ t Qn t∈[0, n] R ds s+Ψ (s) , t ≥ Q n ta có F n (t) hàm tăng R R R R (2.5.12) F n ([Q n , +∞)) = [0, + ∞) nên ∃! r n > R R R R R R Sao cho F n (r n ) = C n F n hàm tăng nên : R ∫ un (t ) Qn R R R R R R ds ≤ Cn ⇔ s + Ψ (s) R ∫ un (t ) Qn rn ds ds ≤∫ ⇔ U n (t) ≤ r n s + Ψ (s) Qn s + Ψ (s) R R R R Mà |x(t)| ≤ w n (t) ≤ u n (t) R R R R ⇒ |x(t)| ≤ r n ,t∈[0, n] R R ⇒ |x|n ≤ r n , n ≥ Do điều kiện iii) định lý 2.4.1 thỏa mn.Áp dụng định lý R R R R 2.4.1 phương trình x = Ax +Bx có nghiệm hay phương trình x(t) = q(t) + ∫ µ (t ) v(t,s)x(θ(s)))ds + ∫ σ(t ) k(t,s)g(s,x(η(s)))ds , t ∈R + có nghiệm R R CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT DẠNG ÁNH XẠ CĨ TRONG KHƠNG GIAN HÀM LIÊN TỤC Trong chương cho X không gian Banach với chuẩn |.|, xét không gian hàm liên tục C ([0, T], X) (T > 0) với tôpô thông thường M ⊂ C([0,T], X) tập đóng, tốn tử A : M → M thỏa điều kiện: k tα (Ax)(t) − (Ay)(t) ≤ β x(v(t)) − y(v(t)) + ∫ t x(σ(s)) − y(σ(s)) ds ∀x,y ∈ M, ∀t ∈ [0, T] Trong a, b ∈ [0,1) k ≥ v, σ : [0, T] → [0, T] hàm liên tục cho v(t) ≤ t, σ (t) ≤ t,∀t ∈ [0, T] Ta chứng minh A có điểm bất động M kết mở [0, +∞ ) rộng C(R + , X) với R= + R R 3.1 Các kết 3.1.1 Kết thứ Xét không gian C([0,T],X) với (X, |.| n ) không gian Banach, T > , R R Lấyg ∈ [0, T], l > x ∈ C([0, T],X) định nghĩa : ||x|| = ||x|| l + ||x|| g R x(t) } { t∈[0,γ ] Với ||x|| g = sup R R ,||x|| l = R R R R R sup { e R −λ (t −γ ) |x(t)|} t∈[ γ ,T ] Ta có ||.|| chuẩn C ([0, T], X) Định lý 3.1.1 Cho M tập đóng C ([0, T], X) A : M → M toán tử Nếu tồn a, b ∈ [0, 1), k ≥ cho ∀x, y ∈ M ∀t∈[0, T] : k |(Ax)(t) – (Ay) (t)| ≤ b |x(v(t)) – y(v(t))| + α t ∫ σ : [0, T] → [0, T] liên tục v(t) ≤ t, σ (t) ≤ t t x(σ(s)) − y(σ(s)) ds (3.1.1) Với v, ∀t ∈[0, T] : A có điểm bất động M Chứng minh : Ta áp dụng nguyên lý nh xạ co Banach Cần chứng minh A ánh xạ co nghĩa chứng minh: ∃d∈[0,1), cho ∀ x,y∈M ta có ||Ax – Ay|| ≤ d ||x – y|| Lấy t ∈ [0,g] ta có : k tα ≤ b |x(v(t) – y(v(t))| + |(Ax)(t) – (Ay)(t)| ∫ t x(σ(s) − y(σ(s)) ds ≤ b||x-y|| g +t1-ak ||x-y|| g R RP P P P R RP ≤ (b + kg1-a) ||x – y|| g P P R RP Do : ||Ax – Ay|| g ≤ (b + kg1-a) ||x-y|| g R RP P P P (3.1.2) R R Lấy t∈[g, T] ta có : |(Ax)(t) – (Ay)(t)| + ≤ b |x(v(t)) – y(v(t))| + t k γ x( (s)) y( (s)) ds x(σ(s)) − y(σ(s)) e −λ ( σ(s)−γ ) eλ ( σ(s)−γ )ds  σ − σ + ∫ α  ∫0 γ  t  k ≤ b |x(v(t)) – y(v(t))| + α γ γ x − y + x − y γ  k ≤ b |x(v(t)) – y(v(t))| + α γ γ x − y + x − y γ  < b|x(v(t)) – y(v(t))| + k γα  γ x − y  γ t λ ∫e λ ( σ (s)−γ ) γ t ∫e λ (s −γ ) γ λ + x−y λ ds   ds   eλ (t −γ )   λ  Do |(Ax)(t) – (Ay)(t)|e-l(t-l) < b |x(v(t)) – y(v(t))|e-l(t-g) P P P k −α + kg1-a||x – y|| g + λ γ ||x – y|| l P P R RP P R Cho nên: P P R ||Ax – Ay|| l ≤ b sup {|x(v(t)) - y(v(t))|e-l(t-g)} R RP P P P t∈( γ ,T) k −α + kg1-a ||x – y|| g + λ γ ||x – y|| l P P R RP P R (3.1.3) RP P k −α ≤ b sup {|x(v(t)) - y(v(t))| e-l(v(t)- γ ) }+ kg1-a ||x – y|| g + λ γ ||x – y|| l t∈( γ ,T) P P P P R RP P R R k −α ≤ (b + λ γ ) ||x – y|| l + kg1-a ||x – y||g P R RP P P P P Từ (1.2) (1.3) ta : ||Ax – Ay|| ≤ (b + kg1-a)||x – y|| g + (b + k γ −α )|| x - y|| l + kg1-a ||x – y|| g λ P P R RP P R R R P P R RP R ≤ (b+ 2kg1-a ) ||x – y|| g + ( b+ k γ −α )|| x - y|| l λ P P R R R (3.1.4) R R R  − β 1−α 1−α k k −α γ ta suy b + γ −α < λ 1− β Đặt d = max {b+ 2kg1-a ,b + P P k −α γ }thì d < λ Từ (3.1.4) ⇒ ||Ax – Ay|| ≤ d (||x – y|| g + ||x – y|| l ) = d ||x – y|| R RP P R R Suy A co Theo nguyên lý ánh xạ co Banach ta có A có điểm bất động M 3.1.2 Kết thứ Xét không gian C(R + , X) với n∈N* lấy gn ∈(0, n), l n > 0, định nghĩa họ đếm R nửa chuẩn { } n n∈N* R P với x ||x|| gn = sup R R t∈[0,γ n ] n { x(t) } P R R R R = ||x|| gn + ||x|| ln ,∀x ∈ C(R + , X) R RP P R R R R , ||x|| ln = sup {e-l( t − γ n )|x(t)|} R R P t∈[ γ n ,T] P Ta có C(R + , X ) với họ đếm nửa chuẩn khơng gian Frechet mê tric có R R thể định nghĩa sau: x−y n d(x,y) = ∑ n n =1 + x − y ∞ ∀x, y ∈ C(R + , X) R R n Định lý 3.1.2 Cho M tập đóng M ⊂ C (R + , X) A: M → M toán tử Nếu ∀n∈N*, tồn a n , R R P P R R b n ∈ [0, 1), kn ≥ cho ∀x, y ∈M, ∀t ∈ [0, n] : R R R R kn |(Ax)(t) – (Ay)(t)| ≤ b n |x(v(t))– y(v(t))|+ R t ∫ t αn R x(σ(s)) − y(σ(s)) ds (3.1.2.1) Với v, σ : R + → R + liên tục v(t) ≤ t, σ (t) ≤ t, ∀t∈R + : R R R R R R A có điểm bất động M Chứng minh : Theo chứng minh định lý 3.1.1 chọn tuỳ ý r n ∈(0,n) l n > , tồn d n ∈[0, 1) R R R RP P R cho: ||Ax – Ay||n ≤ d n ||x – y||n R R R RP P R , ∀x,y ∈M ,∀n∈N* R P (3.1.2.2) P Chứng minh tương tự nguyên lý nh xạ Co Banach Xy dựng dy dy lặp x m+1 = Ax m ∀m ∈N, với x ∈M ty ý R R R R R R Lấy n∈N* tuỳ ý ta có: P P || x m+1 – x m || n = ||Ax m - Ax m-1 ||n ≤ d n ||x m – x m-1 ||n , ∀m∈N* R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R Do : m ||x m+1 – x m || n ≤ δ n ||x – x ||n R R R R R R R R R R R ∀m∈N R Tương tự ta có : m+P ||x m+p – x m || n ≤ ( δ n R ≤ R R R R R δ mn ||x – x ||n − δn R R R R R R m + … + δ n ) ||x – x ||n R ∀m∈N, p∈N* P R R R R R Nn dy {x m } m∈N l dy {x m } m∈N hội tụ R R R R R R R R Đặt x * = lim x m ∈M x →∞ Theo (3.1.2.2) ta có Ax m → Ax * hay x m →Ax * R R R R R R R Do A x * = x * nên A có điểm bất động M Giả sử A có điểm bất động khác M ta gọi X** Khi : || x * - X** || n = ||A x * -A X** || n ≤ d n || x * - X** || n R R R R R R R ⇒ || x * - X** || n (1 - d n ) ≤ ∀n∈N* R R R R P Do d n ∈ [0,1) ⇒ x * = X** R R Vậy A có điểm bất động M nhận xét : Trong chứng minh định lý 3.1.2 ta có điểm bất động A giới hạn dy lặp Ch ý điểm bất động A giới hạn dy khc Ví dụ : Xét khơng gian C([0,n],X) đặt M n = {x/[0,n], x ∈M}là tập hợp hàm thu hẹp R R x [0,n], ∀ n ∈N* Lấy n∈N* ty ý, ta cĩ AM n ⊂ M n , ứng dụng định lý 3.1.1 A có điểm bất động x n P P R R R R R ∈ M n, ta mở rộng: R R x n : R + → X liên tục, chẳng hạn ta đặt : R R R R  x (t) neáu t ∈ [0,n] x n (t) =  n  x n (n) t ≥ n Thì x n ∈ C(R+, X) Do tính chất điểm bất động nên ta có : R R x n (t) = x m (t) , ∀m ≤ n, ∀ t∈[0,m] (3.1.2.3) R Điều cho ta kết luận { x n } n∈N* hội tụ không gian C (R + , X) đến R R R → X cho : x*(t) = x n (t) ,∀t ∈[0, n] P R hàm x* : R + P P R R (3.1.2.4) P (x* định nghĩa (3.1.2.3)) P P Lấy t ty ý ∈R + , tồn n ∈N* cho t ∈[0, n ] R R R R P P R R Nhưng : ( ) x*(t) = x n0 (t) = Ax n0 (t) = (Ax*)(t) ⇒ x*(t) = (Ax*)(t) P P P P P P P P t ty ý ∈ R + nên x* = Ax* x* điểm bất động x* giới hạn dy { x n } n∈N* R R P P P P P P P P R 3.2 Sự tồn nghiệm Xét phương trình tính phn dạng : x(t) = F(t, x(v(t)))+ t t α (t ) ∫0 K(t,s,x(σ(s)))ds (3.2.1) với a ∈[0, 1) F : J × RN →RN , K : D → RN P P P P P a : J → [0,1) liên tục,Trong đó: J = [0, T] J = R + , D = {(t,s,x)/ t, s∈J, ≤ s ≤ t, x∈RN} R R P P Và v, σ : J → J liên tục thỏa v(t) ≤ t, σ (t) ≤ t, ∀t∈J Xét hàm liên tục b : J → [0, 1), k: J → R + nếu: R R |F(t, x) – F(t, y)| ≤ b(t) |x - y|, ∀x, y ∈RN, t ∈J P P |K(t, s, x) – K(t, s, y)| ≤ k(t) |x - y|, ∀(t, s, x), (t, s, y) ∈D Thì phương trình (3.2.1) có nghiệm Chứng minh : *Trường hợp J = [0, T] Đặt Ax(t) = F (t, x(v(t))) + t t α (t ) ∫0 K(t,s,x(σ(s))ds ∀ t ∈J Ta cần chứng minh phương trình: Ax(t) = x(t) có nghiệm hay A có điểm bất động N M với M ⊂ C ([0, T], R ) Tacó: |(Ax)(t)- (Ay)(t)| < | F(t,x(v(t)))- F(t,y(v(t)))| + t t α (t) ∫0 K(t,s, x(σ(s))) − K(t,s, y(σ(s) )) ds < b (t) |x(v(t) – y(v(t))| + k(t) t | x(σ(s)) − y(σ(s)) |ds t α (t) ∫0 Đặt b = sup {β(t)} , k = sup {k(t)} , a = inf {α(t)} t∈[0,T] t∈[0,T] t∈[0,T] Thì β ∈ [ 0,1) , k≥ 0, k |(Ax)(t)- (Ay)(t)| < β |x(v(t)) – y(v(t))| + α t ∫ t | x(σ(s)) − y(σ(s)) |ds Khi A thoả giả thiết định lý 3.1.1.vậy A có điểm bất động M hay phương trình Ax(t) = x(t) có nghiệm ∀ t∈ [0, T] *Xét trường hợp J = R + R Lấy n∈N* ta có: P P |(Ax)(t)- (Ay)(t)| < | (t,x(v(t))- F(t,y(v(t))| + t t α (t) ∫0 K ( t,s, x(σ(s))) − K(t,s, y(σ(s) )) ds , t ∈  0,n  k(t) t < b (t) |x(v(t) – y(v(t)| + α (t) ∫0 | x(σ(s)) − y(σ(s)) |ds t Đặt b n = sup {β(t)} , kn = sup {k(t)} , a n = inf {α(t)} ,thì a n , b n ∈ [0, 1)và kn ≥ nên: R R R t∈[0,n] R R t∈[0,n] |(Ax)(t) – (Ay)(t)| ≤ b n |x(v(t))– y(v(t))|+ R R R t∈[0,n] kn t αn ∫ t R R R R R x(σ(s)) − y(σ(s)) ds ,t∈ [0, n] R A thoả giả thiết định lý 3.1.2 nên A có điểm bất động M hay phương trình Ax(t) = x(t) có nghiệm ∀ t ∈ R + R Vậy phương trình 3.2.1 có nghiêm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày số kết sau: Trong chương I chúng tơi trình bày số định lý để từ phát biểu chứng minh chi tiết định lý bất động loại Krasnosel’skii ,sau chúng tơi chứng minh chi tiết tồn nghiêm phương trình tích phân Trong chương II chúng tơi trình bày số định lý sau trình bày chứng minh chi tiết định lý bất động tổng quát loại Krasnosel’skii không gian Frechet, mở rộng tồn nghiệm phương trình tích phân chương I Trong chương III chúng tơi trình bày chứng minh định lý bất động dạng ánh xạ co không gian hàm liên tục ứng dụng vào phương trình tích phân dạng tổng qt Q trình thực luận văn giúp bước đầu làm quen nghiên cứu khoa học tiếp cận với hướng phát triển toán học đại,đồng thời giúp biết vận dụng kiến thức học vào việc nghiên cứu vấn đề cụ thể.Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu phát triển đề tài tương lai TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] BC.Dhage,On a fixed point theorem of Krasnosel’skii-Sheafer EJQTDE (2002 No.6) [2] Cezar Avramescu ,Some remark on a fixed point theorem of Krasnoselskii(2003 No.5) [3] Cezar Avramescu and Cristian Vladimirescu, Fixed point for some non-obviously contractive operator defined in space of continuous functions (2004 No 3) [4] Boyd and J.S.W.Wong,On non linear contractions,Proc.Amer.Soc 20(1969),458-469 [5]T.A Burton and C.Kird, A fixed point theorem of Krasnoselskii, Appl.Math.lett 11(1998),pp.85-88 [6]T.A Burton and C.Kird,A fixed point theorem of Krasnoselskii-Schaefer type,Math.Nachr.189(1998),23-31 [7] H.Scheffer Uber die Methode der a priori- Schranken, 416 Math.Ann.129(1955),pp.415- [8]D.R Smart, Fixed Point Theorems, Cambridge University Press, New York, 1980 [9]M.A, Krasnoselskii,Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equation,Cambridge University Press,New York,1964 [10]E.Zeidler ,Nonlinear functional analysis and its applications,I.f Fixed Point Theorems Springer-Verlag,Berlin,1993 ... tục ứng dụngvào phương trình tích phân CHƯƠNG 1: MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSELS”KII-SCHAEFER Trong chương trình bày chứng minh định lý điểm bất động loại Krasnoselskii-Schaefer ứng dụng. .. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM NGUYỄN ĐỨC ÁI ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG LOẠI KRASNOSEL’SKII VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Giải Tích Mã số : 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ... tơi trình bày ,chứng minh định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii không gian Frechet chứng minh tồn nghiêm phương trình tích phân Chương 3: Chúng tơi trình bày ,chứng minh định lý điểm bất động