Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu metric và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN VĂN ÂN TS KIỀU PHƯƠNG CHI NGHỆ AN - 2015 iii LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án hồn tồn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án không trùng lặp với tài liệu khác Tác giả iv LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc người Thầy - PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi mình, người đặt tốn hướng nghiên cứu cho tác giả Tác giả học nhiều kiến thức khoa học, nhận chia sẻ, yêu thương Thầy trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đinh Huy Hoàng Thầy ln tận tình bảo tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu, để tác giả học tập hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, Tổ Giải tích đồng nghiệp khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học phòng ban khác Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Erdal Karapinar, Department of Mathematics, Atilim University, 06836 Incek, Ankara, Turkey GS Ljubomir Ciric, Faculty of Mechanical Engineering, University of Belgrade, 12-35 Aleksinackih Rudara, Belgrade, Serbia and Montenegro giúp đỡ to lớn việc trao đổi tài liệu thảo luận toán liên quan Xin cảm ơn thầy cô giáo, anh chị em nghiên cứu sinh Trường Đại học Vinh tất bạn bè tác giả chia sẻ, động viên trình học tập nghiên cứu v Cuối cùng, tác giả vô biết ơn thành viên gia đình mình, ln tạo điều kiện dành tất quan tâm, chia sẻ khó khăn tác giả suốt năm tháng qua để tác giả hồn thành luận án Nghệ An, năm 2015 Tác giả MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Điểm bất động số ánh xạ T -co suy rộng không gian mêtric 12 1.1 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler 12 1.2 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric 20 1.3 Điểm bất động chung ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu 29 Điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 39 2.1 Không gian mêtric riêng 39 2.2 Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 43 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng 65 Điểm bất động đôi số ánh xạ co suy rộng khơng gian mêtric riêng có thứ tự phận ứng dụng 82 3.1 Điểm bất động đôi số ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 82 3.2 ´Ưng dụng vào lớp phương trình tích phân phi tuyến 92 3.3 ´Ưng dụng vào tốn cân khơng cộng tác lý thuyết trò chơi 97 Kết luận kiến nghị 103 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 105 Tài liệu tham khảo 110 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Lý thuyết điểm bất động ứng dụng lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn toán học đại Đây lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà toán học ngồi nước Lý thuyết điểm bất động cơng cụ quan trọng để nghiên cứu tượng phi tuyến Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học tồn nghiệm phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng hệ động lực Hơn nữa, cịn có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trị chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động nói bắt nguồn từ ứng dụng rộng rãi 1.2 Xuất phát từ ba định lý điểm bất động tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tơpơ, lý thuyết điểm bất động mêtric lý thuyết điểm bất động rời rạc Cùng với việc nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân thường, nguyên lý ánh xạ co Banach trung tâm lý thuyết điểm bất động không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào ln có điểm bất động" Sự đời nguyên lý ánh xạ co Banach với ứng dụng mở phát triển lý thuyết điểm bất động mêtric Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.3 Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo vấn đề sau: Mở rộng điều kiện co cho ánh xạ; mở rộng định lý điểm bất động biết lên khơng gian có cấu trúc tương tự khơng gian mêtric; tìm ứng dụng chúng Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co ánh xạ, biết lớp ánh xạ co tiêu biểu kể đến Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]), Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14]) Ngoài ra, người ta đề xuất thêm loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đề xuất định lý điểm bất động ánh xạ co lớp không gian có cấu trúc tương tự khơng gian mêtric như: Khơng gian mêtric suy rộng, khơng gian mêtric nón, khơng gian 2-mêtric, không gian b-mêtric Đặc biệt, năm 1992, dự án nghiên cứu hiển thị ngôn ngữ lưu thơng mạng máy tính, S G Matthew ([45]) đề xuất xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Sau đó, định lý điểm bất động ánh xạ co lớp không gian thiết lập Và gần đây, người ta quan tâm tới việc thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng lớp không gian này, xuất phát từ số ý nghĩa ứng dụng chúng Theo mạch vấn đề ứng dụng định lý điểm bất động mêtric, ứng dụng truyền thống biết, gần đây, người ta tìm ứng dụng sâu sắc định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian có cấu trúc kiểu khơng gian mêtric vào lĩnh vực khác toán học, kinh tế kỹ thuật Có thể nói, mạch vấn đề không phát triển tách rời mà luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với Những vấn đề thu hút đông người làm việc lĩnh vực tốn giải tích ngồi nước Đặc biệt, mạch vấn đề toán thời đặt nghiên cứu giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Với lý nêu chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Định lý điểm bất động cho số ánh xạ co suy rộng không gian kiểu mêtric ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động số lớp ánh xạ lớp không gian như: không gian mêtric, khơng gian mêtric riêng, khơng gian mêtric riêng có thứ tự phận tìm hiểu ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình tích phân tốn cân khơng cộng tác lý thuyết trị chơi Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án không gian mêtric, không gian mêtric riêng, ánh xạ co suy rộng không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động đôi số lớp ánh xạ không gian mêtric, không gian mêtric riêng, số lớp phương trình tích phân Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu định lý điểm bất động ánh xạ không gian mêtric, không gian mêtric riêng ứng dụng vào toán tồn nghiệm phương trình tích phân tốn cân khơng cộng tác lý thuyết trị chơi Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân lý thuyết điểm bất động trình thực đề tài ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động không gian mêtric, không gian mêtric riêng Đồng thời, áp dụng kết thu vào việc chứng minh tồn nghiệm số Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ln M (T x, T y), với x, y ∈ [1, +∞) y (1.35) Mặt khác, ta có n √ √ M (T x, T y) = max | ln x − ln y|, | ln x − ln x|, | ln y − ln y|, √ √ | ln y − ln x| + | ln x − ln y| o x > | ln x − ln y| = ln y Chứng tỏ bất đẳng thức (1.35) thỏa mãn Vậy, f g thỏa mãn điều kiện Định lý 1.3.2 Kết luận chương Chương luận án đạt kết sau: • Đưa Định lý 1.1.5 Định lý 1.1.8 khẳng định tồn điểm bất động ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler không gian mêtric đầy đủ Đưa Ví dụ 1.1.7 minh họa cho Định lý 1.1.5 để kết mở rộng thực so với kết Meir-Keeler ([42]) Các kết công bố báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of the Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Meir-Keeler type contraction, Arab Journal of Mathematical Sciences, 18, 141-148 • Đưa Định lý 1.2.2, Hệ 1.2.5, Hệ 1.2.6 Hệ 1.2.7 khẳng định tồn điểm bất động cho ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric không gian mêtric đầy đủ Đưa Ví dụ 1.2.4 minh họa cho Định lý 1.2.2 để kết mở rộng thực so với kết Ciric ([27]) Các kết công bố báo: Erdal Karapinar, Kieu Phuong Chi and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of Ciric quasi-contraction, Abstract and Applied Analysis, Article ID 518734, pages, doi:10.1155/2012/518734 • Đưa Định lý 1.3.2 khẳng định tồn điểm bất động chung ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric đầy đủ Đưa Ví dụ 1.3.5 minh họa cho Định lý 1.3.2 để kết mở rộng thực so với kết D Doric ([32]) Các kết công bố báo: T V An, K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)weak contractions, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pages doi:10.1155/2012/431872 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Chương dành để nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Trong mục thứ nhất, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian mêtric riêng, số tính chất tôpô, hội tụ dãy không gian mêtric riêng mối quan hệ không gian mêtric riêng với không gian mêtric Mục thứ hai dành để trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Chú ý rằng, kỹ thuật chứng minh định lý mục hoàn toàn khác với kỹ thuật chứng minh có khơng gian mêtric Trong mục cuối chương, thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ co yếu thông qua số định lý điểm bất động chung cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu 2.1 Không gian mêtric riêng Năm 1992, dự án nghiên cứu hiển thị ngôn ngữ lưu thơng mạng máy tính, S G Matthew ([45]) đề xuất xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Các khái niệm, tính chất tơpơ, hội tụ dãy, mối quan hệ không gian mêtric riêng không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach không gian gian mêtric riêng S G Matthew trình bày hội nghị quốc tế Tơpơ ứng dụng lần thứ ([46]) Khái niệm không gian mêtric riêng nhận cách thay Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 đẳng thức d(x, x) = định nghĩa mêtric bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với x, y Trước hết, nhắc lại số khái niệm tính chất cần dùng sau 2.1.1 Định nghĩa ([45, 46]) Cho X tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ gọi mêtric riêng (partial metric) X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn (P1) x = y p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) (P2) p(x, x) p(x, y) (P3) p(x, y) = p(y, x) (P4) p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Tập X với mêtric riêng p gọi không gian mêtric riêng (partial metric space) ký hiệu (X, p) 2.1.2 Ví dụ ([45, 46]) 1) Cho X = R+ ánh xạ p : X × X → R+ xác định p(x, y) = max{x, y} với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian mêtric riêng Hơn nữa, (X, p) khơng khơng gian mêtric p(x, x) = x > với x > 2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a b} ánh xạ p : X × X → R+ xác định p([a, b], [c, d]) = max{b, d} − min{a, c}, với [a, b], [c, d] ∈ X Khi đó, (X, p) không gian mêtric riêng 3) Cho X = [0, 1] ∪ [2, 3] ánh xạ p : X × X → R+ xác định  p(x, y) = |x − y| max{x, y} {x, y} ⊂ [0, 1] {x, y} ∩ [2, 3] 6= ∅, với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không gian mêtric riêng 2.1.3 Mệnh đề ([45, 46]) Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, ánh xạ ps , pm : X × X → R+ cho ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 pm (x, y) = max{p(x, y) − p(x, x), p(x, y) − p(y, y)} xác định mêtric tương đương X 2.1.4 Định nghĩa ([45, 46]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng,  > x ∈ X Khi đó, tập Bp (x, ) := {y ∈ X : p(x, y) < p(x, x) + } gọi hình cầu mở tâm x bán kính  2.1.5 Định lý ([45, 46]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, tập hình cầu mở X sở tôpô τp X Hơn nữa, không gian (X, τp ) T0 - không gian 2.1.6 Định nghĩa ([45, 46]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng 1) Dãy {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X p(x, x) = lim p(xn , x) n→∞ 2) Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy lim p(xn , xm ) tồn hữu hạn n,m→∞ 3) Không gian (X, p) gọi đầy đủ dãy Cauchy {xn } X hội tụ tới x ∈ X theo tôpô τp 4) Hàm f : X → X gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε) 2.1.7 Định nghĩa ([58]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng 1) Dãy {xn } X gọi 0-Cauchy lim p(xn , xm ) = n,m→∞ 2) Không gian (X, p) gọi 0-đầy đủ dãy 0-Cauchy X hội tụ theo tôpô τp tới x ∈ X cho p(x, x) = 2.1.8 Nhận xét ([58]) 1) Như ta biết, không gian mêtric, dãy hội tụ dãy Cauchy giới hạn dãy hội tụ Tuy nhiên, dãy hội tụ {xn } không gian mêtric riêng (X, p) khơng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 dãy Cauchy giới hạn dãy hội tụ khơng Thật vậy, lấy X = R+ , p(x, y) = max{x, y} với x, y ∈ X dãy {xn } xác định  xn = nếu n = 2k n = 2k + Rõ ràng, {xn } dãy hội tụ không gian mêtric riêng (X, p) với x > ta có lim p(xn , x) = p(x, x) Đặt n→∞ L(xn ) = {x ∈ X| lim p(xn , x) = p(x, x)} n→∞ Khi L(xn ) = [1, ∞) Hơn nữa, lim p(xn , xm ) không tồn n,m→∞ 2) Nếu (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ (X, p) khơng gian mêtric riêng 0-đầy đủ Điều ngược lại không Thật vậy, không gian mêtric riêng (Q+ , p) với mêtric riêng p(x, y) = max{x, y} 0-đầy đủ không đầy đủ 2.1.9 Mệnh đề ([45, 46]) Cho (X, p) khơng gian mêtric riêng Khi đó, ta có khẳng định sau (1) Nếu {xn } dãy hội tụ khơng gian mêtric (X, ps ) dãy hội tụ khơng gian mêtric riêng (X, p) (2) Dãy {xn } dãy Cauchy (X, p) {xn } dãy Cauchy (X, ps ) (3) Không gian (X, p) đầy đủ không gian (X, ps ) đầy đủ Hơn nữa, lim ps (xn , x) = ⇔ lim p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ n→∞ n→∞ lim p(xm , xn ) n,m→∞ 2.1.10 Bổ đề ([45, 46]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng dãy {xn } ⊂ X (1) Nếu xn → z n → ∞ lim p(xn , y) p(z, y) với n→∞ y ∈ X Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 (2) Nếu xn → z n → ∞ cho p(z, z) = lim p(xn , y) = n→∞ p(z, y) với y ∈ X 2.1.11 Bổ đề ([45, 46]) Cho (X, p) khơng gian mêtric riêng Khi đó, ta có (1) Nếu p(x, y) = x = y (2) Nếu x 6= y p(x, y) > 2.1.12 Bổ đề ([45, 46]) Cho {xn } dãy hội tụ không gian mêtric riêng (X, p) cho xn → x xn → y n → ∞ Nếu lim p(xn , xn ) = p(x, x) = p(y, y) n→∞ x = y 2.1.13 Bổ đề ([45, 46]) Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, p hàm liên tục theo nghĩa sau: Nếu xn → x yn → y n → ∞ với xn , yn , x, y ∈ X p(xn , yn ) → p(x, y) n → ∞ 2.2 Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Năm 2010, I Altun, F Sola H Simsek ([8]) đưa kết tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Hardy - Rogers cho trường hợp X không gian mêtric riêng định lý sau 2.2.1 Định lý ([8]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn
p(T x, T y) ap(x, y) + bp(T x, x) + cp(y, T y) + d p(T x, y) + p(x, T y) , (2.1) với x, y ∈ X , a + b + c + 2d < a, b, c, d > Khi đó, T có điểm bất động Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Năm 2011, mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach không gian mêtric riêng, D Ilic, V Pavlovic V Rakocevic ([37]) đề xuất chứng minh kết sau 2.2.2 Định lý ([37]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)}, (2.2) với x, yn∈ X , a ∈ [0, 1) Khi đó, ta có o 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} tập khác rỗng 2) Tồn u ∈ Xp cho T u = u Mở rộng điều kiện co với ánh xạ không gian mêtric riêng, thu kết sau 2.2.3 Định lý Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn n p(T x, T y) max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)], o p(x, x), p(y, y) , (2.3) với x, y ∈ X , a, b, c ∈ [0, 1) d ∈ [0, ) Khi đó, ta có n o2 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} tập khác rỗng 2) Tồn u ∈ Xp cho T u = u Để chứng minh định lý ta cần số kết bổ trợ Đặt L = max{a, b, c, 2d} với x ∈ X , ta xây dựng dãy lặp {xn } x0 = x, xn = T xn−1 , với n = 1, 2, 2.2.4 Bổ đề Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3 m, n, k số tự nhiên Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn