(Luận văn) định lí điểm bất động trên không gian kiểu metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - OUTHONG PHONEPASEUTH lu an n va ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU METRIC p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN – 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - OUTHONG PHONEPASEUTH lu an n va ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN to gh tn KHÔNG GIAN KIỂU METRIC p ie Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Ngƣời hƣớng dẫn khoa học z PGS.TS Phạm Hiến Bằng m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN-2018 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình khác Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả lu an n va tn to p ie gh Outhong PHONEPASEUTH d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết tn to mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học ie gh viên để luận văn hoàn chỉnh p Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi nl w thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn d oa Tháng 06 năm 2018 nf va an lu Tác giả z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU lu Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn an n va Chƣơng KHÔNG GIAN KIỂU METRIC 1.2 Không gian kiểu metric gh tn to 1.1 Không gian metric 1.3 Định lý Banach không gian kiểu metric p ie 11 w Chƣơng ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 17 oa nl KIỂU METRIC 17 2.2 Điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự 28 2.3 Điểm bất động khơng gian metric nón 31 2.4 Điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ 33 2.5 Sự tồn nghiệm phương trình tích phân 37 d 2.1 Điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact theo dãy nf va an lu z at nh oi lm ul 40 z KẾT LUẬN @ 41 m co l gm TÀI LIỆU THAM KHẢO an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, nguyên lí ánh xạ co phát biểu chứng minh cơng trình Banach năm 1922 định lý quan trọng giải tích hàm cổ điển Về sau nhà toán học mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ không gian khác nhau, đặc biệt không gian kiểu metric Bởi nguyên lý ánh xạ co Banach xem khởi nguồn cho nghiên cứu lý thuyết điểm bất động không lu an gian kiểu metric Ý nghĩa nằm chỗ áp dụng rộng rãi n va nhiều lĩnh vực toán học Các kết nghiên cứu điểm bất động tn to điểm bất động chung ánh xạ thỏa mãn điều kiện co metric ie gh biết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trong năm gần p đây, số tác giả đạt nhiều kết điểm bất động điểm bất nl w động chung lớp ánh xạ khác không gian metric tổng d oa quát Bakhtin, Czerwik, Khamsi, Hussain, Edelstein, Suzuki… Ở an lu tập trung vào khơng gian Cụ thể hơn, nf va khơng gian kiểu metric, hay cịn gọi khơng gian b metric lm ul Do tơi chọn đề tài: “Định lý điểm bất động không gian kiểu metric “ z at nh oi Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu z gm @ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu co l 2.1 Mục đích nghiên cứu m Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết n va ac th an Lu điểm bất động không gian kiểu metric si 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan hệ thống số kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động khơng gian đó, bao gồm điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động không gian metric nón, điểm bất động khơng gian kiểu metric đầy đủ Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu lu an Sử dụng phương pháp giải tích hàm va n Bố cục luận văn to gh tn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [4], [8] ie [10], gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần p kết luận danh mục tài liệu tham khảo oa nl w Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài kết không d gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động nf va an lu khơng gian Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết lm ul nghiên cứu gần M Cosentino, P Salimi P Vetro điểm bất động z at nh oi ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động khơng gian metric nón, điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Cuối áp dụng kết z gm @ đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân m co l Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt an Lu n va ac th si CHƢƠNG KHƠNG GIAN KIỂU METRIC 1.1 Khơng gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp tùy ý d : X X hàm số thỏa mãn điều kiện sau: a ) d(x, y) 0, x, y X ; d(x, y) b ) d(x, y) d(y, x ), x, y c ) d(x, z ) d(x, y) x y X d(y, z ), x, y, z X lu an n va Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X , d ) gọi không tn to gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d(x, y ) gọi khoảng Sau vài tính chất metric: p ie gh cách hai điểm x y oa nl w Mệnh đề 1.1.2 d a ) Nếu x1, x 2, , x n X an lu d(x1, x ) nf va d(x1, x n ) d(x n 1, x n ) lm ul b ) Với x1, x 2, y1, y2 d(x 2, x ) X ta có: z at nh oi d(x1, x ) d(y1, y2 ) d(x1, y1) d(x 2, y2 ) z Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X , d ), {x n } dãy X @ X Ta nói dãy phần tử {x n } hội tụ phần tử x lim d(x n , x ) gm x d x n va ac th an Lu Sau vài tính chất dãy hội tụ: m x hay x n co n l Khi ta viết lim x n n si Mệnh đề 1.1.4 a ) Giới hạn dãy hội tụ b ) Nếu {x n } X , lim x n n c ) Nếu lim x n x dãy hội tụ x a lim yn n n b lim d(x n , yn ) d(a,b) n Định nghĩa 1.1.5 Dãy {x n } không gian metric X gọi dãy Cauchy lim d (x m , x n ) m,n Định nghĩa 1.1.6 Không gian metric X gọi đầy đủ dãy Côsi lu an X hội tụ n va 1.2 Không gian kiểu metric tn to Định nghĩa 1.2.1 Cho X tập khác rỗng d : X [0, ) không gian) ie gh (X , d ) khơng gian đối xứng (còn gọi E X p thỏa mãn điều kiện sau đây: w x y; b ) d(x, y) d(y, x ) với x, y X a ) d(x, y) d oa nl an lu Không gian đối xứng khác khơng gian metric khơng có bất đẳng thức tam nf va giác Tuy nhiên, nhiều khái niệm định nghĩa giống lm ul khái niệm khơng gian metric Ví dụ, khơng gian đối xứng (X , d ) lim d(x n , x ) n lim x n x n , tồn số X gọi dãy Cauchy với z @ Dãy {x n } z at nh oi điểm giới hạn dãy {x n } định nghĩa nguyên dương n( ) cho d(x m , x n ) n( ) l gm với m, n n va ac th X an Lu Cauchy hội tụ phần tử x m co Không gian đối xứng (X , d ) gọi đầy đủ dãy si Định nghĩa 1.2.2 Cho X tập khác rỗng K Hàm số d : X X số thực cho trước [0, ) gọi kiểu metric (hay b với x, y, z X điều kiện sau thỏa mãn: a ) d(x, y) x b ) d(x, y) d(y, x ) ; c ) d(x, y) K d(x, z ) metric) y; d(z, y) Bộ ba (X, d, K ) gọi không gian kiểu metric hay không gian b metric , ta có (X, d,1) khơng gian metric Khi K Chú ý không gian kiểu metric bao hàm lớp khơng gian đối lu xứng Vì vậy, khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy không gian đầy đủ an n va định nghĩa không gian đối xứng Không gian kiểu metric tn to (X, d, K ) gọi compact theo dãy với dãy {x n } X , tồn gh dãy {x n } {x n } , hội tụ đến điểm x X k ie p Sau vài ví dụ không gian kiểu metric [0,1] d : X X [0, ) xác định nl w Ví dụ 1.2.3 Cho X y )2 , với x, y X Khi (X, d,2) không gian kiểu d (x oa d(x, y ) lu nf va an metric Ví dụ 1.2.4 Cho Cb (X ) , || f || || f || Hàm d : Cb (X ) Cb (X ) || f g || với f , g Cb (X ) , (Cb (X ), d, 4) không gian kiểu metric z kiểu metric với K } ) xác định [0, z at nh oi d(f , g ) sup | f (x ) | x X lm ul || f || {f : X @ b)3 4(a b ) a b 3 a b m co (a l gm Chú ý a,b hai số thực khơng âm, an Lu Điều kéo theo n va ac th si d(fxn , fu) (d(xn , u), d(u, fxn )) d(ffxn , fu) (d(fxn , u), d(u, ffx n )) L (u, fxn ) L Giả sử bất dẳng thức thứ xảy với n (u, ffx n ) Nếu J tập vô J hạn, d(u, fu) lim n ,n J sup d(fx n , fu) lim sup (d(x n , u), d(u, fx n )) lu n lim sup ,n J n an (u, fx n ) \J tập vô hạn Trong fu Kết luận tương tự xảy n va Suy u L ,n J tn to trường hợp ta sử dụng bất đẳng thức thứ hai Trong hai trường hợp, ta p ie gh có u điểm bất động f w Nếu định lý ta lấy (y, fx ) L d(y, fx ), d(x, fx ), d(y, fy) với L oa nl L (t1, t2 ) t1 , d ta có hệ sau an lu X ánh xạ cho d(x, fx ) 2K d(fx, fy ) với x, y d(x, y ) d(x, y ) kéo theo z at nh oi lm ul f :X nf va Hệ 2.1.10 Cho (X, d, K ) không gian kiểu metric compact theo dãy L d(y, fx ),d(x, fx ),d(y, fy ) X Nếu d liên tục, f có điểm bất động z @ gm 2.2 Điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự co l Sự tồn điểm bất động tự ánh xạ xác định tập thứ tự kiểu m biết đóng vai trò quan trọng lý thuyết xấp xỉ thứ tự Vấn đề an Lu n va ac th 28 si khởi đầu vào năm 2004 Ran Reurings [12], nghiên cứu sâu Nieto Rodriguez-Lopez [11] Định lý 2.2.1 Cho (X, d, K, ) không gian kiểu metric thứ tự cho d liên tục Cho f , g : X X cho f (X ) g(X ) , g(X ) không gian compact theo dãy X , f ánh xạ bị trội g ánh xạ trội Giả sử d(fx, fy) d(gx, gy ) d(gx, fx ) d(gx, fy ) K với phần tử so sánh x, y Ld (gy, fx ) (2.10) gy , X, gx lu an Nếu X có tính chất so sánh giới hạn theo dãy L r d(gy, fy ) (2.11), n va L , K tập hợp điểm trùng f g thứ tự tốt f gh tn to f g có điểm trùng X Hơn nữa, p ie g có điểm trùng X điểm tùy ý x n dãy xác định sau oa nl w Chứng minh Cho x d gx n fx n với n {0} an lu với n lm ul Nếu d(gx n , gx n ) nf va Việc thực miền giá trị g chứa miền giá trị n gx n fx n , f g Giả sử d(gxn , gxn 1) với z at nh oi x n điểm trùng {0} đó, gx n f f g , ta có {0} Sử dụng tính chất ánh xạ z fx n gx n với n xn {0} so sánh với n {0} Vậy n va ac th 29 gx n , với n an Lu m , nên ta gx n {0} Vì co d(gx n , gx n 1) 1 l Khi x n x n gx n gm @ xn si gx n dãy giảm Vì g(X ) không gian compact theo dãy X , nên ta giả sử gx n {0} Ta chứng minh fu gx n với n (2.11) suy gu Thật vậy, giả sử fu X Bây giờ, từ điều kiện gu với u gu gu , theo giả thiết (2.10), ta có d(gu, fu) lim d(gx n 1, fu) lim d( fx n, fu) n n lim [ d(gx n , gu) d(gx n , fx n ) n lu an K va n d(gu, fu) d(gx n , fu) Ld(gu, fx n )] d(gu, fu) ie gh tn to K d(gu, fu) p K d(gu, fu ) d(gu, fu ) w fu Vì vậy, u điểm trùng f g d oa nl Mâu thuẫn, gu an lu Bây giờ, giả sử tập hợp tất điểm trùng f g thứ tự nf va tốt Ta chứng minh điểm trùng f g Giả sử ngược gu gv fv v dụng điều kiện (2.10), ta có d(gu, gv) gv Giả sử gu gv , u, v so sánh Bây giờ, áp d(gu, fu) d(gv, fv) z d(fu, fv) gv với gu z at nh oi u X cho fv lm ul lại tồn điểm v d(gu, fv) Ld(gv, fu) L d(fu, fv ) n va ac th 30 d(fu, fv ) an Lu K m co l gm @ K si Mâu thuẫn gu fu gv Kết tương tự xảy gv gu Vì z điểm trùng f g X Ngược lại, gu f g có điểm trùng nhau, tập hợp tất điểm trùng f g gồm phần tử thứ tự tốt Định lý 2.2.2 Thêm vào giả thiết Định lý 2.2.1 điều kiện sau đây: ii ) Nếu {gx n } dãy giảm hội tụ đến gu với u X đó, ggu gu ; iii ) f g tương thích yếu; tức chúng giao hoán điểm trùng ([3]) lu Khi f g có điểm bất động chung X Hơn f g có điểm an bất động chung X tập hợp tất điểm trùng va n f g thứ tự tốt gh tn to X điểm dãy {x n } xác định sau Chứng minh Cho x fx n với n {0} p ie gx n w Tiến hành chứng minh Định lý 2.2.1, ta suy {gx n } dãy giảm X fu gu z Theo điều kiện ii ) , ta có oa nl hội tụ đến gu với u gu Vì ánh xạ f g tương thích yếu nên ta nhận fz fgu d gz lu gz Nếu gz gu z , z điểm bất động chung f nf va an gfu gu , u, z so sánh áp dụng điều kiện (2.10), ta có gu gz Vì z điểm bất động chung f g Nếu tập lm ul g Nếu gz z at nh oi hợp tất điểm trùng f g thứ tự tốt, f g có điểm trùng z điểm bất động chung g f z gm @ 2.3 Điểm bất động khơng gian metric nón l Huang Zhang [6] xét không gian metric nón, tập hợp m co số thực thay không gian Banach thứ tự E với lớp chuỗi an Lu hội tụ tác giả thiết lập số định lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian metric nón chuẩn tắc Sau đó, tác giả Khamsi, Altun, n va ac th 31 si Durmaz [2;9] tổng quát hóa kết Huang Zhang nghiên cứu tồn điểm bất động chung cặp tự ánh xạ thỏa mãn điều kiện co khơng gian metric nón chuẩn tắc Bổ đề 2.3.1 Cho (X , d ) không gian metric nón nón chuẩn tắc P với số chuẩn tắc K Khi u v kéo theo || u || K || v || Định lý sau kết kiểu Suzuki không gian metric nón chuẩn tắc Định lý 2.3.2 Cho (X , d ) khơng gian metric nón compact theo dãy nón chuẩn tắc P với số chuẩn tắc K f : X X cho lu an n va d(x, fx ) 2K (2.12) X Khi f có điểm bất động gh tn to với x, y d(x, y ) K P kéo theo d(fx, fy ) d(x, y ) p ie Chứng minh Đặt D(x, y) || d(x, y) || Vì nón P chuẩn tắc, nên D kiểu nl w metric (X, D, K ) không gian kiểu metric compact theo dãy Ta chứng d oa minh ánh xạ f thỏa mãn điều kiện lu an D(x, fx ) 2K D(x , y ) kéo theo D(fx, fy) nf va D(x, y) D(x, fx ) 2K D(x , y ) , x y Ta chứng minh z d(x, y ) P Thật vậy, giả sử ngược lại d(x, y ) P m co d(x, fx ) 2K l gm @ d(x, fx ) 2K X z at nh oi Giả sử lm ul với x, y (2.13) an Lu n va ac th 32 si D(x, y ) d(x , fx ) Do ta có 2K d(x , fx ) , suy d(x, y ) 2K Khi d(x, y ) 1 D(x, fx ) mâu thuẫn Vậy d(x, fx ) d (x , y ) 2K 2K P Theo giả thiết (2.12) ta có d(fx, fy ) d(x, y ) K Theo Bổ đề 2.3.1, ta có || d(fx, fy) || || d(x, y) || , tức D(fx, fy) D(x, y) lu Do đó, điều kiện (2.4) thỏa mãn Vì D liên tục theo (iii ) ý an n va 1.2.16, nên theo Định lý 2.1.5, ta kết luận f có điểm bất động tn to Tiến hành chứng minh Định lý 2.3.2, ta có kết sau ie gh Định lý 2.3.3 Cho (X , d ) không gian metric nón compact theo dãy nón chuẩn tắc P với số chuẩn tắc K f : X p X ánh xạ cho w d(x, fx ) 2K P kéo theo d oa nl d(x, y ) Lp d(y, fx ) , d(x, fx ) , d(y, fy ) nf va an X Lp P Khi f có điểm bất động lm ul với x, y d(x, y ) K lu d(fx, fy ) z at nh oi 2.4 Điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Trong phần trình bày số kết điểm bất động không 0, chấp nhận K m C ) C [0, co Ta nói f ánh xạ C X l X, , :X chấp nhận gm C C @ Định nghĩa 2.4.1 Cho f : X z gian metric đầy đủ ánh xạ C an Lu điều kiện sau xảy ra: n va ac th 33 si (i ) (x, y ) (ii ) C (x, y ) C , x, y X; (fx, fy ) C , x, y X; C C (iii ) (fx, fy ) K C Định lý 2.4.2 Cho (X, d, K ) không gian kiểu metric đầy đủ f : X ánh xạ C chấp nhận K C Giả sử (x, y)d(x, y) với x, y (x, y)d(fx, fy) X X (2.14) Nếu điều kiện sau xảy ra: (i ) f liên tục; lu X cho (x 0, fx ) an (ii ) Tồn x C (x 0, fx ) C va n f có điểm bất động X gh tn to Chứng minh Giả sử x xác định x n X f nx C (x 0, fx ) C Lấy với n Nếu fx n p ie dãy {x n } X cho (x 0, fx ) x n điểm bất động f Định lý đó, x x n với n nl w xn chấp nhận K C với n {0} Tương tự, z at nh oi n C (x 0, fx ) (x 0, x1) C , nên C Tiếp tục trình này, ta nhận lm ul (x n , x n ) (fx 0, fx1) nf va (x1, x ) an suy lu C Vì f ánh xạ x n với n d oa chứng minh Do đó, ta giả sử x n {0} Áp dụng (2.14) với x C d(x n , x n ) xn (x n , x n ) C với x n , ta y (x n 1, x n )d(x n , x n 1) z C d(x n 1, x n ) C C d(x n 1, x n ) với n n va ac th 34 an Lu d(x n , x n ) m co l Do gm @ (xn 1, xn )d(x n 1, x n ) si Vì f ánh xạ C chấp nhận K C C , nên K C Theo Bổ đề 1.2.9, {x n } dãy Cauchy Vì X đầy đủ, nên tồn z Vì f liên tục, nên ta có n cho d(x n , z ) X d(x n 1, fz ) Theo Bổ đề 1.2.7, ta có z d(fx n , fz ) 0, n fz Vậy z điểm bất động f Định lý 2.4.3 Cho (X, d, K ) không gian kiểu metric đầy đủ f : X lu ánh xạ C chấp nhận K C an Giả sử (x, y)d(x, y) với x, y X (2.15) n va (x, y)d(fx, fy) X X cho (x 0, fx ) (i ) Tồn x p ie gh tn to Nếu điều kiện sau xảy ra: X dãy cho w (ii ) Nếu {x n } nl {0} x n C (x n , x n ) C x n với n C ; (x n , x n ) , C với (x n , x ) C {0} ; an lu (x n , x ) d oa n C (x 0, fx ) X xác định x n (x 0, fx ) f nx fx n z at nh oi dãy {x n } X cho lm ul Chứng minh Cho x nf va f có điểm bất động X C (x 0, fx ) với n minh Định lý 2.4.3, {x n } dãy Cauchy cho với n (x n , x n ) C {0} Vì X đầy đủ, nên tồn z X gm @ C Theo chứng z (x n , x n ) C Lấy l cho dãy {x n } hội tụ đến z Bây giờ, áp dụng điều kiện co (2.15) điều kiện m co (ii ) , ta suy K d(z, x n ) n va ac th 35 C d(x n 1, fz ) C an Lu d(z, fz ) si Kd(z, x n ) K C (x n , z )d(fx n , z ) Kd(z, x n ) K C (x n , z )d(x n , z ) KC Kd(z, x n ) , ta d(z, fz ) Cho n Ví dụ 2.4.4 Cho X Do z ) d : X [0, lu d(x, y) d(x n , z ) C fz Vậy f có điểm bất động X ) xác định [0, y)2 (x an Rõ ràng (X , d,2) không gian kiểu metric đầy đủ Xét ánh xạ f : X X va n xác định tn to gh x ie f (x ) p e X d oa nl w ánh xạ , : X sin x [0, x x [0,1] (1, ) ) xác định x, y [0,1] x , y [0,1] (x , y ) nf va an lu (x , y ) x2 lm ul Ta chứng minh tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn [0,1] Mặt khác với w [0,1] , ta có fw z x, y z at nh oi f có điểm bất động Thật vậy, với x, y X , (fx, fy ) [0, ) , nên (fx, fy ) co n va ac th 36 với C an Lu chấp nhận K Suy f ánh m C với x, y l xạ C (x , y ) gm @ Vì (x , y ) si Rõ ràng, C Bây giờ, {x n } x n (0, f 0) (0, f 0) X dãy cho , {x n } x với n (x n , x ) theo (x n , x ) với n (x n , x n ) [0,1], x với n {0} [0,1] Điều kéo {0} [0,1], ta có ước lượng sau Với x, y (x, y )d(fx, fy ) lu fy x y an fx n va x y (x, y )d(x, y ) gh (x, y)d(fx, fy) p ie y , tn to Tại điểm khác ta có (x, y) x 36 (x, y)d(x, y) nl w Khi đó, tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn f có d oa điểm bất động lu nf va an 2.5 Sự tồn nghiệm phƣơng trình tích phân Cho X X [0, lm ul d :X C ([0,T ], ) tập hợp hàm thực liên tục xác định [0,T ] ) xác định y )2 || || (x z X Khi (X, d,2) khơng gian kiểu metric đầy đủ gm @ với x, y z at nh oi d(x, y ) T p(t ) S (t, s )f (s, x (s ))ds n va ac th 37 (2.16) an Lu x (t ) m co l Xét phương trình tích phân si F : X X ánh xạ xác định T F (x )(t ) p(t ) S (t, s )f (s, x (s ))ds (2.17) Giả sử: (i ) f : [0,T ] liên tục; (ii ) p : [0,T ] liên tục; (iii ) S : [0,T ] [0,T ] [0, :X (iv ) Tồn ánh xạ lu an (x, y ) ) liên tục; với x, y X [0, :X ) X , với s X cho [0,T ] ta có n va | f (s, x(s)) gh tn to (v ) Tồn x (x, y) | x(s) y(s) | ; [0,1 / 2) cho (x 0, F (x )) 0 p ie X f (s, y(s)) | nl w || T S (t, s) (x 0, F (x ))ds || với x, y X , (Fx, Fy) ; [0,1 / 2) d oa (vi ) Nếu (x, y ) T S (t, s ) (x, y)ds || , (x n , x ) T S (t, s ) (Fx, Fy )ds || (x n , x n ) Khi ta có kết sau: ; với n với n {0} {0} z at nh oi x với n X dãy cho lm ul xn nf va (vii ) Nếu {x n } || an lu || Định lý 2.5.1 Với giả thiết (i) (vii) , phương trình tích phân (2.16) có z C ([0,T ], ) gm @ nghiệm X X xác định (2.17) Theo điều kiện l Chứng minh Xét ánh xạ F : X m co (iv ) , ta có | T S (t, s ) f (s, x (s)) f (s, y(s)) ds |2 n va ac th 38 an Lu F (x )(t ) F (y )(t ) si T S (t, s ) | f (s, x (s )) T f (s, y(s)) | ds ] S (t, s ) (x, y ) | x (s) T y(s) | ds S (t, s ) (x, y ) || (x T || (x y ) || y ) || ds S (t, s) (x, y)ds Khi lu an || (x y ) || S (t, s ) (x, y )ds n va || (Fx, Fy ) || T gh tn to :X Bây giờ, xét ánh xạ ) xác định [0, (x, y ) điểm lại và (x, y) p ie (x, y) X oa nl w (x, y ) || S (t, s ) (x, y )ds ||2 X ta có d Khi với x, y T an lu (x, y)d(x, y) nf va (x, y)d(F (x ), F(y)) C , tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn lm ul Chọn C (2.16) X C ([0,T ], ) z at nh oi ánh xạ F có điểm bất động nghiệm phương trình tích phân z m co l gm @ an Lu n va ac th 39 si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống vài kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian metric khơng gian kiểu metric (Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2, Định lí 1.3.3 Định lí 1.3.4) Một số kết điểm bất động ánh xạ khơng gian kiểu metric compact dãy (Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.5 Định lí 2.1.9), điểm bất lu an động chung ánh xạ không gian kiểu metric thứ tự (Định lí 2.2.1 n va Định lí 2.2.2), điểm bất động khơng gian metric nón (Định lí 2.3.2), tn to điểm bất động khơng gian kiểu metric đầy đủ (Định lí 2.4.3) Cuối ie gh áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích p phân (Định lí 2.5.1) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 40 si TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nxb khoa học kỹ thuật [1] TIẾNG ANH Altun I., Durmaz G (2009), “Some fixed point theorems on ordered [2] cone metric spaces” Rend Circ Mat Palermo 58, 319–325 [3] Chugh R., Kumar S (2001),"Common fixed points for weakly compatible maps", Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), Vol 111, No lu 2, pp 241–247 an Cosentino M., Salimi P., Vetro P (2014), “Fixed point results on metric-type spaces”, Acta Math Scien, 34B(4):1237–1253 n va [4] to tn Edelstein M (1962), “On fixed and periodic points under contractive [5] p ie gh Huang L.G., Zhang X (2007), “Cone metric spaces and fixed point w [6] mappings” J London Math Soc 37, 74 -79 Hussain N., Dori´c D., Kadelburg Z., Radenovi´c S (2012), “Suzuki- nf va an lu [7] d 1476 oa nl theorems of contractive mappings” J Math Anal Appl 332, 1468– type fixed point results in metric type spaces” Fixed Point Theory Jovanovic M., Kadelburg Z., and Radenovic S (2010) “Common fixed z at nh oi [8] lm ul Appl, 2012:126 point results in metric-type spaces”, Fixed Point Theory Appl, Vol 2010, Article ID 978121, 15 pages doi:10.1155/2010/978121 z Khamsi M A (2010) “Remarks on cone metric spaces and fixed point gm @ [9] theorems of contractive mappings” Fixed Point Theory Appl, Article l m co ID 315398, pages [10] Kirk W., Shahzad N.(2014), Fixed point theory in distance spaces, n va ac th 41 an Lu Springer International Publishing Switzerland si [11] Nieto J.J., Rodriguez-Lopez R (2005), “Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations” Order 22, 223–239 [12] Ran A.C.M., Reurings M.C (2004), “A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations” Proc Amer Math Soc 132, 1435–1443 [13] Suzuki T (2009) “A new type of fixed point theorem in metric spaces” Nonlinear Anal, 71, 5313–5317 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 42 si