Định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trong không gian kiểu Mêtric

Bằng cách tương tự, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trong không gian kiểu-mêtric; đồng thời, xây dựng ví dụ mi[r]

1

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO HAI ÁNH XẠ THOẢ MÃN

ĐIỀU KIỆN

(B)

SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC

Common fixed-point theorems for two maps satisfying generalized condition (B) in metric space

Tóm tắt

Khơng gian mêtric khái niệm quan trọng Giải tích tốn học có nhiều mở rộng, khơng gian kiểu-mêtric sự mở rộng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Đặc biệt, lí thuyết điểm bất động không gian kiểu-mêtric phát triển mạnh thời gian gần Trong báo này, sở định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng không gian mêtric, chúng tôi thiết lập chứng minh số định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thoả mãn điều kiện (B) suy rộng không gian kiểu-mêtric Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

Từ khóa: điểm bất động chung, kiểu-mêtric, điều kiện (B) suy rộng.

Abstract

Metric space is an important concept in mathematical analysis that has been much more expanded and researched Especially, fixed-point theory in metric space has been strongly developed recently This paper is to clarify some common fixed-point theorems for two mappings satisfying the generalized condition (B) in metric space In addition, it gives examples to illustrate the obtained results.

Keywords: common fixed-point theorem, metric space, generalized condition (B).

1 Mở đầu 12

Ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian mêtric đầy đủ kết bật Giải tích tốn học3 Việc mở rộng ngun lí vấn đề thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Các định lí điểm bất động ánh xạ co nghiên cứu cho nhiều kiểu ánh xạ, nhiều loại không gian khác

Năm 2010, Khamsi4 giới thiệu khái niệm kiểu-mêtric mở rộng khái niệm mêtric Một hướng nghiên cứu số tác giả lĩnh vực Lí thuyết điểm bất động quan tâm thiết lập định lí điểm bất động không gian kiểu-mêtric tương tự định lí điểm bất động có khơng gian mêtric tìm áp dụng Một số tính chất số khơng gian kiểu-mêtric chứng minh số định lí điểm bất động

1Tiến sĩ, Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 Cử nhân, Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 3Agarwal, R P., Meehan, M & O’Regan, D 2004 Fixed point theory and applications Cambridge University Press: Cambridge

4 Khamsi, M A 2010 “Remarks on cone metric spaces and fixed

point theorems of contractive mappings” Fixed Point Theory and Applications, vol 2010, pp 1-7

không gian thiết lập567

Năm 2011, Abbas cộng sự8 chứng minh

sự tồn điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng không gian mêtric

Bằng cách tương tự, nghiên cứu tồn điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng khơng gian kiểu-mêtric; đồng thời, xây dựng ví dụ minh hoạ cho kết đạt

2 Nội dung

2.1 Kiến thức chuẩn bị

Chúng ta cần đến kiến thức chuẩn bị sau 4, 8.

2.1.1 Định nghĩa

Cho

K

≥

1

khác rỗng,

K

≥

1

số thực

:

[ 0,

)

D X X

× →

+∞

hàm thoả mãn

5 Dung, N V., Ly, N T T., Thinh, V D & Hieu, N T 2013

“Suzuki-type fixed point theorems for two maps in metric-“Suzuki-type spaces” Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, vol 4, no 2, pp 17-29

6Hussain, N., Doric, D., Kadelburg, Z & Radenovic, S

“Suzuki-type xed point results in metric “Suzuki-type spaces” Fixed Point Theory and Applications, vol 2012, no 126, pp 1-10

7Jovanovic, M., Kadelburg, Z & Radenovic, S 2010 “Common

xed point results in metric-type spaces” Fixed Point Theory and Applications, vol 2010, pp 1-15

8 Abbas, M., Babu, G V R & Alemayehu, G N 2011 “On common

fixed points of weakly compatible mapping satisfyings generalized condition (B)”, Filomat, vol 25, no 2, pp 9-19

Nguyễn Văn Dũng1

2

điều kiện sau:

(1) Với

x y X

,

∈

,

D x y

( , )

=

x y

=

(2)

D x y

( , )

=

D y x

( , )

với

x y X

,

∈

(3) D x z K D x y( , )≤ [ ( , )1 +D y y( , ) 1 2 + +D y z( , )]n

với

x y y

, , , , ,

1 2

y z X

n

∈

Khi đó,

D

gọi kiểu-mêtric (metric-type)

X

( , , )

X D K

gọi không gian kiểu-mêtric (metric-type space)

2.1.2 Nhận xét

( , )

X d

không gian mêtric

( , ,1)

X d

không gian kiểu-mêtric

2.1.3 Định nghĩa

Cho

( , , )

X D K

không gian kiểu-mêtric

và

{ }

x

n dãy X Khi đó:

(1)

{ }

x

n gọi hội tụ đến x X∈ , kí hiệu

lim

n

n→∞

x

=

x

,

lim ( , ) 0

n→∞

D x x

n

=

(2)

{ }

x

n gọi dãy Cauchy ,

lim ( , ) 0

n m

n m→∞

D x x

=

.

(3) Không gian

( , , )

X D K

gọi đầy đủ

nếu dãy Cauchy

( , , )

X D K

dãy hội tụ

Cho

f T X

, :

→

X

hai ánh xạ

(1) Điểm

x

gọi điểm trùng (coincidence point)

f

T

fx Tx

=

(2) Khi cặp

( , )

f T

gọi tương thích yếu (weakly compatible)

f

T

giao hoán điểm trùng chúng, nghĩa là, với

x

,

x X

Ỵ

X,

fx Tx

=

fTx Tfx

=

(3) Giá trị y gọi giá trị trùng (point of coincidence)

f

T

nếu tồn x X∈ cho

y fx Tx

=

=

(4) Điểm

x

gọi điểm bất động

chung (common fixed point)

f

T

fx Tx x

=

=

2.2 Các kết chính 2.2.1 Định nghĩa

Cho

( , , )

X D K

không gian kiểu-mêtric Ánh xạ T X: →X gọi thoả mãn điều kiện

( )

B

tồn

(0, )

1

K

δ ∈

L≥0 cho

{

}

( , )

( , ) ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

D Tx Ty

≤

δ

D x y L

+

D x Tx D y Ty D x Ty D y Tx

với

x y X

,

∈

Bổ đề sau trình bày8 khơng chứng minh Chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh

2.2.2 Bổ đề

Cho Xkhác rỗng

f T X

, :

→

X

có giá trị trùng X Khi cặp

( , )

f T

là tương thích yếu

f

T

có điểm bất động chung nhất.

Chứng minh Vì

f T X

, :

→

X

có giá trị trùng X nên tồn

y X

∈

sao cho với x X∈ ,

Tx fx

=

Tx fx

=

= y

Do cặp

( , )

f T

tương thích yếu nên

fy fTx Tfx Ty

=

=

=

Suy

fy Ty

=

giá trị trùng cặp

( , )

f T

Vì giá trị trùng nên

fy Ty

=

=

y.

Vậy y điểm bất động chung cặp

( , )

f T

Giả sử cặp

( , )

f T

có hai điểm bất động chung X x y Khi

fx Tx

=

= x

fy Ty

=

=

y

Vậy x y hai giá trị trùng cặp

( , )

f T

Vì giá trị trùng nên x = y

Suy cặp

( , )

f T

có điểm bất động chung X

Tương tự không gian mêtric8, giới thiệu khái niệm

T

-dãy điều kiện (B) suy rộng không gian kiểu-mêtric sau

2.2.3 Định nghĩa

Cho

( , , )

X D K

không gian

kiểu-mêtric,

f T X

, :

→

X

hai ánh xạ thỏa mãn

( )

( )

T X

⊂

f X

x

x00

Ỵ

X

X

Chọn x

x

11

Ỵ

X

X

cho

fx1 = Tx0 Tiếp tục q trình này, ta chọn

x

xkk+1+1

Ỵ

X

X

cho fxk+1 = Txk, k = 0,1,2, Khi dãy

{

{

fx

fx

fx

nnn

}

}

được gọi T - dãy (

T

-sequence) với điểm bắt đầu x0

2.2.4 Định nghĩa

Cho

( , , )

X D K

không gian kiểu-mêtric

Ánh xạ T X: →X gọi thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng liên kết với ánh xạ

f X

:

→

X

nếu tồn

(0, )

1

K

δ ∈

L≥0 cho

{

}

( , )

( , ) ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

D Tx Ty M x y L

≤

δ

+

D fx Tx D fy Ty D fx Ty D fy Tx

với

x y X

,

∈

,

3

( , ) ( , )

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ),

2

{

D fx Ty D fy Tx

}

M x y

=

D fx fy D fx Tx D fy Ty

+

Khi f ánh xạ đồng điều kiện (B) suy rộng liên kết với ánh xạ f gọi điều kiện (B) suy rộng Rõ ràng, ánh xạ T thỏa mãn điều kiện (B) ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng Ví dụ sau chứng tỏ chiều ngược lại khơng xảy

2.2.5 Ví dụ

Cho

{ 0, ,1}

1

2

X

=

( )

0,0

1 1

,

( )

1,1 0

2 2

D

=

D









=

D

=





,

1

1

1

1

0,

,0

,1

1,

1

2

2

2

2

D









=

D









=

D









=

D









=

















,

( )

0,1

( )

1,0

3.

D

=

D

=

Khi đó, D kiểu-mêtric X với

3

2

K

=

Đặt

X

X

T

:

→

với

1

0,

2

0

khi 1.

1

2

x

Tx

x



∈











=









=



Khi T thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng với

1

3

δ =

L=0 Tuy nhiên T không thỏa mãn

điều kiện (B) trường hợp

1

2

x

=

y

=

1

2.2.6 Định lí

Cho

( , , )

X D K

không gian kiểu-mêtric

và

, :

f,T : X

f T X

®

X

X

là hai ánh xạ thỏa mãn (1) D hàm liên tục

(2)

T X

( )

⊂

f X

( )

(3) Tthoả mãn điều kiện (B) suy rộng liên kết với ánh xạ f.

(4)

f X

( )

T X

( )

không gian đầy đủ của X.

Khi fvà T tồn điểm trùng giá trị trùng

Chứng minh Với

x

0

∈

X

,

xét

{ }

fx

n

T-dãy với điểm bắt đầu

x

0 Ta có

{

}

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , )

n n n n n n n n n n n n

D Tx Tx

−

≤

δ

M x x L D fx fx D fx fx D fx fx D fx fx

−

+

+ − − +

hay

1

(

n

,

n

)

( ,

n n

)

D Tx Tx

−

≤

δ

M x x

−

ở

( ,

n n

)

M x x

−

=

1

1 1

( , ) ( , )

max ( , ), ( , ), ( , ),

2

n n n n

n n n n n n

D fx Tx

D fx Tx

D fx fx D fx Tx D fx Tx

− −

− − −

+













1

1 1

( , ) ( , )

= max ( , ), ( , ), ( , ),

2

n n n n

n n n n n n

D fx fx D fx fx

D fx fx D fx fx D fx fx

− +

− + −

+













1

1

(

,

)

= max ( ,

), ( ,

),

.

2

n n

n n n n

D fx

fx

D fx fx

D fx fx

− +

− +













Trường hợp 1. Tồn

n

cho

1

( ,

n n

)

( ,

n n

)

M x x

−

=

D fx fx

−

Từ (1.2)ta suy

1

(

n

,

n

)

( ,

n n

).

D fx

+

fx

≤

δ

D fx fx

− Trường hợp 2. Tồn n cho

1

( ,

n n

)

( ,

n n

)

M x x

−

=

D fx fx

+

.

Từ(1.2)ta suy

1

(

n

,

n

)

( ,

n n

)

D fx

+

fx

≤

δ

D fx fx

+ Vì

(0, )

1

K

δ ∈

nên

D fx

(

n+1

,

fx

n

) 0

=

Do

1

(

n

,

n

)

( ,

n n

).

D fx

+

fx

≤

δ

D fx fx

− Trường hợp 3. Với n ta có

1

1

(

,

)

( ,

)

2

n n

n n

D fx

fx

M x x

− +

−

=

Từ (1.2)ta suy

1 1 1

( , ) ( , )

( ,

)

( , )

.

2

(

n n

2

n n

)

n n

n n

K D fx fx D fx fx

D fx fx

D fx fx

δ

− +

δ

+ −

+

+

≤

≤

Vậy

1 1

(

, )

( ,

)

( ,

).

2

n n

K

n n n n

D fx fx

D fx fx

KD fx fx

K

δ

δ

δ

+

≤

−

−

≤

−

Từ ba trường hợp trên, với

n

ta có

1

(

n

,

n

)

( ,

n n

).

D fx

+

fx

≤

δ

KD fx fx

−

Từ suy

1 1

(

, )

( ,

) ( ) ( , ).

n

n n n n

D fx fx

+

≤

δ

KD fx fx

−

≤ ≤

δ

K D fx fx

Với m > n, ta có

D fx fx

(

m

,

n

)

(

( ,

n n 1

)

(

n 1

,

n 2

)

(

m1

, )

m

)

K D fx f

+

D fx fx

+ +

D fx

−

fx

≤

+

+ +

(

1

)

0 1

( ) ( , )+( ) ( , )+ +( ) ( , )

n n m

K K D fx fx

δ

δ

K D fx fx

+

δ

K D fx fx

−

≤

(

1

)

0

(

) +(

n

) + +(

n

) ) ( , )

m

K

δ

K

δ

K

+

δ

K

−

D fx fx

=

(

)

( , ).

1

n

K

K

D fx fx

4

Cho

n m

,

→ ∞

ta có ,

lim (

m

,

n

) 0.

n m→∞

D fx fx

=

Vậy

{

{

fx

fx

fxnnn

}

}

dãy Cauchy

Nếu

f X

( )

khơng gian đầy đủ

X

thì tồn

p f X

∈

( )

cho

lim ( , ) 0

n

n→∞

D fx p

=

Khi tồn

u

*

∈

X

cho

fu

*

=

p

.

Ta có *

( ,

)

D p Tu

* *

1 1,

( ( ,

n

) (

n

)

( ,

n

)

( , )

n

K D p fx

+

D fx Tu

+

KD p fx

+

KD Tx Tu

≤

+

=

+

* *

* * *

1

( , ) ( , )

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ),

2

n n

n n n n

D fx Tu D fu Tx

KD p fx

+

δ

K D fx fu D fx Tx D fu Tu



+



≤

+









{

* * * *

}

min ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

n n n n

KL

D fx Tx D fu Tu D fx Tu D fu Tx

+

Cho

n

→ ∞

sử dụng tính liên tục

D

, ta có

*

* *

( , ) 0

* *

( , ) max 0,0, ( , ),

min{0, ( , ), ( , ),0}.

2

D p Tu

D p Tu K K

≤ +

δ





D p Tu

+





+

KL

D p Tu D p Tu





Từ ta suy

D p Tu

( ,

*

)

≤

K D p Tu

δ

( ,

*

).

Vì Tu*= =p fu*.

nên Tu* = =p fu* hay

* *

.

Tu

= =

p fu

NếuT(X) không gian đầy đủ tồn

q T X

∈

( )

cho

lim (

n→∞

D Tx q

n

, ) 0.

=

Vì

T X

( )

⊂

f X

( )

nên

q f X

∈

( )

và

lim ( , ) 0.

n

n→∞

D fx q

=

Chứng minh tương tự

trên ta có

u

*

∈

X

cho

Tu

*

= =

q fu

*

.

Tiếp theo ta chứng minh tính giá trị trùng Giả sử tồn

p p

,

*

∈

X

cho

* * *

,

.

fu Tu p fu

=

=

=

Tu

=

p

Khi *

*

* *

* * *

( , ) ( , )

( , ) ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ),

2

{

}

D p p D Tu Tu

D fu Tu D fu Tu D fu fu D fu Tu D fu Tu

δ

=

+ ≤

+

L

min ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

{

D fu Tu D fu Tu D fu Tu D fu Tu

* * * *

}

{

}

* *

* * *

* * * *

( , ) ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ),

2 ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

D p p D p p D p p D p p D p p

L D p p D p p D p p D p p

ì ü

ï + ï

ï ï

= d íï ýù

ù ù

ợ ỵ

+

* ( , )

D p p

= d

Suy

D p p

( , )

*

≤

δ

D p p

( , )

* Vì

(0, )

1

K

δ ∈

nên

D p p

( , ) 0

*

=

hay

p p

=

*

.

2.2.7 Hệ quả

Cho

( , , )

X D K

không gian kiểu-mêtric

đầy đủ,

D

hàm liên tục T X: →X

thoả mãn điều kiện (B). Khi

T

có điểm bất động

Chứng minh Áp dụng Định lí 2.2.6 vớif ánh xạ đồng ta có điều phải chứng minh

2.2.8 Định lí

Cho

( , , )

X D K

không gian kiểu-mêtric

và

f T X

, :

→

X

thỏa mãn (1)

D

hàm liên tục

(2) Tthỏa mãn điều kiện (B) suy rộng liên kết với ánh xạ f

(3)f(X) T(X) không gian đầy đủ X

(4)

T X

( )

⊂

f X

( ).

(5) Cặp

( , )

f T

tương thích yếu

Khi cặp

( , )

f T

có điểm bất động chung

X

Chứng minh Từ Định lí 2.2.6 ta có

f

Tcó giá trị điểm trùng

( , )

f T

tương thích yếu Khi đó, theo Bổ đề 2.2.2 ta suy điều phải chứng minh

2.2.9 Hệ quả

Cho

( , , )

X D K

là không gian kiểu-mêtric

vàT X( )⊂ f X( ) cho

T X

( )

⊂

f X

( )

Hơn nữa, tồn

δ ∈

(0,1)

L≥0 cho

( , ) ( , ) min{ ( ( ), ), ( , ), ( , ), ( , )} (1.3)

D Tx Ty m x y L D f x T D fy Ty D fx Ty D fy Tx

≤

δ

+

với

x y X

,

∈

,

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) max ( , ),

,

.

2

2

D fx Tx D fy Ty D fy Tx D fx Ty

m x y

=





D fx fy

+

+









Nếu f(X) T(X) không gian đầy đủ

X

cặp

( , )

f T

có giá trị trùng Hơn cặp

( , )

f T

tương thích yếu có điểm bất động chung

Chứng minh Bất đẳng thức (1.3) dạng đặc biệt bất đẳng thức (1.1) nên kết suy trực tiếp từ Định lí 2.2.8

5

2.2.10 Ví dụ

Cho

{0, ,1,2}

1

2

X

=

( )

0,0

1 1

,

( )

1,1

( )

2,2

0

2 2

D

=

D









=

D

=

D

=





,

( ) ( )

1

1

1,

,1

0,1

1,0

(0,2) (2,0) 3

2

2

D

 

 

=

D









=

D

=

D

=

D

=

D

=

 





1

,0

0,

1

2,

1

1

,2

(1,2) (2,1) 1

2

2

2

2

D









=

D









=

D









=

D









=

D

=

D

=

















Khi

( , )

X D

không gian kiểu-mêtric

với

3

2

K

=

Đặt

:

T X →X với

{ }

1

,

0,

1

2

2

0,

1,2

x

Tx

x



∈ 









=









∈



,

:

f X

→

X

với

0,

0

1

,

1

2

2

2,

1

1,

2.

x

x

fx

x

x

=







=



= 



=



=



Khi

T X

( )

⊂

f X

( )

cặp

(

f T

,

)

tương thích yếu trênX Hơn

T

thỏa mãn điều kiện

( )

B

suy rộng với

1

3

δ =

L=0

Mặt khácf T thỏa mãn giả thiết lại Định lí 2.2.8 Vậy Định lí 2.2.8 áp dụng cho

f

T

( , )

X D

Vì

( , )

X D

khơng không gian mêtric nên ta áp dụng kết có8 cho

f

T

( , )

X D

.

3 Kết luận

Bài viết đạt kết sau:

- Giới thiệu điều kiện (B) điều kiện (B) suy rộng không gian kiểu-mêtric: Định nghĩa 2.2.1, Định nghĩa 2.2.4

- Thiết lập chứng minh định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thoả mãn điều kiện (B) suy rộng khơng gian kiểu-mêtric Định lí 2.2.6, Hệ 2.2.7, Định lí 2.2.8, Hệ 2.2.9

- Xây dựng ví dụ minh họa ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng không thỏa mãn điều kiện (B) ví dụ minh hoạ cho Định lí 2.2.8 trongVí dụ 2.2.5, Ví dụ 2.2.10

Tài liệu tham khảo

Abbas, M., Babu, G V R & Alemayehu, G N 2011 “On common fixed points of weakly compatible mapping satisfyings generalized condition (B)”, Filomat, vol 25, no 2, pp 9-19.

Agarwal, R P., Meehan, M & O’Regan, D 2004 Fixed point theory and applications Cambridge University Press: Cambridge

Dung, N V., Ly, N T T., Thinh, V D & Hieu, N T 2013 “Suzuki-type fixed point theorems for two maps in metric-type spaces” Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, vol 4, no 2, pp 17-29

Khamsi, M A 2010 “Remarks on cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” Fixed Point Theory and Applications, vol 2010, pp 1-7

Hussain, N., Doric, D., Kadelburg, Z & Radenovic, S “Suzuki-type xed point results in metric type spaces” Fixed Point Theory and Applications, vol 2012, no 126, pp 1-10