Định lí điểm bất động trên không gian kiểu metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - OUTHONG PHONEPASEUTH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHƠNG GIAN KIỂU METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - OUTHONG PHONEPASEUTH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHƠNG GIAN KIỂU METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình khác Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Outhong PHONEPASEUTH i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 06 năm 2018 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng KHƠNG GIAN KIỂU METRIC 1.1 Khơng gian metric 1.2 Không gian kiểu metric 1.3 Định lý Banach không gian kiểu metric 11 Chƣơng ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 17 KIỂU METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact theo dãy 17 2.2 Điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự 28 2.3 Điểm bất động khơng gian metric nón 31 2.4 Điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ 33 2.5 Sự tồn nghiệm phương trình tích phân 37 40 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, nguyên lí ánh xạ co phát biểu chứng minh cơng trình Banach năm 1922 định lý quan trọng giải tích hàm cổ điển Về sau nhà toán học mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ không gian khác nhau, đặc biệt không gian kiểu metric Bởi nguyên lý ánh xạ co Banach xem khởi nguồn cho nghiên cứu lý thuyết điểm bất động không gian kiểu metric Ý nghĩa nằm chỗ áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Các kết nghiên cứu điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ thỏa mãn điều kiện co metric biết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trong năm gần đây, số tác giả đạt nhiều kết điểm bất động điểm bất động chung lớp ánh xạ khác không gian metric tổng quát Bakhtin, Czerwik, Khamsi, Hussain, Edelstein, Suzuki… Ở tập trung vào khơng gian Cụ thể hơn, khơng gian kiểu metric, hay cịn gọi khơng gian b metric Do tơi chọn đề tài: “Định lý điểm bất động không gian kiểu metric “ Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết điểm bất động không gian kiểu metric 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan hệ thống số kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian đó, bao gồm điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động khơng gian metric nón, điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [4], [8] [10], gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động khơng gian Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết nghiên cứu gần M Cosentino, P Salimi P Vetro điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động khơng gian metric nón, điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƢƠNG KHÔNG GIAN KIỂU METRIC 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp tùy ý d : X X hàm số thỏa mãn điều kiện sau: a ) d(x, y) 0, x, y X ; d(x, y) b ) d(x, y) d(y, x ), x, y c ) d(x, z ) d(x, y) x y X d(y, z ), x, y, z X Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X , d ) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d(x, y ) gọi khoảng cách hai điểm x y Sau vài tính chất metric: Mệnh đề 1.1.2 a ) Nếu x1, x 2, , x n X d(x1, x n ) b ) Với x1, x 2, y1, y2 d(x1, x ) d(x 2, x ) d(x n 1, x n ) X ta có: d(x1, x ) d(y1, y2 ) d(x1, y1) d(x 2, y2 ) Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X , d ), {x n } dãy X x X Ta nói dãy phần tử {x n } hội tụ phần tử x lim d(x n , x ) n Khi ta viết lim x n n x hay x n d x Sau vài tính chất dãy hội tụ: Mệnh đề 1.1.4 a ) Giới hạn dãy hội tụ b ) Nếu {x n } X , lim x n n c ) Nếu lim x n n x dãy hội tụ x a lim yn n b lim d(x n , yn ) d(a,b) n Định nghĩa 1.1.5 Dãy {x n } không gian metric X gọi dãy Cauchy lim d (x m , x n ) m,n Định nghĩa 1.1.6 Không gian metric X gọi đầy đủ dãy Côsi X hội tụ 1.2 Không gian kiểu metric Định nghĩa 1.2.1 Cho X tập khác rỗng d : X (X , d ) không gian đối xứng (cịn gọi E X [0, ) khơng gian) thỏa mãn điều kiện sau đây: a ) d(x, y) x y; b ) d(x, y) d(y, x ) với x, y X Không gian đối xứng khác khơng gian metric khơng có bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên, nhiều khái niệm định nghĩa giống khái niệm không gian metric Ví dụ, khơng gian đối xứng (X , d ) điểm giới hạn dãy {x n } định nghĩa lim d(x n , x ) n Dãy {x n } lim x n n X gọi dãy Cauchy với nguyên dương n( ) cho d(x m , x n ) với m, n x , tồn số n( ) Không gian đối xứng (X , d ) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ phần tử x X Định nghĩa 1.2.2 Cho X tập khác rỗng K Hàm số d : X X số thực cho trước [0, ) gọi kiểu metric (hay b với x, y, z X điều kiện sau thỏa mãn: a ) d(x, y) x b ) d(x, y) d(y, x ) ; c ) d(x, y) K d(x, z ) metric) y; d(z, y) Bộ ba (X, d, K ) gọi không gian kiểu metric hay không gian b metric , ta có (X, d,1) khơng gian metric Khi K Chú ý không gian kiểu metric bao hàm lớp khơng gian đối xứng Vì vậy, khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy không gian đầy đủ định nghĩa không gian đối xứng Không gian kiểu metric (X, d, K ) gọi compact theo dãy với dãy {x n } X , tồn dãy {x n } {x n } , hội tụ đến điểm x X k Sau vài ví dụ khơng gian kiểu metric [0,1] d : X Ví dụ 1.2.3 Cho X d(x, y ) (x y )2 , với x, y X [0, ) xác định X Khi (X, d,2) khơng gian kiểu metric Ví dụ 1.2.4 Cho Cb (X ) || f || {f : X , || f || d(f , g ) } x X || f || Hàm d : Cb (X ) Cb (X ) kiểu metric với K sup | f (x ) | || f ) xác định [0, g || với f , g Cb (X ) , (Cb (X ), d, 4) khơng gian kiểu metric Chú ý a,b hai số thực khơng âm, (a b)3 4(a b ) Điều kéo theo a b a b d(fxn , fu) (d(xn , u), d(u, fxn )) d(ffxn , fu) (d(fxn , u), d(u, ffx n )) L (u, fxn ) L Giả sử bất dẳng thức thứ xảy với n (u, ffx n ) Nếu J tập vơ J hạn, d(u, fu) n lim ,n J sup d(fx n , fu) lim sup (d(x n , u), d(u, fx n )) n Suy u ,n J fu Kết luận tương tự xảy lim sup n ,n J L (u, fx n ) \J tập vô hạn Trong trường hợp ta sử dụng bất đẳng thức thứ hai Trong hai trường hợp, ta có u điểm bất động f Nếu định lý ta lấy L (y, fx ) L d(y, fx ), d(x, fx ), d(y, fy) với L (t1, t2 ) t1 , ta có hệ sau Hệ 2.1.10 Cho (X, d, K ) không gian kiểu metric compact theo dãy f :X X ánh xạ cho d(fx, fy ) với x, y d(x, y ) d(x, fx ) 2K d(x, y ) kéo theo L d(y, fx ),d(x, fx ),d(y, fy ) X Nếu d liên tục, f có điểm bất động 2.2 Điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự Sự tồn điểm bất động tự ánh xạ xác định tập thứ tự kiểu biết đóng vai trị quan trọng lý thuyết xấp xỉ thứ tự Vấn đề 28 khởi đầu vào năm 2004 Ran Reurings [12], nghiên cứu sâu Nieto Rodriguez-Lopez [11] Định lý 2.2.1 Cho (X, d, K, ) không gian kiểu metric thứ tự cho d liên tục Cho f , g : X X cho f (X ) g(X ) , g(X ) không gian compact theo dãy X , f ánh xạ bị trội g ánh xạ trội Giả sử d(fx, fy) d(gx, gy ) d(gx, fx ) d(gx, fy ) K với phần tử so sánh x, y r L d(gy, fy ) Ld (gy, fx ) X, gx (2.10) gy , Nếu X có tính chất so sánh giới hạn theo dãy (2.11), f g có điểm trùng X Hơn nữa, L , K tập hợp điểm trùng f g thứ tự tốt f g có điểm trùng X điểm tùy ý x n dãy xác định sau Chứng minh Cho x gx n fx n với n {0} Việc thực miền giá trị g chứa miền giá trị Nếu d(gx n , gx n ) với n {0} đó, gx n x n điểm trùng n Khi x n x n d(gx n , gx n 1) gx n 1 fx n , f g Giả sử d(gxn , gxn 1) với {0} Sử dụng tính chất ánh xạ xn gx n f fx n f g , ta có gx n với n xn so sánh với n , nên ta gx n 29 gx n , với n {0} {0} Vì {0} Vậy gx n dãy giảm Vì g(X ) khơng gian compact theo dãy X , nên ta giả sử gx n {0} Ta chứng minh fu gx n với n (2.11) suy gu Thật vậy, giả sử fu d(gu, fu) X Bây giờ, từ điều kiện gu với u gu gu , theo giả thiết (2.10), ta có lim d(gx n 1, fu) lim d( fx n, fu) n n lim [ d(gx n , gu) d(gx n , fx n ) n K d(gu, fu) K Mâu thuẫn, gu K d(gu, fu) d(gx n , fu) Ld(gu, fx n )] d(gu, fu) d(gu, fu ) d(gu, fu ) fu Vì vậy, u điểm trùng f g Bây giờ, giả sử tập hợp tất điểm trùng f g thứ tự tốt Ta chứng minh điểm trùng f g Giả sử ngược lại tồn điểm v u gu gv X cho fv fv v gv với gu gv Giả sử gu u, v so sánh Bây giờ, áp dụng điều kiện (2.10), ta có d(fu, fv) d(gu, gv) d(gu, fu) K K gv , d(gu, fv) L d(fu, fv ) 30 d(gv, fv) Ld(gv, fu) d(fu, fv ) Mâu thuẫn gu fu gu gv Kết tương tự xảy gv gu Vì z điểm trùng f g X Ngược lại, f g có điểm trùng nhau, tập hợp tất điểm trùng f g gồm phần tử thứ tự tốt Định lý 2.2.2 Thêm vào giả thiết Định lý 2.2.1 điều kiện sau đây: ii ) Nếu {gx n } dãy giảm hội tụ đến gu với u X đó, ggu gu ; iii ) f g tương thích yếu; tức chúng giao hốn điểm trùng ([3]) Khi f g có điểm bất động chung X Hơn f g có điểm bất động chung X tập hợp tất điểm trùng f g thứ tự tốt Chứng minh Cho x X điểm dãy {x n } xác định sau gx n fx n với n {0} Tiến hành chứng minh Định lý 2.2.1, ta suy {gx n } dãy giảm hội tụ đến gu với u X fu gu z Theo điều kiện ii ) , ta có gz gu Vì ánh xạ f g tương thích yếu nên ta nhận fz fgu gfu gz Nếu gz gu z , z điểm bất động chung f g Nếu gz gu , u, z so sánh áp dụng điều kiện (2.10), ta có gu gz Vì z điểm bất động chung f g Nếu tập hợp tất điểm trùng f g thứ tự tốt, f g có điểm trùng z điểm bất động chung f g 2.3 Điểm bất động không gian metric nón Huang Zhang [6] xét khơng gian metric nón, tập hợp số thực thay không gian Banach thứ tự E với lớp chuỗi hội tụ tác giả thiết lập số định lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian metric nón chuẩn tắc Sau đó, tác giả Khamsi, Altun, 31 Durmaz [2;9] tổng quát hóa kết Huang Zhang nghiên cứu tồn điểm bất động chung cặp tự ánh xạ thỏa mãn điều kiện co khơng gian metric nón chuẩn tắc Bổ đề 2.3.1 Cho (X , d ) không gian metric nón nón chuẩn tắc P với số chuẩn tắc K Khi u v kéo theo || u || K || v || Định lý sau kết kiểu Suzuki khơng gian metric nón chuẩn tắc Định lý 2.3.2 Cho (X , d ) khơng gian metric nón compact theo dãy nón chuẩn tắc P với số chuẩn tắc K f : X d(x, fx ) 2K với x, y d(x, y ) P kéo theo d(fx, fy ) X cho d(x, y ) K (2.12) X Khi f có điểm bất động Chứng minh Đặt D(x, y) || d(x, y) || Vì nón P chuẩn tắc, nên D kiểu metric (X, D, K ) không gian kiểu metric compact theo dãy Ta chứng minh ánh xạ f thỏa mãn điều kiện D(x, fx ) 2K với x, y Giả sử d(x, fx ) 2K D(x , y ) kéo theo D(fx, fy) D(x, y) (2.13) X D(x, fx ) 2K d(x, y ) D(x , y ) , x y Ta chứng minh P Thật vậy, giả sử ngược lại d(x, fx ) 2K d(x, y ) 32 P D(x, y ) d(x , fx ) Do ta có 2K d(x , fx ) , suy d(x, y ) 2K Khi d(x, y ) 1 D(x, fx ) mâu thuẫn Vậy d(x, fx ) d (x , y ) 2K 2K P Theo giả thiết (2.12) ta có d(fx, fy ) d(x, y ) K Theo Bổ đề 2.3.1, ta có || d(fx, fy) || || d(x, y) || , tức D(fx, fy) D(x, y) Do đó, điều kiện (2.4) thỏa mãn Vì D liên tục theo (iii ) ý 1.2.16, nên theo Định lý 2.1.5, ta kết luận f có điểm bất động Tiến hành chứng minh Định lý 2.3.2, ta có kết sau Định lý 2.3.3 Cho (X , d ) khơng gian metric nón compact theo dãy nón chuẩn tắc P với số chuẩn tắc K f : X d(x, fx ) 2K d(fx, fy ) với x, y d(x, y ) d(x, y ) K X Lp X ánh xạ cho P kéo theo Lp d(y, fx ) , d(x, fx ) , d(y, fy ) P Khi f có điểm bất động 2.4 Điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Trong phần trình bày số kết điểm bất động không gian metric đầy đủ ánh xạ C Định nghĩa 2.4.1 Cho f : X C C X, , :X Ta nói f ánh xạ C C điều kiện sau xảy ra: 33 chấp nhận X [0, ) C 0, chấp nhận K (i ) (x, y ) (ii ) C (x, y ) C C (iii ) (fx, fy ) C , x, y X; (fx, fy ) C , x, y X; K C Định lý 2.4.2 Cho (X, d, K ) không gian kiểu metric đầy đủ f : X ánh xạ C chấp nhận K C Giả sử (x, y)d(x, y) với x, y (x, y)d(fx, fy) X X (2.14) Nếu điều kiện sau xảy ra: (i ) f liên tục; X cho (x 0, fx ) (ii ) Tồn x C (x 0, fx ) C f có điểm bất động X Chứng minh Giả sử x dãy {x n } xn X x n với n X cho (x 0, fx ) xác định x n f nx suy (x1, x ) (x n , x n ) n C (fx 0, fx1) với n Nếu fx n Vì f ánh xạ x n với n chấp nhận K C C Lấy x n điểm bất động f Định lý đó, x chứng minh Do đó, ta giả sử x n C C (x 0, fx ) (x 0, fx ) (x 0, x1) C Tiếp tục trình này, ta nhận {0} Tương tự, với n {0} Áp dụng (2.14) với x C d(x n , x n ) xn y (x n , x n ) x n , ta (x n 1, x n )d(x n , x n 1) (xn 1, xn )d(x n 1, x n ) C d(x n 1, x n ) Do d(x n , x n ) C , nên C C d(x n 1, x n ) với n 34 C với Vì f ánh xạ C chấp nhận K C , nên C K C Theo Bổ đề 1.2.9, {x n } dãy Cauchy Vì X đầy đủ, nên tồn z Vì f liên tục, nên ta có n cho d(x n , z ) X d(x n 1, fz ) Theo Bổ đề 1.2.7, ta có z d(fx n , fz ) 0, n fz Vậy z điểm bất động f Định lý 2.4.3 Cho (X, d, K ) không gian kiểu metric đầy đủ f : X ánh xạ C chấp nhận K C (x, y)d(fx, fy) X Giả sử (x, y)d(x, y) với x, y X (2.15) Nếu điều kiện sau xảy ra: X cho (x 0, fx ) (i ) Tồn x (ii ) Nếu {x n } {0} x n n (x n , x ) X dãy cho C C (x 0, fx ) (x n , x n ) C x n với n C ; (x n , x n ) , (x n , x ) C với C {0} ; f có điểm bất động X Chứng minh Cho x dãy {x n } X cho X xác định x n (x 0, fx ) f nx fx n C (x 0, fx ) với n minh Định lý 2.4.3, {x n } dãy Cauchy cho (x n , x n ) C với n C Lấy Theo chứng (x n , x n ) {0} Vì X đầy đủ, nên tồn z C X cho dãy {x n } hội tụ đến z Bây giờ, áp dụng điều kiện co (2.15) điều kiện (ii ) , ta suy d(z, fz ) K d(z, x n ) 35 C d(x n 1, fz ) C Kd(z, x n ) K C (x n , z )d(fx n , z ) Kd(z, x n ) K C (x n , z )d(x n , z ) Kd(z, x n ) , ta d(z, fz ) Cho n Ví dụ 2.4.4 Cho X d(x, y) (x d(x n , z ) C Do z ) d : X [0, KC fz Vậy f có điểm bất động X ) xác định [0, y)2 Rõ ràng (X , d,2) không gian kiểu metric đầy đủ Xét ánh xạ f : X X xác định x f (x ) e ánh xạ , : X (x , y ) X x2 sin x [0, x x [0,1] (1, ) ) xác định x, y [0,1] x , y [0,1] (x , y ) Ta chứng minh tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn f có điểm bất động Thật vậy, với x, y x, y Vì xạ C [0,1] Mặt khác với w (x , y ) C với x, y [0,1] , ta có fw [0, ) , nên chấp nhận K 36 X , (fx, fy ) với C (x , y ) (fx, fy ) Suy f ánh C Rõ ràng, Bây giờ, {x n } x n (0, f 0) X dãy cho , {x n } x với n (x n , x ) theo (x n , x ) (0, f 0) với n (x n , x n ) [0,1], x với n {0} [0,1] Điều kéo {0} [0,1], ta có ước lượng sau Với x, y (x, y )d(fx, fy ) fx fy x y Tại điểm khác ta có (x, y) x 36 2 x y (x, y )d(x, y ) , (x, y)d(fx, fy) y (x, y)d(x, y) Khi đó, tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn f có điểm bất động 2.5 Sự tồn nghiệm phƣơng trình tích phân Cho X d :X C ([0,T ], ) tập hợp hàm thực liên tục xác định [0,T ] X [0, ) xác định d(x, y ) với x, y y )2 || || (x X Khi (X, d,2) khơng gian kiểu metric đầy đủ Xét phương trình tích phân T x (t ) p(t ) S (t, s )f (s, x (s ))ds 37 (2.16) F : X X ánh xạ xác định T F (x )(t ) p(t ) S (t, s )f (s, x (s ))ds (2.17) Giả sử: (i ) f : [0,T ] liên tục; (ii ) p : [0,T ] liên tục; (iii ) S : [0,T ] [0,T ] [0, :X (iv ) Tồn ánh xạ (x, y ) với x, y X || (vi ) Nếu (x, y ) || T x với n :X ) X (x, y) | x(s) S (t, s) (x 0, F (x ))ds || với x, y y(s) | ; X , (Fx, Fy) || X dãy cho , (x n , x ) T cho [0,T ] ta có [0,1 / 2) cho (x 0, F (x )) S (t, s ) (x, y)ds || (vii ) Nếu {x n } xn [0, f (s, y(s)) | T X X , với s | f (s, x(s)) (v ) Tồn x ) liên tục; ; [0,1 / 2) S (t, s ) (Fx, Fy )ds || (x n , x n ) với n với n ; {0} {0} Khi ta có kết sau: Định lý 2.5.1 Với giả thiết (i) (vii) , phương trình tích phân (2.16) có nghiệm X C ([0,T ], ) Chứng minh Xét ánh xạ F : X X xác định (2.17) Theo điều kiện (iv ) , ta có F (x )(t ) F (y )(t ) | T S (t, s ) f (s, x (s)) 38 f (s, y(s)) ds |2 T S (t, s ) | f (s, x (s )) T f (s, y(s)) | ds ] S (t, s ) (x, y ) | x (s) T y(s) | ds S (t, s ) (x, y ) || (x T || (x y ) || y ) || ds S (t, s) (x, y)ds Khi || (Fx, Fy ) || :X Bây giờ, xét ánh xạ (x, y) (x, y) || (x X y ) || [0, T C S (t, s ) (x, y )ds ) xác định (x, y ) S (t, s ) (x, y )ds ||2 X ta có (x, y)d(F (x ), F(y)) Chọn C T điểm lại (x, y ) || Khi với x, y (x, y)d(x, y) , tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn ánh xạ F có điểm bất động nghiệm phương trình tích phân (2.16) X C ([0,T ], ) 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống vài kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian metric khơng gian kiểu metric (Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2, Định lí 1.3.3 Định lí 1.3.4) Một số kết điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy (Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.5 Định lí 2.1.9), điểm bất động chung ánh xạ không gian kiểu metric thứ tự (Định lí 2.2.1 Định lí 2.2.2), điểm bất động khơng gian metric nón (Định lí 2.3.2), điểm bất động khơng gian kiểu metric đầy đủ (Định lí 2.4.3) Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân (Định lí 2.5.1) 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nxb khoa học kỹ thuật TIẾNG ANH [2] Altun I., Durmaz G (2009), “Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces” Rend Circ Mat Palermo 58, 319–325 [3] Chugh R., Kumar S (2001),"Common fixed points for weakly compatible maps", Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), Vol 111, No 2, pp 241–247 [4] Cosentino M., Salimi P., Vetro P (2014), “Fixed point results on metric-type spaces”, Acta Math Scien, 34B(4):1237–1253 [5] Edelstein M (1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings” J London Math Soc 37, 74 -79 [6] Huang L.G., Zhang X (2007), “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” J Math Anal Appl 332, 1468– 1476 [7] Hussain N., Dori´c D., Kadelburg Z., Radenovi´c S (2012), “Suzukitype fixed point results in metric type spaces” Fixed Point Theory Appl, 2012:126 [8] Jovanovic M., Kadelburg Z., and Radenovic S (2010) “Common fixed point results in metric-type spaces”, Fixed Point Theory Appl, Vol 2010, Article ID 978121, 15 pages doi:10.1155/2010/978121 [9] Khamsi M A (2010) “Remarks on cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” Fixed Point Theory Appl, Article ID 315398, pages [10] Kirk W., Shahzad N.(2014), Fixed point theory in distance spaces, Springer International Publishing Switzerland 41 [11] Nieto J.J., Rodriguez-Lopez R (2005), “Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations” Order 22, 223–239 [12] Ran A.C.M., Reurings M.C (2004), “A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations” Proc Amer Math Soc 132, 1435–1443 [13] Suzuki T (2009) “A new type of fixed point theorem in metric spaces” Nonlinear Anal, 71, 5313–5317 42 ... kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian metric khơng gian kiểu metric (Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2, Định lí 1.3.3 Định lí 1.3.4) Một số kết điểm bất động. .. KHƠNG GIAN KIỂU METRIC 1.1 Khơng gian metric 1.2 Không gian kiểu metric 1.3 Định lý Banach không gian kiểu metric 11 Chƣơng ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 17 KIỂU METRIC 2.1 Điểm bất động. .. bao gồm điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động không gian metric nón, điểm bất động khơng gian kiểu metric đầy đủ