(Luận văn) định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian g metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐINH NHƯ QUỲNH lu an n va p ie gh tn to ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC d oa nl w an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN-2019 n va http://lrc.tnu.edu.vn ac th Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐINH NHƯ QUỲNH lu ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC an n va gh tn to p ie Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH d oa nl w Mã số: 8.46.01.02 lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng z m co l gm @ va http://lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN an Lu THÁI NGUYÊN-2019 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc lu an Tác giả n va ie gh tn to p Đinh Như Quỳnh d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN ac th si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS.Phạm Hiến Bằng Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết lu an mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học n va viên để luận văn hoàn chỉnh tn to Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ ie gh thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn p Tháng 04 năm 2019 d oa nl w Tác giả ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN ac th si MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC lu an n va 1.1 Không gian G - Metric 1.2 Một số tính chất sở không gian G - metric 1.3 Sự hội tụ ánh xạ liên tục không gian G - metric tn to Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN gh 10 p ie TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ giãn không gian G-metric w 10 oa nl 2.2 Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian an lu 34 u nf va KẾT LUẬN 19 d G-metric 35 ll TÀI LIỆU THAM KHẢO oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si MỞ ĐẦU Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) Banach chứng minh vào năm 1922 Từ có nhiều tác giả mở rộng kết cho nhiều loại ánh xạ khác không gian khác Hướng thứ mở rộng khái niệm không gian metric Đầu tiên phải kể đến khái niệm không gian b - metric đưa Bakhtin [2] Tác giả chứng minh Định lí điểm bất động ánh xạ co khơng gian b - metric, tổng qt hóa ngun lí co Banach khơng gian metric Tiếp đến khái niệm không lu gian 2-metric đưa Gahler [4] khái niệm không gian D-metric an đưa Dhage [3] Năm 2004, Mustafa Sims [7] đưa khái niệm va n không gian G-metric Gần đây, Một số tác Mustafa, Chugh, Shatanawi, tn to Mohanta, quan tâm nghiên cứu đạt số kết điểm bất ie gh động ánh xạ co không gian G-metric đầy đủ Hướng thứ hai p phải kể đến nghiên cứu điểm bất động khơng gian nói nl w ánh xạ giãn Theo hướng này, số tác giả đạt kết an lu Gupta, d oa đẹp đẽ Maheshwari, Mustafa, Awawdeh, Shatanawi, Sahu, Sanodia, u nf va Theo hướng nghiên cứu chúng tơi chọn đề tài: “Định lí điểm bất ll động ánh xạ giãn không gian G- metric“ m oi Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học z at nh nước quan tâm nghiên cứu z @ Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [9] [10], danh mục tài liệu tham khảo m co l gm gồm 35trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN an Lu gian G - metric ac th si Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian G metric Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN ac th si CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC 1.1 Không gian G - Metric Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G - metric cặp (E ,G ) , E tập khác rỗng G : E E E đ [0, Ơ ) hàm cho với u, v, w, a Ỵ E , điều kiện sau thỏa mãn: lu an n va G (u, v, w) = u = v = w ; (G2 ) G (u, u, v ) > với u, v ẻ E , vi u v ; (G ) G (u, u, v ) £ G (u, v, w) với u, v, w Ỵ E , với w ¹ v ; (G ) G (u, v, w) = G (u, w, v ) = G (v, w, u ) = (đối xứng với biến); (G ) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) (bất đẳng thức hình chữ nhật) tn to (G1) Các tính chất giải thích theo nghĩa không gian metric p ie gh Hàm G gọi G - metric E w Cho (E , r ) không gian metric G : E ´ E ´ E đ [0, Ơ ) l hm s oa nl xác định d G (u, v, w) = r (u, v ) + r (u, w) + r (v, w) với u, u, w Ỵ E lu va an Khi (E ,G ) không gian G - metric Trong trường hợp này, G (u, v, w) ll u nf hiểu chu vi tam giác với đỉnh u, v w Điều kiện (G ) có oi m nghĩa với điểm ta khơng thể có chu vi dương, điều kiện (G ) tương z at nh đương với khoảng cách hai điểm khác khơng thể Hơn nữa, chu vi tam giác không phụ thuộc vào thứ tự đỉnh nó, nên ta z l đỉnh thứ tư gm @ có (G ) Cuối cùng, (G ) mở rộng bất đẳng thức tam giác sử dụng http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN an Lu định m co Ví dụ 1.1.2 Nếu E Ì ¡ , E ¹ Æ, hàm G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) xác ac th si G (u, v, w) = | u - v | + | u - w | + | v - w | với u, u, w Ỵ E , G - metric E Định nghĩa 1.1.3.Không gian G - metric (E ,G ) gọi đối xứng G (u, v, v ) = G (v, u, u ) với u, v Ỵ E 1.2 Một số tính chất G - Metric Mệnh đề 1.2.1.Nếu (E ,G ) không gian G - metric G (u, v, v ) £ 2G (v, u, u ) với u, v Ỵ E Chứng minh Theo bất đẳng thức hình chữ nhật (G5) với tính đối xứng lu (G4), ta có an G (u, v, v ) = G (v, v, u ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, u ) = 2G (v, u, u )  n va tn to Hệ 1.2.2.Cho {u n } {vn } hai dãy không gian G - metric (E ,G ) Khi lim G (un , un , ) = Û lim G (un , , ) = nđ Ơ ie gh nđ Ơ p Mnh đề 1.2.3.Cho (E ,G ) không gian G - metric Khi đó, với nl w u, v, w, a Ỵ E , ta có d oa (a ) G (u, v, w) £ G (u, u, v ) + G (u, u, w) an lu (b) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (w, a, a ) u nf va (c ) G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)} ll (d ) Nếu n ³ u 1, u 2, , u n Î E å n- G (u1, u1, u n ) £ å n- z at nh G (u i , u i + 1,u i + 1) i= G (u i , u i , u i + 1) m co l [G (u, v, a ) + G (u, a, w) + G (a, v, w)] http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN an Lu (g) G (u, v, w) £ gm ( f ) G (u, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, v, w) (1.1) @ (e ) Nếu G (u, v, w) = u = v = w z i= oi m G (u1, un , u n ) £ ac th si (h ) Nếu u Ỵ E \ {w, a} G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ G (a, u, w) (i ) G (u, v, v ) £ 2G (u, v, w) Chứng minh (a ) Áp dụng (G ) (G ) với a = u , ta có G (u, v, w) = G (v, u, w) £ G (v, u, u ) + G (u, u, w)  = G (u, u, v ) + G (u, u, w) (b) Áp dụng (G ) hai lần sử dụng (G ) , ta có G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) = G (u, a, a ) + G (v, a, w) £ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (a, a, w)  lu an (c ) Theo (G ) (G ) , ta có n va G (u, v, w) = G (w, v, u ) £ G (w, a, a ) + G (a, v, w), gh tn to G (a, v, u ) £ G (a, w, w) + G (w, v, u ) Suy ra, ie p G (u, v, w) - G (a, v, u ) £ G (w, a, a ) d Do đó, oa nl w G (a, v, u ) - G (u, v, w) £ G (a, w, w) lu va an G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)}  ll u nf (d ) Nếu n = , điều hiển nhiên, n = (1.1) tính chất (G ) oi m cho u = u1 , a = u v = w = u Bằng cách quy nạp, (1.1) xảy nạp, ta có z at nh với n ³ xảy với n + vì, theo (G ) giả thiết quy z = å n G (u i , u i + 1, u i + ) + G (u n , u n + 1, u n + 1) i= G (u i , u i + 1, u i + )  i= http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN an Lu n- m co å l £ gm @ G (u1, un + 1, un + 1) £ G (u1, un , un ) + G (un , un + 1, un + 1) ac th si Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Sun = lim Run = w ,nên lim SSun = Sw lim SRun = Sw Vì (R , S ) nửa tương thích lim Run = w , nên lim RSun = Sw Sử dụng (b) với u = un , v = Sun , ta có G (Run , RSun , RSun ) ³ aG (SSun , SSun , Sun ) + { } + b G (Sun , R Sun , R Sun ),G (Sun , R Su n , SSu n ) Cho n đ Ơ , ta c { } G (w, S w, S w) ³ aG (S w, S w, w) + b G (w, S w, S w),G (w, S w, S w) lu ³ (a + b)G (w, S w, S w) an G (w, S w, S w)(a + b - 1) £ n va Suy tn to ie gh Vì (a + b - 1) > , nên G (w, S w, S w) £ Do Sw = w p Lại sử dụng (b) với u = un , v = w , ta có nl w G (Run , R w, R w) ³ aG (S w, S w, Sun ) + b {G (Sun , R w, R w),G (Sun , R w, R w)} d oa Cho n đ Ơ ta an lu G (w, R w, R w) ³ aG (w, w, w) + b {G (w, R w, R w),G (w, R w, w)} Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có ll u nf va G (w, R w, R w) ³ b {G (w, R w, R w),G (R w, w, w)} oi m G (w, R w, R w) £ 2G (w, w, R w) , gm @ Khi G (w, R w, R w) z G (w, w, R w) ³ z at nh suy http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN an Lu Do m co l ïì ïü G (w, w, R w) ³ b ïí G (w, R w, R w), G (w, R w, R w)ùý ùùợ ùùỵ ac th si G (w, R w, R w) ³ b G (w, R w, R w) Suy G (w, R w, R w)(b - 2) £ Vì b > nên G (w, R w, R w) £ , suy R w = w Vậy R w = Sw = w Tính Giả sử u điểm bất động khác R S Khi Ru = Su = u Sử dụng (b) với u = w, v = u , ta có G (R w, Ru, Ru ) ³ aG (Su, Su, S w) + b {G (S w, Ru, Ru ),G (S w, Ru, Ru )} lu Thay Ru = Su = u vào bất đẳng thức ta an n va G (w, u, u ) ³ aG (u, u, w) + b {G (w, u, u ),G (w, u, u )} tn to ³ aG (u, u, w) + bG (w, u, u ) G (w, u, u )(a + b - 1) £ p ie gh Do w Vì (a + b - 1) > nên G (u, u, w) £ Suy u = w Vậy w điểm bất động oa nl chung R S d Định lý 2.2.3.Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ, R , S : E ® E an lu ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: ll u nf va (a ) R (E ) Ì S (E ) oi m (b) G (R w, Sv, Sv ) ³ aG (Sv, Sv, R v ) + bG (R u, Su, Su ) + z at nh + c {G (Su, Rv, Rv ),G (Su, Rv, Sv )} với a > 1, < b < 1, a + b > với mọic > 1, a + c > z m co l gm (d ) Cặp (R , S ) nửa tương thích @ (c ) R S liên tục Khi R S có điểm bất động chung E an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN ac th si Chứng minh Lấy u Ỵ E tùy ý Vì R (E ) Ì S (E ) , nên tồn u cho Ru1 = Su0 = v0 Bằng quy nạp xác định dãy Run + = Sun = Sử dụng (b) với u = un , v = un + , ta có G (Run , Run + 1, Run + 1) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + 1) + bG (Fx n ,T x n ,T x n ) + c {G (Sun , Run + 1, Run + 1),G (Sun , Run + 1, Sun + 1)} G (vn - 1, , ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) + + c {G (vn , , ),G (vn , , + 1)} ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) lu Do an n va G (vn - 1, , )(1 - b) ³ aG (vn + 1, + 1, ) tn to Suy 1- b G (vn - 1, , ) a p ie gh G (vn + 1, + 1, ) £ 1- b 1- b = q , ta < Đặt a a nl w Vì a + b > 1, nên G (vn + 1, + 1, ) £ qG (vn - 1, , ) an lu Tương tự ta có d oa (2.29) va G (vn - 1, , ) £ qG (vn - 2, - 1, - 1) ll u nf Do kết hợp với (2.29) suy z at nh Bằng quy nạp, ta oi m G (vn + 1, + 1, ) £ q2G (vn - 2, - 1, - 1) G (vn + 1, + 1, ) £ qnG (v0, v1, v1) (2.30) z m co lim Run + = w, lim Sun = w l lim = w Khi ta có gm @ Theo Định lý 2.2.2, {vn } dãy Cauchy Vì (E ,G ) khơng gian đầy đủ nên an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si Trường hợp R ánh xạ liên tục Vì lim Run = lim un = w , nên lim RRun ) = R w lim RSun = R w Vì (R , S ) nửa tương thích lim Sun = w , nên lim SRun = R w Bây sử dụng (b) với u = Run , v = un + , ta có G (RRun , Run + 1, Run + 1) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + 1) + bG (RRun , SRun , SRun ) + c {G (SRun , Run + 1, Run + 1),G (SRun , Run + 1, Sun + 1)} Cho n đ Ơ , ta c lu G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w) an n va + c {G (R w, w, w),G (R w, w, w)}³ cG (R w, w, w) G (R w, w, w)(1 - c) ³ gh tn to Do p ie Vì c > nên - c £ , suy G (R w, w, w) £ Do R w = w w Bây sử dụng (b) với u = un , v = w ta có oa nl G (Run , R w, R w) ³ aG (S w, S w, S w) + bG (Run , Sun , Sun ) d + c {G (Sun , R w, R w),G (Sun , R w, S w)} va an lu Cho n đ Ơ , ta u nf G (w, w, w) ³ aG (S w, S w, w) + bG (w, w, w) ll + c {G (w, w, w),G (w, w, S w)} ³ aG (S w, S w, w) oi m ³ aG (S w, S w, w) z at nh Do z Vì a > nên G (S w, S w, w) £ , suy Sw = w Vậy Sw = R w = w @ m co lim SSun = Sw lim SRun = Sw l gm Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Run = lim Sun = w , nên Vì (R , S ) nửa tương thích lim Sun = w , nên lim RSun = Sw an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si Sử dụng (b) với u = Sun , v = un + , ta có G (RSun + 1, Run + 1, Run + ) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + ) + bG (RSun , SSun , SSun ) + { } + c G (SSun , Run + 1, Run + )G (SSun , Run + 1, Sun + ) Cho n đ Ơ , ta G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w) + c {G (S w, w, w),G (S w, w, w)}³ gG (S w, w, w) Suy (c - 1)G (S w, w, w) £ lu an Vì c - ³ nênG (S w, w, w) £ , suy Sw = w va n Tiếp tục sử dụng giả thiết (b) với u = un , v = w , ta có tn to G (R u n , R w, R w) ³ aG (S w, S w, R w) + bG (R u n , Su n , Su n ) + p ie gh + c {G (Su n , R w, R w),G (Su n , R w, S w)} nl w Cho n đ Ơ , ta nhn c G (w, R w, R w) ³ aG (w, w, R w) + bG (w, w, w) d oa + c {G (w, R w, R w),G (w, R w, w)} lu an u nf va Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có ll G (w, w, R w) ³ m oi G (w, R w, R w) , z at nh G (w, R w, R w) ³ z m co a+c - > ,nênG (w, R w, R w) £ Do R w = w http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN an Lu Vì l ỉa + c ữ G (w, R w, R w)ỗỗ - 1ữ Ê ữ ữ ỗố ứ gm @ Suy a c G (w, R w, R w) + G (w, R w, R w) 2 ac th si Tính Giả sử u điểm bất động khác R S , Ru = Su = u Sử dụng (b) với u = w, v = u Ta nhận G (R w, R u, R u ) ³ aG (Su, Su, R u ) + bG (R w, S w, S w) + + c {G (S w, R u, R u ),G (S w, R u, R u )} Suy G (w, u, u ) ³ aG (u, u, u ) + bG (w, w, w) + c {G (w, u, u ),G (w, u, u )} Do G (w, u, u ) ³ cG (w, u, u ) Điều tương đương với lu an (c - 1)G (w, u, u ) £ n va Vì c - > , nên suy G (w, u, u ) £ Do u = w tn to Vậy w điểm bất động chung R S u , u = {1 / n } n p ie gh Ví dụ 2.2.4.Cho u, v Ỵ E E = [3, 0], R u = u 2, Su = nl w G (u, v, w) = d(u, v ) + d(v, w) + d(w, u ) Ta có d oa lim R u n = lim u n = lim lu n2 u nf { = un = lim = 0, lim R un = lim Su n = 2n va an lim Sun = } ll lim R (Su n ) = lim (Su n ) oi m z at nh v ổu un ữ ỗ nữ = lim ỗỗ ữ = lim = ỗố ÷ ø { } S w = S (0) = 0, lim R (Sun ) = S w z m co l gm @ Do (R , S ) nửa tương thích an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si Lấy u = 3, v = a > 1, b = (b) a > 1, b = , c = , thỏa mãn tốt điều kiện , c = điều kiện (b) thỏa mãn điểm bất động R S Định lí 2.2.5.Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ, R , S ,T , H : E ® E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (a ) S (E ) Ì T (E ) R (E ) Ì H (E ) (b) G (Su, R v, R v ) ³ aG (T v, Hv, R v ) + bG (R u,T u,T u ) + lu + g {G (T u, R v, R v ),G (T u, Sv, Hv )} an với a , g > 1, a + b > 1, b + 2g > n va tn to (c ) S T liên tục ie gh (d ) Cặp (S ,T ) nửa tương thích p (e) T R = RT , SR = RS , T S = ST d E oa nl w Nếu S ánh xạ đồng R , S ,T & H có điểm bất động chung lu va an Chứng minh Lấy u Ỵ E tùy ý Nếu S (E ) Ì T (E ) R (E ) Ì H (E ) ll u nf tồn u1, u cho Su1 = T u0 = v0 & Ru2 = Hu1 = v1 oi m Bằng quy nạp ta định nghĩa dãy z at nh Sun + = T un = & Run + = Hun + = + z Bây sử dụng (b) với u = un , v = un + , ta có @ gm G (Su n , R u n + 1, Su n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (Su n ,T u n ,T u n ) Suy m co l + g {G (T u n , R u n + 1, R u n + 1), G (T u n , Su n + 1, Hu n + 1)} an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN ac th si G (vn - 1, , ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) + g {G (vn , , ),G (vn , , + 1)} G (vn - 1, , ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) Do G (vn - 1, , )(1 - b ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) G (vn + 1, + 1, ) £ 1- b G (vn - 1, , ) a Vì a + b > a > nên 1- b 1- b < Đặt = k a a lu an G (vn + 1, + 1, ) £ kG (vn - 1, , ), (2.31) n va Tương tự ta có gh tn to G (vn , , - 1) £ kG (vn - 2, - 1, - 1) Từ (2.31) suy p ie w G (vn + 1, + 1, ) £ k 2G (vn - 2, - 1, - 1) oa nl Bằng quy nạp ta d G (vn + 1, + 1, ) £ k nG (v0, v1, v1) , (2.32) an lu u nf va TheoĐịnh lí 2.2.2, {vn } dãy Cauchy, ll lim Sun + = w & limT un = w, lim Run + = w & lim Hun + = w m oi Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Sun = w & limT un = w nên z at nh lim SSun = Sw lim ST un = Sw z Bây sử dụng (b) với u = Sun , v = un + , ta có m co G (SSun , Run + 1, Run + 1) l gm @ Vì (S ,T ) nửa tương thích limT un = w nên limT Sun = Sw an Lu ³ aG (T un + 1, Hun + 1, Run + 1) + bG (SSun ,T Sun ,T Sun ) http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si + g {G (T Sun , Run + 1, Run + 1),G (T Sun , Sun + 1, Hun + 1)} Cho n đ Ơ ta G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w) + + g {G (S w, w, w), G (S w, w, w)} ³ gG (w, w, S w) Suy ( g - 1)G (S w, w, w) £ Vì g > nên G (S w, w, w) £ , suy Sw = w Bây sử dụng (b) với u = w & v = un + ta có lu G (S w, Run + 1, Run + ) ³ aG (T un + 1, Hun + 1, Run + ) + bG (S w,T w,T w) + an { } n va + g G (T w, R un + 1, R un + ),G (T w, Sun + 1, Hun + ) gh tn to Cho n đ Ơ ta c { } + g G (T w, w, w),G (T w, w, w) p ie G (w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (w,T w,T w) oa nl w ³ bG (z,T z ,T z ) + gG (T z , z , z ) d Theo Mệnh đề1.2.3, ta có an lu u nf va G (w,T w,T w) ³ b G (w,T w,T w) + gG (T w, w, w) ll oi m 0³ G (w, w,T w) z at nh Do z ổb ữ G (T w, w, w)ỗỗ + g ữ Ê ữ ỗố ữ ứ gm @ b + g > , suy G (T w, w, w) £ Þ T w = w m co http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN an Lu Sử dụng (b) với u = R w v = un + ta có l Vì b + 2g > nên ac th si G (SR w, R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (SR w,T R w,T R w) + g min{G (T R w, R un + 1, R u n + 1)G (T R w, Su n + 1, Hu n + 1)} Vì RS = SR TR = RT nờn cho n đ Ơ ta c G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w) + g {G (R w, w, w),G (R w, w, w)} ³ gG (R w, w, w) Do ( g - 1)G (R w, w, w) £ Vì g > nên g - > , suy G (R w, w, w) £ Þ R w = w lu Bây sử dụng (b) với u = un , v = w , ta có an va G (Su , R w, R w) ³ aG (T w, H w, R w) + bG (Su n ,T u n ,T u n ) + { } n + g G (T u n , R w, R w),G (T u n , S w, Hw) to gh tn Cho n đ Ơ ta c p ie G (w, w, w) ³ aG (w, Hw, w) + bG (w, w, w) w + g {G (w, w, w), G (w, w, Hw)} oa nl ³ aG (w, Hw, w) d Vì a > nênG (w, Hw, w) £ Þ Hw = w Vậy ta có an lu va T w = Sw = R w = Hw = w ll u nf Tức w điểm bất động chung bốn ánh xạ oi m Trường hợp T ánh xạ liên tục z at nh Vì lim Sun = w limT un = w nên z limT Sun = T w limT T un = T w @ m co Sử dụng (b) với u = un & v = un + ,ta có l gm Vì (S ,T ) nửa tương thích, lim Sun = w nên lim ST un = T w an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si G (ST u n , R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1,T u n + 1, R u n + 1) + bG (ST u n ,T T u n ,T T u n ) + g {G (T T u n , R u n + 1, R u n + 1), G (T T u n + 1, Su n + 1,T u n + 1)} Cho n đ Ơ ta c G (T w, w, w) ³ aG (w, w, w) + b (T w,T w,T w) + + g {G (T w, w, w),G (T w, w, w)} ³ gG (T w, w, w) Suy G (T w, w, w)( g - 1) £ Vì g > nên g - > , suy G (T w, w, w) £ Þ T w = w lu an Sử dụng (b) với u = Su, v = un + ta n va tn to G (S 2w, Run + 1, Run + 1) ( p ie gh ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + ) + bG S 2w,T S w,T S w ) { } + g G (T S w, R u n + 1, R u n + ),G (T S w, Su n + 1, Hu n + ) với ST = T S , S = ta d oa nl w Cho n ® ¥ G (w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (w, S w, S w) va an lu + g {G (S w, w, w),G (S w, w, w)} Theo Mệnh đề1.2.3, ta có ll u nf ³ bG (w, S w, S w) + gG (S w, w, w) m b G (w, w, S w) + gG (w, w, S w) z at nh b + 2g £ z Vì b + 2g > , nênG (w,w, S w) £ Þ Sw = w m co l gm @ G (w,w, S w) oi 0³ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si Tiếp tục sử dụng (b) với u = Ru, v = un + ta có G (SR w, R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (SR w,T R w,T R w) + g {G (T R w, R u n + 1, R u n + 1), G (T R w, Su n + 1, Hu n + 1)} Vì SR = R S , T R = R T nờn cho n đ Ơ ta G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w) + g {G (R w, w, w),G (R w, w, w)} ³ gG (R w, w, w) Suy ( g - 1)G (R w, w, w) £ Vì g > nên g - > , Do G (R w, w, wz ) £ Þ R w = w Bây sử dụng (b) với u = un , v = w ta có lu an G (Sun , R w, R w) ³ aG (T w, Hw, R w) + bG (Sun ,T un ,T un ) + va { } n + g G (T un , R w, R w),G (T un , S w, Hw) tn to Cho n đ Ơ ta c ie gh G (w, w, w) ³ aG (w, Hw, w) + bG (w, w, w) p + g {G (w, w, w),G (w, w, Hw)} nl w ³ aG (w, Hw, w) d oa Vì a > ,nên suy Hw = w Do w điểm bất động chung ánh an lu xạ R , S ,T & H u nf va Tính Giả sử u điểm bất động khác S &T Khi Ru = Su = T u = Hu = u ll oi m Sử dụng (b) với u = w, v = u ta có z at nh G (S w, R u, R u ) ³ aG (T u, Hu, Eu ) + bG (S w,T w,T w) + + g {G (T w, R u, R u ),G (T w, Su, Hu )} z gm @ G (w, u, u ) ³ aG (u, u, u ) + bG (w, w, w) + m co Do ( g - 1)G (w, u, u ) £ l + g {G (w, u,, u ),G (w, u, u )} ³ gG (w, u, u ) http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN an Lu Vì g > nên g - > , suy G (w, u, u ) £ Þ u = w ac th si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Một số khái niệm tính chất sở không gian G - metric Một số kết điểm bất động ánh xạ giãn không gian G metric Các kết trình bày Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.6, Định lí 2.1.7, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.11, Định lí 2.1.13, Định lí 2.1.14 lu Định lí 2.1.15 an Một số kết điểm bất động chung ánh xạ giãn không va n gian G - metric.Các kết trình bày Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3, p ie gh tn to Định lí 2.2.5 d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si TÀI LIỆU THAM KHẢO Agarwal R.P., Karapınar E., O’ReganD., Roldan-Lopez-de-Hierro [1] lu an n va p ie gh tn to A.F (2015), Fixed point theory in metric type spaces, ISBN 978-3319-24082-4 DOI 10.1007/978-3-319-24082-4 385 pages [2] Bakhtin A (1989), “The contraction mapping principle in quasimetric spaces”, Funct Anal Unianowsk Gos Ped Inst 30, 26–37 [3] Dhage, B.C., (1992), “Generalized metric space and mapping with fixed point”, Bull.Calcutta Math.Soc.,84:329-336 [4] Gahler, S.,(1963), “2-Metriche raume and ihre topologische structure”, Math.Nachr., 26:115-148 [5] Mustafa Z., Sims B., (2004) “Some remarks concerning D-metric spaces” Proceeding of the Inter conf on fixed point theory and applications, July 13-19, Yokohama publ, Valencia , Spain pp: 189198 [6] MustafaZ.(2005), A New Structure For Generalized Metric Spaces With Applications ToFixed Point Theory, PhD Thesis, the University of Newcastle, Australia [7] Mustafa Z., SimsB.(2006), ”A New Approach to Generalized Metric Spaces”,Journal of Nonlinear and Convex Analysis, (2) 289–297 [8] Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F (2008), Some Fixed Point Theorem for Mappingon Complete G-metric Spaces, Fixed Point Theory andapplications, , article ID189870, doi: 10.1155/2008/189870 [9] Mustafa Z., Awawdeh F., Shatanawi W (2010), “Fixed Point Theorem for Expansive Mappingsin G-Metric Spaces”, Int J Contemp Math Sciences, Vol 5, no 50, 2463 – 2472 [10] Sahu R., Sanodia P.L., Gupta A.(2015), “ Some fixed point theorems of expansion mapping in G-Metric spaces”, Inter Jour of Math and d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si Stat Inven (IJMSI) E-ISSN: 2321 – 4767 P-ISSN: 2321 - 4759 Vol Issue 5, pp12-21 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu http://lrc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN ac th si