(Luận văn) định lí điểm bất động trong không gian g metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– LÊ THỊ TRANG lu an n va ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG METRIC ĐẦY ĐỦ p ie gh tn to TRONG KHÔNG GIAN G d oa nl w va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– LÊ THỊ TRANG lu an n va ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG METRIC ĐẦY ĐỦ p ie gh tn to TRONG KHÔNG GIAN G w Ngành: TỐN GIẢI TÍCH d oa nl Mã số: 8.46.01.02 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc lu an Thái Nguyên, tháng năm 2019 n va Tác giả ie gh tn to p Lê Thị Trang d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết lu an mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học n va viên để luận văn hoàn chỉnh tn to Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi ie gh thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn p Thái Nguyên, tháng năm 2019 d oa nl w Tác giả an lu ll u nf va Lê Thị Trang oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảmơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lu Bố cục luận văn an CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHƠNG GIAN G va n 1.1 Khơng gian G METRIC Metric tn to 1.2 Một số tính chất Metric ie gh 1.3 Tôpô không gian G p 1.4 Sự hội tụ không gian G metric METRIC ĐẦY ĐỦ 13 d oa G nl w CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN an lu 2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach không gian G metric đầy đủ 14 va 2.2 Định lý điểm bất động không gian G metric 13 ll u nf KẾT LUẬN 32 oi m TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Như biết, nguyên lí điểm bất động Banach phát biểu chứng minh từ năm 1922 định lý quan trọng giải tích hàm cổ điển Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng tìm ứng dụng nhiều lĩnh vực quan trọng phương trình vi phân, vận trù học, tốn kinh tế Trong nghiên cứu sau, tổng quát khác không gian metric đưa số nhà lu tốn học Gahler [3] (khơng gian – metric) Dhage [2] (không gian D – an n va metric) Năm 2004, Mustafa Sims [6] hầu hết kết liên metric khơng xác Để sửa chữa tn to quan đến tính chất tơpơ D gh hạn chế này, họ đưa khái niệm mới, thích hợp hơn, gọi metric Đồng thời, Mustafa cộng ([7-8]) nghiên cứu số p ie G w định lí điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co khác metric Việc tổng quát hóa số kết Mustafa, oa nl không gian G d thực S.K Mohanta [4] Trong tác giả chứng minh số lu metric đầy đủ va an định lí điểm bất động không gian G metric đầy đủ” oi m động không gian G ll u nf Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Định lý điểm bất z at nh Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu z Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu @ metric đầy đủ m co gian G l gm Nghiên cứu trình bày số kết điểm bất động không Phƣơng pháp nghiên cứu an Lu Sử dụng phương pháp giải tích hàm n va ac th si Bố cục luận văn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [4] [9], gồm 40trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài tính chấtcủaG metric,tơpơ không gian G metric, hội tụ không gian G ánh xạ liên tục không gian G metric metric Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại chi tiết kết nghiên cứu S.K Mohantavề điểm bất động không gian G lu metric đầy đủ an Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G METRIC Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm G metric tập E số tính chất 1.1 Khơng gian G Metric Năm 2004, Mustafa Sims [6] đưa khái niệm khơng gian metric, đồng thời chomột số ví dụ khơng gian G metric số tính chất Tác giả không gian G metric trang G bị tôpô Hausdorff, cho phép xem xét số khái niệm tôpô dãy lu hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ an n va Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G metric cặp (E,G ) , E E, tn to hàm cho với r, s, t, a tập khác rỗng G : E ie gh điều kiện sau thỏa mãn: r s (G2 ) G(r, r, s) với r s; p (G1) G(r, s, t ) G(r, s, t ) với t s; d oa nl w an lu (G3 ) G(r, r, s) t; G(r, t, s) G(s, t, r ) (G5 ) G(r, s, t ) G(r, a, a ) G(a, s, t ) (bất đẳng thức hình chữ nhật) (đối xứng với biến); ll u nf va (G4 ) G(r, s, t ) oi m metric E z at nh Hàm G gọi G Các tính chất giải thích dễ dàng theo nghĩa không gian metric Cho (E, d ) không gian metric G : E z hàm số @ d(r, t ) Khi (E,G ) khơng gian G d(s, t ) với r, s, t m co d(r, s) l G(r, s, t ) gm xác định E metric Trong trường hợp này, G(r, s, t ) an Lu hiểu chu vi tam giác với đỉnh r, s t Ví dụ, (G1 ) có n va ac th si nghĩa với điểm ta có chu vi dương, (G2 ) tương đương với khoảng cách hai điểm khác Hơn nữa, chu vi tam giác không phụ thuộc vào thứ tự đỉnh nó, nên ta có (G4 ) Cuối cùng, (G5 ) mở rộng bất đẳng thức tam giác sử dụng đỉnh thứ tư Ví dụ 1.1.2 Mỗi tập E khác rỗng trang bị mộtG xác định với r, s, t metric rời rạc, E , 0, neáu r s t 1, trường hợp khác G(r , s, t ) metric E G : E Ví dụ 1.1.3 Nếu G G ) xác định [0, lu an n va G (r, s, t ) tn to G G(r, s, t ) với r, s, t G(r, s, t ) E metric E ie gh 1.2.Một số tính chất p Một tính chất hữu ích G Bổ đề 1.2.1.Nếu (E,G ) không gian G metric bổ đề sau G(r, s, s) 2G(s, r, r ) với r, s E d oa nl w metric lu Hệ 1.2.2.Cho {rn } {sn } hai dãy không gian G va an metric u nf (E,G ) Khi ll lim G(rn , rn , sn ) lim G(rn , sn , sn ) n oi m n r, s, t,a E , ta có tính chất sau G(r, a, a) G(s, a, a) max{G(a, t, t ),G (t,a,a )} E an Lu r1, r2, , rn m co 3) G(r, s, t ) G(r, s, a ) G(t, a, a) l 2)G(r, s, t ) gm G(r, r, t ) @ G(r, r, s) z 1)G(r, s, t ) 4) Nếu n metric Khi đó, với z at nh Bổ đề 1.2.3.Cho (E,G ) không gian G n va ac th si G(r1, rn , rn ) n G(r1, r1, rn ) n i i G(ri , ri 1,ri 1) G(ri , ri , ri 1) r 5) Nếu G(r, s, t ) 6)G(r, s, t ) G(r, a, t ) 7)G(r, s, t ) [G(r, s, a ) s t G(a, s, t ) G(r, a, t ) E \ {t, a} G(r, s, t ) 8)Nếu r 9)G(r, s, s) (1.1) G(a, s, t )] G(s, t, a) G(a, r, t ) 2G(r, s, t ) lu an Chứng minh.1) Áp dụng (G4 ) (G5 ) với a G(s, r, t ) G(s, r, r ) G(r, r, t ) n va G(r, s, t ) r , ta có tn to G(r, r, s)  G(r, r, t ) ie gh 2) Bằng cách áp dụng (G5 ) hai lần sử dụng (G4 ) , ta có p G(r, s, t ) G(a, s, t ) G(r, a, a ) G(r, a, a ) G(s, a, a ) G(a, a, t ) G(s, a, t )  oa nl w G(r, a, a ) d 3) Theo (G4 ) (G5 ) , ta có lu an G(r, s, t ) G(t, s, r ) G(a, t, t ) G(a, s, t ), G(t, s, r ) u nf va G(a, s, r ) G(t, a, a) ll Vì thế, m G(a, s, r ) oi G(r, s, t ) G(r, s, t ) G(a, t, t ) z Do đó, z at nh G(a, s, r ) G(t, a, a ) @ max{G(a, t, t ),G(t, a, a )}  , điều hiển nhiên, n cho r r1 , a r2 s t (1.1) tính chất (G5 ) m co 4) Nếu n l gm G(r, s, t ) G(r, s, a ) r3 Bằng cách quy nạp, (1.1) xảy với an Lu n va ac th si Chứng minh Theo Định lý 2.2.2, ta thấy Rm có điểm bất E Rm G động z liên tục z Vì R(Rmz ) Rz Rm 1z Rm (Rz ) nên Rz điểm bất động Rm Do tính z , nên ta có Rz z Chú ý 2.2.4.Định lý 2.2.1 mở rộng củaĐịnh lí 2.1 [10], Định lí 2.1[10] nhận cách lấy k5 Định lí 2.2.2 Định lý 2.2.5 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn lu an G(Rs, Rt, Ru) k1{G(s, Rt, Rt ) G(t, Rs, Rs )} va n k2 {G(t, Ru, Ru)) to gh tn k3 {G(u, Rs, Rs ) G(u, Rt, Rt )} G(s, Ru, Ru)} k4G(s, t, u) p ie k5 max {G(s, Rs, Rs),G(t, Rt, Rt ),G(u, Ru, Ru)} (2.6) E , k1, k2, k3, k4, k5 với 2k1 w với s, t, u oa nl Khi R có điểm bất động z d Chứng minh Lấy s0 2k2 2k3 E R G 2k4 E tùy ý xác định dãy {sn } sn với n Khi theo (2.6), ta có u nf k1{G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn , sn , sn )} ll G(sn , sn 1, sn 1) va Rn (s0 ) Giả sử an sn liên tục z lu sn 2k5 m oi k2 {G(sn , sn 1, sn 1) G(sn , sn 1, sn 1)} z at nh k3 {G(sn , sn , sn ) G(sn 1, sn 1, sn 1)} k4G(sn 1, sn , sn ) z gm @ k5 max{G(sn 1, sn , sn ),G(sn , sn 1, sn 1),G(sn , sn 1, sn 1)} 2k2G(sn , sn 1, sn 1) m co l k1{G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} k3 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} an Lu k5 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} k4G(sn 1, sn , sn ) n va ac th 19 si Suy k1 k3 k4 k5 G(sn 1, sn , sn ) k1 2k2 k3 k5 G(sn , sn 1, sn ) k1 k3 k4 k5 , k1 2k2 k3 k5 Đặt 2k1 2k2 2k3 2k4 2k5 Áp dụng liên tiếp (2.7), tađược n G(sn , sn 1, sn 1) Khi đó, với m, n (2.7) N,n G(s0, s1, s1) (2.8) m , cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ nhật (2.8), ta có lu an G(sn , sm , sm ) G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn ) va n G(sn 2, sn 3, sn ) G(sm 1, sm , sm ) tn to n ie gh ( n )G(so, s1, s1) p n G(s0, s1, s1 ) nl w oa n lim d Khi lim G(sn , sm , sm ) n ,m G (s0 , s1, s1 ) an lu n ,m N theo (G5 ) ta có u nf va Với n, m, l m G(sn , sm , sm ) G(sl , sm , sm ), ll G(sn , sm , sl ) m , ta nhận đượcG(sn , sm , sl ) Do đó, {sn } dãy oi lấy giới hạn n, m, l z at nh G Cauchy Vì (E,G ) không gian đầy đủ nên tồn z G hội tụ đến z Giả sử Rz z , ta có G(z, sn , sn )} gm G(z, Rz, Rz )} k3 {G(z, sn , sn ),G(sn 1, Rz, Rz )} m co l k2 {G(z, Rz, Rz ) @ k1{G(sn 1, Rz, Rz ) z G(sn , Rz, Rz ) E cho {sn } k4G(sn 1, z, z ) an Lu k5 max {G(sn 1, sn , sn ),G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, Rz )} n va ac th 20 si Lấy giới hạn n sử dụng tính chất hàm G liên tục theo tất biến nó, ta có G(z, Rz, Rz ) (k1 2k2 k1 điều mâu thuẫn 2k2 k3 k3 k5 )G(z, Rz, Rz ), k5 Vậy z Đối với tính z , ta giả sử tồn w Rz z cho Rw w , theo (2.6) ta có G(z, w, w) G(Rz, Rw, Rw) k1{G(z, w, w) lu k3 {G(w, z, z ) G(w, z, z )} 2k2G(w, w, w) G(z, w, w)} k4G(z, w, w,) an k5 max {G(z, z, z ),G(w, w, w),G(w, w, w)} va n (k1 G(w, z, z )} k4G(z, w, w) tn to k3 ){G(z, w, w) Suy ie gh p G(z, w, w) k1 k3 G(z, w, w) k1 k3 k4 w k1 k3 G(w, z, z ) k1 k3 k4 d oa nl Tương tự ta có va an lu G(w, z, z ) u nf Do ll liên tục z , ta lấy {tn } gm hội tụ đến z Ta có k1{G(tn , Rz, Rz ) G(z, Rtn , Rtn )} G(z, Rz, Rz )} an Lu k2 {G(z, Rz, Rz ) m co G(Rtn , Rz, Rz ) E tùy ý cho {tn } l G @ Để chứng minh R G k1 k3 k1 k3 k4 z z at nh w , oi Suy z m G(z, w, w) k1 k3 G(z, w, w) k1 k3 k4 n va ac th 21 si k3 {G(z, Rtn , Rtn ) G(tn , Rz, Rz )} k4G(tn , z, z ) k5 max {G(tn , Rtn , Rtn ),G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, Rz )} Do G(Rtn , z, z ) k1{G(tn , z, z ) k3 {2G(Rtn , z, z ) k5 {G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z )} G(tn , z, z )} 2k2G(z, z, z ) k4G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z )} Từ suy k1 k3 k4 2k1 2k3 G(Rtn , z, z ) lu an Lấy giới hạn n , ta G(Rtn , z, z ) va hội tụ đến z n {Rtn } G k5 G(tn , z, z ) 2k5 Theo Mệnh đề 1.4.5,dãy Rz Do theo Mệnh đề 1.4.10, R G liên tục tn to z ie gh Nhận xét Định lý 2.2.5 mở rộng Định lí 2.9 [10], Định lí 2.9 thu cách lấy k2 p k3 k4 Định lí 2.2.5 k5 nl w Áp dụng Định lý 2.2.5, ta có kết sau Hệ 2.2.6 Cho (E,G ) không gian G E d oa metric đầy đủ R : E k1{G(s, Rmt, Rmt ) G(t, Rms, Rms)} u nf va G(Rms, Rmt, Rmu) an lu ánh xạ thỏa mãn: G(u, Rmt, Rmt )} k3 {G(u, Rms, Rms) G(s, Rmu, Rmu)} ll k2 {G(t, Rmu, Rmu) oi m z at nh k4G(s, t, u) k5 max G(s, Rms, Rms ),G(t, Rmt, Rmt ),G(u, Rmu, Rmu) k4 2k5 Khi R có điểm cố định z E m co l Rm G 2k3 thỏa mãn gm 2k2 E , k1, k2, k3, k4, k5 @ 2k1 N s, t, u z với m liên tục z an Lu n va ac th 22 si Hệ 2.2.7 Cho E không gian G cho ánh xạ R : E G [0,1) E thỏa mãn G(Rs, Rt, Ru) với s, t, u metric đầy đủ Giả sử E Khi G(s, t, u) , R có điểm bất động z E R liên tục z Định lý 2.2.8 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau G(Rs, Rt, Ru) lu G (s, Rs, Rs ),G (t, Rt, Rt ),G (u, Ru, Ru ),G (s, Rt, Rt ), G (t, Ru, Ru ),G (u, Rs, Rs ),G (s, Ru, Ru ),G (t, Rs, Rs ), (2.9) max G (u, Rt, Rt ),G (s, Rt, Ru ),G (t, Ru, Ru ),G (u, Rs, Rt ), G (s, t, Ru ) ,G (t, u, Rs ) ,G (u, s, Rt ) ,G (s, t, u ) an n va gh tn to E w E tùy ý dãy {sn } xác định sn với n Khi theo (2.9), ta có an lu sn Rn (s0 ) Giả sử d oa nl Chứng minh Lấy s0 sn / Khi R có điểm bất động liên tục z E R G z p ie với s, t, u , sn , sn ),G (sn , sn 1, sn ),G (sn , sn 1, sn ), , s , s ),G (sn , sn 1, sn ),G (sn , sn , sn ), n n , s , s ),G (sn , sn , sn ),G (sn , sn 1, sn ), n n , s , s ),G (sn , sn 1, sn ),G (sn , sn , sn ), n n , s , s ),G (sn , sn , sn ),G (sn , sn 1, sn ), n n ,s ,s ) n n ll u nf va G (sn G (sn G (sn max G (sn G (sn G (sn oi m z at nh G (sn , sn 1, sn ) z gm @ Do l max G(sn 1, sn , sn ),G(sn 1, sn 1, sn 1), (2.10) G(sn , sn , sn ),G(sn 1, sn , sn 1) m co G(sn , sn 1, sn ) an Lu n va ac th 23 si Nhưng theo (G5 ) , ta có G(sn 1, sn , sn 1) G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn , sn 1) G(sn 1, sn , sn ) 2G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1) Vì vậy, (2.10) trở thành G(sn , sn 1, sn 1) {G(sn 1, sn , sn ) 2G(sn , sn 1, sn 1)} suy ra, lu an G(sn 1, sn , sn ) n va G(sn , sn 1, sn ) gh tn to Đặt k , k Áp dụng (2.11) liên tiếp, ta có k nG(s0, s1, s1) p ie G(sn , sn 1, sn 1) (2.12) m , cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức N, n nl w Khi với n, m (2.11) d oa hình chữ nhật (2.12) ta có G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn ) va an lu G(sn , sm , sm ) u nf G(sn 2, sn 3, sn ) G(sm 1, sm , sm ) ll (k n k m 1)G(s0, s1, s1) oi m k z at nh kn kn G(s0, s1, s1 ) kn z k N , theo (G5 ) ta có G(sn , sm , sm ) G(sl , sm , sm ) , ta nhận G(sn , sm , sl ) an Lu Lấy giới hạn n, m, l m co G(sn , sm , sl ) G(s0, s1, s1 ) l Với n, m, l n ,m gm n ,m , lim @ Khi đó, lim G(sn , sm , sm ) Vậy {sn } n va ac th 24 si Cauchy không gian đầy đủ (E,G ) nênG dãyG Giả sử Rz hội tụ đến z E z , G (sn , Rz, Rz ) G (sn 1, sn , sn ),G (z, Rz , Rz ),G (z, Rz , Rz ),G (sn 1, Rz , Rz ), max G (z, Rz, Rz ),G (z, sn , sn ),G (sn 1, Rz , Rz ),G (z, sn , sn ), G (z, Rz, Rz ),G (sn 1, Rz, Rz ),G (z, Rz, sn ),G (z, sn , Rz ), G (sn 1, z, Rz ),G (z, z, sn ),G (z, sn 1, Rz ),G (sn 1, z, z ) Lấy giới hạn n sử dụng tính liên tục hàm G theo tất biến nó, ta có lu G(z, Rz, Rz ) max{G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, z )} an max{G(z, Rz, Rz ),2G(z, Rz, Rz )} va n G(z, Rz, Rz ) tn to Vì vậy, z Rz p ie gh Điều mâu thuẫn z cho Rw Đối với tính u , giả sử tồn w w Khi oa nl w (2.10) trở thành d G(z, w, w) G(Rz, Rw, Rw) max{G(z, w, w),G(w, z, z )} lu G(z, w, w) ll Tương tự ta có kG(w, z, z ) u nf va an Suy m G(z, w, w) oi G(w, z, z ) z at nh Do hội tụ đến z Khi an Lu đó, ta có EG m co liên tục z , ta lấy {tn } l Để chứng minh R G gm w , @ suy z G(z, w, w) z G(z, w, w) n va ac th 25 si G (Rtn , Rz, Rtn ) G (tn , Rtn , Rtn ), G (z, z, z ), G (z, z, z ), G (tn , z, z ), max G (z, z, z ),G (z, Rtn , Rtn ),G (tn , z, z ),G (z, Rtn , Rtn ), G (z, z, z ), G (tn , z, z ), G (z, z, Rtn ), G (z, Rtn , z ), G (tn , z, z ), G (z, z, Rtn ), G (z, tn , z ), G (tn , z, z ) Do G(Rtn , z, z ) max {G(t, Rtn , Rtn ),G(z, Rtn , Rtn ),G(tn , z, z )} Theo (G5 ) ta có G(tn , Rtn , Rtn ) G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn ) {G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn )} lu Do an n va G(Rtn , z, z ) gh tn to Suy p ie G(Rtn , z, z ) Cho n , theo Mệnh đề 1.4.5, dãy {Rtn } hội tụ đến z oa G nl w , ta G(Rtn , z, z ) G(tn , z, z ) liên tục z Rz Từ theo Mệnh đề 1.4.10, R G d Áp dụng Định lý 2.2.8, ta có kết sau an lu va Hệ 2.2.9 Cho (E,G ) không gian G E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với m N: ll u nf R:E metric đầy đủ, oi m G (Rms, Rmt, Rmu ) max z at nh G (s, Rms, Rms ),G (t, Rmt, Rmt ),G (u, R mu, R mu ),G (s, R mt, R mt ), G (t, Rmu, Rmu ),G (u, Rms, R ms ),G (s, R mu, R mu ),G (t, R ms, R ms ), z G (u, Rmt, Rmt ),G (s, Rmt, Rmu ),G (t, R mu, R ms ),G (u, R ms, R mt ), liên tục z an Lu Rm G / Khi R có điểm bất động m co E , G (s, t, u ) l z E , , G (t, u, Rms ) , G (u, s, Rmt ) gm với s, t, u @ G (s, t, Rmu ) n va ac th 26 si Chứng minh Chứng minh dựa theoĐịnh lý 2.2.8 sử dụng lập luận tương tự Hệ 2.2.3 Định lý 2.2.10 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau G (Rs, Rt, Ru ) G (s, Rt, Rt ) G (t, Rs, Rs ) G (u, Ru, Ru ), (2.13) max G (t, Ru, Ru ) G (u, Rt, Rt ) G (s, Rs, Rs ), G (u, Rs, Rs ) G (s, Ru, Ru ) G (t, Rt, Rt ) với s, t, u lu an z E Rm G liên tục z va E tùy ý dãy {sn } xác định sn n Chứng minh Lấy s0 sn Rn (so ) Giả sử với n Khi theo (2.13), ta có G (sn , sn 1, sn ) p ie gh tn to sn Khi R có điểm bất động E d oa nl w G (sn 1, sn 1, sn ) G (sn , sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1), (2.14) max G (sn , sn 1, sn ) G (sn , sn 1, sn ) G(sn 1, sn , sn ), G (sn , sn , sn ) G (sn 1, sn 1, sn ) G(sn , sn 1, sn 1) va an lu Theo (G ), ta có G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1) ll u nf G(sn 1, sn 1, sn 1) {G(sn 1, sn , sn ) z at nh G(sn , sn 1, sn 1) oi m Do đó, (2.14) trở thành suy 2G(sn , sn 1, sn 1)} z (2.15) áp dụng liên tiếp (2.15), ta m co G(sn 1, sn , sn ) l , k gm Đặt k @ G(sn , sn 1, sn ) k nG(so , s1, s1) (2.16) an Lu G(sn , sn 1, sn 1) n va ac th 27 si Khi với n, m m , áp dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ N, n nhật (2.16) ta nhận G(sn , sm , sm ) G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn ) G(sn 2, sn 3, sn ) G(sm 1, sm , sm ) (k n kn kn k Khi đó, lim G(sn , sm , sm ) k m 1)G(s0, s1, s1) G(s0, s1, s1 ) kn , lim lu n ,m n ,m an k G(s0, s1, s1 ) N , từ (G5 ) suy n va Với n, m, l tn to G(sn , sm , sl ) G(sn , sm , sm ) G(sl , sm , sm ) , Vì vậy, {sn } dãyG gh suy lim G(sn , sm , sl ) n ,m ,l ie hội tụ đến z p gian đầy đủ (E,G ) , nên G Cauchy không E Giả sử Rz z , ta có oa nl w G (sn , Rz, Rz ) d G (sn 1, Rz, Rz ) G (z, sn , sn ) G (z , Rz , Rz ), max G (z, Rz, Rz ) G (z , Rz , Rz ) G (sn 1, sn , sn ), G (z, sn , sn ) G (sn 1, Rz, Rz ) G (z , Rz , Rz ) u nf va an lu Lấy giới hạn n hàm G liên tục theo biến nó, ta có ll oi m G(z, Rz, Rz ) Do đó, z z at nh điều mâu thuẫn G(z, Rz, Rz ) Rz z cho Rw z Để chứng minh tính z , ta giả sử tồn w @ l gm w, m co G (z, w, w) G (z, w, w) G(w, z, z ) G(w, w, w), max G(w, w, w) G(w, w, w) G(z, z, z ), G (z, w, w) an Lu G (w, z, z ) G(w, w, w) n va ac th 28 si Do G(z, w, w) {G(z, w, w) G(w, z, z )} Suy G(z, w, w) G(w, z, z ) Lập luận tương tự ta có G(w, z, z ) G(z, w, w) Do đó, ta suy lu G(z, w, w) an va n Suy z G(z, w, w) 1 w , tn to liên tục z , ta lấy {tn } E dãy G hội ie gh Để chứng minh R G p tụ đến z Khi ta có nl w G (Rtn , Rz, Rz ) d oa G (tn , Rz, Rz ) G (z, Rtn , Rtn ) G (z, Rz , Rz ),  max G (z, Rz, Rz ) G (z, Rz , Rz ) G (tn , Rtn , Rtn ), G (z, Rtn , Rtn ) G (tn , Rz, Rz ) G (z, Rz , Rz ) va an lu ll u nf suy max {G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn ),G(tn , Rtn , Rtn )} (2.17) oi m G(Rtn , z, z ) G(tn , Rtn , Rtn ) z at nh Theo (G5 ) ta có G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn ) z {G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z ) an Lu G(z, Rtn , Rtn ) (2.18) m co Lại theo (G5 ) ta có G(z, Rtn , Rtn )} l G(Rtn , z, z ) gm @ Do đó, (2.17) trở thành n va ac th 29 si Do (2.18) trở thành G(Rtn , z, z ) {G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z ) Suy G(Rtn , z, z ) Cho n , ta G(Rtn , z, z ) hội tụ đến z G(tn , z, z ) Theo Mệnh đề1.4.5, dãy {Rtn } G Rz Theo Mệnh đề1.4.10, R G liên tục z Hệ 2.2.11 Cho (E,G ) không gian G E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với m R:E metric đầy đủ, N: lu G (Rms, Rmt, Rmu ) an n va G (s, Rmt, Rmt ) G (t, Rms, Rms ) G (u, R mu, R mu ), max G (t, Rmu, Rmu ) G (u, Rmt, Rmt ) G (s, R ms, R ms ), G (u, Rms, Rms ) G (s, Rmu, Rmu ) G (t, R mt, R mt ) gh tn to E p ie với s, t, u m E R G liên tục z nl w z / Khi R có điểm bất động d oa Chứng minh Chứng minh suy từ Định lý 2.2.10 sử dụng lập luận an lu tương tự Hệ 2.2.3 metric đầy đủ, E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: oi m G (Rs, Rt, Ru ) ll u nf R:E va Định lý 2.2.12 Cho (E,G ) không gian G z at nh G (s, Rt, Rt ) G (t, Rs, Rs ) G (u, Rs, Rt ), max G (t, Ru, Ru ) G (u, Rt, Rt ) G (s, Rt, Ru ), G (u, Rs, Rs G (s, Ru, Ru ) G (t, Ru, Ru z l E R G / Khi R có điểm bất động gm z E @ với s, t, u liên tục z m co Chứng minh Phép chứng minh suy từ lập luận tương tự sử dụng an Lu Định lý 2.2.10 n va ac th 30 si Định lý 2.2.13 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ, E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: R:E G (Rs, Rt, Ru ) G (s, Rt, Rt ) G (t, Rs, Rs ) G (s, t, Ru ), max G (t, Ru, Ru ) G (u, Rt, Rt ) G (t, u, Rs ), G (u, Rs, Rs ) G (s, Ru, Ru ) G (u, s, Rt ) với s, t, u z E / Khi R có điểm bất động liên tục z E R G Chứng minh.Tương tự với lập luận chứng minh Định lý 2.2.10 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 31 si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - tổng quan hệ thống vài tính chất G khơng gian G metric, hội tụ không gian G tục không gian G metric, tôpô metric ánh xạ liên metric - số kết điểm bất động không gian G metric đầy đủ Các kết trình bày Định lí 2.2.2, Hệ 2.2.3, Định lí 2.2.5, Hệ 2.2.6, Hệ 2.2.7, Định lí 2.2.8, Hệ 2.2.9, Định lí 2.2.10, Định lí 2.2.12 Định lí 2.2.13 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 32 si TÀI LIỆU THAM KHẢO AgarwalR.P., KarapınarE., O’ReganD., Roldan-Lopez-de-HierroA.F [1] (2015), Fixed point theory in metric type spaces, ISBN 978-3-31924082-4 DOI 10.1007/978-3-319-24082-4 385 pages DhageB.C (1992), ”Generalised metric spaces and mappings with fixed [2] point,”Bulletin of the Calcutta Math Soc, vol.84, no 4, pp 329-336 GahlerS.(1963), 2-metrische Răaume und ihre topologische Struktur, [3] Mathematische Nachrichten, vol.26, pp 115-148 MohantaS.K (2012), “Some fixed point theorems in G-metric spaces”, [4] lu an An S¸t Univ Ovidius Constan¸ta Vol 20(1), 285–306 Mohanta S.K., BaisnabA.P (2005), ”A class of Ciric operatorsand their n va [5] tn to fixed points,” Bulletin of the Allahabad Math Soc,vol 20, pp 79-88 Mustafa Z., Sims B (2004), ”Some remarks concerning D-metric spaces,” in Proceedings of the International Conference on Fixed Point p ie gh [6] Theory and Applications, pp 189-198, Valencia, Spain w Mustafa Z., Sims B (2006), ”A new approach to generalized metric oa nl [7] d spaces,”Journal of Nonlinear and convex Analysis, vol 7, no 2, pp va an Mustafa Z., Sims B (2009), ”Fixed point theorems for contractive u nf [8] lu 289-297 ll mappingsin complete G-metric spaces,” Fixed Point Theory and m oi Applications, vol.2009, Article ID 917175, 10 pages z at nh [9] Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F (2008), ”Some fixed point theorem z formapping on complete G-metric spaces,” Fixed Point Theoryand @ gm Applications, vol 2008, Article ID 189870, 12 pages l [10] Mustafa Z., Awawdeh F., Shatanawi W (2010), ”Fixed point theorem an Lu Sciences, vol 5, no 50, pp 2463-2472 m co for expansive mappings in G-metric spaces,” Int J Contemp Math n va ac th 33 si