ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ THANH NGA lu an n va p ie gh tn to MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên z m co l gm @ TS Li ZhenYang an Lu n va THÁI NGUN - 2019 ac th si ii Líi c£m ìn Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án TS Trữỡng Minh Tuyản, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa lu an ToĂn Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp va ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng n NhƠn dp ny, tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi nhỳng ngữới thƠn tn to gia ẳnh, bÔn b v ỗng nghiằp  ởng viản, khẵch lằ, tÔo iÃu kiằn giúp p ie gh ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v nghi¶n cùu d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mưc lưc lu Líi c£m ìn Mët sè kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Chữỡng Kián thùc chu©n bà an n va p ie gh tn to 1.1 Khổng gian Banach p-lỗi ii iv 3 1.1.1 Khổng gian Banach phÊn xÔ 1.1.2 Sü hëi tư y¸u khæng gian Banach 1.1.3 Hm lỗi v mởt số tẵnh chĐt 1.1.4 Khæng gian Banach nl w ·u v khỉng gian Banach trìn ·u Khỉng gian Banach trìn ·u 11 oa 1.1.5 p-lỗi Ãu nh xÔ ối ngău 13 1.3 Kho£ng c¡ch Bregman v ph²p chi¸u Bregman 16 1.3.1 Kho£ng c¡ch Bregman 16 1.3.2 Ph²p chi¸u Bregman 17 1.4 B i to¡n ch§p nhªn t¡ch 21 1.5 B i to¡n iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi 24 d 1.2 oi lm ul nf va an lu z at nh z Chữỡng Mởt nh lỵ hởi tử mÔnh giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi to¡n iºm b§t ëng khỉng gian Banach 26 @ PhĂt biu bi toĂn 2.2 Phữỡng phĂp chiáu lai ghp 27 2.3 V½ dư minh håa 35 m co l 26 40 41 an Lu n va Kát luên Ti li»u tham kh£o gm 2.1 ac th si iv Mởt số kỵ hiằu v vi¸t tt lu an n va khỉng gian Banach E∗ khổng gian ối ngău cừa R têp hủp cĂc số thỹc php giao inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt tªp hđp sè p ie gh tn to E E M số nhọ nhĐt têp hủp số argminxX F (x) tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m ∅ tªp réng M F tr¶n X d oa nl w M vỵi måi an lu ∀x mi·n húu hi»u cừa toĂn tỷ va dom(A) A toĂn tỷ ỗng nhĐt ul nf I x Lp (Ω) oi lm khæng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc lp p trản khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc p z at nh giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và Jp Ănh xÔ ối ngău E () mổ un lỗi cừa khỉng gian Banach ρE (τ ) mỉ un trìn cõa khæng gian Banach lim sup xn n→∞ z x0 l gm x0 m co E an Lu F (T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T n ho°c E va F ix(T ) @ n→∞ Ω ac th si v intM phƯn cừa têp hủp err sai số cho trữợc PC php mảtric lản f M C projC php chiáu Bregman lản iC hm ch cừa têp lỗi C C lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u Cho H1 v C v H2 , Q l cĂc têp lỗi, õng v kh¡c réng cõa c¡c khỉng gian Hilbert t÷ìng ùng Cho T : H1 −→ H2 l mët to¡n tû tuy¸n tẵnh b chn Bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) cõ dÔng nhữ sau: lu Tẳm mởt phƯn tỷ x C cho T x∗ ∈ Q (0.1) an n va DÔng tờng quĂt cừa Bi toĂn (0.1) l bi to¡n (0.2), b i to¡n n y ÷đc ph¡t âng cõa H1 gh tn to biºu nh÷ sau: Cho v H2 Ci , i = 1, 2, , N v Qj , j = 1, 2, , M l c¡c tªp lỗi v tữỡng ựng (M x S = ∩N j=1 Qj ) 6= ∅ i=1 Ci ∩ T p ie Tẳm mởt phƯn tỷ (0.2) nl w Mổ hẳnh bi toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thi»u v nghi¶n cùu bði Y oa Censor v T Elfving [6] cho mổ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc Bi to¡n n y âng vai d trá quan trång khæi phửc hẳnh Ênh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ lu an tr iÃu tr bằnh ung thữ, khỉi phưc t½n hi»u (xem [3], [4]) hay câ thº Ăp C = F (PC )têp im bĐt ởng cừa php chiáu mảtric tứ H1 lản ul nf Ta biát rơng va dửng cho viằc giÊi cĂc bi toĂn cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi oi lm C Do õ, bi toĂn chĐp nhên tĂch (0.1) l mët tr÷íng hđp °c bi»t cõa b i to¡n iºm bĐt ởng tĂch DÔng tờng quĂt cừa bi toĂn im b§t ëng chung t¡ch j = 1, 2, , M z at nh ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H1 v H2 , v Sj : H2 −→ H2 , t÷ìng ùng z −1 x∗ ∈ S = ∩N ∩M ∅ i=1 F ix(Ti ) ∩ T j=1 F ix(Sj ) = @ Tẳm phƯn tỷ (0.3) gm l Cho ¸n B i to¡n (0.3) khỉng gian Banach ¢ v ang l chõ · m co thu hút nhiÃu ngữới lm toĂn v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu GƯn Ơy,  cõ mởt số tĂc giÊ Ã cêp án viằc nghiản cựu tẳm cĂc phữỡng phĂp lp an Lu mợi tẳm mởt nghiằm chung cừa B i to¡n (0.1) hay (0.3) v c¡c lỵp b i to¡n va khĂc (bi toĂn cƠn bơng, bi toĂn im bĐt ởng, bĐt ng thực bián phƠn ) n Mửc ẵch cừa luên vôn ny l trẳnh by lÔi cĂc kát qu£ cõa Tuyen T.M v Ha ac th si N.S ti liằu [17] phữỡng phĂp chiáu lai ghp t¼m mët nghi»m chung cõa B i to¡n (0.2) v b i toĂn im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi khổng gian Banach Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à và khổng gian Banach phÊn xÔ, khổng gian p-lỗi Ãu, trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău; khoÊng cĂch Bregman, php chiáu Bregman; bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn tẳm im bĐt ởng cừa toĂn tỷ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi lu Chữỡng Mởt nh lỵ hởi tử mÔnh giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn iºm b§t ëng khỉng gian Banach an n va qu£ cõa Tuyen T.M v Ha N.S t i li»u [17] và phữỡng phĂp chiáu lai ghp gh tn to Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát cĂc kát tẳm mởt nghiằm chung cừa bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn im bĐt ởng ie p cừa toĂn tỷ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi khổng gian Banach p-lỗi Ãu d oa nl w v trìn ·u oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b lu an n va Chữỡng ny bao gỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by và mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn và Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Mửc 1.3 à cêp án c¡c kh¡i ni»m ph²p chi¸u gh tn to cõa khỉng gian phÊn xÔ, khổng gian Banach lỗi Ãu, trỡn Ãu Mửc 1.2 giợi thiằu mảtric v php chiáu tờng quĂt vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng Mưc ie p 1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u khæng gian Banach, to¡n tû gi£i têng quĂt v toĂn tỷ giÊi mảtric Nởi dung cừa chữỡng n y ÷đc tham kh£o c¡c w d oa nl ti liằu [2, 11, 12] Khổng gian Banach p-lỗi Ãu v khỉng gian Banach trìn ·u va an lu 1.1 oi lm ul nf 1.1.1 Khổng gian Banach phÊn xÔ X Cho l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v X∗ l khỉng gian èi k½ hi»u k.k º ch chuân trản X xX ữủc kỵ hiằu l xE cho E ữủc gồi l phÊn xÔ náu vợi måi hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i, x∗ ∈ E ∗ hay Lp (Ω), vỵi < p < , l cĂc khổng gian phÊn xÔ (xem [2]) n lp Mồi khổng gian tuyán tẵnh nh chuân hỳu hÔn chiÃu, cĂc khổng va Vẵ dử 1.1.2 gian an Lu vợi mồi m co l tỗn tÔi Khæng gian Banach gm x∗∗ ∈ E ∗∗ , hx, x∗ i @ ành ngh¾a 1.1.1 X ∗ ; gi¡ tr cừa phiám hm tuyán tẵnh x X z tÔi im v z at nh ngău cừa nõ º cho ìn gi£n v thuªn ti»n hìn, chóng tỉi thống nhĐt sỷ dửng ac th si Chú ỵ 1.1.3 CĂc tẵnh chĐt dữợi Ơy và khổng gian Banach phÊn xÔ cõ th tẳm thĐy ti liằu tham khÊo [2] i) Náu khổng gian Banach Y, thẳ X X ỗng phổi tuyán tẵnh vợi khổng gian phÊn xÔ cụng l khổng gian phÊn xÔ ii) Mồi khổng gian õng cừa khổng gian phÊn xÔ l khổng gian phÊn xÔ; iii) Khổng gian Banach E l phÊn xÔ v ch¿ khỉng gian li¶n hđp E∗ cõa nâ l khổng gian phÊn xÔ lu 1.1.2 Sỹ hởi tử yáu khổng gian Banach nh nghắa 1.1.4 {xn} an va n DÂy khổng gian tuyán tẵnh nh chuân tn to x∈E gåi l hëi tư y¸u v· mët phƯn tỷ xn * x, ữủc náu gh lim hxn , x∗ i = hx, x∗ i, p ie n→∞ x∗ ∈ X ∗ vỵi måi {xn } Náu dÂy hởi tử yáu và x d l2 , oa {xn } nl w Nhªn x²t 1.1.5 hëi tư mÔnh và dÂy {en } tực l kxn xk 0, thẳ dÂy xĂc nh bi en = (0, , 0, tr½ thù n , 0, ), nf va n ≥ 1, hởi tử yáu và khổng (xem [2]), khổng hởi tử mÔnh và khổng vợi mồi n 1) oi lm ken k = ul vỵi måi x, Tuy nhiản, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Chng hÔn, xt an lu khổng gian Hilbert (vẳ v ữủc kỵ hiằu l E z at nh M»nh · 1.1.6 Cho E l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, dÂy {xn} E hëi tư y¸u v· x ∈ E Khi õ, dÂy {xn } b chn vợi mồi xt dÂy phi¸m h m x∗ ∈ E ∗ {Hxn } ⊂ E ∗∗ Khi â, vỵi méi gm hx∗ , Hxn i = hxn , x∗ i n ≥ 1, @ Vỵi méi z Chùng minh x∗ ∈ E ∗ , x¡c ành bði ta câ m co l hx∗ , Hxn i = hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do â, theo h» qu£ cõa nguy¶n lỵ giợi nởi Ãu Banach-Stenhaux , ta cõ n Cho n an Lu sup kxn k = sup kHxn k < ∞ n va X l khæng gian Banach, Y l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v {An } L(X, Y ) Náu vợi mội x X , d¢y {An x} hëi tư Y , th¼ supn kAn k < ∞ ac th si M»nh · ÷đc chùng minh M»nh · 1.1.7 Cho E l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, A E l mởt têp compact tữỡng ối v {xn } ⊂ A thäa m¢n xn * x Khi â, xn → x Chùng minh Gi£ sû xn x, õ tỗn tÔi >0 v mởt dÂy {xnk } ⊂ {xn } cho kxnk − xk ≥ ε, vợi mồi lu an Vẳ (1.1) k {xnk } ⊂ A n va cho â y = x A l têp compact tữỡng ối, nản tỗn tÔi dÂy xnkl y Vẳ sỹ hởi tử mÔnh ko theo hởi tử yáu nản Trong bĐt ¯ng thùc (1.1), thay tn to {xnk } v xnk bði xnkl {xnkl } ⊂ xnkl * y v ta ữủc ie gh kxnkl yk , p mƠu thuăn vợi xnkl * y xn x Vêy nl w oa Trong luên vôn ny, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa d khổng gian Banach phÊn xÔ an lu (xem [2] trang 41) va M»nh · 1.1.8 Cho E l mët khæng gian Banach Khi â, Måi d¢y bà ch°n E , Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu z at nh ii) E l khổng gian phÊn xÔ oi lm i) ul nf c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ữỡng: Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu khổng z gian tuyán tẵnh nh chuân @ gm Mằnh à 1.1.9 Náu C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cõa khæng gian khæng Chùng minh xn * x, ng°t x v C, Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng Gi£ sỷ tỗn tÔi dÂy x / C tực l tỗn tÔi Theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi >0 cho x X tĂch n va hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, {xn } ⊂ C an Lu cho m co l gian tuyán tẵnh nh chuân X , thẳ C l têp õng yáu ac th si 20 + hz − P iC x, Jp (ΠC x)i + hz − ΠC x, Jp (ΠC x) − Jp (x)i ≥ ⇔ (kzkp − kΠC xkp ) − hz, Jp (x)i + hΠC x, Jp (x)i ≥ p 1 ⇔ (kzkp − kxkp ) − hz − x, Jp (x)i ≥ (kΠC xkp − kxkp ) − hΠC x − x, Jp (x)i p p ⇔Df (z, x) ≥ Df (ΠC x, x) Suy ΠC x l hẳnh chiáu Bregman cừa Ngữủc lÔi, giÊ sỷ C x lu Df (ΠC x, x) ≤ Df (z, x) an va t ∈ (0, 1) måi l¶n C l hẳnh chiáu Bregman cừa vợi mồi zt = tz + (1 − t)ΠC x ∈ C x z ∈ C vợi mồi Vẳ t (0, 1) C x lản l têp lỗi v Do õ C Khi õ, ta câ z, ΠC x ∈ C , Df (ΠC x, x) Df (zt , x) nản vợi iÃu ny tữỡng ữỡng vợi n p ie gh tn to 1 (kΠC xkp − kxkp ) − hΠC x − x, Jp (x)i ≤ (kzt kp − kxkp ) − hz − x, Jp (x)i p p ⇔ (kΠC xkp − kzt kp ) + thz − ΠC x, Jp (x)i ≤ p Df (ΠC x, zt ) ≥ v t > 0, n¶n ta câ d oa V¼ nl w ⇔Df (ΠC x, zt ) + thz − ΠC x, Jp (x) − Jp (zt )i ta nhên ữủc oi lm ul nf t → 0+ va an lu Cho hz − ΠC x, Jp (x) − Jp (zt )i ≤ hz − ΠC x, Jp (x) − Jp (ΠC x)i ≤ z Chú ỵ 1.3.5 z at nh Mằnh à ÷đc chùng minh @ i) Tø °c tr÷ng cõa ph²p chi¸u Bregman, ta câ gm ∆p (ΠC x, z) ≤ ∆p (x, z) − ∆p (x, ΠC x), ∀z ∈ C ii) N¸u E l mët khỉng gian Hilbert, f kxk2 , trũng vợi php chiáu mảtric thẳ php chiáu Bregman an Lu tữỡng ựng vợi hm f (x) = m co l (1.15) n va ac th si 21 1.4 Bi toĂn chĐp nhên tĂch Cho v F, C v Q l cĂc têp lỗi, âng v kh¡c réng cõa c¡c khæng gian Banach E t÷ìng ùng Cho A : E −→ F A l to¡n tû li¶n hđp cõa A∗ : F ∗ → E ∗ l mët to¡n tû tuy¸n bà ch°n B i toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) khổng gian Banach ữủc ph¡t biºu nh÷ sau: x∗ ∈ S = C ∩ A1 (Q) 6= Tẳm mởt phƯn tỷ (SFP) DÔng têng qu¡t cõa B i to¡n (SFP) l b i to¡n (MSSFP), b i to¡n n y ÷đc lu Ci , i = 1, 2, , N an ph¡t biºu nh÷ sau: Cho E n va lỗi v õng cừa v F v Qj , j = 1, 2, , M l c¡c tªp t÷ìng ùng −1 M x∗ ∈ S = ∩N i=1 Ci ∩ A (∩j=1 Qj ) 6= ∅ (MSSFP) tn to Tẳm mởt phƯn tỷ gh Mổ hẳnh bi toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu v nghiản cùu bði Y Censor p ie v T Elfving [6] cho mổ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc Bi toĂn ny âng vai trá quan trång khỉi phưc h¼nh Ênh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ tr nl w iÃu tr bảnh ung thữ, khổi phửc t½n hi»u hay câ thº ¡p dưng cho vi»c gi£i c¡c E v F d Khi oa b i to¡n c¥n bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi l cĂc khỉng gian Hilbert, mët nhúng ph÷ìng ph¡p cì b£n lu va an º gi£i b i to¡n (SFP) l ph÷ìng phĂp CQ Vợi phữỡng phĂp CQ, Bi toĂn (SFP) ữủc ữa và bi toĂn tẳm mởt im bĐt ởng cừa Ănh xÔ PQ lƯn lữủt l cĂc php chiáu mảtric tø t÷ìng ùng γ ∈ 0, kT k2 , th¼ E PC I − γT ∗ (I PQ T z at nh Ta biát rơng náu oi lm Q, v ul lản > 0, PC nf â PC I − γT ∗ (I − PQ )T l¶n C v tø , F l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Do õ, ngữới ta cõ th vên dửng cĂc phữỡng phĂp tẳm im bĐt z ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn (phữỡng phĂp lp Mann, phữỡng phĂp lp Halpern, @ phữỡng phĂp xĐp x gưn kát) tẳm nghiằm cừa Bi toĂn (SFP) gm Xu [20]  ữa v chựng cĂc kát quÊ dữợi Ơy Trữợc hát ch sỹ hởi l [20] kT k2 thẳ dÂy {xn } x¡c ành bði x1 ∈ E v xn+1 = PC I − γT ∗ (I − PQ )T xn n ac th (SFP) va hëi tư y¸u v· mët nghiằm cừa bi toĂn an Lu nh lỵ 1.4.1 Náu 0, m co tử yáu cừa phữỡng ph¡p CQ v· mët nghi»m cõa B i to¡n (SFP) si 22 Sü hëi tư cõa ph÷ìng ph¡p l°p Mann v phữỡng phĂp lp ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 1.4.2 Náu 0, [20] kT k2 Cho d¢y {αn } ⊂ [0, 4/(2 + γkT k2 )] thäa m¢n i·u ki»n ∞ X αn − αn = ∞ + kT k2 n=1 thẳ dÂy {xn } xĂc nh bi x1 ∈ E v lu xn+1 = (1 − αn )xn + αn PC I − γT ∗ (I − PQ )T xn , an va n hëi tö y¸u v· mët nghi»m cõa b i to¡n (SFP) gh tn to Nôm 2006, Xu [19]  ữa cĂc thuêt toĂn m rởng cừa phữỡng phĂp CQ dữợi Ơy cho Bi toĂn (MSSFP) Trữợc hát chựng minh sỹ hởi tư cõa ph÷ìng ie p ph¡p l°p Picard cho B i toĂn (MSSFP) nh lỵ 1.4.3 d oa nl w [19] Náu 0, vợi j > vỵi måi j = 1, 2, , M v L PM L = kT k2 j=1 j , thẳ dÂy {xn } xĂc nh bi x1 ∈ E v lu xn+1 = PCN (I − γ ∗ βj T (I − PQj )T PC1 (I − γ va an M X βj T ∗ (I − PQj )T )xn j=1 ul nf j=1 M X oi lm hëi tư y¸u v· mët nghi»m cõa B i to¡n (MSSFP) z at nh Xu công  xƠy dỹng v chựng minh sỹ hởi tử cừa ph÷ìng ph¡p l°p song song v ph÷ìng ph¡p l°p xoay vỏng cho Bi toĂn (MSSFP) dÔng dữợi Ơy: nh lỵ 1.4.4 z [19] Náu 0, vỵi βj > vỵi måi j = 1, 2, , M , L PM PN L = kT k2 j=1 βj v λi > thọa mÂn i=1 i = 1, thẳ dÂy {xn } x¡c ành bði λi PCi (I − γ hëi tö y¸u v· mët nghi»m cõa B i to¡n βj T ∗ (I − PQj )T )xn j=1 (MSSFP) an Lu i=1 M X m co xn+1 = N X l gm @ x1 ∈ E v n va ac th si 23 nh lỵ 1.4.5 [19] Náu γ ∈ 0, vỵi βj > vỵi måi j = 1, 2, , M v L PM L = kT k2 j=1 j , thẳ dÂy {xn } x¡c ành bði x1 ∈ E v xn+1 = PC[n+1] (I − γ M X βj T ∗ (I − PQj )T )xn j=1 hëi tư y¸u v· mët nghi»m cõa B i to¡n Khi E v F (MSSFP) l cĂc khổng gian Banach p-lỗi Ãu v trỡn Ãu, nôm 2014, Wang [21]  ữa mởt cÊi tián cho thuªt to¡n cõa Schopfer [15] v chùng minh mët lu an nh lỵ hởi tử mÔnh giÊi bi toĂn (MSSFP) Vợi mội n N, Wang  xĂc nh {Tn } bði Π ≤ i(n) ≤ N, Ci(n) (x) Tn (x) = J ∗ [J (x) − t A∗ J (I − P n p Qi(n)−N )A(x)] N + ≤ i(n) ≤ N + M, q p n va dÂy Ănh xÔ ie gh tn to p â i : N → {1, 2, , N } l Ănh xÔ iÃu khin xoay váng ÷đc x¡c ành bði v tn oa nl w i(n) = n mod (N + M ) + thäa m¢n i·u ki»n d < t ≤ tn ≤ 1/(q−1) , (1.16) ÷đc x¡c ành Mằnh à 1.2.5 Wang  à xuĐt thuêt toĂn sau: Vỵi ul Cq q Cq kAkq nf vỵi va an lu oi lm x0 = x¯, x¡c ành d¢y {xn } bði yn = Tn (xn ) D = {w ∈ E : ∆ (y , w) ≤ ∆ (x , w)} n p n p n En = {w ∈ E : hxn − w, Jp (¯ x) − Jp (xn )i ≥ 0} x x), n+1 = ΠDn ∩En (¯ méi ph¦n tû ban ¦u z at nh (1.17) z l kho£ng c¡ch Bregman tữỡng ựng vợi hm số l php chiáu Bregman v Jp l Ănh xÔ ối ngău m co p l gm @ â f (x) = kxkp , C p an Lu Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp lp (1.17) ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy: hởi tử mÔnh và hẳnh n ac th chiáu Bregman S x cừa x lản têp nghiằm S (1.17) va nh lỵ 1.4.6 DÂy {xn} xĂc nh bi thuêt toĂn si 24 1.5 Bi toĂn im bĐt ởng cừa Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi Cho C l mởt têp lỗi cừa int domf vợi mởt Ănh xÔ tứ C vo chẵnh nõ Mởt phƯn tỷ l im bĐt ởng tiằm cên cừa T f (x) = kxkp , ≤ p < ∞ v T l p p thc bao âng cõa C ÷đc goi (xem [8], [13]) n¸u C {xn } hëi chùa dÂy tử yáu p cho lim kxn T (xn )k = Têp cĂc im bĐt ởng tiằm cên cừa T ữủc n kỵ hiằu l F (T ) To¡n tû T ÷đc gåi l Bregman khỉng giÂn mÔnh trĂi (viát tưt và lu l L-BSNE) tữỡng ựng vợi têp im bĐt ởng tiằm cên F (T ) kh¡c réng, n¸u an n va ∆p (T x, p) ≤ ∆p (x, p), p ∈ Fˆ (T ), x ∈ C v {xn } ⊂ C l mët d¢y bà ch°n, p ∈ Fˆ (T ) thäa tn to vợi mồi (1.18) ie gh mÂn lim (p (xn , p) − ∆p (T (xn ), p)) = 0, (1.19) lim ∆p (T (xn ), xn ) = (1.20) p n→∞ th¼ ta câ nl w oa n→∞ d B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi cõ nhiÃu lu an ựng dửng lỵ thuyát tối ữu Do õ lợp bi toĂn ny  thu hút sỹ quan tƠm nf va nghiản cựu cừa nhiÃu nh toĂn hồc trản thá giợi ul Nôm 2016, Shehu et al [16] xƠy dỹng mởt phữỡng phĂp lp mợi giÊi bi oi lm toĂn sau: Tẳm mởt phƯn tỷ Náu T T = I, z at nh â x∗ ∈ C ∩ A1 (Q) F (T ) l mởt Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi tứ Ănh xÔ ỗng nhĐt, thẳ F (T ) = C C (1.21) vo chẵnh nâ C v tr÷íng hđp n y, B i to¡n z @ (1.21) trð th nh b i to¡n (SFP) Hå ¢ chùng minh kát quÊ sau l gm nh lỵ 1.5.1 Cho E v F l hai khổng gian Banach p-lỗi ·u v trìn ·u Cho m co C v Q l cĂc têp lỗi, õng, khĂc rộng cừa E v F , t÷ìng ùng, A : E → F l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn v A : F ∗ → E ∗ l to¡n tû li¶n hđp cõa A Gi£ câ tªp nghi»m S kh¡c réng l mởt Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi tứ C vo chẵnh nõ C thọa mÂn F (T ) = Fˆ (T ) v F (T ) ∩ S 6= ∅ (SFP) an Lu sû b i to¡n SFP va n Cho {αn } l mët d¢y sè kho£ng (0, 1) Vỵi méi u ∈ E1 cè ành, cho {xn } ac th si 25 l dÂy ữủc xĂc ành bði u1 ∈ E1 x = Π J [J (u ) − t A∗ J (I − P )A(u )] n C q p n n p Q n u n ≥ n+1 = ΠC Jq [αn Jp (u) + (1 − αn )Jp T (xn )], (1.22) GiÊ sỷ cĂc iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) lu ii) lim αn = 0, n→∞ ∞ X αn = ∞, an n=1 va n iii) < t ≤ tn ≤ k < 1/(q−1) tn to q Cq kAkq gh Khi â, d¢y {xn } hởi tử mÔnh và mởt phƯn tỷ x F (T ) ∩ S , ð ¥y x∗ = p ie ΠF (T )∩S u d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 26 Ch÷ìng lu an n va p ie gh tn to Mởt nh lỵ hởi tử mÔnh giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi to¡n iºm b§t ëng khỉng gian Banach Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by và phữỡng phĂp lai chiáu tẳm w oa nl nghiằm chung cừa bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn im bĐt ởng chung cừa d mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ Bregman khỉng gi¢n tr¡i khỉng gian Banach tø Ph¡t biºu b i to¡n oi lm ul nf 2.1 va an lu ti liằu tham khÊo [17] Trong luên vôn ny ta xt bi toĂn tẳm mởt phƯn tỷ Ci \ \ M Qj E v F, t÷ìng ùng, 6= ∅, (2.1) Fˆ (Tk ) = F (Tk ), an Lu v thäa m¢n m co E = F , C i = Qj = E l têp im bĐt ởng cõa l Tk : E −→ E l mët toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn Nhên xt 2.1.1 a) N¸u F (Tk ) gm ·u, trìn ·u A : E −→ F F (Tk ) l c¡c tªp lỗi, õng v khĂc rộng cừa cĂc khổng gian Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi v k=1 @ p-lỗi v cho z Banach Ci \ \ K j=1 i=1 â A−1 (Qj ) z at nh x† ∈ S = \ N x† A l ¡nh xÔ ỗng nhĐt trản E , thẳ Bi toĂn (2.1) n Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi va tr thnh bi toĂn tẳm mởt im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ ac th si 27 Tk b) Náu l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản E vợi mồi k = 1, 2, , K , thẳ bi toĂn (2.1) tr thnh bi toĂn chĐp nhên tĂch (MSSFP) 2.2 Phữỡng phĂp chiáu lai ghp giÊi B i to¡n (2.1), c¡c t¡c gi£ T.M Tuyen v N.S Ha  ữa phữỡng phĂp lp dữợi Ơy: Phữỡng phĂp lp 2.1 {xn } Vợi mội phƯn tỷ ban Ưu x0 = x E , xĂc nh dÂy bði lu an yi,n = ΠCi xn , i = 1, 2, , N, va n Chån in ∆p (yin ,n , xn ) = max ∆p (yi,n , xn ), cho i=1, ,N °t yn = yin ,n , to gh tn zj,n = Jq∗ [Jp (yn ) − tn A∗ Jp (I − PQj )A(yn )], j = 1, 2, , M Chån jn cho ∆p (zjn ,n , yn ) = max ∆p (zj,n , yn ), °t zn = zjn ,n , °t tn = tkn ,n , p ie j=1, ,M w tk,n = Tk (zn ), k = 1, 2, , K, kn cho ∆p (tkn ,n , zn ) = max ∆p (tk,n , zn ), k=1, ,K oa nl Chån d Hn = {z ∈ E : ∆p (tn , z) ≤ ∆p (zn , z) ≤ ∆p (yn , z) ≤ ∆p (xn , z)}, lu an Dn = {z ∈ E : hxn − z, Jp (x0 ) − Jp (xn )i ≥ 0}, {tn } thäa m¢n i·u ki»n (1.16) oi lm â d¢y sè ul nf va xn+1 = ΠHn ∩Dn (x0 ), n ≥ 0, Trong t i li»u tham kh£o [17], º chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa Phữỡng minh cĂc mằnh à dữợi Ơy z at nh phĂp lp 2.1, cĂc tĂc giÊ T.M Tuyen v N.S Ha  lƯn l÷đt ph¡t biºu v chùng z M»nh · 2.2.1 Trong Ph÷ìng ph¡p l°p 2.1, ta câ S ⊂ Hn ∩ Dn vỵi måi n ≥ v Dn l c¡c têp lỗi v õng cừa ta cõ m co u S, Hn E l LĐy Trữợc hát, thĐy gm @ Chựng minh Tứ tẵnh chĐt cừa ph²p chi¸u Bregman (1.15), ta câ (2.2) an Lu ∆p (tn , u) = ∆p (Tkn (zn ), u) ≤ ∆p (zn , u) n va (2.3) ac th ∆p (yn , u) = ∆p (ΠCin (xn ), u) ≤ ∆p (xn , u) si 28 B¥y gií, ta ch¿ ∆p (zn , u) ≤ ∆p (yn , u) °t wn = A(yn ) − PQjn A(yn ) Khi â ta câ zn = Jq∗ (Jp (yn ) − tn A∗ Jp (wn )) Tø ành ngh¾a cõa Jp v (1.14), ta câ hA(yn ) − A(u), Jp (wn )i = kA(yn ) − PQjn A(yn )kp + hPQjn A(yn ) − A(u), Jp (wn )i (2.4) ≥ kwn kp lu Do â, tø M»nh · 1.2.5 v (2.4), ta nhên ữủc an n va p ie gh tn to ∆p (zn , u) = ∆p (Jq∗ (Jp (yn ) − tn A∗ Jp (wn )), u) = kJp (yn ) − tn A∗ Jp (wn )kq − hu, Jp (yn )i q + tn hA(u), Jp (wn )i + kukp p Cq (tn kAk)q ≤ kJp (yn )kq − tn hAyn , Jp (wn )i + kJp (wn )kq q q − hu, Jp (yn )i + tn hAu, Jp (wn )i + kukp p 1 = kyn kq − hu, Jp (yn )i + kukp + tn hA(u) − A(yn ), Jp (wn )i q p q Cq (tn kAk) kwn kq + q Cq (tn kAk)q = ∆p (yn , u) + tn hA(u) − A(yn ), Jp (wn )i + kwn kq q q Cq (tn kAk) ≤ ∆p (yn , u) − (tn − )kwn kp q d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z Tø i·u ki»n (1.16), ta thu ÷đc @ ∆p (zn , u) ≤ ∆p (yn , u) Cuèi còng ta ch¿ Gi£ sû S ⊂ Dn xn+1 = ΠHn ∩Dn (x0 ) vỵi vợi mồi n Vẳ vêy S Hn n 0.Thêt no õ, õ vợi mồi vêy, v¼ S ⊂ Hn ∩ Dn v (1.14), ta câ n¶n Do â, tø n va hxn+1 − u, Jp (x0 ) − Jp (xn+1 )i ≥ 0, n ≥ D0 = E , an Lu S ⊂ D0 S ⊂ Dn u ∈ Hn m co Do vªy, tø (2.2), (2.3) v (2.5), suy l gm (2.5) ac th si 29 i·u n y suy mồi u Dn+1 bơng quy nÔp toĂn hồc, ta nhên ữủc S Dn vợi n ≥ M»nh · ÷đc chùng minh M»nh · 2.2.2 Trong Ph÷ìng ph¡p l°p 2.1, ta câ xn+1 − xn → n → ∞ Chùng minh Cè ành Tø M»nh · 2.2.1, suy d¢y u ∈ S Tø xn+1 = ΠHn ∩Dn (x0 ) {xn } l ho n to n x¡c ành v (1.15) suy ∆p (xn+1 , u) ≤ ∆p (x0 , u) lu an Do õ, dÂy (2.6) {p (xn , u)} b chn Vẳ vêy, tứ (1.12), suy dÂy {xn } cụng b ch°n va Ti¸p theo, tø xn+1 ∈ Dn v ành nghắa cừa têp hủp Dn , ta cõ n to (2.7) hxn − x0 , Jp (x0 ) − Jp (xn )i ≥ hxn+1 − x0 , Jp (x0 ) − Jp (xn )i (2.8) gh tn hxn − xn+1 , Jp (x0 ) − Jp (xn )i ≥ p ie Do vêy, ta nhên ữủc nl w d oa Do â, tø (1.12), ta câ hxn+1 − x0 , Jp (x0 ) − Jp (xn )i ≥ ∆p (xn , x0 ) + ∆p (x0 , xn ) va an lu (2.9) Vẳ vêy, tứ (1.11), ta nhên ữủc ul nf z at nh iÃu ny tữỡng ữỡng vợi oi lm p (xn , xn+1 ) + ∆p (xn , x0 ) + ∆p (x0 , xn+1 ) ≥ ∆p (xn , x0 ) + ∆p (x0 , xn ) ∆p (x0 , xn+1 ) ≥ ∆p (x0 , xn ) + ∆p (xn , xn+1 ), (2.10) z {∆p (x0 , xn )} @ suy l dÂy tông Do õ, tứ tẵnh b chn cừa tỗn n Vẳ vêy, tứ (2.10), ta thu ữủc lim ∆p (xn , xn+1 ) = lim kxn+1 − xn k = n→∞ Tø (1.12) suy an Lu n→∞ m co a = lim ∆p (x0 , xn ) l gm tÔi giợi hÔn hỳu hÔn n va M»nh · ÷đc chùng minh {∆p (x0 , xn )}, ac th si 30 M»nh · 2.2.3 Trong Phữỡng phĂp lp 2.1, cĂc dÂy {xn yn}, {xn − zn} v {xn − tn } hëi tö v· n → ∞ Chùng minh V¼ xn+1 ∈ Hn , n¶n ta câ ∆p (tn , xn+1 ) ≤ ∆p (zn , xn+1 ) ≤ ∆(yn , xn+1 ) ≤ ∆(xn , xn+1 ) Do â, tø M»nh · 2.2.2 (∆(xn , xn+1 ) → 0), ta thu ÷đc ∆p (tn , xn+1 ) → 0, ∆p (zn , xn+1 ) → 0, ∆(yn , xn+1 ) → lu Tø (1.12) suy an n va kxn+1 − tn k → 0, kxn+1 − zn k → 0, kxn+1 − yn k → kxn+1 − xn k 0, tn to kát hủp vợi ta nhên ÷đc v xn − yn → p ie gh xn − tn → 0, xn − zn → 0, nl w M»nh · 2.2.4 Trong Ph÷ìng ph¡p l°p 2.1, ta câ ωw(xn) ⊂ S , ð ¥y ωw(xn) d oa l têp cĂc im tử yáu cừa dÂy {xn } lu Rã r ng, ωw (xn ) 6= ∅ an Chựng minh {xnk } cừa dÂy va tỗn tÔi mởt dÂy vẳ dÂy {xn } {xn } b chn LĐy hởi tử yáu và x w (xn ), õ x oi lm Bữợc x K \ ul nf Ta chùng minh m»nh · n y theo cĂc bữợc sau: F (Tk ) k=1 nh phƯn tû tn , tn − zn → Suy gm @ m co Bữợc x l k=1 N \ Ci i=1 ∆p (yi,n , xn ) → ∆p (yn , xn ) → an Lu Tø M»nh · 2.2.3, ta câ suy Tø c¡ch x¡c z k = 1, 2, , K K \ x¯ ∈ F (Tk ) ∆p (tn , zn ) → ∆p (tk,n , zn ) → 0, tùc l ∆p (Tk (zn ), zn ) → vỵi x¯ ∈ Fˆ (Tk ) = F (Tk ) vỵi måi k = 1, 2, , K Do vêy ta nhên ữủc mồi v õ z at nh Tø M»nh · 2.2.3, ta câ Do â, tứ cĂch xĂc nh phƯn tỷ v vẳ vêy n va kyi,n − xn k → 0, yn (2.11) ac th si 31 vỵi måi i = 1, 2, , N ∆p (¯ x, ΠCi (¯ x)) = Ta cƯn ch rơng vợi mồi i = 1, 2, , N Thªt vªy, tø (1.11), (1.14) v (1.12), ta nhên ữủc Ănh giĂ sau p ( x, ΠCi (¯ x)) ≤ h¯ x − ΠCi x¯, Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ x))i = h¯ x − xnk , Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ x))i + hxnk − ΠCi (xnk ), Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ x))i + hΠCi (xnk ) − ΠCi (¯ x), Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ x))i lu ≤ h¯ x − xnk , Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ x))i an + hxnk − ΠCi (xnk ), Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ x))i va n x))i = h¯ x − xnk , Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ to gh tn x))i + hxnk − yi,nk , Jp (¯ x) − Jp (ΠCi (¯ Tø (2.11), cho k→∞ p ie x¯ ∈ Ci tùc l vỵi måi ∆p (¯ x, ΠCi (¯ x)) = N \ i = 1, 2, , N hay x¯ ∈ Ci ta nhªn ữủc vợi mồi i = 1, 2, , N , w i=1 nl Bữợc x M \ oa A−1 Qj d j=1 lu ∆p (zn , yn ) → ∆p (zj,n , yn ) → Do â, tø c¡c x¡c ành ph¦n tû kzj,n − yn k → 0, (2.12) E j = 1, 2, , M z at nh Vẳ oi lm vợi mồi zn , v vẳ vêy ta thu ữủc ul nf va ta nhên ữủc an Tứ Mằnh à 2.2.3, ta cõ l khổng gian Banach trỡn Ãu, nản Ănh xÔ ối ngău Jp liản tửc Ãu trản cĂc têp b chn (xem [9, nh lỵ 2.16]) v õ ta câ z < t ≤ tn vỵi måi n, nản ta nhên ữủc kA Jp (I PQj )A(yn )k → suy u ∈ S, õ A(u) Qj vợi mồi (2.13) an Lu BƠy gií ta cè ành m co l V¼ gm @ tn A∗ Jp (I − PQj )A(yn ) = Jp (yn ) − Jp (zj,n ) → j = 1, 2, , M Tø (1.14) n va ac th k(I − PQj )A(ynk )kp = h(I − PQj )A(ynk ), Jp (I − PQj )A(ynk )i si 32 = hA(ynk ) − A(u), Jp (I − PQj )A(ynk )i + hA(u) − PQj A(ynk ), Jp (I − PQj )A(ynk )i ≤ hA(ynk ) − A(u), Jp (I − PQj )A(ynk )i ≤ K0 k(I − PQj )A(ynk )kp1 , iÃu ny kát hủp vợi (2.13), ta nhên ữủc k(I PQj )A(ynk )k lu vỵi måi j = 1, 2, , M , ð ¥y (2.14) K0 = kAk(supk kynk k + kuk) < ∞ an Tø (1.14), ta câ va n x))i x), Jp (A(¯ x) − PQj A(¯ x)kp = hA(¯ x) − PQj A(¯ k(I − PQj )A(¯ to gh tn x))i = hA(¯ x) − A(ynk ), Jp (A(¯ x) − PQj A(¯ ie x))i x), Jp (A(¯ x) − PQj A(¯ + hA(ynk ) − PQj A(¯ p x))i x) − A(ynk ), Jp (A(¯ x) − PQj A(¯ + hPQj A(¯ nl w x))i ≤ hA(¯ x) − A(ynk ), Jp (A(¯ x) − PQj A(¯ d oa x))i x), Jp (A(¯ x) − PQj A(¯ + hA(ynk ) − PQj A(¯ A, xn − yn → k→∞ xnk * x¯, suy A(ynk ) * A(¯ x) Do â, v sû dưng (2.14), ta nhªn ữủc nf va cho v an lu Tứ tẵnh liản töc cõa j = 1, 2, , M , tùc l A(¯ x) ∈ M \ A−1 Qj z at nh vỵi måi oi lm ul x)k = 0, kA(¯ x) − PQj A(¯ j=1 Do â, tø c¡c Bữợc 1, Bữợc v Bữợc 3, ta nhên ữủc w (xn ) S Vẳ x l bĐt ký, z n¶n x¯ ∈ S @ l gm Mằnh à ữủc chựng minh Sỹ hởi tử mÔnh cừa Phữỡng phĂp lp 2.1 ữủc cho nh lỵ dữợi Ơy: m co nh lỵ 2.2.5 Trong Thuêt toĂn 2.1, dÂy {xn} hởi tử mÔnh và x = S (x0), Gi£ sû {xnk } x∗ ∈ S {xn } cho x nk * x ∗ Khi â n tø M»nh · 2.2.4, ta câ l mët d¢y cõa va Chùng minh an Lu n → ∞ ac th si 33 V¼ xn+1 = ΠHn ∩Dn (x0 ), n¶n xn+1 ∈ Dn Do â, tø ΠS (x0 ) ∈ S ⊂ Dn , ta câ ∆p (xn+1 , x0 ) ≤ ∆p (ΠS x0 , x0 ), kát hủp vợi p (xn+1 , x0 ) p (xn , x0 ), ta nhên ữủc ∆p (xn , x0 ) ≤ ∆p (ΠS x0 , x0 ), ∀n ≥ (2.15) Do vªy, tø (1.10), (1.11) and (2.15), ta thu ÷đc lu ∆p (xnk , ΠS (x0 )) = ∆p (xnk , x0 ) + ∆p (x0 , ΠS (x0 )) an + hxnk − x0 , Jp (x0 ) − Jp (ΠS (x0 ))i va n ≤ ∆p (ΠS (x0 ), x0 ) + ∆p (x0 , ΠS (x0 )) tn to + hΠS (x0 ) − x0 , Jp (x0 ) − Jp (ΠS (x0 ))i ie gh + hxnk − ΠS (x0 ), Jp (x0 ) − Jp (ΠS (x0 ))i p = hxnk − ΠS (x0 ), Jp (x0 ) − Jp (S (x0 ))i oa nl w Vẳ vêy, ta câ d lim sup ∆p (xnk , ΠS (x0 )) ≤ lim suphxnk − ΠS (x0 ), Jp (x0 ) − Jp (ΠS (x0 ))i k→∞ lu k→∞ lim ∆p (xnk , ΠS (x0 )) = v â tø (1.12) ta câ xnk → ΠS (x0 ) Tø t½nh nf suy va an ≤ hx∗ − ΠS (x0 ), Jp (x0 ) − Jp (ΠS (x0 ))i 0, ul k Tứ (1.12), tỗn tÔi τ >0 ΠS (x0 ), suy d¢y {xn } hëi tư y¸u v· ΠS (x0 ) oi lm nhĐt cừa hẳnh chiáu Bregman cho z at nh τ kxn − ΠS (x0 )k ≤ hxn − ΠS (x0 ), Jp (x0 ) − Jp (ΠS (x0 ))i ta nhên ữủc xn x = S (x0 ) gm @ n → ∞, z Cho l Ti¸p theo, tứ nh lỵ 2.2.5, ta cõ cĂc hằ quÊ dữợi Ơy Trữợc hát, õ l mởt v Qj , j = 1, 2, , M l c¡c tªp an Lu H» qu£ 2.2.6 Cho Ci, i = 1, 2, , N m co ph÷ìng ph¡p l°p º gi£i bi toĂn (MSSFP) hai khổng gian Banach lỗi, õng v khĂc rộng cừa hai khổng gian Banach p-lỗi Ãu v trìn ·u E v n va F , t÷ìng ùng Cho A : E → F l mët to¡n tỷ tuyán tẵnh b chn GiÊ sỷ ac th si 34 S = \ N Ci \ \ M j=1 i=1 (1.16), A (Qj ) 6= Náu dÂy số {tn } thọa mÂn iÃu kiằn thẳ dÂy {xn } x¡c ành bði x0 ∈ E v yi,n = ΠCi (xn ), i = 1, 2, , N, Chån in cho ∆p (yin ,n , xn ) = max ∆p (yi,n , xn ), °t yn = yin ,n , i=1, ,N zj,n = Jq∗ [Jp (yn ) − tn A∗ Jp (I − PQj )A(yn )], j = 1, 2, , M Chån jn cho ∆p (zjn ,n , yn ) = max ∆p (zj,n , yn ), °t zn = zjn ,n , j=1, ,M lu an Hn = {z ∈ E : ∆p (zn , z) ≤ ∆p (yn , z) ≤ ∆p (xn , z)}, n va Dn = {z ∈ E : hxn − z, Jp (x0 ) − Jp (xn )i ≥ 0}, tn to xn+1 = ΠHn ∩Dn (x0 ), n 0, ie gh hởi tử mÔnh và x† = ΠS (x0 ), n → ∞ p Chựng minh p dửng nh lỵ 2.2.5 vợi k = 1, 2, , K , Tk (x) = x vợi mồi x E v mồi ta nhên ữủc i·u ph£i chùng minh nl w oa Cuèi còng, ta cõ kát quÊ dữợi Ơy cho bi toĂn tẳm mởt im bĐt ởng chung d cừa mởt hồ hỳu hÔn to¡n tû L-BSNE khæng gian Banach an lu H» quÊ 2.2.7 Cho E l mởt khổng gian Banach p-lỗi ·u v trìn ·u Cho tk,n = Tk (xn ), k = 1, 2, , K, k=1 z at nh ành bði x0 ∈ E v oi lm ul nf va Tk : E → E , k = 1, 2, , K l mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tỷ Bregman khổng giÂn K \ mÔnh trĂi cho F (Tk ) = F (Tk ) v S = F (Tk ) 6= ∅ Khi â d¢y {xn } x¡c z Chån kn cho ∆p (tkn ,n , xn ) = max ∆p (tk,n , xn ), °t tn = tkn ,n , l gm Hn = {z ∈ E : ∆p (tn , z) ≤ ∆p (xn , z)}, @ k=1, ,K Dn = {z ∈ E : hxn − z, Jp (x0 ) − Jp (xn )i ≥ 0}, m co xn+1 = ΠHn Dn (x0 ), n 0, p dửng nh lỵ 2.2.5 vỵi v A = I, v C i = Qj = E vợi mồi ta nhên ữủc iÃu phÊi chùng minh n i = 1, 2, , N , j = 1, 2, , M E ≡ F va Chựng minh an Lu hởi tử mÔnh và x = ΠS (x0 ), n → ∞ ac th si