Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QT VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QT VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Luận văn hồn thành Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3 tạo điều kiện tốt tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tơi xin chân thành cảm ơn Hội đồng quản trị, Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh, thành phố Cẩm Phả, tỉnh Quảng Ninh tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman số lớp ánh xạ Bregman không giãn 1.2.1 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.2 Phép chiếu Bregman 20 1.2.3 Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 24 Chương Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ toán cân hỗn hợp tổng quát toán điểm bất động 29 2.1 Tốn tử giải hỗn hợp tính chất 29 2.2 Phát biểu toán phương pháp lặp 33 2.3 Sự hội tụ mạnh phương pháp 33 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T v ∂f vi phân hàm lồi f f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước Trong thời gian gần đây, lớp toán cân mà tổng quát toán cân hỗn hợp tổng quát không gian Hilbert hay Banach thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Một khó khăn nghiên cứu toán xấp xỉ điểm bất động tốn cân khơng gian Banach ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu không gian Ta biết trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu khó xác định ngồi khơng có tính chất tuyến tính Do việc tìm dạng tường minh tốn tử giải tương ứng với tốn tử đơn điệu khơng gian Banach “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng khoảng cách Bregman để thay cho khoảng cách thông thường thay ánh xạ đối ngẫu gradient phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích luận văn trình bày lại kết Darvish cộng báo [14] phương pháp chiếu (kết hợp phương pháp chiếu lai ghép chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn tương đối yếu nghiệm hệ toán cân hỗn hợp tổng quát không gian Banach phản xạ Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman số lớp tốn tử Bregman khơng giãn Chương Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ toán cân hỗn hợp tổng quát toán điểm bất động Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Darvish V cộng tài liệu [14] phương pháp chiếu cho tốn tìm nghiệm chung hệ toán cân hỗn hợp tổng quát toán điểm bất động cho lớp ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu không gian Banach phản xạ Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm hai mục Mục 1.1 trình bày số tính chất khơng gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman số lớp ánh xạ Bregman không giãn Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 15, 21, 24, 27] 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x thuộc X cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ với x∗ ∈ X ∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x∗ , x để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) X không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách cho xn ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman số lớp ánh xạ Bregman không giãn Hàm lồi khoảng cách Bregman Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, ∞] hàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < ∞} Với x ∈ int domf y ∈ X, ta ký hiệu f (x, y) đạo hàm phải f x theo hướng y, tức f (x, y) = lim t↓0 f (x + ty) − f (x) t Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi Gâteaux x giới hạn limt→0 (f (x + ty) − f (x))/t tồn với y Trong trường hợp f (x, y) trùng với ( f )(x), giá trị gradient f f x 33 2.2 Phát biểu toán phương pháp lặp Cho E không gian Banach phản xạ, C tập lồi, đóng khác rỗng E Cho f : E → R hàm đồng bức, bị chặn, khả vi Fréchet đều, lồi hoàn toàn tập bị chặn E ∇f ∗ bị chặn tập bị chặn E ∗ Cho Ti : C → C, i = 1, 2, , N họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu, Θj : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1 )-(A4 ), ϕj : C → R hàm lồi Ψj : C → E ∗ ánh xạ liên tục, M đơn điệu j ∈ {1, 2, M } Giả sử ∩N i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) tập khác rỗng Trong tài liệu [14], tác giả Darvish cộng nghiên cứu tốn sau: M Tìm phần tử x† ∈ S = ∩N i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) (2.8) Để xấp xỉ nghiệm Bài toán (2.8), họ đề xuất phương pháp lặp xoay vòng sau: Cho {xn } dãy xác định x0 ∈ C, C0 = Q0 = C N ∗ zn = ∇f (βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )), i=1 yn = ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn )), un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ αn Df (z, x0 ) + (1 − αn )Df (z, xn )}, Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0}, xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0, (2.9) {αn } ⊂ [0, 1), {βn } ⊂ (0, 1) {γi,n } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1) cho N i=1 γi,n 2.3 = 1, với i = 1, 2, , N Sự hội tụ mạnh phương pháp Trước hết, ta có mệnh đề Mệnh đề 2.3.1 Dãy {xn } (2.9) hoàn toàn xác định Chứng minh Từ Mệnh đề 2.1.1 Mệnh đề 1.2.33 suy F (Ti ) GM EP (Θj , ϕj , Ψj ), j ∈ {1, 2, M } tập lồi đóng E 34 Ta Cn Qn tập lồi đóng E Rõ ràng C0 Q0 tập lồi đóng Giả sử Cn Qn tập lồi đóng E với n ≥ Ta viết lại tập Cn+1 dạng sau Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ E : Df (z, un ) ≤ αn Df (z, x0 ) + (1 − αn )Df (z, xn )} = Cn ∩ {z ∈ E : αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (xn ) − f (un ), z ≤ αn ∇f (x0 ), x0 + (1 − αn ) ∇f (xn ), xn − αn f (x0 ) − (1 − αn )f (xn ) + f (un ) − ∇f (un ), un Do đó, Cn+1 tập lồi đóng E Tiếp theo, từ Qn+1 = Qn ∩ {z ∈ E : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z ≤ ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), xn , suy Qn+1 tập lồi đóng E Như vậy, quy nạp toán học, ta nhận Cn Qn tập lồi đóng E Bây giờ, để kết thúc chứng minh mệnh đề này, ta S ⊂ Cn ∩ Qn với n ≥ Thật vậy, dễ thấy S ⊂ C0 ∩ Q0 Giả sử S ⊂ Cn ∩ Qn với n ≥ Lấy p ∈ S, từ (2.9) Bổ đề 2.1.1, ta có Df (p, un ) = Df (p, ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn )) ≤ Df (p, ResfΘM −1 ,ϕM −1 ,ΨM −1 ◦ ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn )) ≤ Df (p, yn ) (2.10) − Df (ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ResfΘM −1 ,ϕM −1 ,ΨM −1 ◦ ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn )) − Df (ResfΘM −1 ,ϕM −1 ,ΨM −1 ◦ ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ResfΘM −2 ,ϕM −2 ,ΨM −2 ◦ ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn )) − Df (ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), yn ) Tiếp theo, ta có Df (p, yn ) = Df (p, ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn ))) 35 ≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, zn ) (2.11) Ta đánh giá Df (p, zn ), từ (2.9) tính chất Ti , ta có N ∗ Df (p, zn ) = Df (p, ∇f (βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ))) i=1 N ≤ βn γi,n Df (p, Ti (xn )) + (1 − βn )Df (p, f (xn )) i=1 N ≤ βn γi,n Df (p, xn ) + (1 − βn )Df (p, xn ) i=1 ≤ Df (p, xn ) (2.12) Từ (2.10)–(2.12), ta nhận Df (p, un ) ≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, xn ) Điều suy p ∈ Cn+1 S ⊂ Cn+1 Từ xn = projfCn ∩Qn (x0 ) Mệnh đề 1.2.28, suy ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), xn − v ≥ 0, ∀v ∈ Cn ∩ Qn Do đó, từ p ∈ S ⊂ Cn ∩ Qn , ta thu ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), xn − p ≥ 0, tức là, p ∈ Qn+1 S ⊂ Qn+1 Do vậy, ta nhận S ⊂ Cn+1 ∩ Qn+1 Bằng quy nạp toán học, ta nhận S ⊂ Cn ∩ Qn với n ≥ Vậy Cn ∩ Qn tập lồi, đóng khác rỗng E với n ≥ 0, dãy {xn } hồn toàn xác định Mệnh đề 2.3.2 Trong (2.9), dãy {xn } bị chặn Chứng minh Vì ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), v − xn ≤ với v ∈ Qn+1 , nên từ Mệnh đề 1.2.28 suy xn = projfQn+1 x0 Từ xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 ∈ Qn+1 , ta có Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) (2.13) M Lấy p ∈ ∩N i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj ) ∈ Qn+1 Từ Mệnh đề 1.2.28, ta có Df (p, projfQn+1 x0 ) + Df (projfQn+1 x0 , x0 ) ≤ Df (p, x0 ) 36 Df (xn , x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, xn ) ≤ Df (p, x0 ) Suy {Df (xn , x0 )} bị chặn Từ Mệnh đề 1.2.21, suy dãy {xn } bị chặn dãy {Ti (xn )}, {yn }, {zn } bị chặn Mệnh đề 2.3.3 Trong (2.9), {xn } dãy Cauchy Chứng minh Theo chứng minh Mệnh đề 2.3.2, ta biết {Df (xn , x0 )}bị chặn Từ (2.13), suy giới hạn limn→∞ Df (xn , x0 ) tồn hữu hạn Từ xm ∈ Qm ⊆ Qn+1 với m > n Mệnh đề 1.2.28, ta có Df (xm , projQn+1 x0 ) + Df (projfQn+1 x0 , x0 ) ≤ Df (xm , x0 ) Df (xm , xn ) ≤ Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 ) Từ đó, ta có lim Df (xm , xn ) ≤ lim (Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 )) = n→∞ n,m→∞ (2.14) Từ Nhận xét 1.2.23, Mệnh đề 1.2.24 (2.14), ta nhận lim xm − xn = n→∞ (2.15) Do {xn } dãy Cauchy đặc biệt limn→∞ xn+1 − xn = Sự hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định (2.9) cho định lý Định lý 2.3.4 Nếu limn→∞ αn = lim inf n→∞ (1 − βn )βn > 0, dãy {xn } xác định (2.9) hội tụ mạnh x† = projfS x0 Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.2, {xn } dãy Cauchy Do đó, xn → q ∈ C Từ Mệnh đề 1.2.16 xn+1 − xn → 0, ta nhận lim ∇f (xn+1 ) − ∇f (xn ) = n→∞ (2.16) Vì xn+1 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , nên ta có Df (xn+1 , un ) ≤ αn Df (xn+1 , x0 ) + (1 − αn )Df (xn+1 , xn ) Từ limn→∞ αn = limn→∞ Df (xn+1 , xn ) = 0, suy dãy {Df (xn+1 , un )} bị chặn lim Df (xn+1 , un ) = n→∞ 37 Từ Nhận xét 1.2.23 Mệnh đề 1.2.24, ta nhận lim xn+1 − un = (2.17) lim ∇f (xn+1 ) − ∇f (un ) = (2.18) n→∞ Do n→∞ Từ đánh giá xn − un ≤ xn − xn+1 + xn+1 − un xn+1 − xn → 0, ta nhận lim xn − un = 0, n→∞ un → q n → ∞ lim ∇f (xn ) − ∇f (un ) = n→∞ (2.19) Từ định nghĩa khoảng cách Bregman, ta có Df (p, xn ) − Df (p, un ) = f (p) − f (xn ) − ∇f (xn ), p − xn − f (p) + f (un ) + ∇f (un ), p − un = f (un ) − f (xn ) + ∇f (un ), p − un − ∇f (xn ), p − xn = f (un ) − f (xn ) + ∇f (un ), xn − un + ∇f (un ) − ∇f (xn ), p − xn , với p ∈ S Từ (2.17)-(2.19), ta nhận lim (Df (p, xn ) − Df (p, un )) = n→∞ (2.20) Mặt khác, với p ∈ S, từ (1.13) (2.12), ta có Df (un , yn ) ≤ Df (p, yn ) − Df (p, un ) = Df (p, ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn ))) − Df (p, un ) ≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, zn ) − Df (p, un ) ≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, xn ) − Df (p, un ) = αn (Df (p, x0 ) − Df (p, xn )) + Df (p, xn ) − Df (p, un ) (2.21) Do đó, từ (2.20) (2.21), suy Df (un , yn ) → ta nhận Df (p, yn ) − Df (p, un ) → n → ∞ Hơn nữa, từ Df (un , yn ) → 0, suy 38 limn→∞ un − yn = limn→∞ ∇f (un ) − ∇f (yn ) = Từ un → q, ta thu yn → q n → ∞ Tiếp theo, ta q ∈ S Đặt u1,n = ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ui,n = ResfΘi ,ϕi ,Ψi ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), i = 2, 3, M − 1, ta có un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM (uM −1,n ) Từ (2.10) Df (p, yn ) − Df (p, un ) → 0, suy Df (u1,n , yn ) → 0, (2.22) Df (ui+1,n , ui,n ) → 0, với i = 1, 2, , M − 2, (2.23) Df (un , uM −1,n ) → (2.24) Từ Nhận xét 1.2.23, Mệnh đề 1.2.24 un → q, ta nhận lim ui,n = q, n→∞ (2.25) với i = 1, 2, , M − Hơn nữa, từ (2.22)–(2.24), ta nhận ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ) → 0, (2.26) ∇f (ui+1,n ) − ∇f (ui,n ) → 0, với i = 1, 2, , M − 2, (2.27) ∇(un ) − ∇f (uM −1,n ) → (2.28) Bây giờ, từ u1,n = ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ta có Θ1 (u1,n , y) + Ψ1 yn , y − u1,n + ϕ1 (y) + ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ), y − u1,n ≥ ϕj (u1,n ), với y ∈ C Từ điều kiện (A2 ), ta nhận Θ1 (y, u1,n ) ≤ −Θ1 (u1,n , y) ≤ Ψ1 yn , y − u1,n + ϕ1 (y) − ϕ1 (u1,n ) + ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ), y − u1,n , 39 với y ∈ C Do ta nhận Θ1 (y, u1,n ) ≤ Ψ1 yn , y − u1,n + ϕ1 (y) − ϕ1 (u1,n ) + ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ), y − u1,n , với y ∈ C Từ u1,n → q, (2.26), tính liên tục Ψ1 , tính nửa liên tục yếu ϕ1 Θ1 (·, ·) theo biến thứ hai, ta nhận Θ1 (y, q) + Ψ1 q, q − y + ϕ1 (q) − ϕ1 (y) ≤ 0, với y ∈ C Với t thỏa mãn ≤ t ≤ y ∈ C, đặt yt = ty + (1 − t)q Vì y ∈ C q ∈ C, nên ta có yt ∈ C Θ1 (yt , q) + Ψ1 q, q − yt + ϕ1 (q) − ϕ1 (yt ) ≤ Do đó, ta có = Θ1 (yt , yt ) + Ψ1 q, yt − yt + ϕ1 (yt ) − ϕj (yt ) ≤ tΘ1 (yt , y) + (1 − t)Θ1 (yt , q) + t Ψ1 q, y − yt + (1 − t) Ψ1 q, q − yt +tϕ1 (y) + (1 − t)ϕ1 (q) − ϕj (yt ) ≤ t[Θ1 (yt , y) + Ψ1 q, y − yt + ϕ1 (y) − ϕ1 (yt )] Suy Θ1 (yt , y) + Ψ1 q, y − yt + ϕ1 (y) − ϕ1 (yt ) ≥ với t > Từ đó, cho t → 0+ , ta có Θ1 (q, y) + Ψ1 q, y − q + ϕ1 (y) − ϕ1 (q) ≥ 0, với y ∈ C Do vậy, ta nhận q ∈ GM EP (Θ1 , ϕ1 , Ψ1 ) Từ ui,n = ResfΘi ,ϕi ,Ψi (ui−1,n ) với i = 2, 3, , M − un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM (uM −1,n ), lập luận tương tự trên, ta nhận q ∈ GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) với i = 2, 3, , M Do đó, ta có q ∈ ∩M j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) Bây giờ, ta q ∈ ∩N i=1 F (Ti ) Trước hết, ta có ∇f (xn ) − ∇f (yn ) = ∇f (xn ) − ∇f (∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn ))) = ∇f (xn ) − (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn )) 40 = αn (∇f (xn ) − ∇f (x0 )) + (1 − αn )(∇f (xn ) − ∇f (zn )) ≥ αn ∇f (zn ) − ∇f (x0 ) − ∇f (xn ) − ∇f (zn ) Điều suy ∇f (xn ) − ∇f (zn ) ≤ αn ∇f (zn ) − ∇f (x0 ) + ∇f (xn ) − ∇f (yn ) (2.29) Cho n → ∞ bất đẳng thức từ limn→∞ αn = 0, ta nhận lim ∇f (xn ) − ∇f (zn ) = (2.30) n→∞ Vì ∇f liên tục tập bị chặn E, nên lim xn − zn = n→∞ Từ Mệnh đề 1.2.24, suy lim Df (zn , xn ) = (2.31) n→∞ Lấy w ∈ S Từ đồng thức ba điểm (1.6) (2.30)-(2.31), ta có |Df (w, xn ) − Df (w, zn )| = |Df (w, zn )D + Df (zn , xn ) + ∇f (zn ) − ∇f (xn ), w − zn − Df (w, zn )| = |Df (zn , xn ) + ∇f (zn ) − ∇f (xn ), w − zn | ≤ Df (zn , xn ) + w − zn ∇f (zn ) − ∇f (xn ) → Điều suy lim [Df (w, xn ) − Df (w, zn )] = n→∞ (2.32) Đặt r = max{supn { ∇f (xn ) }, maxi=1,2, ,N {supn { ∇f (Ti (xn )) }}} < ∞ Từ Mệnh đề 1.2.25 (1.11), ta có N ∗ Df (w, zn ) = Df (w, ∇f (βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ))) i=1 N γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )) = Vf (w, βn i=1 41 N = f (w) − βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ), w i=1 N + f ∗ (βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )) i=1 N ≤ f (w) − βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ), w i=1 N γi,n f ∗ (∇f (Ti (xn ))) + (1 − βn )f ∗ (∇f (xn )) + βn i=1 − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) N γi,n (f (w) − ∇f (Ti (xn )), w + f ∗ (∇f (Ti (xn )))) = βn i=1 + (1 − βn )(f (w) − ∇f (xn ), w + f ∗ (∇f (xn ))) − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) N γi,n Vf (w, ∇f (Ti (xn ))) + (1 − βn )Vf (w, ∇f (xn )) = βn i=1 − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) N γi,n Df (w, Ti (xn )) + (1 − βn )Df (w, xn ) = βn i=1 − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) N ≤ βn γi,n Df (w, xn ) + (1 − βn )Df (w, xn ) i=1 − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) = Df (w, xn ) − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ), với j = 1, 2, , N Suy (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) ≤ Df (w, xn ) − Df (w, zn ), kết hợp với (2.32), ta nhận lim (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) = 0, n→∞ với j = 1, 2, , N 42 Từ giả thiết lim inf n→∞ βn (1 − βn ) > 0, ta có lim ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) = 0, ∀j ∈ {1, 2, , N } n→∞ Từ tính chất hàm ρr , suy lim ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) = 0, ∀j ∈ {1, 2, , N } n→∞ Vì ∇f ∗ liên tục tập bị chặn E ∗ , nên ta nhận lim xn − Tj (xn ) = 0, ∀j ∈ {1, 2, , N } n→∞ (2.33) Do Tj , j = 1, 2, , N , ánh xạ không giãn tương đối yếu, nên từ xn → q (2.33), ta thu q ∈ ∩N i=1 F (Ti ) Suy dãy {xn } hội tụ mạnh q ∈ S Cuối cùng, ta q = x† = projfS (x0 ) Vì x† = projfS (x0 ) ∈ S, nên từ xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 x† ∈ S ⊂ Cn+1 ∩ Qn+1 , ta có Df (xn+1 , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ) Do đó, từ Mệnh đề 1.2.29, ta nhận xn → x† n → ∞ Do q = x† Định lý chứng minh Khi αn = với n, ta nhận hệ Hệ 2.3.5 Cho {xn } dãy xác định x0 ∈ C, C0 = Q0 = C N ∗ γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )), zn = ∇f (βn i=1 un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (zn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ Df (z, xn )}, Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0}, xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0, {βn } ⊂ (0, 1) {γi,n } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1) cho (2.34) N i=1 γi,n = 1, với i = 1, 2, , N Nếu lim inf n→∞ βn (1 − βn ) > 0, dãy {xn } hội tụ mạnh x† = projfS x0 Tiếp theo ta có kết để xấp xỉ nghiệm hệ toán cân hỗn hợp tổng quát 43 Định lý 2.3.6 Giả sử Θj : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4), ϕj : C → R hàm lồi Ψj : C → E ∗ ánh xạ liên tục, đơn điệu j = 1, 2, M Giả sử S = ∩M j=1 GM EP Θj , ϕj , Ψj ) tập khác rỗng Cho {xn } dãy xác định x0 ∈ C, C0 = Q0 = C un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (xn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ Df (z, xn )}, Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0}, xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ (2.35) Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh x† = projfS x0 Chứng minh Áp dụng Hệ 2.3.5 với Ti (x) = x với i = 1, 2, , N , ta nhận chứng minh định lý Ta có định lý cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu Định lý 2.3.7 Cho Ti : C → C, i = 1, 2, , N họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu Giả sử S = ∩N i=1 F (Ti ) tập khác rỗng Cho {xn } dãy xác định x0 ∈ C, C0 = Q0 = C N ∗ γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )), zn = ∇f (βn i=1 Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, zn ) ≤ Df (z, xn )}, Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0}, xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ (2.36) Khi dãy {xn } hội tụ mạnh x† = projfS x0 Chứng minh Áp dụng Hệ 2.3.5 với Θj (x, y) = 0, ϕj (x) = Ψj (x) với j = 1, 2, , N , ta nhận chứng minh định lý 44 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: ❼ Một số tính chất đặc trưng khơng gian khơng gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hồn tồn; ❼ Tốn tử Bregman khơng giãn không gian Banach; ❼ Các kết nghiên cứu Darvish V cộng tài liệu [14] phương pháp chiếu cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn toán tử Bregman khơng giãn tương đối yếu hệ tốn cân hỗn hợp tổng quát không gian Banach phản xạ 45 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Ambrosetti A., Prodi G (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [3] Alber Y.I (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G (ed.) Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 [4] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2001), “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun Contemp Math., 3, pp 615–647 [5] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Student, 63, pp 123–145 [6] Bonnans J.F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [7] Browder F.E (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities”, Proc Natl Acad Sci USA., 56, pp 1080–1086 [8] Butnariu D., Iusem A.N (2000), Totally convex functions for fixed points computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [9] Butnariu D., Resmerita E (2006), “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr Appl Anal., 2006, pp 1–39 46 [10] Censor Y., Lent A (1981), “An iterative row-action method for interval convex programming”, J Optim Theory Appl., 34, pp 321–353 [11] Ceng L.C., Yao J.C (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium problems and fixed point problems”, J Comput Appl Math., 214, pp 186– 201 [12] Censor Y., Reich S (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Optimization, 37, pp 323–339 [13] Darvish V Strong convergence theorem for generalized mixed equilibrium problems and Bregman nonexpansive mapping in Banach spaces Opsearch 2016;53(3):584–603 [14] Darvish V., Qin X., Tuyen T.M., Yao J.C (2019), “A Strong convergence theorem for a system of generalized mixed equilibrium problems and a finite family of bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 20(9), pp 1853-1873 [15] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [16] Kohsaka F., Takahashi W (2005), “Proximal point algorithms with Bregman functions in Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 505–523 [17] Martin-Marquez V., Reich S., Sabach S (2013), “Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J Math Anal Appl., 400, 597–614 [18] Naraghirad E., Yao J.-C (2013), “Bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Fixed Point Theory and Applications 2013: 141 [19] Reich S (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Opera- 47 tors of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 313– 318 [20] Reich S., Sabach S (2009), “A strong convergence theorem for a proximal type algorithm in reflexive Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 471–485 [21] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 31, pp 22–44 [22] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in: Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, Springer, New York, 49 , pp 301–316 [23] Resmerita E (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability in Banach spaces”, J Convex Anal., 11, pp 1–16 [24] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P (2012), “Halperns iteration for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput Math Appl., 64, pp 489–499 [25] Takahashi W., Toyoda M (2003), “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings”, J Optim Theory Appl., 118, pp 417–428 [26] Zalinescu C (2002), Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific, Publishing Co., Inc., River Edge, NJ [27] Zegeye H (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp 1525–1536 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành:... chung cho hệ toán cân hỗn hợp tổng quát toán điểm bất động Trong chương này, đề cập đến phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm nghiệm chung toán điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ Bregman không. .. nước Trong thời gian gần đây, lớp toán cân mà tổng quát toán cân hỗn hợp tổng quát không gian Hilbert hay Banach thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Một khó khăn nghiên cứu toán