Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán không điểm chung tách tổng quát trong không gian hilbert

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C KHOA HC NG TH GIANG MáTSă NHLịHáITệM NHGI IB ITO N KH˘NG I M CHUNG T CH T˚NG QU T TRONG KH˘NG GIAN HILBERT LU NV NTH CS TO NH¯C Chuy¶n ng nh: To¡n øng dưng M¢ sŁ: 46 01 12 T P TH HײNG D N KHOA H¯C TS Trữỡng Minh Tuyản TS Phm Hỗng Trữớng ThĂi Nguyản 2020 ii Lới cÊm ỡn TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi TS Trữỡng Minh Tuyản, TS Phm Hỗng Trữớng  luổn tn tnh hữợng dÔn, ch¿ b£o v gióp ï t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh håc t“p nghi¶n cøu ” ho n th nh lun vôn TĂc giÊ cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi cĂc thy, cổ khoa To¡n Tin, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc, ⁄i hồc ThĂi Nguyản  giÊng dy v giúp ù tĂc gi£ thíi gian håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i trữớng Qua Ơy tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn gia nh, bn b v ỗng nghiằp  luổn ng viản to iãu kiằn giúp ï tỉi v• måi m°t suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v thüc hi»n lu“n v«n n y iii Mửc lửc Lới cÊm ỡn Mt s kỵ hiằu v vi‚t t›t ii v Mð ƒu Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khỉng gian Hilbert 1.2 nh x khổng giÂn v toĂn tò ỡn iằu khỉng gian Hilbert 1.2.1 nh x⁄ khỉng gi¢n 1.2.2 To¡n tß ìn i»u 10 1.3 Phữỡng phĂp lp Halpern v phữỡng phĂp xĐp x mãm t…m i”m b§t ºng chung cıa mºt hå ¡nh x⁄ khỉng gi¢n 14 1.3.1 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern 14 1.3.2 Phữỡng phĂp xĐp x¿ m•m 14 1.4 Phữỡng phĂp CQ giÊi b i toĂn chĐp nhn t¡ch 15 1.5 Mºt sŁ bŒ • bŒ trỉ 17 Ch÷ìng Mºt sŁ ành lỵ hi tử mnh cho b i toĂn khổng im chung t¡ch tŒng qu¡t 22 2.1 B i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t 22 2.2 Ph÷ìng phĂp lp kiu Halpern kt hổp vợi phữỡng phĂp CQ 23 2.3 Phữỡng phĂp xĐp x mãm kt hổp vợi phữỡng phĂp CQ 28 2.4 Mºt sŁ øng döng 31 2.4.1 B i to¡n khæng i”m chung t¡ch 31 2.4.2 B i to¡n i”m cüc ti”u t¡ch tŒng qu¡t 32 2.4.3 B i to¡n ch§p nh“n t¡ch tŒng qu¡t 34 2.4.4 B i to¡n c¥n b‹ng t¡ch tŒng qu¡t 36 iv 2.4.5 BĐt flng thức bin phƠn tĂch tŒng qu¡t 38 2.5 V‰ dö sŁ minh håa 40 K‚t lu“n 42 T i li»u tham khÊo 43 v Mt s kỵ hiằu v vit tt H khổng gian Hilbert h:; :i tch vổ hữợng tr¶n H k:k chu'n tr¶n H [ ph†p hỉp \ ph†p giao R+ t“p c¡c sŁ thüc khỉng ¥m G(A) ỗ th ca toĂn tò A D(A) miãn xĂc R(A) miãn Ênh ca toĂn tò A A1 toĂn tò ngữổc cıa to¡n tß A I to¡n tß ; t“p rØng 8x vợi mồi x 9x tỗn ti x xn ! x0 nh ca toĂn tò A ỗng nhĐt dÂy fxng hi tử mnh vã x0 xn * x0 dÂy fxng hi tử yu vã x0 F(T) im bĐt ng cıa ¡nh x⁄ T Mð ƒu Trong thüc t‚ mºt sü v“t, hi»n t÷ỉng ÷ỉc chuy”n Œi tł tr⁄ng th¡i x (thỉng tin ƒu v o, nguy¶n li»u) sang tr⁄ng th¡i b (k‚t qu£ ƒu ra, s£n ph'm) câ th” ph£i chuy”n qua mºt hay nhi•u qu¡ tr…nh bi‚n i liản tip Ngữới ta mong mun tm nhng nguỗn hay trng thĂi ban u x dÔn n trng thĂi b cıa sü v“t hi»n t÷ỉng sau qu¡ tr…nh bi‚n Œi f n o â Chflng h⁄n, vi»c t…m nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh Ax = b Ho°c ngữới ta cụng mun tm nguỗn hay trng thĂi ban ƒu x cho c¡c qu¡ tr…nh bi‚n Œi li¶n tip l ti ữu nhĐt theo mt nghắa n o â ¥y l mỉ h…nh cıa c¡c lo⁄i b i to¡n t¡ch Ta bi‚t r‹ng b i to¡n ch§p nh“n t¡ch (Split Feasibility Problem), vi‚t t›t l (SFP), lƒn ƒu tiản ữổc ã xuĐt v nghiản cứu bi Censor and Elfving [3] vỵi mưc ‰ch mỉ h…nh hâa mºt sŁ b i to¡n ng÷ỉc B i to¡n n y ÷ỉc phĂt biu nhữ sau: Tm phn tò x C cho T (x ) Q; (0.1) â, C v Q ln lữổt l cĂc lỗi, âng v kh¡c rØng c¡c khæng gian Hilbert thüc H1 v H2, T : H1 ! H2 l mºt toĂn tò tuyn tnh b chn Ta cõ th thĐy r‹ng c¡c b i to¡n (0.1), cơng nh÷ mºt sŁ b i toĂn liản quan, l trữớng hổp c biằt cıa b i to¡n t¡ch tŒng qu¡t sau ¥y Cho X v Y l hai khæng gian Hilbert hay Banach, v cho T : X ! Y l mºt ¡nh x⁄ tł X v o Y Gi£ sß (P1) v (P2) l hai b i toĂn cho trữợc X v Y , t÷ìng øng X†t b i to¡n t…m mºt phƒn tß x thuºc X cho x l mºt nghi»m cıa (P 1) v T (x ) l mt nghiằm ca (P2) Ta kỵ hiằu b i to¡n n y l (P ) N«m 2019 Reich v Tuyen [14]  ln u tiản ã xuĐt v nghiản cøu d⁄ng tŒng qu¡t cıa B i to¡n (P ) nh÷ sau: Cho X1; X2; : : : ; XN l c¡c khæng gian Hilbert hay Banach v cho Ti : Xi ! Xi+1, i = 1; 2; : : : ; N 1, l c¡c ¡nh x⁄ tł X i v o Xi+1 Gi£ sß (Pi), i = 1; 2; : : : ; N, l N b i toĂn cho trữợc trản X i, tữỡng ứng Khi õ d⁄ng tŒng qu¡t cıa B i to¡n (P ) l t…m mºt phƒn tß x X1 cho x l mºt nghi»m cıa b i to¡n (P1), T1(x ) l mºt nghi»m cıa b i to¡n (P2), , v TN 1(TN 2(:::T2(T1(x )))) l mºt nghi»m cıa B i toĂn (P N ), hồ kỵ hiằu b i to¡n n y l (GP ) Cư th” hìn [14] Reich v Tuyen ¢ x†t b i to¡n (GP ) vỵi c¡c ¡nh x⁄ chuy”n Ti l tuy‚n t‰nh, bà ch°n v (Pi) l b i to¡n t…m khæng i”m cıa to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i Ai B i to¡n n y ÷ỉc gåi l b i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t (Generalized Split Common Null Point Problem, vi‚t t›t l GSCNPP) Möc ‰ch cıa lu“n v«n n y l tr…nh b y l⁄i c¡c k‚t qu£ cıa Reich v Tuyen [14] v• mºt c£i tin ca phữỡng phĂp CQ, kt hổp vợi phữỡng phĂp i”m gƒn k• gi£i b i to¡n GSCNPP Nºi dung ca lun vôn ữổc chia l m hai chữỡng ch ‰nh, â: Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y t“p trung tr…nh b y l⁄i mt s tnh chĐt cỡ bÊn vã khổng gian Hilbert, php chiu mảtric, hai phữỡng phĂp lp cỡ bÊn tm im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn (phữỡng phĂp lp Halpern, phữỡng phĂp xĐp x gn kt) Tip theo, • c“p ‚n ph÷ìng ph¡p CQ ” gi£i b i to¡n ch§p nh“n t¡ch v cuŁi cịng l mºt sŁ b ã b trổ ữổc sò dửng chứng minh cĂc nh lỵ Chữỡng ca lun vôn Chữỡng Mt s nh lỵ hi tử mnh cho b i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t Nºi dung ca chữỡng n y ã cp n cĂc kt quÊ [14] vã hai nh lỵ hi tử mnh giÊi b i to¡n GSCNPP Mºt sŁ øng döng cıa c¡c phữỡng phĂp lp cho cĂc b i toĂn liản quan kh¡c (b i to¡n khæng i”m chung t¡ch, b i to¡n i”m cüc ti”u t¡ch tŒng qu¡t, b i to¡n chĐp nhn tĂch tng quĂt, b i toĂn cƠn bng tĂch tng quĂt v bĐt flng thức bin phƠn tĂch tng quĂt) cụng ữổc giợi thiằu chữỡng n y Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Chữỡng n y bao gỗm mửc chnh Mửc 1.1 • c“p ‚n mºt sŁ °c tr÷ng cì b£n cıa khổng gian Hilbert thỹc, Mửc 1.2 giợi thiằu sỡ lữổc mt s kt quÊ vã Ănh x khổng giÂn v toĂn tò ỡn iằu Mửc 1.3 trnh b y vã phữỡng phĂp lp Halpern v phữỡng phĂp xĐp x mãm cho b i to¡n t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x khổng giÂn Mửc 1.4 ã cp n b i toĂn chĐp nhn tĂch v phữỡng phĂp CQ xĐp x¿ nghi»m cıa b i to¡n n y khæng gian Hilbert Mửc 1.5 giợi thiằu mt s b ã bŒ trỉ cƒn sß dưng vi»c tr…nh b y nºi dung cıa Ch÷ìng Nºi dung cıa ch÷ìng n y phn lợn ữổc tham khÊo t cĂc t i li»u [1,2,8,12] 1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khỉng gian Hilbert Ta luæn gi£ thi‚t H l khæng gian Hilbert thỹc vợi tch vổ hữợng ữổc k hiằu l h:; :i v chu'n ữổc k hiằu l k:k Trữợc ht, ta nh›c l⁄i mºt °c tr÷ng h…nh håc quan trång cıa khỉng gian Hilbert M»nh • 1.1.1 Trong khỉng gian Hilbert thüc H ta luæn câ flng thøc sau kx vỵi måi x; y; z H yk + kx zk = ky zk + 2hx y; x zi; Chøng minh Th“t v“y, ta câ ky zk + 2hx y; x zi = hy; yi + hz; zi + 2hx; xi 2hx; zi 2hx; yi = [hx; xi 2hx; yi + hy; yi] + [hx; xi 2hx; zi + hz; zi] = kx yk + kx zk : M»nh • 1.1.2 Cho H l mºt khỉng gian Hilbert thüc Khi â, vỵi måi x; y H v måi [0; 1], ta câ k x + (1 )yk2 = kxk2 + (1 )kyk2 (1 )kx yk2: (1.1) Chøng minh Ta câ k x + (1 )yk2 = 2kxk2 (1 )hx; yi + (1 )2kyk2 = kxk2 + (1 )kyk2 (1 )(kxk2 = kxk2 + (1 )kyk2 (1 )kx 2hx; yi + kyk2) yk2: Ta ữổc iãu phÊi chứng minh Mằnh ã 1.1.3 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc Khi õ, nu vợi x; y H thọa mÂn iãu ki»n jhx; yij = kxk:kyk; tøc l b§t flng thøc Schwars x£y d§u b‹ng th… hai v†c tì x v y l phö thuºc tuy‚n t‰nh Chøng minh Gi£ sò ngữổc li rng x 6= y vợi mồi R Khi õ, t tnh chĐt ca tch vổ hữợng, ta câ < kxyk = 2 kyk hx; yi + kxk ; R Ta thĐy rng nu y = 0, th hin nhiản x v y l phö thuºc tuy‚n hx; yi t‰nh Gi£ sò y =6 0, õ vợi = kyk2 , th bĐt flng thức trản tr th nh jhx; yij < kxk:kyk; iãu n y mƠu thuÔn vợi giÊ thit V“y x v y l phö thuºc tuy‚n t‰nh M»nh ã ữổc chứng minh Nhc li rng, dÂy fxng khỉng gian Hilbert H ÷ỉc gåi l hºi tử yu vã phn tò x H, nu lim hxn; yi = hx; yi; n!1 vỵi måi y H T tnh liản tửc ca tch vổ hữợng, suy n‚u xn ! x, th… xn * x Tuy nhiản, iãu ngữổc li khổng úng Chflng hn, xt khổng gian l = ffxng R: P1 l2 , jxnj < 1g v feng n=1 en = (0; :::; 0; ÷ỉc cho bði ; 0; :::; 0; :::); tr‰ thø n vỵi måi n Khi â, en * 0, n ! Th“t v“y, vỵi mØi y H, tł b§t flng thøc Bessel, ta câ X n=1 jhen; yij 2 kyk < 1: Suy limn!1hen; yi = 0, tøc l e n * Tuy nhi¶n, fe ng khỉng hºi tư vã 0, v kenk = vợi mồi n Ta bi‚t r‹ng måi khỉng gian Hilbert H •u thäa mÂn iãu kiằn ca Opial, t nh chĐt n y ữổc th hiằn mằnh ã dữợi Ơy: Mằnh ã 1.1.4 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc v fx ng H l mt dÂy bĐt ký thọa mÂn i•u ki»n xn * x, n ! Khi â, vỵi måi y H v y 6= x, ta câ n lim inf kx n xk !1 n kx n < lim inf y !1 k : (1.2) Chøng minh V… xn * x, n¶n fxng bà ch°n Ta câ kxn yk = kxn 2 x; x yi: xk + kx yk + 2hxn V… x 6= y, n¶n lim inf kx n n y k !1 > lim inf( x n n x !1 k k = lim inf k x n n x; x y ) +2x i hn x 2: k !1 Do â, ta nh“n ÷ỉc n lim inf !1 Mằnh ã ữổc chứng minh kx n xk n < lim inf !1 kx n y k : 30 Th“t v“y, °t fxng l d¢y x¡c kz x n+1 V… x n+1 k c kt n S, n¶n J A1 1;n ành bði (2.1) vỵi u = f(x ) Ta câ x k + (1 n)kt3;n 3;n A2 (T x (x ) = x , J 2;n v JA3 (T )=x T 3;n (2.22) y3;nk: x ) = x Do â, tł BŒ • 1.5.2 suy kt kt kt 3;n 2;n x k kt2;n x x k; (2.23) k kt1;n x k x k; (2.24) x k: kzn 1;n (2.25) Tł (2.18) (2.20) v (2.22) (2.25), suy r‹ng kzn+1 xn+1k nckzn x k + (1 (1 c) n]kzn [1 n)kzn xnk xnk + nckxn x k: p dưng l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ chứng minh ca nh lỵ 2.3.1, ta nhn ữổc z n ! x CuŁi cịng mưc n y, b‹ng c¡c l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ chøng minh cıa c¡c nh lỵ 2.2.1 v nh lỵ 2.3.1, cĂc tĂc giÊ Reich S v Tuyen T.M  ữa nh lỵ dữợi Ơy giÊi b i toĂn khổng im chung tĂch tng quĂt (GSCNPP) nh lỵ 2.3.3 GiÊ sò rng c¡c i•u ki»n sau l óng: C1) i 0; vỵi måi i = 1; 2; :::; N 1; T T k k C2) k ::: i N k > 0; infnf i;ngg i=1;2;:::;N C3) limn!1 n = 0, P1 n=0 n = Khi â d¢y fxng x¡c ành bði x0 H1 v y 1;n y 2;n =x n =y N 1;n N =y N 2;n N N (I J N )TN 1TN 2:::T1xn; N;n J 1T (IH2 AN H (I HN 2TTT 1;n :::T y 1T T AN N 1;n A2 J 2;n )TN 2TN )T1yN 2;n; :::T y 1;n (2.26) (2.27) 31 y N;n A1 =J (y N 1;n 1;n x n+1 x n+1 ); = nf(xn) + (1 n)yN;n; ho°c = nf(yN;n) + (1 n)yN;n; n 0; hi tử mnh vã mt phn tò x S, l nghiằm nhĐt ca bĐt flng thức bin phƠn h(I 2.4 2.4.1 H f)x ; y xi 8y S: Mºt sŁ øng döng B i to¡n khæng i”m chung t¡ch c¡c khæng gian Hilbert thüc, cho T : H1 ! Cho H1 v H2 l to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n v cho f : H1 ! Cho Ai : H1 ! l c¡c to¡n tß H1 l , i = 1; 2; :::; r, v Aj : H2 ! i»u cüc ⁄i thäa m¢n r 1 N mºt mºt ¡nh x⁄ co tr¶n H1 2 , j = r + 1; r + 2; :::; N, H1 ìn H2 l H S := \ i=1Ai \ T (\ j=r+1Aj 0) 6= ;: T nh lỵ 2.3.3, ta cõ nh lỵ hi tử mnh dữợi Ơy tm mt phn tò x S nh lỵ 2.4.1 Nu i 0; vỵi måi i = 1; 2; :::; N k k 1, v f g, f g, i = 1; 2; :::; N, l n i;n T måi j = N r + 1; :::; N r, j (0; 2) v cĂc dÂy s dữỡng thọa mÂn cĂc iãu kiằn C2) v C3) nh lỵ 2.3.3, th d¢y fx ng x¡c ành bði x0 H1 v y 1;n y 2;n =x n =y 1;n H2 1T (I 2T (I AN J H2 J N y AN r;n N =y r 1;n N r+1;n =y N r;n N N rT r+1 )T y1;n 1;n N y )T xn; N;n H2 (I (I J H1 J Ar+1 r+1;n Ar )y r;n )T yN r 1;n N r;n y N 1;n =y N 2;n N 1(I H1 J A2 2;n )y N 2;n ; 32 y N;n =J x n+1 x n+1 A1 (y N 1;n 1;n ); = nf(xn) + (1 n)yN;n; = nf(yN;n) + (1 ho°c n)yN;n; n 0; hºi tö m⁄nh vã mt phn tò x S, l nghiằm nhĐt ca bĐt flng thức bin phƠn h(I H f)x ; y x i 8y S: Chøng minh p dửng nh lỵ 2.3.3 vợi Hi = H1 vỵi måi i = 1; :::; r, Hj = H2, j = r H H + 1; :::; N, Ti = I , i = 1; 2; :::; r 1, Tr = T v Tj = I vỵi måi j = r + 1; :::; N 1, ta nhn ữổc iãu phÊi chứng minh T nh lỵ 2.4.1, ta cõ hằ quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn t…m khæng i”m chung cıa mºt hå hœu h⁄n to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i H» qu£ 2.4.2 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc, f : H ! Hl mºt ¡nh x⁄ co tr¶n H v cho Ai : H ! 2H , i = 1; 2; :::; N, l c¡c to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i thäa m¢n S := \Ni=1Ai 10 6= ; N‚u i (0; 2) vỵi måi i = 1; 2; :::; N 1, N = v n‚u f ng, f i;ng, i = 1; 2; :::; N, l c¡c d¢y sŁ dữỡng thọa mÂn cĂc iãu kiằn C2) v C3) nh lỵ 2.3.3, th dÂy fxng xĂc nh bi x0 H v yn = VN Vn 1:::V1xn; xn+1 = nf(xn) + (1 n)yn; ho°c xn+1 = nf(yn) + (1 n)yn; n H i(I AN J i+1 0; ) vỵi måi i = 1; 2; :::; N, hºi tö m⁄nh v• i;n H â Vi := I mºt phƒn tò x S, l nghiằm nhĐt ca bĐt flng thøc bi‚n ph¥n h(I H f)x ; y x i 8y S: Chøng minh H» qu£ n y ữổc suy trỹc tip t nh lỵ 2.4.1 H1 = H2 = H v T = IH 2.4.2 B i to¡n i”m cüc ti”u t¡ch tŒng qu¡t Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc v g: H! ( h m lỗi chnh thữớng, nòa liản tửc dữợi Dữợi vi phƠn ca g l ; 1] l mºt ¡nh x⁄ a trà 33 H @g : H ! v ÷ỉc x¡c ành bði @g(x) := fz H : g(y) g(x) hy x; zi 8y Hg: vỵi mØi x H Ta bi‚t r‹ng @g l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i [11] v x0 arg minx2H g(x) n‚u v ch¿ n‚u @g(x0) Mºt øng döng ti‚p theo cıa ành lỵ 2.3.3 giÊi b i toĂn im cỹc tiu t¡ch tŒng qu¡t khỉng gian Hilbert ÷ỉc cho nh lỵ dữợi Ơy = 1; 2; :::; N, l cĂc khổng gian Hilbert thỹc Cho nh lỵ 2.4.3 Cho Hi, i ; 1], i = 1; 2; :::; N, l cĂc h m lỗi, chnh thữớng, nòa liản tửc fi : Hi ! ( 1, l c¡c to¡n tß tuyn tnh b dữợi, v cho Ti : Hi ! Hi+1, i = 1; 2; :::; N ch°n cho S := arg f (x) \T 1(arg f (x)) x 2H1 x2 \ ::: \ T1 H2 (T2 f :::(TN (arg x (x)))) = : N 6; HN N‚u cĂc iãu kiằn C1), C2) v C3) nh lỵ 2.3.3 óng, th… d¢y fx ng x¡c ành bði x0 H1 v z 1;n = a rg N N;n x2 HN y 1;n z 2;n N f (x) + 1T1 T2 :::TN (T =x n = arg k 1fN 2;n 2T1 1;n T2 TN (x) + N (T N 1;n = arg y N 1;n z N;n = arg =y N 2;n x2H1 y N;n f (x) + (T1yN 2;n 1;n k f (x) + Ty z y =z ; N;n xn+1 = nf(xn) + (1 xn+1 = nf(yN;n) + (1 n)yN;n; ho°c n)yN;n; n 0; 2;n 2;nk N N z ) 1;n N x T :::T y x N 1T 1 N nk :::T x z1;n); kx k 1 T N 2;n x2H2 1;n T N z x T T T 2:::T1xn y =y N N N x2HN N 1;n 1;nk ); 2 ; 1;nk :::T y 34 hi tử mnh vã mt phn tò x S, l nghi»m nh§t cıa b§t flng thøc bi‚n ph¥n h(I H f)x ; y xi 8y S: Chứng minh Trữợc ht, ta thĐy rng 1 1 1 S = (@f1) (0) \ T1 ((@f2) (0)) \ ::: \ T1 (T2 :::(TN 1((@fN ) (0)))): Ta câ z1;n = arg f (x) + N x2HN N;n k x T N T N :::Tx nk v ch¿ @fN (z1;n) + (z N;n i•u n y suy z1;n = J 1;n AN N;n TN 1TN 2:::T1xn) 0; (TN 1TN 2:::T1xn); â AN = @fN T÷ìng tü, ta cơng câ zi;n = J AN i+1 (TN iTN i 1:::T1yi 1;n): N i+1;n vỵi AN i+1 = @fN i+1 vỵi måi i = 2; 3; :::; N Do â, ¡p döng ành lỵ 2.3.3, ta nhn ữổc iãu phÊi chứng minh 2.4.3 B i to¡n ch§p nh“n t¡ch tŒng qu¡t Cho C l mt lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian Hilbert thỹc H Kỵ hiằu iC l h m ch¿ cıa C, tøc l , GiÊ sò u = Jrx vỵi x H, tøc l , u x r Khi â ta câ @iC (u) = N(u; C): hxu; u vỵi måi y C Tł yi c trững ca php chiu mảtric (Mằnh ã 1.1.10), suy H u = PC x nh lỵ 2.3.3 suy ta kt quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn chĐp nhn tĂch tng quĂt nh lỵ 2.4.4 Cho Hi, i = 1; 2; :::; N, l i = 1; 2; :::; N, l c¡c khæng gian Hilbert thüc, cho Ci, cĂc lỗi, õng ca Hi, tữỡng øng Cho Ti : Hi ! Hi+1, i = 1; 2; :::; N 1, l c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n cho S :=C1\T1 (C2) \ ::: \ T1 (T2 :::(TN 1(CN ))) 6= ;: N‚u c¡c i•u ki»n C1) v C3) ành lỵ 2.3.3 úng, th dÂy fx ng xĂc nh bi x0 H1 v y 1;n y 2;n =x 1T 1;n =y 2TTT 1;n N y N 1;n y N;n T :::T (IHN =y C1 H1 (I y N 1;n ; xn+1 = nf(xn) + (1 xn+1 = nf(yN;n) + (1 HN )TN 1TN 2:::T1xn; CN P N 1T (IH2 N 2;n =P N HN P P H N CN H2 1 )TN 2TN 3:::T1y1;n; )T1yN 2;n; C2 ho°c n)yN;n; n)yN;n; n 0; hºi tư m⁄nh v• mºt phƒn tò x S, l nghiằm nhĐt ca bĐt flng thøc bi‚n ph¥n h(I H f)x ; y xi 8y S: B‹ng l“p lu“n t÷ìng tü nhữ chứng minh ca nh lỵ 2.4.1 ta nhn ữổc hằ quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn chĐp nhn t¡ch 36 H» qu£ 2.4.5 Cho H1 v H2 l hai khæng gian Hilbert thüc, cho T : H1 ! H2 l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n v f : H ! H1 l mºt ¡nh x⁄ co tr¶n H1 Cho Ci, i = 1; 2; :::; r, v Qj, j = r + 1; r + 2; :::; N, l cĂc lỗi, õng cıa H v H2, t÷ìng øng, cho r N S := \ i=1Ci \ T (\ j=r+1Qj) 6= ;: N‚u i 0; kT k2 vỵi måi i = 1; 2; :::; N r, j (0; 2), j = N r+1; :::; N 1, v f ng, f i;ng, i = 1; 2; :::; N, l cĂc dÂy s dữỡng thọa mÂn cĂc iãu kiằn C2) v C3) nh lỵ 2.3.3, th dÂy fxng x¡c ành bði x0 H1 v y 1;n y 2;n =x 1T n =y 2T 1;n H2 (I P H2 QN H2 (I P H2 yN r;n yN =y r 1;n N r+1;n )T xn; =y N r;n N rT N r+1 QN ))T y1;n; H2 (I (I P H1 P y N 1;n y N;n =y N 2;n H1 = P (y C1 N N 1(I H1 ); P H1 C2 H2 Qr+1 ))T yN r 1;n; H1 )y Cr N r;n )y N 2;n ; ; 1;n xn+1 = nf(xn) + (1 xn+1 = nf(yN;n) + (1 n)yN;n; ho°c n)yN;n; n 0; hi tử mnh vã mt phn tò x S, l nghiằm nhĐt ca bĐt flng thức bin phƠn h(IH1 2.4.4 f)x ; y xi 8y S: B i to¡n c¥n b‹ng t¡ch tŒng qu¡t Cho C l mt lỗi, õng v khĂc rỉng ca khæng gian Hilbert thüc H Cho F l mºt song h m tr¶n C C v o R B i toĂn cƠn bng ữổc phĂt biu nhữ sau: Tm mt phƒn tß x C cho F (x; y) 8y C: (2.28) 37 nghiản cứu vã b i toĂn cƠn bng, ngữới ta thữớng giÊ sò song h m F câ c¡c t ‰nh ch§t sau: (A1) F (x; x) = vỵi måi x C; (A2) F ìn i»u, tøc l , F (x; y) + F (y; x) vỵi måi x; y C; (A3) vỵi mØi x; y; z C, ta câ limt#0 F (tz + (1 t)x; y) F (x; y); (A4) vỵi mØi x C, ¡nh x⁄ y 7! F (x; y) l lỗi v nòa liản tửc dữợi Tip theo, ta cn b ã dữợi Ơy BŒ • 2.4.6 [13] Cho F l mºt song h m tł C C v o R thäa m¢n c¡c i•u ki»n (A1) (A4) v cho AF l ¡nh x⁄ a tr trản H ữổc xĂc nh bi