Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán điểm bất động chung tách trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số :8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2020 ii Líi c£m ìn T¡c gi£ xin gßi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi TS Trữỡng Minh Tuyản ngữới thy  luổn tn tnh hữợng dÔn, ch bÊo v gióp ï t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v ho n thiằn lun vôn ỗng thới, tĂc giÊ cơng xin gßi líi c£m ìn ‚n c¡c thƒy, cỉ khoa To¡n Tin, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc, ⁄i hồc ThĂi Nguyản  giúp ù, to iãu kiằn cho t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cứu ti Trữớng Cui tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn gia nh, bn b v ỗng nghiằp  luổn ng viản to iãu ki»n gióp ï tỉi v• måi m°t suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v vi‚t lu“n v«n n y iii Mửc lửc Lới cÊm ỡn Mt s kỵ hiằu v vi‚t t›t ii iv Mð ƒu Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khỉng gian Hilbert 1.2 nh x⁄ khỉng gi¢n khỉng gian Hilbert 11 1.2.1 nh x⁄ khỉng gi¢n 11 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p 15 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp 15 1.3 To¡n tß ìn i»u khỉng gian Hilbert 16 Ch÷ìng Hai ph÷ìng ph¡p chi‚u gi£i b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch 21 2.1 Ph¡t bi”u b i to¡n 21 2.2 Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p 23 2.3 Phữỡng phĂp chiu thu hàp 27 2.4 Ùng döng 31 2.4.1 B i to¡n (MSCFPP) 31 2.4.2 B i to¡n (MSCNPP) 32 K‚t lu“n T i liằu tham khÊo 34 35 iv Mt s kỵ hiằu v vit tt h:; :i tch vổ hữợng trản khổng gian Hilbert H k:k chu'n tr¶n khỉng gian Hilbert H [ ph†p hæp \ ph†p giao R+ t“p c¡c sŁ thỹc khổng Ơm G(A) ỗ th ca toĂn tò A D(A) miãn xĂc R(A) miãn Ênh ca toĂn tò A A1 toĂn tò ngữổc ca toĂn tò A I toĂn tò ; rỉng 8x vợi mồi x xn ! xn * x0 x0 nh ca toĂn tò A ỗng nhĐt dÂy fxng hi tử mnh vã x0 dÂy fxng hºi tư y‚u v• x0 Mð ƒu Cho C v Q l cĂc lỗi, õng v khĂc rØng cıa c¡c khæng gian Hilbert H v H2, t÷ìng øng Cho T : H1 ! H2 l mºt toĂn tò tuyn tnh b chn B i toĂn chĐp nh“n t¡ch (SFP-Split Feasibility Problem) câ d⁄ng nh÷ sau: (0.1) T…m mºt phƒn tß x C \ T (Q): Mºt d⁄ng tŒng qu¡t cıa B i to¡n (0.1) l b i to¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p (MSSFPMultiple sets Split Feasibility Problem), b i to¡n n y ÷ỉc ph¡t bi”u nh÷ sau: Cho Ci, i = 1; 2; :::; N v Q j, j = 1; 2; :::; M l cĂc lỗi v õng ca H v H2 tữỡng ứng Tm mt phn tò x 2\ N Ci\ i=1 T ( \ M Q )= j=1 j : (0.2) 6; Mæ h…nh b i toĂn (SFP) ln u tiản ữổc giợi thiằu v nghiản cøu bði Y Censor v T Elfving [5] cho mæ h…nh c¡c b i to¡n ng÷ỉc B i to¡n n y âng vai trỈ quan trång khỉi phưc h…nh Ênh Y hồc, iãu khin cữớng x tr iãu tr bằnh ung thữ, khổi phửc tn hiằu (xem [3], [4]) hay câ th” ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c b i to¡n c¥n b‹ng kinh t‚, lỵ thuyt trặ chỡi B i toĂn chĐp nhn tĂch (0.1) l mºt tr÷íng hỉp °c bi»t cıa b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch D⁄ng tŒng qu¡t cıa b i toĂn im bĐt ng chung tĂch ữổc phĂt bi”u nh÷ sau: Cho Ti : H1 ! H1, i = 1; 2; :::; N v Sj : H2 ! j = 1; 2; :::; M l c¡c ¡nh x⁄ khổng giÂn trản H1 v N Tm phn tò x \i =1 Fix(Ti) \ T H2, t÷ìng øng M \j =1 Fix(Sj) 6= ;: H2, (0.3) Thíi gian gn Ơy, lợp cĂc B i toĂn (0.3)  thu hút sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh toĂn hồc v ngo i nữợc Nôm 2019, cĂc tĂc giÊ Reich S v Tuyen T.M  ữa mt phữỡng phĂp lp mợi dỹa trản phữỡng phĂp chiu lai gh†p (Hybrid projection method) ” gi£i B i to¡n (0.3) (xem [8, nh lỵ 4.2]) Mửc ch ca lun v«n n y l tr…nh b y chøng minh chi tit cho nh lỵ 4.2 [8] v trnh b y l⁄i mºt k‚t qu£ cıa t¡c gi£ Ha M.T.N vã phữỡng phĂp chiu co hàp [6] xĐp x mºt nghi»m cıa B i to¡n (0.3) cho tr÷íng hỉp M = N = Nºi dung cıa lu“n v«n ÷ỉc chia l m hai ch÷ìng ch‰nh: Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Trong ch÷ìng n y, lu“n vôn ã cp n mt s c trững cỡ bÊn cıa khỉng gian Hilbert, ph†p chi‚u m¶tric, ¡nh x⁄ khỉng giÂn cĂc phữỡng phĂp chiu lai ghp hay chiu co hàp tm im bĐt ng cho lợp Ănh x⁄ n y Mưc cuŁi cịng cıa ch÷ìng n y • c“p ‚n kh¡i ni»m to¡n tß ìn i»u v mt s tnh chĐt cỡ bÊn Chữỡng Hai phữỡng ph¡p chi‚u gi£i b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch Ch÷ìng n y t¡c gi£ tr…nh b y chøng minh chi tit cho v nh lỵ 4.2 [8] tr…nh b y l⁄i k‚t qu£ cıa t¡c gi£ Ha M.T.H [6] Ngo i ra, b‹ng c¡ch sß dưng t‰nh ch§t i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ trung b…nh hay tnh chĐt ca toĂn tò giÊi i vợi toĂn tò ỡn iằu, tĂc giÊ cụng ữa mt s ph÷ìng ph¡p gi£i B i to¡n (0.3) v b i to¡n khỉng i”m chung t¡ch Ch÷ìng Mºt s kin thức chu'n b Chữỡng n y bao gỗm ba mưc ch‰nh Mưc 1.1 • c“p ‚n mºt sŁ °c tr÷ng cì b£n cıa khỉng gian Hilbert thüc, Mưc 1.2 giợi thiằu sỡ lữổc mt s kt quÊ vã Ănh x khổng giÂn, vợi cĂc phữỡng phĂp chiu lai ghp v chiu thu hàp tm im bĐt ng cho lỵp ¡nh x⁄ n y Mưc 1.3 tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t cì b£n vã toĂn tò ỡn iằu khổng gian Hilbert Ni dung ca chữỡng n y phn lợn ữổc tham khÊo tł c¡c t i li»u [1] v [2] 1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khỉng gian Hilbert Ta ln gi£ thi‚t H l khỉng gian Hilbert thüc vỵi t‰ch vỉ hữợng ữổc k hiằu l h:; :i v chu'n ữổc k‰ hi»u l k:k M»nh • 1.1 Trong khỉng gian Hilbert thüc H ta luæn câ flng thøc sau 2 kx yk + kx zk = ky zk + 2hx y; x zi; vỵi måi x; y; z H Chøng minh Th“t v“y, ta câ ky zk + 2hx y; x zi = hy; yi + hz; zi + 2hx; xi = [hx; xi 2hx; yi + hy; yi] + [hx; xi 2hx; zi + hz; zi] = kx yk + kx zk : 2hx; zi 2hx; yi Vy ta ữổc iãu phÊi chøng minh M»nh • 1.2 Cho H l mºt khỉng gian Hilbert thüc Khi â, vỵi måi x; y H v måi [0; 1], ta câ )yk2 = kxk2 + (1 k x + (1 )kyk2 (1 )kx yk2: (1.1) Chøng minh Ta câ k x + (1 )yk2 = 2kxk2 + )hx; yi + (1 (1 )2kyk2 = kxk2 + (1 )kyk2 (1 )(kxk2 = kxk2 + (1 )kyk2 (1 )kx 2hx; yi + kyk2) yk2: Ta ữổc iãu phÊi chứng minh Mằnh ã 1.3 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc Khi â, n‚u vợi x; y H thọa mÂn iãu kiằn jhx; yij = kxk:kyk; tøc l b§t flng thøc Schwars x£y d§u b‹ng th… hai v†c tì x v y l phử thuc tuyn tnh Chứng minh GiÊ sò ngữổc l⁄i r‹ng x 6= y vỵi måi R Khi õ, t tnh chĐt ca t ch vổ hữợng, ta câ < kx vỵi måi yk = kyk 2 hx; yi + kxk ; R Ta th§y r‹ng n‚u y = 0, th… hi”n nhi¶n x v y l phư thuºc tuy‚n hx; yi tnh GiÊ sò y 6= 0, thức trản tr th nh õ vợi = kyk2 , th bĐt jhx; yij < kxk:kyk; iãu n y mƠu thuÔn vợi giÊ thi‚t V“y x v y l phö thuºc tuy‚n t‰nh Mằnh ã ữổc chứng minh flng Nhc li rng, dÂy fxng khổng gian Hilbert H ữổc gồi l hi tử yu vã phn tò x H, nu lim hxn; yi = hx; yi; n!1 vỵi måi y H T tnh liản tửc ca tch vổ hữợng, suy n‚u x n ! x,2 th… xn * x Tuy nhiản, iãu ngữổc li khổng úng Chflng hn x†t khæng gian l = fxng R : P1 2 jxnj < v feng l , ÷ỉc cho bði n=1 en = (0; :::; 0; ; 0; :::; 0; :::); tr‰ thø n vỵi måi n Khi â, en * 0, n ! Tht vy, vợi mỉi y H, t bĐt flng thøc Bessel, ta câ X n=1 jhen; yij 2 kyk < 1: Suy limn!1hen; yi = 0, tøc l en * Tuy nhi¶n, feng khỉng hºi tử vã 0, v kenk = vợi mồi n Ta bi‚t r‹ng måi khỉng gian Hilbert H •u thọa mÂn tnh chĐt n y ữổc th hiằn mằnh ã dữợi Ơy: Mằnh ã 1.4 Cho H l mºt khỉng gian Hilbert thüc v i•u ki»n cıa Opial, mt dÂy fxng H l y 6= x, bĐt ký thọa mÂn iãu kiằn xn * x, n ! Khi â, vỵi måi y H v ta câ k k k k n n n n x x x y : lim inf < lim inf !1 (1.2) !1 Chøng minh V… xn * x, n¶n fxng bà ch°n Ta câ kxn yk = kxn 2 xk + kx yk + 2hxn x; x yi: V… x 6= y, n¶n lim inf kx n n yk > lim inf( x n n !1 !1 = k lim inf x n k n !1 x 2+ x n k h xk : x; x y ) i Do â, ta nh“n ÷ỉc n kx n xk < lim inf n kx n lim inf !1 k: y !1 Mằnh ã ữổc chứng minh M»nh • 1.5 Måi khỉng gian Hilbert thüc H •u câ t‰nh ch§t Kadec-Klee, tøc l n‚u fxng H l mt dÂy bĐt ký H thọa mÂn cĂc i•u ki»n x n * x v kxnk ! kxk, th… xn ! x, n ! Chøng minh Ta câ kxn xk = kxnk 2hxn; xi + kxk ! 0; n ! 1: Suy xn ! x, n ! Mằnh ã ữổc chøng minh M»nh • 1.6 Cho C l mºt t“p lỗi v õng ca khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ, tỗn ti nhĐt phn tò x C cho kx k kxk vỵi måi x C: inf k xk Khi õ, tỗn ti Chứng minh Th“t v“y, °t d = x kxnk! f x ng C C cho d; n! Tł flng thøc h…nh b…nh h nh, ta câ kxn xmk = 2(kxnk 2 + kxmk) 4k 2 xn + xm k (kxnk + kxmk ) 4d ! 0; n; m ! : Do â f x ng l d¢y Cauchy H Suy tỗn ti x n!1 = lim x n2 h m sŁ li¶n tưc n¶n kx k = d C (do fxng C v C l t“p âng) Do chu'n l Ti‚p theo ta ch¿ t‰nh nhĐt GiÊ sò tỗn ti y C cho ky k = d Ta câ kx y k = 2( x k + ky k 2) 4k x + y k k 22 trång khỉi phưc h…nh £nh Y håc, khỉi phưc t‰n hi»u (xem [3], [4]) hay câ th” ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c b i to¡n c¥n b‹ng kinh t, lỵ thuyt trặ chỡi (xem [9]) Khi Ci v Qj l t“p i”m b§t ºng cıa c¡c ¡nh x⁄ khổng giÂn T i v Sj, tữỡng ứng th b i to¡n (MSFP) trð th nh b i to¡n i”m bĐt ng tĂch i vợi Ănh x khổng giÂn Dng tŒng qu¡t cıa b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch ÷ỉc ph¡t bi”u nh÷ sau: Cho T i : H1 ! H1, i = 1; 2; :::; N v Sj : H2 ! H2, j = 1; 2; :::; M l cĂc Ănh x khổng giÂn trản H1 v H2, tữỡng ứng Tm phn tò x N M \ j=1 Fix(Sj) 6= ;: (MSCFPP) := \ i=1 Fix(Ti) \ T Khi Ci v Qj l t“p khỉng i”m cıa c¡c to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i A i v Bj, t÷ìng øng, th… b i to¡n (MSFP) trð th nh b i to¡n khæng i”m chung t¡ch D⁄ng tŒng qu¡t cıa b i to¡n n y ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau: Cho A i : H1 ! H !2 H , i = 1; 2; :::; N v Bj : H2 , j = 1; 2; :::; M l c¡c to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i H1 v H2, t÷ìng øng T…m phƒn tß x N 1 M \ j=1 Bj (0) 6= ;: (MSCNPP) := \ i=1Ai (0) \ T Trong lun vôn n y, trữợc ht chúng tổi ã cp n hai phữỡng phĂp chiu giÊi mt trữớng hổp riảng ca b i toĂn (MSCFPP) N = M = 1, tøc l b i to¡n sau: Cho H1 v H2 l c¡c khæng gian Hilbert thüc Cho S : H1 ! H1 v S2 : H2 ! H2, l c¡c ¡nh y x⁄ khæng giÂn trản H1 v H2, tữỡng ứng Xt b i to¡n: T…m mºt phƒn tß x H1 cho \ 6; ; y (SCFPP) := Fix(S ) )) = x T (Fix(S â T : H1 ! H2 l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n tł H1 v o H2 Ti‚p â, bng cĂch sò dửng cĂc Mằnh ã 1.15 v cĂc Chú ỵ 1.5, 1.6, chúng tổi ữa cĂc phữỡng ph¡p gi£i cho c¡c b i to¡n (MSCFPP) v (MSCNPP) 23 2.2 Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p ” gi£i B i to¡n (SCFPP), c¡c t¡c gi£ Reich S v Tuyen T.M  ã xuĐt thut toĂn dữợi Ơy: Thut toĂn 2.1 Vợi bĐt ký x0 = x H1, x¡c ành d¢y fxng bði yn = S1(xn); zn = S2(T yn); Cn = fz H1 : kyn : Dn = fz H1 kzn Wn = fz H1 : hz x n+1 Ta bt dữợi Mằnh =P Cn\Dn\Wn zk kxn T zk kT yn xn; x0 (x ); n zkg; xni T zkg; 0g; 0: ƒu ph¥n t‰ch sü hºi tư m⁄nh cıa Thu“t to¡n 2.1 thổng qua mằnh ã Ơy: ã 2.1 Trong Thut toĂn 2.1, d¢y fxng ho n to n x¡c ành Chøng minh Trữợc ht, ta ch rng Cn, Dn v Wn l cĂc lỗi, õng ca H1 vợi mồi n thĐy iãu n y, ta vit, vợi mỉi s nguyản n Cn, Dn v Wn ð c¡c d⁄ng t÷ìng øng sau: Cn = fz H1 : hxn yn; zi Dn = fz H1 : hT yn zn; T zi = fz H1 : hT (T yn zn); zi Wn = fz H1 : hx0 D„ th§y r‹ng Cn, Dn v 2 0, c¡c t“p (kxnk k ynk )g; 2 (kT ynk k znk )g; 2 (kT ynk k znk )g; xn; zi hxn; x0 xnig; Wn l cĂc lỗi v âng cıa H1 vỵi måi n Ti‚p theo, ta chøng minh Cn \ Dn \ Wn vỵi måi n Th“t v“y, l§y b§t ký p 5, ta câ S1(p) = p v S2(T p) = T p Tł t‰nh khỉng gi¢n cıa S1 v S2 suy kyn pk = kS1(xn) S1(p)k kxn pk; 24 kzn T pk = kS2(yn) S2(T p)k kyn Do â, tł nh nghắa ca Cn v Dn suy BƠy giớ ta ch¿ T pk: Cn \ Dn vỵi mồi n Wn vợi mồi n Rê r ng W0 = H1, n¶n ta câ W0 Gi£ sò Wn vợi n n o õ T xn+1 = PCn\Dn\Wn (x0) v °c tr÷ng cıa ph†p chi‚u mảtric (xem Mằnh ã 1.8), ta nhn ữổc hz xn+1; x0 xn+1i vỵi måi z Cn \ Dn \ Wn V… C n \ Dn \ W n v p hp xn+1; x0 5, n¶n ta câ xn+1i 0: i•u n y suy p Wn+1 v â Wn+1 V“y b‹ng quy np toĂn hồc, ta nhn ữổc S Wn vợi mồi n Do v“y Cn \ Dn \ Wn vỵi måi n v v… v“y Cn \ Dn \ Wn l lỗi, õng, khĂc rỉng ca H1 vợi mồi n iãu n y suy r‹ng d¢y fxng l ho n to n x¡c ành Mằnh ã ữổc chứng minh Chú ỵ 2.1 Dữợi Ơy, ta câ th” ÷a mºt c¡ch ” t…m h…nh chi‚u cıa x l¶n Cn \ Dn \ Wn Thu“t to¡n 2.1 n n n Vỵi mØi n, °t a1 = xn yn, a2 = T yn zn, a3 = T (T yn zn), v °t n 2 n 2 n b1 = (kxnk k ynk ), b2 = (kT ynk k znk ), b3 = hxn; x0 xni 2 nghi»m nh§t cıa b i to¡n tŁi Khi â phƒn tß x =P (x ) l n+1 Cn\Dn\Wn ÷u to n ph÷ìng sau: x H1 kx x 0k (2.1) ; vỵi r ng buºc n n hai ; xi bi ; i = 1; 2; 3: °t X n ia i : i R; i = 1; 2; 3g: L=f i=1 25 Khi âLl mºt khæng gian tuy‚n t‰nh âng cıa H1 Do â, theo nh lỵ phƠn tch trỹc giao , vợi mỉi x H1, x x0 ữổc biu din nhĐt dữợi dng ? an v h x = u + h, â u L v h L? V… u L, u = L , n¶n i 2 2 i=1 i h i = vỵi måi i = 1; 2; a in; h P Do â, B i to¡n (2.1) trð th nh b i to¡n sau: (k h; 1; 2; Xi =1 vỵi r ng buºc n a k + h ); n hai ; (2.2) kk i i Xi n iai i n bi =1 n h ; x0i; i = 1; 2; 3: D„ th§y r‹ng t⁄i nghi»m cıa B i to¡n (2.2), ta câ h = Do v“y, i, i = 1; 2; 3 l nghi»m tŁi ÷u cıa b i to¡n cỹc tiu to n phữỡng khổng gian R vợi ba r ng buºc b§t flng thøc Ta bi‚t r‹ng cõ nhiãu phữỡng phĂp khĂc giÊi b i to¡n n y ho°c ta cơng câ th” sß dưng gâi Quadratic Programming Algorithms MATLAB ” x§p x¿ nghi»m cıa nâ Sü hºi tö m⁄nh cıa Thu“t to¡n 2.1 ữổc cho bi nh lỵ dữợi Ơy nh lỵ 2.1 D¢y fxng x¡c ành bði Thu“t to¡n 2.1 hºi tư m⁄nh v• P (x0) Chøng minh Ta chia chøng minh ca nh lỵ n y th nh cĂc bữợc nhọ nhữ sau Bữợc kxn+1 xnk ! n ! y y °t x = P (x0) Trữợc ht, ta cõ x S Wn vợi måi n Ti‚p theo, tł ành ngh¾a cıa Wn v c trững ca php chiu mảtric ta nhn ữổc xn = PWn (x0) Do â, tł ành ngh¾a cıa ph†p chi‚u m¶tric ta câ kxn y x0k kx x0 k (2.3) vợi mồi n iãu n y suy d¢y fxng bà ch°n V… xn+1 Wn v xn = PWn (x0), nản t Mằnh ã 1.1 ta nh“n ÷ỉc 2 k xn x0k2: kxn+1 xnk kxn+1 x0k (2.4) mºt khæng gian tuy‚n t‰nh âng cıa H Khi â mØi Cho H l mºt khæng gian Hilbert v L l ? x H ÷ỉc biu din nhĐt dữợi dng x = y + z vỵi y L v z2L 26 Do õ dÂy fkxn limn!1 kxn x0kg l ỡn iằu tông V fkxn x0kg b chn, nản giợi han x0k tỗn t⁄i v hœu h⁄n Tł (2.4) suy r‹ng lim kxn+1 xnk = 0; n!1 khflng ành ÷ỉc chøng minh Bữợc kxn ynk ! v kzn T ynk ! n ! Tł xn+1 = PCn\Dn\Wn (x0) Cn v kxn+1 Do â, tł limn!1 kxn+1 ành ngh¾a cıa Cn, ta câ ynk kxn+1 xnk = 0, ta thu xnk: ÷ỉc (2.5) kxn+1 ynk ! 0: V… kxn ynk kxn+1 ynk + kxn+1 xnk; n¶n (2.6) kxn ynk ! 0; khflng nh thứ nhĐt ữổc chứng minh Tł xn+1 = PCn\Dn\Wn (x0) Dn v kzn T xn+1k ành ngh¾a cıa Dn, ta câ kT yn T xn+1k kT kkxn+1 ynk: Tł (2.5) suy r‹ng kzn (2.7) T xn+1k ! 0: Do â, ¡p döng (2.5) v ¡nh gi¡ kzn T ynk kzn T xn+1k + kT xn+1 kzn T xn+1k + kT kkxn+1 T ynk ynk; 27 ta nh“n ÷ỉc (2.8) kzn T ynk ! 0; khflng nh thứ hai ữỡc chứng minh Bữợc xn ! P (x0) n ! V dÂy fxng b chn, nản tỗn ti mt dÂy fxnk g cıa fxng cho xnk * x k ! V… T l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n, n¶n ta câ T xnk * T x Sß dưng (2.6) v (2.8), ta nh“n ÷ỉc kxnk S1(xnk )k ! v Tł BŒ • 1.13 suy x Fix(S1) v kT ynk (2.9) S2(T ynk )k ! 0: T x Fix(S2), tøc l , x 5= Fix(S1) \ T (Fix(S2)) y Tł x = P H1 x, x kx 0 xy , (2.3) v M»nh • 1.4, suy r‹ng k k x x k lim inf kx nk k !1 lim sup kxnk x0k kx0 k!1 y x k y x k: y Sò dửng tnh nhĐt ca im gn x nhĐt, ta nh“n ÷ỉc x = x Ta cơng câ y y kxnk x0k ! kx x0k v tł M»nh • 1.5 ta thu ÷ỉc xnk ! x k ! Mºt lƒn nœa sß y y dưng t‰nh nh§t cıa x , ta suy xn ! x n ! nh lỵ ữổc chứng minh 2.3 Phữỡng phĂp chiu thu hàp Bng cĂch sò dửng phữỡng phĂp chiu co hàp, tĂc giÊ Ha M.T.N [6]  xƠy dỹng thut toĂn dữợi Ơy giÊi B i to¡n (SCFPP) Thu“t to¡n 2.2 Vỵi mØi x0 = x H1, C0 = D0 = H1, x¡c ành d¢y fxng bði yn = S1(xn); zn = S2(T yn); 28 Cn+1 = fz Cn : kyn D = fz Dn : kzn x n+1 =P Cn+1\Dn+1 zk T zk x;n zkg; kT yn T zkg; 0: Sü hºi tư m⁄nh cıa Thu“t to¡n 2.2 kxn ÷ỉc cho bi nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 2.2 DÂy fxng x¡c ành bði Thu“t to¡n 2.2 hºi tö m⁄nh v• P x0 Chøng minh Ta chia chøng minh ca nh lỵ n y th nh bn bữợc Bữợc DÂy fxng ho n to n xĂc nh Trữợc h‚t, ta ch¿ r‹ng Cn v Dn l c¡c lỗi v n thĐy iãu n y, vợi mỉi s nguyản n õng ca H1 vợi måi 0, ta vi‚t l⁄i c¡c t“p Cn+1 v Dn+1 ð c¡c d⁄ng Cn+1 = Cn \ fz H1 : hxn yn; zi Dn+1 = Dn \ fz H1 : hT yn (kxnk2 k ynk2)g; zn; T zi 2 (kT ynk k znk )g; 2 = Dn \ fz H1 : hT (T yn zn); zi 2 (kT ynk k znk )g; tữỡng ứng BƠy giớ, bng quy np toĂn håc v v… C0 = D0 = H1, n¶n ta cõ Cn v Dn l cĂc lỗi v õng ca H1 vợi mồi n 0, khflng nh ữổc chøng minh Ti‚p theo ta ch¿ Gi£ sß r‹ng 5 Cn \ Dn vỵi måi n Cn \ Dn vợi n Rê r ng n o â L§y b§t ký p 5, C0 \ D0 = H1 ta câ S1(p) = p v S2(T p) = T p Tł t‰nh khỉng gi¢n cıa S1 v S2 suy kyn pk = kS1(xn) S1(p)k kxn pk T pk = kzn kS2(T yn) S2(T p)k kT yn T pk: Do â, tł ành ngh¾a cıa c¡c t“p Cn+1, Dn+1 v gi£ thi‚t quy n⁄p S Cn \Dn suy Cn+1 \ Dn+1 Do â, b‹ng quy n⁄p to¡n håc ta nh“n ÷ỉc Cn \ Dn vỵi måi n v v… v“y Cn \ Dn l cĂc lỗi, õng v khĂc rỉng ca H vợi mỉi s nguyản n iãu n y suy d¢y fxng ho n to n xĂc nh, khflng nh 29 ữổc chứng minh Bữợc kxn+1 xnk ! n ! y Trữợc h‚t, ta ch¿ r‹ng d¢y fxng bà ch°n Th“t v“y, °t x = P x0 Tł y S Cn \ Dn suy x Cn \ Dn vợi mồi n Do õ, sò dửng xn = PCn\Dn x0, ta thu ÷ỉc y (2.10) kx0 xnk kx0 x k vợi mồi n V vy dÂy fxng bà ch°n Ti‚p theo, tł xn+1 = PCn+1\Dn+1 x0 Cn \ Dn, xn = PCn\Dn x0 v M»nh • 1.1, ta nh“n ÷ỉc 2 kxn x0k kxn+1 x0k k xn+1 iãu n y suy dÂy fkxn xnk kxn+1 x0k : x0kg ìn i»u t«ng Tł tnh b chn ca dÂy fxng suy giợi hn ca dÂy fkxn x0kg tỗn ti v hu hn Ta ch¿ d¢y fxng hºi tư m⁄nh ‚n mºt phƒn tò p H Tht vy, vợi mồi m n, ta câ Cm \ Dm Cn \ Dn Do â, xm Cn \ Dn Tł M»nh • 1.1, ta nh“n ÷ỉc kxm xnk kxm x0k k xn x0k ! m; n ! Suy fx ng l dÂy Cauchy V th tỗn t⁄i giỵi h⁄n lim n!1 xn = q Do â, ta câ kx n+1 xnk kxn+1 i•u n y suy rng kxn+1 Bữợc kxn ynk ! v Tł x n+1 =P H1 x Cn\Dn qk ! 0; xnk ! n ! 1, khflng ành ÷æc chøng minh kzn T ynk ! n ! ành ngh¾a cıa t“p Cn, ta câ Cn v kx Do â, tł limn!1 kxn+1 qk + kxn ynk kxn+1 xnk: n+1 xnk = 0, ta nh“n ÷æc kx n+1 ynk ! 0: (2.11) 30 V… kxn ynk kxn+1 ynk + kxn+1 xnk; n¶n ta suy kxn (2.12) ynk ! 0: Tł xn+1 = PCn\Dn x0 Dn v ành ngh¾a cıa t“p Dn ta câ kzn T xn+1k kT yn T xn+1k kT kkxn+1 ynk: Tł (2.11) suy (2.13) kzn T xn+1k ! 0: Do â, sß dưng (2.11) v kzn ¡nh gi¡ T ynk kzn T xn+1k + kT xn+1 kzn T xn+1k + kT kkxn+1 T yn k ynk; ta thu ÷ỉc kzn T ynk ! 0: (2.14) y Bữợc xn ! x = P x0 n ! V… xn ! q v T l to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n, n¶n T xn ! T q Tł (2.12), (2.14), t‰nh li¶n tưc cıa S1 v S2 suy q Cho n ! (2.10), ta nhn kx0 ữổc pk kx0 T tnh nhĐt ca xy suy p = xy nh lỵ ữổc chøng minh xyk: 31 2.4 Ùng döng 2.4.1 B i toĂn (MSCFPP) Bng cĂch sò dửng Mằnh ã 1.15 v cĂc nh lỵ 2.1, nh lỵ 2.2, ta nhn ữổc nh lỵ dữợi Ơy cho b i toĂn (MSCFPP) l cĂc s thỹc dữỡng nh lỵ 2.3 Cho ai, i = 1; 2; : : : ; N v bj, j = 1; 2; : : : ; M P M N xn l d¢ N a = v P P b = °t = aT v thäa m¢n i=1 i j=1 j i=1 i i f g y ữổc xĂc nh nhữ sau: a) Vợi bĐt ký x0 = x H1, M P = yn = (xn); zn = (T yn); Cn = fz H1 : kyn zk kxn zkg; Dn = fz H1 : kzn T zk kT yn T zkg; Wn = fz H1 : hz x n+1 =P Cn\Dn\Wn xn; x0 (x ); n xni 0g; 0: ho°c b) Vỵi mØi x0 = x H1, C0 = D0 = H1, yn = (xn); zn = (T yn); Cn+1 = fz Cn : kyn zk Dn+1 = fz Dn : kzn T zk x n+1 =P Cn+1\Dn+1 x;n kxn zkg; kT yn T zkg; 0: Khi õ dÂy fxng hi tử mnh vã P x0 Ta cõ hằ quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn ch§p nh“n t¡ch a t“p (MSFP) i=1 b S Cho j j 32 H» qu£ 2.1 Cho ai, i = 1; 2; : : : ; N v bj, j = 1; 2; : : : ; M l c¡c sŁ thüc d÷ìng N N Cho xn P M PM P a =1v b = °t = aP v = i=1 bjPQj thäa m¢n i=1 i j=1 j i=1 i C f g ành nh÷ sau: P ldÂy ữổc xĂc i a) Vợi bĐt ký x0 = x H1, yn = (xn); zn = (T yn); Cn = fz H1 : kyn zk Dn = fz H1 : kzn T zk Wn = fz H1 : hz xn; x0 x n+1 =P Cn\Dn\Wn kxn (x ); n zkg; kT yn T zkg; xni 0g; 0: ho°c b) Vỵi mØi x0 = x H1, C0 = D0 = H1, yn = (xn); zn = (T yn); Cn+1 = fz Cn : kyn zk Dn+1 = fz Dn : kzn T zk x n+1 =P Cn+1\Dn+1 x;n kxn zkg; kT yn T zkg; 0: Khi â d¢y fxng hºi tư m⁄nh v• P x0 2.4.2 B i to¡n (MSCNPP) Sò dửng Chú ỵ 1.5 i), Mằnh ã 1.15 v cĂc nh lỵ 2.1, nh lỵ 2.2, ta nhn ữổc nh lỵ dữợi Ơy cho b i toĂn (MSCNPP) nh lỵ 2.4 Cho ri, i = 1; 2; : : : ; N v sj, j = 1; 2; : : : ; M l c¡c sŁ thüc d÷ìng Cho ai, i = 1; 2; : : : ; N v bj, j = 1; 2; : : : ; M l cĂc s thỹc dữỡng thọa mÂn 33 P N i=1 P = v M j=1 PN b = °t = PM a JAi v i = Cn = fz H1 : kyn zk zkg; Dn = fz H1 : kzn T zk Wn = fz H1 : hz xn; x0 j i=1 ri l dÂy ữổc xĂc nh nhữ sau: Bj b J Cho fx g j s i=1 a) Vỵi b§t ký x0 = x H1, yn = (xn); zn = (T yn); x n+1 =P Cn\Dn\Wn kxn (x ); n kT yn T zkg; xni 0g; 0: ho°c b) Vỵi mØi x0 = x H1, C0 = D0 = H1, yn = (xn); zn = (T yn); Cn+1 = fz Cn : kyn zk Dn+1 = fz Dn : kzn T zk x n+1 =P Cn+1\Dn+1 x;n Khi â d¢y fxng hºi tư m⁄nh v• P x0 0: kxn zkg; kT yn T zkg; j n 34 Kt lun Lun vôn  tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch kh¡ chi ti‚t v hằ thng vã cĂc vĐn ã sau: Mt s tnh chĐt c trững ca khổng gian Hilbert, Ănh x khổng giÂn v nòa nhõm Ănh x khổng giÂn v toĂn tß ìn i»u khỉng gian Hilbert; C¡c k‚t qu£ cıa Reich S v Tuyen T.M t i li»u [8] vã mt phữỡng phĂp chiu lai ghp, v ca t¡c gi£ Ha M.T.N t i li»u [6] v• mt phữỡng phĂp chiu thu hàp cho b i toĂn im bĐt ng chung tĂch khổng gian Hilbert; XƠy düng mºt sŁ øng dưng cıa c¡c k‚t qu£ ¢ bi‚t cho mºt sŁ b i to¡n tŒng qu¡t hìn, â l c¡c b i to¡n (MSCFPP) v (MSCNPP) 35 T i li»u tham kh£o [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Op-erator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 (2002) [4] C Byrne, A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, pp 103-120 (2004) [5] Y Censor and T Elfving, A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239, (1994) [6] Ha M.T.N (2019), A Shrinking projection method for solving the split common fixed point problem in Hilbert spaces , Thai Nguyen University, Journal of Science and Technology, 203(10), pp 31 35 [7] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonex-pansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [8] Reich S., Tuyen T M (2020), A new algorithm for solving the split common null point problem in Hilbert spaces , Numerical Algorithms, 83, pp 789 805 [9] Shehu Y., Agbebaku D F (2018), On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings , Comp Appl Math., 37, pp 1807 1824 36 [10] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces , J Math Anal Appl., 341, pp 276 286 ... tò ỡn i»u khỉng gian Hilbert Nºi dung cıa ch÷ìng n y phn lợn ữổc tham khÊo t cĂc t i li»u [1] v [2] 1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert Ta luæn gi£ thi‚t H l khæng gian Hilbert thỹc vợi... phĂp chiu thu hàp cho b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch khỉng gian Hilbert 2.1 Ph¡t bi”u b i to¡n Cho C v Q l cĂc lỗi, õng v khĂc rỉng cıa c¡c khỉng gian Hilbert H v H2, t÷ìng øng Cho T : H1 ! H2... ƒu Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert 1.2 nh x⁄ khỉng gi¢n khỉng gian Hilbert 11 1.2.1 nh x⁄ khỉng gi¢n