Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán điểm bất động chung tách trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2020 ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tun người thầy ln tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thiện luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy, khoa Tốn– Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trường Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập viết luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert 11 1.2.1 Ánh xạ không giãn 11 1.2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 15 1.2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 15 1.3 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert 16 Chương Hai phương pháp chiếu giải toán điểm bất động chung tách 21 2.1 Phát biểu toán 21 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 23 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 27 2.4 Ứng dụng 31 2.4.1 Bài toán (MSCFPP) 31 2.4.2 Bài toán (MSCNPP) 32 Kết luận Tài liệu tham khảo 34 35 iv Một số ký hiệu viết tắt , tích vô hướng không gian Hilbert H chuẩn không gian Hilbert H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP-Split Feasibility Problem) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C ∩ T −1 (Q) (0.1) Một dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán chấp nhận tách đa tập (MSSFP-Multiple sets Split Feasibility Problem), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N (∩M i=1 Ci ∩ T j=1 Qj ) = ∅ (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [5] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trị chơi Bài tốn chấp nhận tách (0.1) trường hợp đặc biệt toán điểm bất động chung tách Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, , M ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N ∩M i=1 Fix(Ti ) ∩ T j=1 Fix(Sj ) = ∅ (0.3) Thời gian gần đây, lớp Bài toán (0.3) thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Năm 2019, tác giả Reich S Tuyen T.M đưa phương pháp lặp dựa phương pháp chiếu lai ghép (Hybrid projection method) để giải Bài toán (0.3) (xem [8, Định lý 4.2]) Mục đích luận văn trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 [8] trình bày lại kết tác giả Ha M.T.N phương pháp chiếu co hẹp [6] để xấp xỉ nghiệm Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn phương pháp chiếu lai ghép hay chiếu co hẹp để tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục cuối chương đề cập đến khái niệm toán tử đơn điệu số tính chất Chương Hai phương pháp chiếu giải toán điểm bất động chung tách Chương tác giả trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 [8] trình bày lại kết tác giả Ha M.T.H [6] Ngồi ra, cách sử dụng tính chất điểm bất động ánh xạ trung bình hay tính chất toán tử giải toán tử đơn điệu, tác giả đưa số phương pháp giải Bài tốn (0.3) tốn khơng điểm chung tách Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ không giãn, với phương pháp chiếu lai ghép chiếu thu hẹp tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục 1.3 trình bày số khái niệm tính chất tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y + x − z Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện | x, y | = x y , tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x = λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < x − λy = λ2 y − 2λ x, y + x , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến x, y tính Giả sử y = 0, với λ = , bất đẳng thức trở thành y | x, y | < x y , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại khơng Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ ∞ n=1 |xn | R: < ∞ {en } ⊂ l2 , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ | en , y |2 ≤ y < ∞ n=1 Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, Suy limn→∞ en , y = 0, tức en en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ Chứng minh Vì xn n→∞ x, nên {xn } bị chặn Ta có xn − y = xn − x + x−y + xn − x, x − y Vì x = y, nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf ( xn − x n→∞ = lim inf xn − x n→∞ + xn − x, x − y ) (1.2) Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn x xn → x , xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có xn − x 2 = xn − xn , x + x → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho x∗ ≤ x với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C xn −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có xn − xm 2 = 2( xn ≤ ( xn + xm ) − xn + xm 2 + xm ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn x∗ = lim xn ∈ n→∞ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục nên x∗ = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho y ∗ = d Ta có ∗ x −y ∗ = 2( x ∗ + y ∗ x∗ + y ∗ )−4 2 22 trọng khôi phục hình ảnh Y học, khơi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem [9]) Khi Ci Qj tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti Sj , tương ứng tốn (MSFP) trở thành toán điểm bất động tách ánh xạ khơng giãn Dạng tổng qt tốn điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, , M ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ Ω3 := ∩N ∩M i=1 Fix(Ti ) ∩ T j=1 Fix(Sj ) = ∅ (MSCFPP) Khi Ci Qj tập không điểm toán tử đơn điệu cực đại Ai Bj , tương ứng, tốn (MSFP) trở thành tốn khơng điểm chung tách Dạng tổng qt tốn phát biểu sau: Cho Ai : H1 −→ 2H1 , i = 1, 2, , N Bj : H2 −→ 2H2 , j = 1, 2, , M toán tử đơn điệu cực đại H1 H2 , tương ứng −1 −1 −1 Tìm phần tử x∗ ∈ Ω4 := ∩N ∩M i=1 Ai (0) ∩ T j=1 Bj (0) = ∅ (MSCNPP) Trong luận văn này, trước hết đề cập đến hai phương pháp chiếu giải trường hợp riêng toán (MSCFPP) N = M = 1, tức toán sau: Cho H1 H2 không gian Hilbert thực Cho S1 : H1 −→ H1 S2 : H2 −→ H2 , ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng Xét tốn: Tìm phần tử x† ∈ H1 cho x† ∈ Ω5 := Fix(S1 ) ∩ T −1 (Fix(S2 )) = ∅, (SCFPP) T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn từ H1 vào H2 Tiếp đó, cách sử dụng Mệnh đề 1.15 Chú ý 1.5, 1.6, đưa phương pháp giải cho toán (MSCFPP) (MSCNPP) 23 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép Để giải Bài toán (SCFPP), tác giả Reich S Tuyen T.M đề xuất thuật toán đây: Thuật toán 2.1 Với x0 = x ∈ H1 , xác định dãy {xn } yn = S1 (xn ), zn = S2 (T yn ), Cn = {z ∈ H1 : yn − z ≤ xn − z }, Dn = {z ∈ H1 : zn − T z ≤ T yn − T z }, Wn = {z ∈ H1 : z − xn , x0 − xn ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ Ta bắt đầu phân tích hội tụ mạnh Thuật tốn 2.1 thơng qua mệnh đề đây: Mệnh đề 2.1 Trong Thuật toán 2.1, dãy {xn } hoàn toàn xác định Chứng minh Trước hết, ta Cn , Dn Wn tập lồi, đóng H1 với n ≥ Để thấy điều này, ta viết, với số nguyên n ≥ 0, tập Cn , Dn Wn dạng tương ứng sau: Cn = {z ∈ H1 : xn − yn , z ≤ ( xn − yn )}, Dn = {z ∈ H1 : T yn − zn , T z ≤ ( T yn − zn )}, = {z ∈ H1 : T ∗ (T yn − zn ), z ≤ ( T yn − zn )}, Wn = {z ∈ H1 : x0 − xn , z ≤ xn , x0 − xn }, Dễ thấy Cn , Dn Wn tập lồi đóng H1 với n ≥ Tiếp theo, ta chứng minh Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Wn với n ≥ Thật vậy, lấy p ∈ Ω5 , ta có S1 (p) = p S2 (T p) = T p Từ tính khơng giãn S1 S2 suy yn − p = S1 (xn ) − S1 (p) ≤ xn − p , 24 zn − T p = S2 (yn ) − S2 (T p) ≤ yn − T p Do đó, từ định nghĩa Cn Dn suy Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Bây ta Ω5 ⊂ Wn với n ≥ Rõ ràng W0 = H1 , nên ta có Ω5 ⊂ W0 Giả sử Ω5 ⊂ Wn với n ≥ Từ xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) đặc trưng phép chiếu mêtric (xem Mệnh đề 1.8), ta nhận z − xn+1 , x0 − xn+1 ≤ với z ∈ Cn ∩ Dn ∩ Wn Vì Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Wn p ∈ Ω5 , nên ta có p − xn+1 , x0 − xn+1 ≤ Điều suy p ∈ Wn+1 Ω5 ⊂ Wn+1 Vậy quy nạp toán học, ta nhận S ⊂ Wn với n ≥ Do Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Wn với n ≥ Cn ∩ Dn ∩ Wn tập lồi, đóng, khác rỗng H1 với n ≥ Điều suy dãy {xn } hoàn toàn xác định Mệnh đề chứng minh Chú ý 2.1 Dưới đây, ta đưa cách để tìm hình chiếu x0 lên Cn ∩ Dn ∩ Wn Thuật toán 2.1 Với n, đặt an1 = xn − yn , an2 = T yn − zn , an3 = T ∗ (T yn − zn ), đặt 1 bn1 = ( xn − yn ), bn2 = ( T yn − zn ), bn3 = xn , x0 − xn 2 Khi phần tử xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) nghiệm tốn tối ưu tồn phương sau: x − x0 , (2.1) x∈H1 với ràng buộc ani , x ≤ bni , i = 1, 2, Đặt λi ani : λi ∈ R, i = 1, 2, 3} L={ i=1 25 Khi L khơng gian tuyến tính đóng H1 Do đó, theo định lý phân tích trực giao1 , với x ∈ H1 , x − x0 biểu diễn dạng x = u + h, u ∈ L h ∈ L⊥ Vì u ∈ L, u = n i=1 λi h ∈ L⊥ , nên ani , h = với i = 1, 2, Do đó, Bài tốn (2.1) trở thành tốn sau: λi ani ( h,λ1 ,λ2 ,λ3 + h ), (2.2) i=1 với ràng buộc λi ani ≤ bni − ani , x0 , i = 1, 2, ani , i=1 Dễ thấy nghiệm Bài tốn (2.2), ta có h = Do vậy, λi , i = 1, 2, nghiệm tối ưu tốn cực tiểu tồn phương không gian R3 với ba ràng buộc bất đẳng thức Ta biết có nhiều phương pháp khác để giải tốn ta sử dụng gói “Quadratic Programming Algorithms” MATLAB để xấp xỉ nghiệm Sự hội tụ mạnh Thuật toán 2.1 cho định lý Định lý 2.1 Dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh PΩ5 (x0 ) Chứng minh Ta chia chứng minh định lý thành bước nhỏ sau Bước xn+1 − xn → n → ∞ Đặt x† = PΩ5 (x0 ) Trước hết, ta có x† ∈ S ⊂ Wn với n ≥ Tiếp theo, từ định nghĩa Wn đặc trưng phép chiếu mêtric ta nhận xn = PWn (x0 ) Do đó, từ định nghĩa phép chiếu mêtric ta có xn − x0 ≤ x† − x0 (2.3) với n ≥ Điều suy dãy {xn } bị chặn Vì xn+1 ∈ Wn xn = PWn (x0 ), nên từ Mệnh đề 1.1 ta nhận xn+1 − xn ≤ xn+1 − x0 − xn − x0 (2.4) Cho H không gian Hilbert L không gian tuyến tính đóng H Khi x ∈ H biểu diễn dạng x = y + z với y ∈ L z ∈ L⊥ 26 Do dãy { xn − x0 } đơn điệu tăng Vì { xn − x0 } bị chặn, nên giới han limn→∞ xn − x0 tồn hữu hạn Từ (2.4) suy lim xn+1 − xn = 0, n→∞ khẳng định chứng minh Bước xn − yn → zn − T yn → n → ∞ Từ xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) ∈ Cn định nghĩa Cn , ta có xn+1 − yn ≤ xn+1 − xn Do đó, từ limn→∞ xn+1 − xn = 0, ta thu xn+1 − yn → (2.5) Vì xn − yn ≤ xn+1 − yn + xn+1 − xn , nên xn − yn → 0, (2.6) khẳng định thứ chứng minh Từ xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) ∈ Dn định nghĩa Dn , ta có zn − T xn+1 ≤ T yn − T xn+1 ≤ T xn+1 − yn Từ (2.5) suy zn − T xn+1 → (2.7) Do đó, áp dụng (2.5) đánh giá zn − T yn ≤ zn − T xn+1 + T xn+1 − T yn ≤ zn − T xn+1 + T xn+1 − yn , 27 ta nhận zn − T yn → 0, (2.8) khẳng định thứ hai đươc chứng minh Bước xn → PΩ5 (x0 ) n → ∞ x∗ Vì dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk k → ∞ Vì T tốn tử tuyến tính bị chặn, nên ta có T xnk T x∗ Sử dụng (2.6) (2.8), ta nhận xnk − S1 (xnk ) → T ynk − S2 (T ynk ) → (2.9) Từ Bổ đề 1.13 suy x∗ ∈ Fix(S1 ) T x∗ ∈ Fix(S2 ), tức là, x∗ ∈ Ω5 = Fix(S1 ) ∩ T −1 (Fix(S2 )) Từ x† = PΩH51 x0 , x∗ ∈ Ω5 , (2.3) Mệnh đề 1.4, suy x0 − x† ≤ x0 − x∗ ≤ lim inf xnk − x0 k→∞ ≤ lim sup xnk − x0 ≤ x0 − x† k→∞ Sử dụng tính điểm gần x† nhất, ta nhận x† = x∗ Ta có xnk − x0 → x† − x0 từ Mệnh đề 1.5 ta thu xnk → x† k → ∞ Một lần sử dụng tính x† , ta suy xn → x† n → ∞ Định lý chứng minh 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp Bằng cách sử dụng phương pháp chiếu co hẹp, tác giả Ha M.T.N [6] xây dựng thuật toán để giải Bài toán (SCFPP) Thuật toán 2.2 Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , xác định dãy {xn } yn = S1 (xn ), zn = S2 (T yn ), 28 Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z }, Dn+1 = {z ∈ Dn : zn − T z ≤ T yn − T z }, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Sự hội tụ mạnh Thuật toán 2.2 cho định lý đây: Định lý 2.2 Dãy {xn } xác định Thuật toán 2.2 hội tụ mạnh PΩ5 x0 Chứng minh Ta chia chứng minh định lý thành bốn bước Bước Dãy {xn } hoàn toàn xác định Trước hết, ta Cn Dn tập lồi đóng H1 với n ≥ Để thấy điều này, với số nguyên n ≥ 0, ta viết lại tập Cn+1 Dn+1 dạng Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ H1 : xn − yn , z ≤ ( xn − yn )}, Dn+1 = Dn ∩ {z ∈ H1 : T yn − zn , T z ≤ ( T yn − zn )}, = Dn ∩ {z ∈ H1 : T ∗ (T yn − zn ), z ≤ ( T yn − zn )}, tương ứng Bây giờ, quy nạp toán học C0 = D0 = H1 , nên ta có Cn Dn tập lồi đóng H1 với n ≥ 0, khẳng định chứng minh Tiếp theo ta Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Rõ ràng Ω5 ⊂ C0 ∩ D0 = H1 Giả sử Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Lấy p ∈ Ω5 , ta có S1 (p) = p S2 (T p) = T p Từ tính khơng giãn S1 S2 suy yn − p = S1 (xn ) − S1 (p) ≤ xn − p zn − T p = S2 (T yn ) − S2 (T p) ≤ T yn − T p Do đó, từ định nghĩa tập Cn+1 , Dn+1 giả thiết quy nạp S ⊂ Cn ∩Dn suy Ω5 ⊂ Cn+1 ∩ Dn+1 Do đó, quy nạp toán học ta nhận Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Cn ∩ Dn tập lồi, đóng khác rỗng H1 với số nguyên n ≥ Điều suy dãy {xn } hoàn toàn xác định, khẳng định 29 chứng minh Bước xn+1 − xn → n → ∞ Trước hết, ta dãy {xn } bị chặn Thật vậy, đặt x† = PΩ5 x0 Từ S ⊂ Cn ∩ Dn suy x† ∈ Cn ∩ Dn với n ≥ Do đó, sử dụng xn = PCn ∩Dn x0 , ta thu x0 − xn ≤ x0 − x† (2.10) với n ≥ Vì dãy {xn } bị chặn Tiếp theo, từ xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 ∈ Cn ∩ Dn , xn = PCn ∩Dn x0 Mệnh đề 1.1, ta nhận xn − x0 ≤ xn+1 − x0 − xn+1 − xn ≤ xn+1 − x0 Điều suy dãy { xn − x0 } đơn điệu tăng Từ tính bị chặn dãy {xn } suy giới hạn dãy { xn − x0 } tồn hữu hạn Ta dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử p ∈ H1 Thật vậy, với m ≥ n, ta có Cm ∩ Dm ⊂ Cn ∩ Dn Do đó, xm ∈ Cn ∩ Dn Từ Mệnh đề 1.1, ta nhận xm − xn ≤ xm − x0 − xn − x0 →0 m, n → ∞ Suy {xn } dãy Cauchy Vì tồn giới hạn limn→∞ xn = q Do đó, ta có xn+1 − xn ≤ xn+1 − q + xn − q → 0, điều suy xn+1 − xn → n → ∞, khẳng định chứng minh Bước xn − yn → zn − T yn → n → ∞ Từ xn+1 = PCHn1∩Dn x0 ∈ Cn định nghĩa tập Cn , ta có xn+1 − yn ≤ xn+1 − xn Do đó, từ limn→∞ xn+1 − xn = 0, ta nhận xn+1 − yn → (2.11) 30 Vì xn − yn ≤ xn+1 − yn + xn+1 − xn , nên ta suy xn − yn → (2.12) Từ xn+1 = PCn ∩Dn x0 ∈ Dn định nghĩa tập Dn ta có zn − T xn+1 ≤ T yn − T xn+1 ≤ T xn+1 − yn Từ (2.11) suy zn − T xn+1 → (2.13) Do đó, sử dụng (2.11) đánh giá zn − T yn ≤ zn − T xn+1 + T xn+1 − T yn ≤ zn − T xn+1 + T xn+1 − yn , ta thu zn − T yn → (2.14) Bước xn → x† = PΩ5 x0 n → ∞ Vì xn → q T tốn tử tuyến tính bị chặn, nên T xn → T q Từ (2.12), (2.14), tính liên tục S1 S2 suy q ∈ Ω5 Cho n → ∞ (2.10), ta nhận x0 − p ≤ x0 − x† Từ tính x† suy p = x† Định lý chứng minh 31 2.4 2.4.1 Ứng dụng Bài toán (MSCFPP) Bằng cách sử dụng Mệnh đề 1.15 Định lý 2.1, Định lý 2.2, ta nhận định lý cho toán (MSCFPP) Định lý 2.3 Cho , i = 1, 2, , N bj , j = 1, 2, , M số thực dương thỏa mãn N i=1 = M j=1 bj = Đặt Ξ = N i=1 Ti Φ = M i=1 bj Sj {xn } dãy xác định sau: a) Với x0 = x ∈ H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn = {z ∈ H1 : yn − z ≤ xn − z }, Dn = {z ∈ H1 : zn − T z ≤ T yn − T z }, Wn = {z ∈ H1 : z − xn , x0 − xn ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ b) Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z }, Dn+1 = {z ∈ Dn : zn − T z ≤ T yn − T z }, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ3 x0 Ta có hệ cho tốn chấp nhận tách đa tập (MSFP) Cho 32 Hệ 2.1 Cho , i = 1, 2, , N bj , j = 1, 2, , M số thực dương thỏa mãn N i=1 = M j=1 bj = Đặt Ξ = N i=1 PCi Φ = M i=1 bj PQj Cho {xn } dãy xác định sau: a) Với x0 = x ∈ H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn = {z ∈ H1 : yn − z ≤ xn − z }, Dn = {z ∈ H1 : zn − T z ≤ T yn − T z }, Wn = {z ∈ H1 : z − xn , x0 − xn ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ b) Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z }, Dn+1 = {z ∈ Dn : zn − T z ≤ T yn − T z }, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ2 x0 2.4.2 Bài toán (MSCNPP) Sử dụng Chú ý 1.5 i), Mệnh đề 1.15 Định lý 2.1, Định lý 2.2, ta nhận định lý cho toán (MSCNPP) Định lý 2.4 Cho ri , i = 1, 2, , N sj , j = 1, 2, , M số thực dương Cho , i = 1, 2, , N bj , j = 1, 2, , M số thực dương thỏa mãn 33 N i=1 = M j=1 bj N Ai i=1 Jri = Đặt Ξ = Φ = Bj M i=1 bj Jsj dãy xác định sau: a) Với x0 = x ∈ H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn = {z ∈ H1 : yn − z ≤ xn − z }, Dn = {z ∈ H1 : zn − T z ≤ T yn − T z }, Wn = {z ∈ H1 : z − xn , x0 − xn ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ b) Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z }, Dn+1 = {z ∈ Dn : zn − T z ≤ T yn − T z }, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ4 x0 Cho {xn } 34 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert; • Các kết Reich S Tuyen T.M tài liệu [8] phương pháp chiếu lai ghép, tác giả Ha M.T.N tài liệu [6] phương pháp chiếu thu hẹp cho toán điểm bất động chung tách khơng gian Hilbert; • Xây dựng số ứng dụng kết biết cho số tốn tổng qt hơn, toán (MSCFPP) (MSCNPP) 35 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 (2002) [4] C Byrne, A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, pp 103-120 (2004) [5] Y Censor and T Elfving, A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239, (1994) [6] Ha M.T.N (2019), “A Shrinking projection method for solving the split common fixed point problem in Hilbert spaces”, Thai Nguyen University, Journal of Science and Technology, 203(10), pp 31–35 [7] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [8] Reich S., Tuyen T M (2020), “A new algorithm for solving the split common null point problem in Hilbert spaces”, Numerical Algorithms, 83, pp 789–805 [9] Shehu Y., Agbebaku D F (2018), “On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings”, Comp Appl Math., 37, pp 1807–1824 36 [10] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341, pp 276–286 ... PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Sự hội tụ mạnh Thuật toán 2.2 cho định lý đây: Định lý 2.2 Dãy {xn } xác định Thuật toán 2.2 hội tụ mạnh PΩ5 x0 Chứng minh Ta chia chứng minh định lý thành bốn bước Bước... toán cân kinh tế, lý thuyết trị chơi Bài tốn chấp nhận tách (0.1) trường hợp đặc biệt toán điểm bất động chung tách Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1... x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ2 x0 2.4.2 Bài toán (MSCNPP) Sử dụng Chú ý 1.5 i), Mệnh đề 1.15 Định lý 2.1, Định lý 2.2, ta nhận định lý cho toán (MSCNPP) Định lý 2.4 Cho ri , i = 1, 2,