Sử dụng Chú ý 1.5 i), Mệnh đề 1.15 và các Định lý 2.1, Định lý 2.2, ta nhận được định lý dưới đây cho bài toán (MSCNPP).
Định lý 2.4. Cho ri, i = 1,2, . . . , N và sj, j = 1,2, . . . , M là các số thực dương. Cho ai, i = 1,2, . . . , N và bj, j = 1,2, . . . , M là các số thực dương thỏa mãn
PN i=1ai = 1 và PM j=1bj = 1. Đặt Ξ =PN i=1aiJAi ri và Φ = PM i=1bjJBj sj . Cho {xn}
là dãy được xác định như sau:
a) Với bất kỳ x0 =x∈ H1, yn = Ξ(xn), zn = Φ(T yn), Cn ={z ∈H1 : kyn −zk ≤ kxn −zk}, Dn ={z ∈H1 : kzn −T zk ≤ kT yn−T zk}, Wn ={z ∈H1 : hz−xn, x0−xni ≤ 0}, xn+1 =PCn∩Dn∩Wn(x0), n≥ 0. hoặc b) Với mỗi x0 =x∈H1, C0 =D0 =H1, yn = Ξ(xn), zn = Φ(T yn), Cn+1 ={z ∈Cn : kyn−zk ≤ kxn−zk}, Dn+1 ={z ∈Dn : kzn−T zk ≤ kT yn−T zk}, xn+1 =PCn+1∩Dn+1x0, n≥ 0.
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert;
• Các kết quả của Reich S. và Tuyen T.M. trong tài liệu [8] về một phương pháp chiếu lai ghép, và của tác giả Ha M.T.N. trong tài liệu [6] về một phương pháp chiếu thu hẹp cho bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert;
• Xây dựng một số ứng dụng của các kết quả đã biết cho một số bài toán tổng quát hơn, đó là các bài toán (MSCFPP) và (MSCNPP).
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Bauschke H.H., Combettes P.L. (2010), Convex Analysis and Monotone Op- erator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[3] C. Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp. 441-453 (2002).
[4] C. Byrne,A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, pp. 103-120 (2004).
[5] Y. Censor and T. Elfving, A multi projection algorithm using Bregman pro- jections in a product space, Numer. Algorithms, 8(2-4), pp. 221-239, (1994). [6] Ha M.T.N (2019), “A Shrinking projection method for solving the split com- mon fixed point problem in Hilbert spaces”, Thai Nguyen University, Journal of Science and Technology, 203(10), pp. 31–35.
[7] Nakajo K., Takahashi W. (2003), "Strong convergence theorems for nonex- pansive mappings and nonexpansive semigroups", J. Math. Anal. Appl., 279, pp. 372-379.
[8] Reich S., Tuyen T. M. (2020), “A new algorithm for solving the split common null point problem in Hilbert spaces”,Numerical Algorithms,83, pp. 789–805. [9] Shehu Y., Agbebaku D. F. (2018), “On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings”, Comp. Appl. Math., 37, pp. 1807–1824.
[10] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”,