Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian g metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐINH NHƯ QUỲNH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUN-2019 Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐINH NHƯ QUỲNH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2019 Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Đinh Như Quỳnh Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS.Phạm Hiến Bằng Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2019 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC 1.1 Không gian G - Metric 1.2 Một số tính chất sở không gian G - metric 1.3 Sự hội tụ ánh xạ liên tục không gian G - metric Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN 10 TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ giãn không gian G-metric 10 2.2 Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian G-metric KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN 19 34 35 http://lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) Banach chứng minh vào năm 1922 Từ có nhiều tác giả mở rộng kết cho nhiều loại ánh xạ khác không gian khác Hướng thứ mở rộng khái niệm không gian metric Đầu tiên phải kể đến khái niệm không gian b - metric đưa Bakhtin [2] Tác giả chứng minh Định lí điểm bất động ánh xạ co không gian b - metric, tổng qt hóa ngun lí co Banach không gian metric Tiếp đến khái niệm không gian 2-metric đưa Gahler [4] khái niệm không gian D-metric đưa Dhage [3] Năm 2004, Mustafa Sims [7] đưa khái niệm không gian G-metric Gần đây, Một số tác Mustafa, Chugh, Shatanawi, Mohanta, quan tâm nghiên cứu đạt số kết điểm bất động ánh xạ co không gian G-metric đầy đủ Hướng thứ hai phải kể đến nghiên cứu điểm bất động khơng gian nói ánh xạ giãn Theo hướng này, số tác giả đạt kết đẹp đẽ Maheshwari, Mustafa, Awawdeh, Shatanawi, Sahu, Sanodia, Gupta, Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “Định lí điểm bất động ánh xạ giãn khơng gian G- metric“ Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [9] [10], gồm 35trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian G - metric Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian G metric Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHƠNG GIAN G - METRIC 1.1 Khơng gian G - Metric Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G - metric cặp (E ,G ) , E tập khác rỗng G : E ´ E E đ [0, Ơ ) l mt hm cho với u, v, w, a Ỵ E , điều kiện sau thỏa mãn: (G1) G (u, v, w) = u = v = w ; (G2 ) G (u, u, v ) > với u, v Ỵ E , với u ¹ v ; (G ) G (u, u, v ) £ G (u, v, w) với u, v, w ẻ E , vi w v ; (G ) G (u, v, w) = G (u, w, v ) = G (v, w, u ) = (đối xứng với biến); (G ) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) (bất đẳng thức hình chữ nhật) Hàm G gọi G - metric E Các tính chất giải thích theo nghĩa khơng gian metric Cho (E , r ) không gian metric G : E E E đ [0, Ơ ) hàm số xác định G (u, v, w) = r (u, v ) + r (u, w) + r (v, w) với u, u, w Î E Khi (E ,G ) không gian G - metric Trong trường hợp này, G (u, v, w) hiểu chu vi tam giác với đỉnh u, v w Điều kiện (G ) có nghĩa với điểm ta khơng thể có chu vi dương, điều kiện (G ) tương đương với khoảng cách hai điểm khác Hơn nữa, chu vi tam giác khơng phụ thuộc vào thứ tự đỉnh nó, nên ta có (G ) Cuối cùng, (G ) mở rộng bất đẳng thức tam giác sử dụng đỉnh thứ tư Ví dụ 1.1.2 Nếu E Ì Ă , E ặ, thỡ hm G : E E E đ [0, Ơ ) c xỏc định Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn G (u, v, w) = | u - v | + | u - w | + | v - w | với u, u, w Ỵ E , G - metric E Định nghĩa 1.1.3.Không gian G - metric (E ,G ) gọi đối xứng G (u, v, v ) = G (v, u, u ) với u, v Ỵ E 1.2 Một số tính chất G - Metric Mệnh đề 1.2.1.Nếu (E ,G ) không gian G - metric G (u, v, v ) £ 2G (v, u, u ) với u, v Ỵ E Chứng minh Theo bất đẳng thức hình chữ nhật (G5) với tính đối xứng (G4), ta có G (u, v, v ) = G (v, v, u ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, u ) = 2G (v, u, u )  Hệ 1.2.2.Cho {u n } {vn } hai dãy không gian G - metric (E ,G ) Khi lim G (un , un , ) = Û lim G (un , , ) = nđ Ơ nđ Ơ Mnh 1.2.3.Cho (E ,G ) không gian G - metric Khi đó, với u, v, w, a Ỵ E , ta có (a ) G (u, v, w) £ G (u, u, v ) + G (u, u, w) (b) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (w, a, a ) (c ) G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)} (d ) Nếu n ³ u 1, u 2, , u n Ỵ E G (u1, un , u n ) £ å n- G (u1, u1, u n ) £ å n- G (u i , u i + 1,u i + 1) i= i= G (u i , u i , u i + 1) (1.1) (e ) Nếu G (u, v, w) = u = v = w ( f ) G (u, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, v, w) (g) G (u, v, w) £ [G (u, v, a ) + G (u, a, w) + G (a, v, w)] Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn (h ) Nếu u Ỵ E \ {w, a} G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ G (a, u, w) (i ) G (u, v, v ) £ 2G (u, v, w) Chứng minh (a ) Áp dụng (G ) (G ) với a = u , ta có G (u, v, w) = G (v, u, w) £ G (v, u, u ) + G (u, u, w)  = G (u, u, v ) + G (u, u, w) (b) Áp dụng (G ) hai lần sử dụng (G ) , ta có G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) = G (u, a, a ) + G (v, a, w) £ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (a, a, w)  (c ) Theo (G ) (G ) , ta có G (u, v, w) = G (w, v, u ) £ G (w, a, a ) + G (a, v, w), G (a, v, u ) £ G (a, w, w) + G (w, v, u ) Suy ra, G (u, v, w) - G (a, v, u ) £ G (w, a, a ) G (a, v, u ) - G (u, v, w) £ G (a, w, w) Do đó, G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)}  (d ) Nếu n = , điều hiển nhiên, n = (1.1) tính chất (G ) cho u = u1 , a = u v = w = u Bằng cách quy nạp, (1.1) xảy với n ³ xảy với n + vì, theo (G ) giả thiết quy nạp, ta có G (u1, un + 1, un + 1) £ G (u1, un , un ) + G (un , un + 1, un + 1) £ å n- = å n G (u i , u i + 1, u i + ) + G (u n , u n + 1, u n + 1) i= G (u i , u i + 1, u i + )  i= Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Sun = lim Run = w ,nên lim SSun = Sw lim SRun = Sw Vì (R , S ) nửa tương thích lim Run = w , nên lim RSun = Sw Sử dụng (b) với u = un , v = Sun , ta có G (Run , RSun , RSun ) ³ aG (SSun , SSun , Sun ) + { } + b G (Sun , R Sun , R Sun ),G (Sun , R Su n , SSu n ) Cho n đ Ơ , ta c { } G (w, S w, S w) ³ aG (S w, S w, w) + b G (w, S w, S w),G (w, S w, S w) ³ (a + b)G (w, S w, S w) Suy G (w, S w, S w)(a + b - 1) £ Vì (a + b - 1) > , nên G (w, S w, S w) £ Do Sw = w Lại sử dụng (b) với u = un , v = w , ta có G (Run , R w, R w) ³ aG (S w, S w, Sun ) + b {G (Sun , R w, R w),G (Sun , R w, R w)} Cho n đ Ơ ta c G (w, R w, R w) ³ aG (w, w, w) + b {G (w, R w, R w),G (w, R w, w)} G (w, R w, R w) ³ b {G (w, R w, R w),G (R w, w, w)} Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có G (w, R w, R w) £ 2G (w, w, R w) , suy G (w, w, R w) ³ G (w, R w, R w) Khi ïì ïü G (w, w, R w) ³ b ïí G (w, R w, R w), G (w, R w, R w)ùý ùùợ ùùỵ Do ú S hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn G (w, R w, R w) ³ b G (w, R w, R w) Suy G (w, R w, R w)(b - 2) £ Vì b > nên G (w, R w, R w) £ , suy R w = w Vậy R w = Sw = w Tính Giả sử u điểm bất động khác R S Khi Ru = Su = u Sử dụng (b) với u = w, v = u , ta có G (R w, Ru, Ru ) ³ aG (Su, Su, S w) + b {G (S w, Ru, Ru ),G (S w, Ru, Ru )} Thay Ru = Su = u vào bất đẳng thức ta G (w, u, u ) ³ aG (u, u, w) + b {G (w, u, u ),G (w, u, u )} ³ aG (u, u, w) + bG (w, u, u ) Do G (w, u, u )(a + b - 1) £ Vì (a + b - 1) > nên G (u, u, w) £ Suy u = w Vậy w điểm bất động chung R S Định lý 2.2.3.Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ, R , S : E ® E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (a ) R (E ) Ì S (E ) (b) G (R w, Sv, Sv ) ³ aG (Sv, Sv, R v ) + bG (R u, Su, Su ) + + c {G (Su, Rv, Rv ),G (Su, Rv, Sv )} với a > 1, < b < 1, a + b > với mọic > 1, a + c > (c ) R S liên tục (d ) Cặp (R , S ) nửa tương thích Khi R S có điểm bất động chung E Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Chứng minh Lấy u Ỵ E tùy ý Vì R (E ) Ì S (E ) , nên tồn u cho Ru1 = Su0 = v0 Bằng quy nạp xác định dãy Run + = Sun = Sử dụng (b) với u = un , v = un + , ta có G (Run , Run + 1, Run + 1) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + 1) + bG (Fx n ,T x n ,T x n ) + c {G (Sun , Run + 1, Run + 1),G (Sun , Run + 1, Sun + 1)} G (vn - 1, , ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) + + c {G (vn , , ),G (vn , , + 1)} ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) Do G (vn - 1, , )(1 - b) ³ aG (vn + 1, + 1, ) Suy G (vn + 1, + 1, ) £ Vì a + b > 1, nên 1- b G (vn - 1, , ) a 1- b 1- b = q , ta < Đặt a a G (vn + 1, + 1, ) £ qG (vn - 1, , ) (2.29) Tương tự ta có G (vn - 1, , ) £ qG (vn - 2, - 1, - 1) Do kết hợp với (2.29) suy G (vn + 1, + 1, ) £ q2G (vn - 2, - 1, - 1) Bằng quy nạp, ta G (vn + 1, + 1, ) £ qnG (v0, v1, v1) (2.30) Theo Định lý 2.2.2, {vn } dãy Cauchy Vì (E ,G ) khơng gian đầy đủ nên lim = w Khi ta có lim Run + = w, lim Sun = w Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Trường hợp R ánh xạ liên tục Vì lim Run = lim un = w , nên lim RRun ) = R w lim RSun = R w Vì (R , S ) nửa tương thích lim Sun = w , nên lim SRun = R w Bây sử dụng (b) với u = Run , v = un + , ta có G (RRun , Run + 1, Run + 1) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + 1) + bG (RRun , SRun , SRun ) + c {G (SRun , Run + 1, Run + 1),G (SRun , Run + 1, Sun + 1)} Cho n đ Ơ , ta G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w) + c {G (R w, w, w),G (R w, w, w)}³ cG (R w, w, w) Do G (R w, w, w)(1 - c) ³ Vì c > nên - c £ , suy G (R w, w, w) £ Do R w = w Bây sử dụng (b) với u = un , v = w ta có G (Run , R w, R w) ³ aG (S w, S w, S w) + bG (Run , Sun , Sun ) + c {G (Sun , R w, R w),G (Sun , R w, S w)} Cho n đ Ơ , ta c G (w, w, w) ³ aG (S w, S w, w) + bG (w, w, w) + c {G (w, w, w),G (w, w, S w)} ³ aG (S w, S w, w) Do ³ aG (S w, S w, w) Vì a > nên G (S w, S w, w) £ , suy Sw = w Vậy Sw = R w = w Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Run = lim Sun = w , nên lim SSun = Sw lim SRun = Sw Vì (R , S ) nửa tương thích lim Sun = w , nên lim RSun = Sw Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Sử dụng (b) với u = Sun , v = un + , ta có G (RSun + 1, Run + 1, Run + ) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + ) + bG (RSun , SSun , SSun ) + { } + c G (SSun , Run + 1, Run + )G (SSun , Run + 1, Sun + ) Cho n đ Ơ , ta c G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w) + c {G (S w, w, w),G (S w, w, w)}³ gG (S w, w, w) Suy (c - 1)G (S w, w, w) £ Vì c - ³ nênG (S w, w, w) £ , suy Sw = w Tiếp tục sử dụng giả thiết (b) với u = un , v = w , ta có G (R u n , R w, R w) ³ aG (S w, S w, R w) + bG (R u n , Su n , Su n ) + + c {G (Su n , R w, R w),G (Su n , R w, S w)} Cho n đ Ơ , ta nhn c G (w, R w, R w) ³ aG (w, w, R w) + bG (w, w, w) + c {G (w, R w, R w),G (w, R w, w)} Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có G (w, w, R w) ³ G (w, R w, R w) , G (w, R w, R w) ³ a c G (w, R w, R w) + G (w, R w, R w) 2 Suy ỉa + c ÷ G (w, R w, R w)ỗỗ - 1ữ Ê ữ ữ ỗố ứ Vì a+c - > ,nênG (w, R w, R w) £ Do R w = w Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Tính Giả sử u điểm bất động khác R S , Ru = Su = u Sử dụng (b) với u = w, v = u Ta nhận G (R w, R u, R u ) ³ aG (Su, Su, R u ) + bG (R w, S w, S w) + + c {G (S w, R u, R u ),G (S w, R u, R u )} Suy G (w, u, u ) ³ aG (u, u, u ) + bG (w, w, w) + c {G (w, u, u ),G (w, u, u )} Do G (w, u, u ) ³ cG (w, u, u ) Điều tương đương với (c - 1)G (w, u, u ) £ Vì c - > , nên suy G (w, u, u ) £ Do u = w Vậy w điểm bất động chung R S Ví dụ 2.2.4.Cho u, v Î E E = [3, 0], R u = u 2, Su = u , u = {1 / n } n G (u, v, w) = d(u, v ) + d(v, w) + d(w, u ) Ta có lim R u n = lim u n = lim lim Sun = { n2 = un = lim = 0, lim R un = lim Su n = 2n } lim R (Su n ) = lim (Su n ) ổu un ữ ỗ nữ = lim ỗỗ ữ = lim = ỗố ữ ø { } S w = S (0) = 0, lim R (Sun ) = S w Do (R , S ) nửa tương thích Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Lấy u = 3, v = a > 1, b = (b) a > 1, b = , c = , thỏa mãn tốt điều kiện , c = điều kiện (b) thỏa mãn điểm bất động R S Định lí 2.2.5.Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ, R , S ,T , H : E ® E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (a ) S (E ) Ì T (E ) R (E ) Ì H (E ) (b) G (Su, R v, R v ) ³ aG (T v, Hv, R v ) + bG (R u,T u,T u ) + + g {G (T u, R v, R v ),G (T u, Sv, Hv )} với a , g > 1, a + b > 1, b + 2g > (c ) S T liên tục (d ) Cặp (S ,T ) nửa tương thích (e) T R = RT , SR = RS , T S = ST Nếu S ánh xạ đồng R , S ,T & H có điểm bất động chung E Chứng minh Lấy u Ỵ E tùy ý Nếu S (E ) Ì T (E ) R (E ) Ì H (E ) tồn u1, u cho Su1 = T u0 = v0 & Ru2 = Hu1 = v1 Bằng quy nạp ta định nghĩa dãy Sun + = T un = & Run + = Hun + = + Bây sử dụng (b) với u = un , v = un + , ta có G (Su n , R u n + 1, Su n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (Su n ,T u n ,T u n ) + g {G (T u n , R u n + 1, R u n + 1), G (T u n , Su n + 1, Hu n + 1)} Suy Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn G (vn - 1, , ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) + g {G (vn , , ),G (vn , , + 1)} G (vn - 1, , ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) + bG (vn - 1, , ) Do G (vn - 1, , )(1 - b ) ³ aG (vn + 1, + 1, ) G (vn + 1, + 1, ) £ 1- b G (vn - 1, , ) a Vì a + b > a > nên 1- b 1- b < Đặt = k a a G (vn + 1, + 1, ) £ kG (vn - 1, , ), (2.31) Tương tự ta có G (vn , , - 1) £ kG (vn - 2, - 1, - 1) Từ (2.31) suy G (vn + 1, + 1, ) £ k 2G (vn - 2, - 1, - 1) Bằng quy nạp ta G (vn + 1, + 1, ) £ k nG (v0, v1, v1) , (2.32) TheoĐịnh lí 2.2.2, {vn } dãy Cauchy, lim Sun + = w & limT un = w, lim Run + = w & lim Hun + = w Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Sun = w & limT un = w nên lim SSun = Sw lim ST un = Sw Vì (S ,T ) nửa tương thích limT un = w nên limT Sun = Sw Bây sử dụng (b) với u = Sun , v = un + , ta có G (SSun , Run + 1, Run + 1) ³ aG (T un + 1, Hun + 1, Run + 1) + bG (SSun ,T Sun ,T Sun ) Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn + g {G (T Sun , Run + 1, Run + 1),G (T Sun , Sun + 1, Hun + 1)} Cho n đ Ơ ta c G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w) + + g {G (S w, w, w), G (S w, w, w)} ³ gG (w, w, S w) Suy ( g - 1)G (S w, w, w) £ Vì g > nên G (S w, w, w) £ , suy Sw = w Bây sử dụng (b) với u = w & v = un + ta có G (S w, Run + 1, Run + ) ³ aG (T un + 1, Hun + 1, Run + ) + bG (S w,T w,T w) + { } + g G (T w, R un + 1, R un + ),G (T w, Sun + 1, Hun + ) Cho n đ Ơ ta c G (w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (w,T w,T w) { } + g G (T w, w, w),G (T w, w, w) ³ bG (z,T z ,T z ) + gG (T z , z , z ) Theo Mệnh đề1.2.3, ta có G (w,T w,T w) ³ 0³ G (w, w,T w) b G (w,T w,T w) + gG (T w, w, w) Do ỉb ÷ G (T w, w, w)ỗỗ + g ữ Ê ữ ỗố ữ ø Vì b + 2g > nên b + g > , suy G (T w, w, w) £ Þ T w = w Sử dụng (b) với u = R w v = un + ta có Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn G (SR w, R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (SR w,T R w,T R w) + g min{G (T R w, R un + 1, R u n + 1)G (T R w, Su n + 1, Hu n + 1)} Vì RS = SR TR = RT nờn cho n đ Ơ ta c G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w) + g {G (R w, w, w),G (R w, w, w)} ³ gG (R w, w, w) Do ( g - 1)G (R w, w, w) £ Vì g > nên g - > , suy G (R w, w, w) £ Þ R w = w Bây sử dụng (b) với u = un , v = w , ta có G (Su , R w, R w) ³ aG (T w, H w, R w) + bG (Su n ,T u n ,T u n ) + { } + g G (T u n , R w, R w),G (T u n , S w, Hw) Cho n đ Ơ ta G (w, w, w) ³ aG (w, Hw, w) + bG (w, w, w) + g {G (w, w, w), G (w, w, Hw)} ³ aG (w, Hw, w) Vì a > nênG (w, Hw, w) £ Þ Hw = w Vậy ta có T w = Sw = R w = Hw = w Tức w điểm bất động chung bốn ánh xạ Trường hợp T ánh xạ liên tục Vì lim Sun = w limT un = w nên limT Sun = T w limT T un = T w Vì (S ,T ) nửa tương thích, lim Sun = w nên lim ST un = T w Sử dụng (b) với u = un & v = un + ,ta có Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn G (ST u n , R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1,T u n + 1, R u n + 1) + bG (ST u n ,T T u n ,T T u n ) + g {G (T T u n , R u n + 1, R u n + 1), G (T T u n + 1, Su n + 1,T u n + 1)} Cho n đ Ơ ta c G (T w, w, w) ³ aG (w, w, w) + b (T w,T w,T w) + + g {G (T w, w, w),G (T w, w, w)} ³ gG (T w, w, w) Suy G (T w, w, w)( g - 1) £ Vì g > nên g - > , suy G (T w, w, w) £ Þ T w = w Sử dụng (b) với u = Su, v = un + ta G (S 2w, Run + 1, Run + 1) ( ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + ) + bG S 2w,T S w,T S w ) { } + g G (T S w, R u n + 1, R u n + ),G (T S w, Su n + 1, Hu n + ) Cho n đ Ơ vi ST = T S , S = ta G (w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (w, S w, S w) + g {G (S w, w, w),G (S w, w, w)} ³ bG (w, S w, S w) + gG (S w, w, w) Theo Mệnh đề1.2.3, ta có 0³ b G (w, w, S w) + gG (w, w, S w) G (w,w, S w) Vì b + 2g £ b + 2g > , nênG (w,w, S w) £ Þ Sw = w Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Tiếp tục sử dụng (b) với u = Ru, v = un + ta có G (SR w, R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (SR w,T R w,T R w) + g {G (T R w, R u n + 1, R u n + 1), G (T R w, Su n + 1, Hu n + 1)} Vì SR = R S , T R = R T nên cho n ® ¥ ta G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w) + g {G (R w, w, w),G (R w, w, w)} ³ gG (R w, w, w) Suy ( g - 1)G (R w, w, w) £ Vì g > nên g - > , Do G (R w, w, wz ) £ Þ R w = w Bây sử dụng (b) với u = un , v = w ta có G (Sun , R w, R w) ³ aG (T w, Hw, R w) + bG (Sun ,T un ,T un ) + { } + g G (T un , R w, R w),G (T un , S w, Hw) Cho n đ Ơ ta G (w, w, w) ³ aG (w, Hw, w) + bG (w, w, w) + g {G (w, w, w),G (w, w, Hw)} ³ aG (w, Hw, w) Vì a > ,nên suy Hw = w Do w điểm bất động chung ánh xạ R , S ,T & H Tính Giả sử u điểm bất động khác S &T Khi Ru = Su = T u = Hu = u Sử dụng (b) với u = w, v = u ta có G (S w, R u, R u ) ³ aG (T u, Hu, Eu ) + bG (S w,T w,T w) + + g {G (T w, R u, R u ),G (T w, Su, Hu )} G (w, u, u ) ³ aG (u, u, u ) + bG (w, w, w) + + g {G (w, u,, u ),G (w, u, u )} ³ gG (w, u, u ) Do ( g - 1)G (w, u, u ) £ Vì g > nên g - > , suy G (w, u, u ) £ Þ u = w Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Một số khái niệm tính chất sở khơng gian G - metric Một số kết điểm bất động ánh xạ giãn không gian G metric Các kết trình bày Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.6, Định lí 2.1.7, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.11, Định lí 2.1.13, Định lí 2.1.14 Định lí 2.1.15 Một số kết điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian G - metric.Các kết trình bày Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.5 Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Agarwal R.P., Karapınar E., O’ReganD., Roldan-Lopez-de-Hierro A.F (2015), Fixed point theory in metric type spaces, ISBN 978-3319-24082-4 DOI 10.1007/978-3-319-24082-4 385 pages [2] Bakhtin A (1989), “The contraction mapping principle in quasimetric spaces”, Funct Anal Unianowsk Gos Ped Inst 30, 26–37 [3] Dhage, B.C., (1992), “Generalized metric space and mapping with fixed point”, Bull.Calcutta Math.Soc.,84:329-336 [4] Gahler, S.,(1963), “2-Metriche raume and ihre topologische structure”, Math.Nachr., 26:115-148 [5] Mustafa Z., Sims B., (2004) “Some remarks concerning D-metric spaces” Proceeding of the Inter conf on fixed point theory and applications, July 13-19, Yokohama publ, Valencia , Spain pp: 189198 [6] MustafaZ.(2005), A New Structure For Generalized Metric Spaces With Applications ToFixed Point Theory, PhD Thesis, the University of Newcastle, Australia [7] Mustafa Z., SimsB.(2006), ”A New Approach to Generalized Metric Spaces”,Journal of Nonlinear and Convex Analysis, (2) 289–297 [8] Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F (2008), Some Fixed Point Theorem for Mappingon Complete G-metric Spaces, Fixed Point Theory andapplications, , article ID189870, doi: 10.1155/2008/189870 [9] Mustafa Z., Awawdeh F., Shatanawi W (2010), “Fixed Point Theorem for Expansive Mappingsin G-Metric Spaces”, Int J Contemp Math Sciences, Vol 5, no 50, 2463 – 2472 [10] Sahu R., Sanodia P.L., Gupta A.(2015), “ Some fixed point theorems of expansion mapping in G-Metric spaces”, Inter Jour of Math and Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Stat Inven (IJMSI) E-ISSN: 2321 – 4767 P-ISSN: 2321 - 4759 Vol Issue 5, pp12-21 Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn ... tụ ánh xạ liên tục không gian G - metric Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN 10 TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ giãn không gian G- metric 10 2.2 Điểm bất động. .. liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn CHƯƠNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G- METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ giãn không gian G- metric Định nghĩa 2.1.1... Nhưng Sv = u , nên Sv = u = v Vậy v điểm bất động S 2.2 .Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian Gmetric Định nghĩa 2.2.1 Cặp (R , S ) tự ánh xạ không gian G - metric (E , G ) g? ??i nửa tương