Đang tải... (xem toàn văn)
rong bài viết này, trước hết bài viết đưa ra hai bổ đề quan trong về Điểm bất động trong không gian kiểu metric, nó khái quát hóa và kéo theo nhiều kết quả khác. Thứ hai, đưa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co trên không gian kiểu metric đầy đủ. Thứ ba là chứng minh tính chất của phép lặp Picard. Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu. SỐ 532020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI 20 KHCN QUI Điểm bất động trong không gian kiểu Metric ThS Nguyễn Thị Thu Hương1, 1Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Mobile 0366450738;.
SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Điểm bất động không gian kiểu Metric ThS Nguyễn Thị Thu Hương1,* Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Mobile: 0366450738; * Email: huongna2010@gmail.com Tóm tắt Trong báo này, trước hết đưa hai bổ đề quan Điểm bất động khơng gian kiểu metric, khái qt hóa kéo theo nhiều kết khác Thứ hai, đưa số định lý điểm bất động ánh xạ co không gian kiểu metric đầy đủ Thứ ba, chúng tơi chứng minh tính chất phép lặp Picard Các kết báo viết dựa tài liệu [2] Từ khóa: Ánh xạ co; Dãy Cauchy; Điểm bất động; Không gian kiểu metric;Phép lặp Picard Giới thiệu Hơn kỉ qua, lý thuyết điểm bất động nhiều nhà toán học giới tìm cách cải tiến không gian trừu tượng khác như: Không gian 2- metric, không gian metric thứ tự, không gian b-metric, không gian metric nón,… Tất thiết lập mối liên hệ phương pháp tiếp cận túy ứng dụng Đặc biệt, số ứng dụng lý thuyết điểm bất động giới thiệu để nghiên cứu tính tốn cho phương trình vi phân, phương trình tích phân… Trong số đó, Định lý điểm bất động có tầm ảnh hưởng lớn tiếng nguyên lý ánh xạ co Banach chứng minh nhà toán học Banach người Balan vào năm 1922 Kể từ lý thuyết điểm bất động có bước phát triển nhanh chóng Nội dung 2.1.Các định nghĩa bổ đề Định nghĩa 1[1].Cho X tập hợp khác rỗng k số thực cho trước Hàm gọi kiểu metric X d : X×X điều kiện sau thỏa mãn: 1) d x, y x y, 2) d x, y d y, x , 3) d x,z kd x, y kd y, z , x, y, z X Khi ba X , k , d gọi không gian kiểu metric Định nghĩa 2[1] Cho gian kiểu metric X Khi đó: X , k , d không xn dãy phần tử xn gọi hội tụ đến x X d xn , x n ; (2) Dãy xn gọi dãy Cauchy d xm , xn m, n ; (1) Dãy X , k, d không gian đầy đủ dãy (3) Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 3[2] Cho X , k, d không gian kiểu metric, x0 X ánh xạ T:X X , với F (T) , F (T) tập điểm bất động T Khi đó, dãy lặp xn1 Txn với n N gọi T- dừng T lim xn q F (T) dãy n d yn1 ,T yn ynnN X thỏa mãn lim n lim yn q n Định nghĩa 4[2] Cho K , không gian metric bị chặn đầy đủ Khi đó, điểm bất động ánh xạ T : K K xác định tồn q K : q F T yn X : lim d ym , Tyn ta có lim yn q n n Bổ đề Cho X , k , d không gian kiểu metric với hệ số k Giả sử dãy xn, yn X hội tụ tới điểm tương ứng x; y X Khi ta có: d x, y liminfd xn , yn lim supd xn , yn k 2d x, y n n k2 Nếu x y lim d xn , yn = n Hơn nữa, với z X ta có d x,z liminfd xn ,z lim supd xn ,z k 2d x,z n n k Chứng minh.Với n , ta có: d x, y k d x, xn d xn , y , d xn , y k d xn , yn d yn , y , d xn , yn k d xn , x d x, yn , d x, yn k d x, y d y, yn Suy 20 KH&CN QUI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI 1 d x, y d x, xn d yn , y d xn , yn k k kd x, xn k 2d y, yn k 2d x, y SỐ 53/2020 d xm , xn kd xm , xm1 kd xm1, xn kd xm , xm1 k d xm1 , xm2 k 2d xm2 , xn Cho n ta thu kd xm , xm1 k 2d xm1 , xm2 k 3d xm2 , xm3 k 3d xm3 , xn d x,y lim infd xn ,yn lim supd xn ,yn k 2d x,y n n k2 kd xm , xm1 k 2d xm1 , xm2 Nếu x y d ( x, y) Suy lim d xn , yn k 3d xm2 , xm3 n Với z X , ta có k nm1d xn2 , xn1 k nm1d xn1 , xn d x, z kd xn , x kd xn , z , n k m d x0 , x1 k 2 m1d x0 , x1 Từ ta suy k 3 m2 d x0 , x1 d x, z d xn , x d xn , z k kd xn , x kd x, z k nm1 n2d x0 , x1 k nm1 nm1d x0 , x1 1 s s 2 k m nm2 nm2 nm1 nm1 d x0 , x1 s s Cho n sử dụng lim d xn , x ta thu được: n d x, z liminf d xn , z limsup d xn , z n n k kd x, z Bổ đề Cho X , k , d không gian kiểu metric với hệ số k ánh xạ T : X X Giả sử xn dãy phần tử X xác định xn1 Txn cho d xn ,xn+1 λd xn-1 ,xn , (2.1) với n N λ 0;1 Khi xn dãy Cauchy Chứng minh Cố định x0 X xây dựng dãy xn công thức xn1 =Txn ,n N Ta xét trường hợp sau: 1 Trường hợp 1: Với λ 0, , k >1 k Theo (2.1), ta có: d xn ,xn+1 λd xn-1 ,xn λ d xn-2 ,xn-1 λ d x0 ,x1 n d xn ,xn+1 λd xn-1 ,xn λ d xn-2 ,xn-1 λ n d x0 ,x1 Do đó, với n,m N n m ta có: i k m s d x0 , x1 i 0 k m d x0 , x1 m k Điều chứng tỏ T n x0 xnn dãy Cauchy Hay n dãy Cauchy 1 Trường hợp 2: Với ,1 , k >1 Trong trường k n hợp này, ta có n , tồn n0 cho n0 Theo Trường hợp 1, suy k T n0 n x0 n0 xn0 , xn0 1, , xn0 n , dãy Cauchy Khi xnn0 x0 , x1, x2 , xn 1 xn , xn 1, xn 2 , xn n 0 0 dãy Cauchy X Trường hợp 3: Với k Chứng minh tương tự Trường hợp 1, ta có xnn dãy Cauchy 2.2 Định lý Định lý Cho X, k, d không gian kiểu metric đầy đủ với hệ số k ánh xạ T : X X thỏa mãn điều kiện d Tx, Ty 1d x, y 2 3 5 d x, Tx d y, Ty d x, y d x, Ty d y, Tx d x, Tx d x, Ty 4 d x, y d x, y d y, Ty d y, Tx , d x, y 2.2 1, 2 , 3 , 4 5 số không âm KH&CN QUI 21 SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI thỏa mãn 1 2 3 k4 k5 Khi đó, T 1 2 k5 d xn , xn1 1 k5 d xn1, xn 2.4 có điểm bất động x X Hơn nữa, với x X , dãy lặp T n x hội tụ x* X Từ (2.3) (2.4) ta có 21 k4 k5 d xn , xn1 d xn1, xn 22 k4 k5 * Chứng minh.Chọn x0 X xây dựng dãy lặp xn n0 công thức xn1 Txn n Nếu tồn cho xn0 xn0 1 xn0 xn0 1 Txn0 , hay xn0 gọi điểm bất động T Khơng tính tổng qt, ta giả sử xn xn1, n Theo giả thiết ta có d xn , xn1 Txn1 , Txn d xn1 , Txn1 d xn ,Txn 1d xn1 , xn 2 d xn1 , xn 3 d xn1 , Txn d xn ,Txn1 d xn1 ,Txn1 d xn1,Txn 4 d xn1 , xn d xn1, xn 5 d xn , Txn d xn ,Txn1 d xn1 , xn 1d xn1 , xn 2 d xn1 , xn d xn , xn1 d xn1 , xn d xn1 , xn1 d xn , xn d xn1 , xn d xn1 , xn1 3 4 d xn1 , xn d xn1, xn + d xn , xn1 d xn , xn d xn1 , xn 21 k4 k5 22 k4 k5 Vì 1 2 3 k4 k5 nên Theo Bổ đề 2, xn dãy Cauchy X Hơn Đặt X, k, d đầy đủ nên tồn lim xn x 1d xn , x 2 3 5 3 d xn , xn1 d Txn ,Txn1 1d xn , xn1 2 d xn , Txn d xn1 , Txn1 d xn , xn1 3 d xn , Txn1 d xn1 , Txn d xn ,Txn d xn ,Txn1 4 d xn , xn1 d xn , xn1 5 d xn1 , Txn1 d xn1 , Txn d xn , xn1 1d xn , xn1 2 d xn , xn1 d xn1 , xn d xn , xn1 d xn , x 4 d xn , Txn d xn , Tx d xn , x d x , Tx d x , Txn d xn , x d xn , xn1 d x , Tx d xn , x d xn , Tx d x , xn1 d xn , x 4 d xn , xn1 d xn ,T x d xn , x d x ,T x d x , xn1 d xn , x lim x Tx* (2.6) n n1 Từ (2.5) (2.6) ta có Tx x hay x bất động T Cuối cùng, tính điểm bất động Thật vậy, gia sử có điểm bất * động y T cho y x , theo giả thiết ta có: Từ suy d x , y d Tx , Ty 1d x , y 2 3 d xn1 , xn d xn1 , xn1 5 d xn , xn1 1d xn1 , xn 2d xn , xn1 k 5 d xn1 , xn d xn , xn1 22 d xn , x Cho n ta thu lim d x ,Tx n1 n d xn , xn d xn1 , xn1 d xn , xn1 d xn , xn 3 4 d xn , xn1 d xn , xn1 Kéo theo d xn , Txn d x , Tx d xn , Tx d x , Txn 1d xn , x 2 5 x điểm bất động T d xn ,T x d Txn , Tx 1d xn1 , xn 2d xn , xn1 k 4 d xn1 , xn d xn , xn1 Điều chứng tỏ 1 2 k4 d xn , xn1 1 k4 d xn1, xn 2.3 Từ (2.2) ta có (2.5) n Tiếp theo, ta Thật x X cho d x , Tx d y , Ty d x , y d x , Ty d y , Tx d x , y 5 4 d x ,Tx d x ,Ty d x , y d y , Ty d y ,Tx d x , y 1d x , y 3 d x , y d x , y 1 3 d x , y d xn , x KH&CN QUI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 53/2020 d Tyn , x d T x ,T yn Do 1 2 3 k4 k5 nên 1 3 Từ suy d x , y hay x y 1d x , yn 2 Hệ Cho X , d không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X X thỏa mãn điều kiện d x, Tx d y, Ty d x, y 3 d x, Ty d y,Tx d x,Tx d x,Ty 4 d x, y d x, y 5 d Tx, Ty 1d x, y 2 3 Chứng minh: Hệ suy từ Định lý cách chọn k Định lý Giả sử điều kiện Định lý thỏa mãn Nếu 2k 1 23 k k 4 5 dãy X cho d yn1 , Tyn n Từ (2.2), ta có d Tyn , x d Tyn ,T x 1d yn , x 2 3 d yn , x d x , Tx d x , Tyn 4 d yn , Tyn d yn ,Tx d yn , x 1d yn , x 3d x , Tyn 4 d yn , Tyn 1 k 4 d yn , x 3 k 4 d x , Tyn 1 3 k4 d x ,Tyn 1 k4 d yn , x 2.7 Mặt khác, ta có KH&CN QUI d x , yn Điều kéo theo 1 3 k5 d x ,Tyn 1 k5 d yn , x 2.8 T (2.7) (2.8) suy 21 k4 k5 d yn , x 23 k4 k5 k 21 k 4 k 5 Đặt h 23 k 4 k 5 d x , Tyn (2.9) Vì 2k1 23 k k 4 5 nên h Từ (2.9), ta có : an1 d yn1, x kd yn1,Tyn kd Tyn , x han cn Áp dụng Bổ đề 1, suy an1 d yn , x n Vậy dãy lặp xn1 Txn T-dừng d yn , x Điều chứng tỏ d x , yn Điều có nghĩa yn x n d yn , x d yn , Tx d x , Tyn 5 d yn , Tyn d x , Tx 4 d yn , Tyn d yn ,Tx Chứng minh Theo Định lý 1, ánh xạ T có điểm bất động x X Giả sử yn dãy d x , yn d x ,Tx d x ,Tyn Đặt an d yn , x , cn kd yn1,Tyn T- dừng d x , Tyn d yn ,Tx 1 k 5 d yn , x 3 k 5 d x ,Tyn 1, 2 , 3 , 4 5 số không âm 1 2 3 4 5 Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, với x X , dãy lặp T n x n hội tụ điểm cố định xn1 Txn n d x , yn 1d x , yn 3d x , Tyn 5d yn ,Tyn d y, Ty d y, Tx 5 , d x, y d x , Tx d yn ,Tyn Hệ Giả sử giả thiết Hệ thỏa mãn Khi dãy lặp xn1 Txn Tdừng Chứng minh Trong Định lý cho k Khi 2k1 23 (k k )(4 5 ) 2, kéo theo 1 3 4 5 Theo Định lý ta có điều phải chứng minh Định lý Cho X, k, d không gian kiểu metric với hệ số k ánh xạ T : X X thỏa mãn điều kiện F T d Tx,T x d x,Tx 2.10 với x X ,0 số Khi ánh xạ T có thuộc tính (P) Chứng minh Hiển nhiên, khẳng định với n 23 SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Với n , lấy z F T n Theo giả thiết, ta có d z, Tz d TT n1z, T 2T n1z d TT n2 z, T 2T n2 z 2d T n2 z, T n1z d T n1z, T n z nd z, Tz n Do d z, Tz Tz z hay ánh xạ T có tính chất (P) Định lý Giả sử điều kiện Định lý thỏa mãn Khi ánh xạ T có tính chất P Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ T thỏa mãn (2.10).Thật vậy, với x X ta có d Tx,T2 x d T x,TT x 1d x,T x 2 d x, Tx d T x,TT x d x,T x 3 d x,TT x d Tx,T x d x,Tx d x,T Tx 4 d x,T x d x,T x 5 d Tx,TTx d Tx,Tx d x,T x 1d x,T x 3d Tx, T x 4d x, T x 1 k 4 d x,T x 2 k 4 d Tx, T x Điều chứng tỏ 1 2 k4 d Tx,T x 1 k4 d x,Tx 2.11 Mặt khác, ta có d Tx, T x d Tx,TTx 1d Tx, x 2 1 2 k5 d Tx,T x 1 k5 d x,Tx 2.12 Từ (2.11) (2.12), ta có 22 k4 k5 d Tx,T x 21 k4 k5 d x,T x Do 21 k4 k5 d x,Tx 22 k4 k5 21 k4 k5 Đặt 22 k4 k5 Do 1 2 3 k4 k5 nên Khi ánh xạ T thỏa mãn (2.10) Vậy ánh xạ T có tính chất (P) d Tx,T x Hệ 3.Giả sử điều kiện Hệ thỏa mãn Khi ánh xạ T có tính chất (P) Chứng minh.Vì Hệ trường hợp đặc biệt Định lý theo Định lý 4, ta có điều phải chứng minh Kết luận Trong báo chúng tơi trình bày lại cách cụ khái niệm số kết không gian kiểu metric Các kết có số ứng dụng vào phương trình vi phân Vì khn khổ báo khơng cho phép nên việc ứng dụng chưa trình bày TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Czerwik, (1993) “Contraction mappings in b-metric spaces” Acta Math Inform.Univ Ostrav 1, pp 5–11 [2] Huang, H., Radenovic, S., Deng, G (2018), "Fixed point theorems in b- metric space with applications to differential equations."J Fixed Point Theory Appl., doi.org/10.1007/s11784-018-0491-z d Tx, TTx d x, Tx d Tx, x 3 d Tx, Tx d x,TTx d Tx,TTx d Tx,Tx 4 d Tx, x d Tx, x 5 d x, Tx d x,TTx d Tx, x 1d Tx, x 3d Tx, T x 5d x,T x 1 k5 d Tx, x 2 k5 d Tx,T x Từ suy 24 KH&CN QUI ... x Tx* (2.6) n n1 Từ (2.5) (2.6) ta có Tx x hay x bất động T Cuối cùng, tính điểm bất động Thật vậy, gia sử có điểm bất * động y T cho y x , theo giả thiết ta có: Từ suy d x ,... d x ,Tyn 1, 2 , 3 , 4 5 số không âm 1 2 3 4 5 Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, với x X , dãy lặp T n x n hội tụ điểm cố định xn1 Txn n d x ,... Chứng minh Trong Định lý cho k Khi 2k1 23 (k k )(4 5 ) 2, kéo theo 1 3 4 5 Theo Định lý ta có điều phải chứng minh Định lý Cho X, k, d không gian kiểu metric với