Điểm bất động trong không gian kiểu metric

rong bài viết này, trước hết bài viết đưa ra hai bổ đề quan trong về Điểm bất động trong không gian kiểu metric, nó khái quát hóa và kéo theo nhiều kết quả khác. Thứ hai, đưa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co trên không gian kiểu metric đầy đủ. Thứ ba là chứng minh tính chất của phép lặp Picard. Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu. SỐ 532020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI 20 KHCN QUI Điểm bất động trong không gian kiểu Metric ThS Nguyễn Thị Thu Hương1, 1Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Mobile 0366450738;.

SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Điểm bất động không gian kiểu Metric ThS Nguyễn Thị Thu Hương1,* Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Mobile: 0366450738; * Email: huongna2010@gmail.com Tóm tắt Trong báo này, trước hết đưa hai bổ đề quan Điểm bất động khơng gian kiểu metric, khái qt hóa kéo theo nhiều kết khác Thứ hai, đưa số định lý điểm bất động ánh xạ co không gian kiểu metric đầy đủ Thứ ba, chúng tơi chứng minh tính chất phép lặp Picard Các kết báo viết dựa tài liệu [2] Từ khóa: Ánh xạ co; Dãy Cauchy; Điểm bất động; Không gian kiểu metric;Phép lặp Picard Giới thiệu Hơn kỉ qua, lý thuyết điểm bất động nhiều nhà toán học giới tìm cách cải tiến không gian trừu tượng khác như: Không gian 2- metric, không gian metric thứ tự, không gian b-metric, không gian metric nón,… Tất thiết lập mối liên hệ phương pháp tiếp cận túy ứng dụng Đặc biệt, số ứng dụng lý thuyết điểm bất động giới thiệu để nghiên cứu tính tốn cho phương trình vi phân, phương trình tích phân… Trong số đó, Định lý điểm bất động có tầm ảnh hưởng lớn tiếng nguyên lý ánh xạ co Banach chứng minh nhà toán học Banach người Balan vào năm 1922 Kể từ lý thuyết điểm bất động có bước phát triển nhanh chóng Nội dung 2.1.Các định nghĩa bổ đề Định nghĩa 1[1].Cho X tập hợp khác rỗng k  số thực cho trước Hàm  gọi kiểu metric X d : X×X  điều kiện sau thỏa mãn: 1) d  x, y    x  y, 2) d  x, y   d  y, x  , 3) d  x,z   kd  x, y   kd  y, z  , x, y, z  X Khi ba  X , k , d  gọi không gian kiểu metric Định nghĩa 2[1] Cho gian kiểu metric X Khi đó:  X , k , d  không xn dãy phần tử xn gọi hội tụ đến x  X d  xn , x   n   ; (2) Dãy xn  gọi dãy Cauchy d  xm , xn   m, n   ; (1) Dãy  X , k, d  không gian đầy đủ dãy (3) Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 3[2] Cho  X , k, d  không gian kiểu metric, x0  X ánh xạ T:X  X , với F (T)  , F (T) tập điểm bất động T Khi đó, dãy lặp xn1  Txn với n  N gọi T- dừng T lim xn  q  F (T) dãy n d  yn1 ,T yn    ynnN  X thỏa mãn lim n lim yn  q n Định nghĩa 4[2] Cho  K ,   không gian metric bị chặn đầy đủ Khi đó, điểm bất động ánh xạ T : K  K xác định tồn q  K : q  F T   yn  X : lim d  ym , Tyn   ta có lim yn  q n n Bổ đề Cho  X , k , d  không gian kiểu metric với hệ số k  Giả sử dãy xn, yn  X hội tụ tới điểm tương ứng x; y  X Khi ta có: d  x, y   liminfd  xn , yn   lim supd  xn , yn   k 2d  x, y  n n k2 Nếu x  y lim d  xn , yn  = n Hơn nữa, với z  X ta có d  x,z   liminfd  xn ,z   lim supd  xn ,z   k 2d  x,z  n n k Chứng minh.Với n  , ta có: d  x, y   k d  x, xn   d  xn , y  , d  xn , y   k d  xn , yn   d  yn , y  , d  xn , yn   k d  xn , x   d  x, yn  , d  x, yn   k d  x, y   d  y, yn  Suy 20 KH&CN QUI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI 1 d  x, y   d  x, xn   d  yn , y   d  xn , yn  k k  kd  x, xn   k 2d  y, yn   k 2d  x, y  SỐ 53/2020 d  xm , xn   kd  xm , xm1   kd  xm1, xn   kd  xm , xm1   k d  xm1 , xm2   k 2d  xm2 , xn  Cho n  ta thu  kd  xm , xm1   k 2d  xm1 , xm2   k 3d  xm2 , xm3   k 3d  xm3 , xn  d  x,y   lim infd  xn ,yn   lim supd  xn ,yn   k 2d  x,y  n n k2  kd  xm , xm1   k 2d  xm1 , xm2  Nếu x  y d ( x, y)  Suy lim d  xn , yn    k 3d  xm2 , xm3     n Với z  X , ta có  k nm1d  xn2 , xn1   k nm1d  xn1 , xn  d  x, z   kd  xn , x   kd  xn , z  , n   k  m d  x0 , x1   k 2 m1d  x0 , x1  Từ ta suy  k 3 m2 d  x0 , x1    d  x, z   d  xn , x   d  xn , z  k  kd  xn , x   kd  x, z   k nm1 n2d  x0 , x1   k nm1 nm1d  x0 , x1  1  s  s 2     k  m  nm2 nm2 nm1 nm1  d  x0 , x1   s   s  Cho n  sử dụng lim d  xn , x   ta thu được: n d  x, z   liminf d  xn , z   limsup d  xn , z  n n k  kd  x, z  Bổ đề Cho  X , k , d  không gian kiểu metric với hệ số k  ánh xạ T : X  X Giả sử xn  dãy phần tử X xác định xn1  Txn cho d  xn ,xn+1   λd  xn-1 ,xn  , (2.1) với n  N λ 0;1 Khi  xn  dãy Cauchy Chứng minh Cố định x0  X xây dựng dãy  xn  công thức xn1 =Txn ,n  N Ta xét trường hợp sau:  1 Trường hợp 1: Với λ  0,  , k >1  k Theo (2.1), ta có: d  xn ,xn+1   λd  xn-1 ,xn   λ d  xn-2 ,xn-1   λ d  x0 ,x1  n d  xn ,xn+1   λd  xn-1 ,xn   λ d  xn-2 ,xn-1   λ n d  x0 ,x1  Do đó, với n,m  N n  m ta có:  i  k  m   s   d  x0 , x1   i 0  k m  d  x0 , x1    m     k  Điều chứng tỏ T n x0 xnn  dãy Cauchy Hay n dãy Cauchy 1  Trường hợp 2: Với    ,1 , k >1 Trong trường k  n hợp này, ta có   n  , tồn n0  cho  n0  Theo Trường hợp 1, suy k T  n0 n   x0 n0    xn0 , xn0 1, , xn0 n ,  dãy Cauchy Khi xnn0  x0 , x1, x2 , xn 1 xn , xn 1, xn 2 , xn n  0 0 dãy Cauchy X Trường hợp 3: Với k  Chứng minh tương tự Trường hợp 1, ta có xnn dãy Cauchy 2.2 Định lý Định lý Cho  X, k, d  không gian kiểu metric đầy đủ với hệ số k  ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện d Tx, Ty   1d  x, y   2  3  5 d  x, Tx  d  y, Ty   d  x, y  d  x, Ty  d  y, Tx  d  x, Tx  d  x, Ty   4  d  x, y   d  x, y  d  y, Ty  d  y, Tx  ,  d  x, y   2.2  1, 2 , 3 , 4 5 số không âm KH&CN QUI 21 SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI thỏa mãn 1  2  3  k4  k5  Khi đó, T 1  2  k5  d  xn , xn1    1  k5  d  xn1, xn   2.4 có điểm bất động x  X Hơn nữa, với x  X , dãy lặp T n x hội tụ x*  X Từ (2.3) (2.4) ta có 21  k4  k5 d  xn , xn1   d  xn1, xn   22  k4  k5 *   Chứng minh.Chọn x0  X xây dựng dãy lặp  xn  n0  công thức xn1  Txn  n   Nếu tồn cho xn0  xn0 1 xn0  xn0 1  Txn0 , hay xn0 gọi điểm bất động T Khơng tính tổng qt, ta giả sử xn  xn1, n  Theo giả thiết ta có d  xn , xn1   Txn1 , Txn  d  xn1 , Txn1  d  xn ,Txn   1d  xn1 , xn   2  d  xn1 , xn  3 d  xn1 , Txn  d  xn ,Txn1  d  xn1 ,Txn1  d  xn1,Txn   4  d  xn1 , xn   d  xn1, xn   5 d  xn , Txn  d  xn ,Txn1   d  xn1 , xn   1d  xn1 , xn   2 d  xn1 , xn  d  xn , xn1   d  xn1 , xn  d  xn1 , xn1  d  xn , xn  d  xn1 , xn  d  xn1 , xn1   3  4  d  xn1 , xn   d  xn1, xn  + d  xn , xn1  d  xn , xn   d  xn1 , xn  21  k4  k5  22  k4  k5 Vì 1  2  3  k4  k5  nên    Theo Bổ đề 2,  xn  dãy Cauchy X Hơn Đặt    X, k, d  đầy đủ nên tồn lim xn  x  1d  xn , x   2 3 5 3 d  xn , xn1   d Txn ,Txn1   1d  xn , xn1   2 d  xn , Txn  d  xn1 , Txn1   d  xn , xn1  3 d  xn , Txn1  d  xn1 , Txn  d  xn ,Txn  d  xn ,Txn1   4  d  xn , xn1   d  xn , xn1  5 d  xn1 , Txn1  d  xn1 , Txn   d  xn , xn1   1d  xn , xn1   2 d  xn , xn1  d  xn1 , xn   d  xn , xn1   d  xn , x    4 d  xn , Txn  d  xn , Tx   d  xn , x  d  x , Tx  d  x , Txn   d  xn , x  d  xn , xn1  d  x , Tx   d  xn , x  d  xn , Tx  d  x , xn1   d  xn , x    4 d  xn , xn1  d  xn ,T x   d  xn , x  d  x ,T x  d  x , xn1   d  xn , x    lim x  Tx* (2.6) n n1  Từ (2.5) (2.6) ta có Tx  x hay x bất động T Cuối cùng, tính điểm bất động Thật vậy, gia sử có điểm bất * động y T cho y  x , theo giả thiết ta có: Từ suy d  x , y   d Tx , Ty   1d  x , y   2 3 d  xn1 , xn  d  xn1 , xn1  5  d  xn , xn1   1d  xn1 , xn   2d  xn , xn1   k 5 d  xn1 , xn   d  xn , xn1  22  d  xn , x  Cho n  ta thu lim d x ,Tx  n1 n d  xn , xn  d  xn1 , xn1  d  xn , xn1  d  xn , xn  3  4  d  xn , xn1   d  xn , xn1  Kéo theo d  xn , Txn  d  x , Tx  d  xn , Tx  d  x , Txn   1d  xn , x   2 5 x điểm bất động T d  xn ,T x   d Txn , Tx   1d  xn1 , xn   2d  xn , xn1   k 4 d  xn1 , xn   d  xn , xn1  Điều chứng tỏ 1  2  k4  d  xn , xn1    1  k4  d  xn1, xn   2.3 Từ (2.2) ta có (2.5) n Tiếp theo, ta Thật x  X cho d  x , Tx  d  y , Ty   d  x , y   d  x , Ty  d  y  , Tx   d  x , y   5  4 d  x ,Tx  d  x ,Ty    d  x , y   d  y , Ty  d  y ,Tx   d  x , y    1d  x , y   3 d  x , y   d  x  , y     1  3  d  x , y   d  xn , x  KH&CN QUI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 53/2020 d Tyn , x   d  T x ,T yn  Do 1  2  3  k4  k5  nên 1  3    Từ suy d x , y  hay x  y  1d  x , yn   2  Hệ Cho  X , d  không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện d  x, Tx  d  y, Ty   d  x, y  3 d  x, Ty  d  y,Tx  d  x,Tx  d  x,Ty   4  d  x, y   d  x, y  5 d Tx, Ty   1d  x, y   2 3   Chứng minh: Hệ suy từ Định lý cách chọn k  Định lý Giả sử điều kiện Định lý thỏa mãn  Nếu 2k 1  23  k  k  4  5   dãy X cho d  yn1 , Tyn   n  Từ (2.2), ta có d Tyn , x   d Tyn ,T x  1d  yn , x   2 3   d  yn , x   d  x , Tx  d  x , Tyn    4 d  yn , Tyn  d  yn ,Tx  d  yn , x       1d  yn , x   3d  x , Tyn   4 d  yn , Tyn    1  k 4  d  yn , x    3  k 4  d  x , Tyn  1  3  k4  d  x ,Tyn    1  k4  d  yn , x   2.7  Mặt khác, ta có KH&CN QUI  d  x , yn  Điều kéo theo 1  3  k5  d  x ,Tyn    1  k5  d  yn , x   2.8 T (2.7) (2.8) suy 21  k4  k5 d  yn , x   23  k4  k5 k  21  k 4  k 5  Đặt h   23  k 4  k 5 d  x , Tyn   (2.9)   Vì 2k1  23  k  k 4  5   nên  h   Từ (2.9), ta có : an1  d  yn1, x   kd  yn1,Tyn   kd Tyn , x   han  cn Áp dụng Bổ đề 1, suy an1  d  yn , x    n    Vậy dãy lặp xn1  Txn T-dừng  d  yn , x  Điều chứng tỏ  d  x  , yn  Điều có nghĩa yn  x  n     d  yn , x  d  yn , Tx  d  x , Tyn   5  d  yn , Tyn  d  x , Tx    4 d  yn , Tyn  d  yn ,Tx   Chứng minh Theo Định lý 1, ánh xạ T có điểm bất động x  X Giả sử  yn  dãy   d  x , yn  d  x ,Tx  d  x ,Tyn  Đặt an  d yn , x , cn  kd  yn1,Tyn   T- dừng  d  x , Tyn  d  yn ,Tx    1  k 5  d  yn , x    3  k 5  d  x ,Tyn  1, 2 , 3 , 4 5 số không âm 1  2  3  4  5  Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, với x  X , dãy lặp T n x  n  hội tụ điểm cố định xn1  Txn  n   d  x , yn   1d  x , yn   3d  x , Tyn   5d  yn ,Tyn  d  y, Ty  d  y, Tx  5 ,  d  x, y   d  x , Tx  d  yn ,Tyn  Hệ Giả sử giả thiết Hệ thỏa mãn Khi dãy lặp xn1  Txn Tdừng Chứng minh Trong Định lý cho k  Khi 2k1  23  (k  k )(4  5 )  2, kéo theo 1  3  4  5  Theo Định lý ta có điều phải chứng minh Định lý Cho  X, k, d  không gian kiểu metric với hệ số k  ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện F T    d Tx,T x   d  x,Tx  2.10 với x  X ,0    số Khi ánh xạ T có thuộc tính (P) Chứng minh Hiển nhiên, khẳng định với n  23 SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI   Với n  , lấy z  F T n Theo giả thiết, ta có  d  z, Tz   d TT n1z, T 2T n1z      d TT n2 z, T 2T n2 z    2d T n2 z, T n1z    d T n1z, T n z    nd  z, Tz    n   Do d  z, Tz   Tz  z hay ánh xạ T có tính chất (P) Định lý Giả sử điều kiện Định lý thỏa mãn Khi ánh xạ T có tính chất P Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ T thỏa mãn (2.10).Thật vậy, với x  X ta có d Tx,T2 x  d  T x,TT x     1d  x,T x   2 d  x, Tx  d  T x,TT x   d  x,T x  3 d  x,TT x  d Tx,T x  d  x,Tx  d  x,T Tx   4  d  x,T x   d  x,T x  5 d Tx,TTx  d Tx,Tx   d  x,T x   1d  x,T x   3d Tx, T x   4d  x, T x    1  k 4  d  x,T x    2  k 4  d Tx, T x  Điều chứng tỏ 1  2  k4  d Tx,T x   1  k4  d  x,Tx   2.11   Mặt khác, ta có d Tx, T x  d Tx,TTx     1d Tx, x   2 1  2  k5  d Tx,T x    1  k5  d  x,Tx   2.12 Từ (2.11) (2.12), ta có   22  k4  k5  d Tx,T x    21  k4  k5  d  x,T x  Do 21  k4  k5 d  x,Tx   22  k4  k5 21  k4  k5 Đặt    22  k4  k5 Do 1  2  3  k4  k5  nên   Khi ánh xạ T thỏa mãn (2.10) Vậy ánh xạ T có tính chất (P) d Tx,T x   Hệ 3.Giả sử điều kiện Hệ thỏa mãn Khi ánh xạ T có tính chất (P) Chứng minh.Vì Hệ trường hợp đặc biệt Định lý theo Định lý 4, ta có điều phải chứng minh Kết luận Trong báo chúng tơi trình bày lại cách cụ khái niệm số kết không gian kiểu metric Các kết có số ứng dụng vào phương trình vi phân Vì khn khổ báo khơng cho phép nên việc ứng dụng chưa trình bày TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Czerwik, (1993) “Contraction mappings in b-metric spaces” Acta Math Inform.Univ Ostrav 1, pp 5–11 [2] Huang, H., Radenovic, S., Deng, G (2018), "Fixed point theorems in b- metric space with applications to differential equations."J Fixed Point Theory Appl., doi.org/10.1007/s11784-018-0491-z d Tx, TTx  d  x, Tx   d Tx, x  3 d Tx, Tx  d  x,TTx  d Tx,TTx  d Tx,Tx   4  d Tx, x   d Tx, x  5 d  x, Tx  d  x,TTx   d Tx, x   1d Tx, x   3d Tx, T x   5d  x,T x    1  k5  d Tx, x    2  k5  d Tx,T x  Từ suy 24 KH&CN QUI ... x  Tx* (2.6) n n1  Từ (2.5) (2.6) ta có Tx  x hay x bất động T Cuối cùng, tính điểm bất động Thật vậy, gia sử có điểm bất * động y T cho y  x , theo giả thiết ta có: Từ suy d  x ,...  d  x ,Tyn  1, 2 , 3 , 4 5 số không âm 1  2  3  4  5  Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, với x  X , dãy lặp T n x  n  hội tụ điểm cố định xn1  Txn  n   d  x ,... Chứng minh Trong Định lý cho k  Khi 2k1  23  (k  k )(4  5 )  2, kéo theo 1  3  4  5  Theo Định lý ta có điều phải chứng minh Định lý Cho  X, k, d  không gian kiểu metric với