Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 21 14 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị T[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 - 21 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC Hồng Tùng Lâm, Hồng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị Thu Uyên2 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo trình bày ứng dụng nguyên lý ánh xạ co không gian metric giải lớp tốn tìm điều kiện cho số hạng đầu dãy truy hồi để dãy số cho hội tụ Ngồi ra, nhóm tác giả nghiên cứu đánh giá sai số dãy lặp dạng un 1  f (un ) với giới hạn Từ khóa: Ánh xạ co, dãy lặp, điểm bất động, không gian metric, sai số, xấp xỉ Mở đầu Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng toán học ngành khoa học khác Điển việc chứng minh tồn nghiệm trình vi phân, tích phân, Mặt khác, nhiều vấn đề giải tích, việc nghiên cứu hội tụ dãy số nói chung vấn đề đáng quan tâm, đặc biệt câu hỏi tồn giới hạn dãy cho công thức truy hồi Như biết, việc nghiên cứu hội tụ dãy truy hồi có nhiều phương pháp khác Bài báo tập trung vào nghiên cứu tồn giới hạn dãy số cho công thức truy hồi dựa vào nguyên lý ánh xạ co khơng gian metric đầy Một tính chất hữu ích ánh xạ co khơng gian metric đầy, tìm (thơng qua giới hạn dãy lặp) điểm bất động ánh xạ cho Ngồi ra, nhiều trường hợp gặp khó khăn việc tìm giới hạn dãy số (mặc dù ta biết dãy hội tụ), điều đặt vấn đề nghiên cứu tốc độ hội tụ sai số điểm bất động dãy lặp cho Phần cuối báo, đền cập đến việc nghiên cứu vấn đề nói Định lý Banach điểm bất động không gian metric Một số khái niệm cần thiết Định lý Banach ánh xạ co không gian metric ([1], [2]) Định nghĩa 2.1 Cho f ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào Khi ta gọi: (i) f ánh xạ co X tồn số k   0,1 cho:  x, y  X , d  f  x  , f  y    kd  x, y  , số k nói gọi hệ số co (ii) f ánh xạ không giãn X nếu: Ngày nhận bài: 7/2/2017 Ngày nhận kết phản biện: 8/5/2017 Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Hoàng Việt Anh, e - mail: hoangvietanh2000@gmail.com 14  x, y  X , d  f  x  , f  y    d  x, y  (iii) f ánh xạ co yếu X  x, y  X , x  y, d  f  x  , f  y    d  x, y  (iv) x0  X điểm bất động ánh xạ f f  x0   x0 Từ đưa định lý Stefan Banach điểm bất động không gian metric Định lý 2.2 (Banach) Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy X vào có điểm bất động Hơn nữa, với x0  X dãy lặp  f  x  n n hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Tham khảo [1] Nhận xét 2.3 (i) Từ Định lý 2.2, toán ngược đưa sau Giả sử biết điểm bất động x * f Hãy tìm dãy xấp xỉ cho x * , từ đánh giá sai số dãy xấp xỉ xây dựng so với x * (ii) Tiếp tục theo Định lý 2.2, với x0  X , dãy lặp  f n  x0  n hội tụ tới điểm bất động x*  X f Đánh giá tốc độ hội tụ x * dãy lặp nói Thêm nữa, với sai số cho trước, ước lượng n bé hay khơng? (iii) Trường hợp f ánh xạ co yếu, thấy Định lý 2.2 không đúng, xét ánh xạ: f : 1,    1,   x f  x  x  x Rõ ràng X  1,   không gian đầy và: d  f  x  , f  y   | f  x   f  y  || x  | x  y ||1  1 y | x y | xy | x  y | d  x, y  , x, y  X , x  y Tuy nhiên f  x   x, x  X , chứng tỏ f khơng có điểm bất động X Như f ánh xạ co yếu không gian metric (thậm chí đầy) X nói chung f khơng tồn điểm bất động X Tuy nhiên, X không gian metric compact ánh xạ co yếu X có điểm bất động (Định lý 1.2 [3]) Ngồi ra, tốn trình bày đây, xét minh họa không gian với metric thông thường Đồng thời biết, tập đóng bị chặn X  không gian metric compact với metric cảm sinh metric thông thường 15 (iv) Trong Định lý 2.2, ánh xạ f giả thiết ánh xạ co Tuy nhiên, thấy (ví dụ Hệ 1.5 [4]) f m  f f  f (với m lần tích hợp thành) ánh xạ co khơng gian metric đầy X, với m  f có điểm bất động x * Hơn nữa, với a  X f n  a  hội tụ x * Như giả thiết f ánh xạ co điều kiện đủ để f có điểm bất động Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co xây dựng số dãy xấp xỉ 3.1 Tìm điều kiện để dãy số có giới hạn Xét tốn (thuộc đề thi Olympic sinh viên tồn quốc năm 2016 mơn Giải tích) sau (xem [6]): Bài toán Cho {un }n * dãy số xác định điều kiện u1  a, un1  un   un  2016  ,  n  Hãy tìm tất giá trị thực a để dãy un n * hội tụ Từ tìm giới hạn dãy cho hội tụ Trong báo này, tìm hướng giải khác cho toán cách dựa trực tiếp vào nguyên lý ánh xạ co nói Cụ thể sau: Đặt f  x   x   x  2016 , x  dãy cho dãy lặp xác định un1  ( un  , n  Tìm tập X  mà f ánh xạ co cho X không gian metric đầy Thật vậy, dãy cho hội tụ rõ ràng dãy tăng có giới hạn 2016 Khi a  2016, từ cơng thức quy nạp, dãy cho không hội tụ Hơn thấy a  2015 f  a   2016 tương tự dãy không hội tụ Như vậy, dãy un n * hội tụ a   2015, 2016 Ngược lại, giả sử a   2015, 2016 , chứng minh trường hợp f ánh xạ co yếu không gian metric đầy X  [2015, 2016] Như vậy, có: d  f  x  , f  y   f  x   f  y   x  y  x  y  2.2016  x  y , x, y  X , x  y Trong trường hợp f ánh xạ co yếu, nhiên X   2015, 2016 không gian metric compact với metric cảm sinh metric thông thường , theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn điểm bất động f X   2015, 2016 Đồng thời theo Định lý 2.2, với 16 a  X   2015, 2016 , dãy un1  f  un   f n  a  , n  hội tụ tới điểm bất động f Dễ thấy f  2016   2016 nên 2016 điểm bất động f Vậy điều kiện cần đủ để dãy cho hội tụ a   2015, 2016 Hơn nữa, dãy cho hội tụ tới 2016 với a   2015, 2016 Bài toán Cho un n * dãy số xác định điều kiện: u1  a , un1  un  un Tìm tất giá trị thực a để dãy cho hội tụ Từ tìm giới hạn dãy un n * Đặt f  x   x  x  x  Tìm tập X   dãy cho dãy lặp xác định un1  f  un   n  1 mà f ánh xạ co X không gian metric đầy Thật vậy: Do dãy cho giảm nên dãy hội tụ rõ ràng giới hạn phải Nếu a   a  dãy cho không hội tụ Thật vậy, từ bảng biến thiên f , a  f  a   dãy giảm nên hội tụ Trường hợp a  u1  a  a  0, theo trường hợp dãy cho khơng thể hội tụ Vậy dãy hội tụ a  0;1 Chứng minh f ánh xạ co yếu không gian metric compact X   0;1 với metric cảm sinh metric thông thường Như vậy, có: d  f  x  , f  y   x  x2  y  y  x  y  ( x  y)  x y  d  x, y  , x, y  X , x  y Từ tiếp tục theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn điểm bất động f X  0;1 Như điều kiện cần đủ để dãy cho hội tụ a [0,1] Với phương pháp nêu trên, bạn đọc tìm lời giải cho lớp toán tương tự sau đây: Hãy xác định giá trị u1  a để dãy cho trường hợp sau hội tụ: Với un1  ln 1  un  , n  2 Với un1  3un  3un  1, n  Với un1  cos xn , n  Với un1  sin xn , n   un e , n  Với un1  e 17 Như ngôn ngữ nguyên lý ánh xạ co khơng gian metric đầy, xây dựng nhiều dạng tập phương pháp giải tập cách ngắn gọn độc đáo 3.2 Xây dựng số dãy xấp xỉ Giả sử  hàm khả vi cho  '  tập X  Khi xét hàm số: f  x  x    x ,  ' x tập xác định nói Rõ ràng x0  X nghiệm phương trình   x   x0 điểm bất động f Như f ánh xạ co không gian metric đầy X theo Định lý 2.2, với x0  X có dãy lặp f n  x0  , n  hội tụ tới điểm bất động x* f, đồng nghĩa với dãy lặp nói hội tụ tới nghiệm x*   x   Như vậy, chưa biết nghiệm x*   x   xấp xỉ x* dãy lặp theo f Ngược lại, biết nghiệm x* xây dựng dãy để cho dãy hội tụ tới x* biết, từ đánh giá sai số tốc độ hội tụ x* dãy xét Xét ví dụ minh họa đơn giản sau đây: Bài toán Xét   x   x  x  Khi   x   có hai nghiệm phân biệt trái dấu Giả sử nghiệm dương   x  x* Xây dựng dãy xấp xỉ cho x* Thật vậy, trước hết theo định nghĩa, có dãy lặp ứng với hàm f  x   x  cho bởi: xn  xn1  xn21  xn1  xn21   xn1  xn1  x2  Nói cách khác, dãy lặp hàm f  x   2x 1 Mặt khác ta có với x, y  1,  :  x2    y   d  f  x  , f  y       2x 1   y 1  1      5    x        y    2  x  1     2  y  1       x  y 1  x  1 y  1 x y  d  x, y   18   x  ' x  Do f co giá trị x0   =[0,  ) Như theo Định lý 2.2, dãy lặp f hội tụ với cho trước tới điểm bất động x* không âm f Theo Định lý 2.2, với giá trị x0 dãy lặp fn(x0)n  hội tụ điểm bất động x* f Trong trường hợp này, xét với số giá trị ban đầu x0 để đánh giá tốc độ hội tụ x* cụ thể bảng sau: Bảng Giá trị dãy lặp với giá trị ban đầu khác N xn xn xn xn xn 4,5 1 1,428571429 1,888888888 2,125 2,363636364 0,666666666 0,788359788 0,956072351 1,05595238 1,15007215 0,619047619 0,62929283 0,657273088 0,67448485 0,703807391 0,618034447 0.618090113 0,618699219 0,619390626 0,621089742 0,618033988 0,61803399 0,618034186 0,61803481 0,618038153 Dựa theo Bảng 1, nhận thấy x*  0, 618 Đánh giá sai số xấp xỉ Giả sử f ánh xạ co X với hệ số co 0< k