BM Khoa học Máy tính • TOÁN RỜI RẠC • Fall 2005 • NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Các ứng dụng của Bài toán luồng cực đại Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 2 Max Flow Applications s t Toán rời rạ[.]
Các ứng dụng Bài toán luồng cực đại BM Khoa học Máy tính • TỐN RỜI RẠC • Fall 2005 • NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Max Flow Applications s Tốn rời rạc – Fall 2005 t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT NỘI DUNG Một số tốn luồng tổng quát – Bài toán với nhiều điểm phát điểm thu – Bài toán với hạn chế thông qua nút Một số ứng dụng tổ hợp – Bài toán cặp ghép cực đại đồ thị hai phía – Độ tin cậy mạng Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Một số toán luồng tổng quát Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Mạng với nhiều điểm phát điểm thu Xét mạng G với p điểm phát s1, s2, , sp vi lng phát l a1, a2, , ap q ®iĨm thu t1, t2, , tq với lượng thu b1, b2, , bq Gi¶ sư r»ng lng từ điểm phát đến tất điểm thu Tìm luồng cực đại từ điểm phát đến điểm thu Toỏn rời rạc – Fall 2005 s1 t1 s2 t2 sp tq NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT M¹ng víi nhiều điểm phát điểm thu a vào điểm phát giả s điểm thu giả t cạnh nối s với tất điểm phát cạnh nối điểm thu với t Kntq cung (s,si) l lợng phát cña si Kntq cña (ti, t) sÏ bi l lợng thu điểm thu ti Bi toán dẫn to¸n với điểm ph¸t điểm thu a1 s a2 s1 t1 s2 t2 ap b2 t bq sp Toán rời rạc – Fall 2005 b1 tq NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Bài tốn với hạn chế thơng qua nút Giả sử mạng G, khả thông qua cung c(u, v), đỉnh v V có khả thông qua đỉnh d(v), đòi hỏi tổng luồng vào đỉnh v không đợc vợt d(v), tức f(w,v) d(v) wV du u ds s v ã Tìm luồng cực đại t s n t mạng G dt t Toán rời rạc – Fall 2005 dv NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Bài tốn với hạn chế thơng qua nút X©y dựng mạng G' cho: đỉnh v G tơng ứng với đỉnh v+, v- G', cung (u, v) G ứng với cung (u-, v+) G', cung (v,w) G ứng với cung (v-, w+) G' Ngoài ra, cung (v+, v-) G' có khả thông qua d(v), tức khả thông qua đỉnh v G du du u ds u+ s v dt t u- s+ ds s2 v+ dv t+ v- dt t- dv Qui tốn tìm luồng cực đại G’ Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT Các ứng dụng tốn luồng cực đại ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Bài toán ghép cặp (Matching Problems) Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 10 Cặp ghép (Matching) Cho G = (V, E) đồ thị vô hướng Cặp ghép đồ thị G tập cạnh đồ thị đơi khơng có đỉnh chung Bài tốn cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép với lực lượng lớn Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 11 Bài toán cặp ghép cực đại đồ thị hai phía Đồ thị vơ hướng G=(V,E) hai phía V phân hoạch thành tập X Y cho cạnh eE biểu diễn e=(x, y) với xX yY Cặp ghép tập cạnh đơi khơng có đỉnh chung Bài tốn cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép có lực lượng lớn Toán rời rạc – Fall 2005 10 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 12 Qui dẫn toán luồng cực đại Xây dựng mạng G’ s Mỗi cung (s, i) có kntq Tốn rời rạc – Fall 2005 Mỗi cung (j, t) có kntq ∞ t 10 Mỗi cạnh (x,y) thay cung (x,y) với kntq +∞ NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT 13 Tìm luồng cực đại s 10 t Giá trị luồng cực đại từ s đến t Cặp ghép cực đại có lực lượng Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 14 Bipartite Matching: Tính đắn Đinh lý Lực lượng cặp ghép cực đại G = giá trị luồng cực đại G' CM Chỉ cần chứng minh G có cặp ghép lực lượng k G’ có luồng với giá trị k ) Cho cặp ghép M có lực lượng k Xét luồng f đẩy luồng đơn vị dọc theo k đường G f luồng có giá trị k ■ 1' 2' 3' Toán rời rạc – Fall 2005 1 1' 2' 3' 4' 4' 5' 5' s t G' NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT 15 Bipartite Matching: Tính đắn ) Cho f luồng giá trị k G' Từ định lý tính ngun tìm luồng nguyên: f(e) Gọi M = tập cạnh e từ X sang Y với f(e) = đỉnh X Y đầu mút cạnh M – |M| = k, luồng có giá trị k nên có k cạnh từ X sang Y với giá trị luồng cung ■ – 1 s G' 1' 1 1' 2' 3' 2' 3' 4' 4' 5' 5' Toán rời rạc – Fall 2005 t G NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 16 Cặp ghép hoàn hảo (Perfect Matching) ĐN Cặp ghép M E gọi hoàn hảo (perfect) đỉnh đồ thị đầu mút cạnh M Câu hỏi Khi đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo? Cấu trúc đồ thị hai phía có cặp ghép hồn hảo Rõ ràng ta phải có |X| = |Y| Điều kiện cần nữa? Các điều kiện đủ gì? Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 17 Cặp ghép hoàn hảo Ký hiệu Gỉa sử S tập đỉnh, ký hiệu (S) tập đỉnh kề với đỉnh S Nhận xét Nếu đồ thị hai phía G = (X Y, E) có cặp ghép hồn hảo, | (S)| |S| với tập S X CM Hai đỉnh S gắn với hai đỉnh khác (S) 1' 2' 3' 4' 5' Khơng có cặp ghép hồn hảo: X Toán rời rạc – Fall 2005 S = { 2, 4, } (S) = { 2', 5' } Y NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 18 Định lý đám cưới (Marriage Theorem) Marriage Theorem [Frobenius 1917, Hall 1935] Giả sử G = (X Y, E) đồ thị hai phía với |X| = |Y| Khi đó, G có cặp ghép hồn hảo | (S)| |S| với tập S X CM ) Vừa chứng minh 1' 2' 3' Khơng có cặp ghép hồn hảo: S = { 2, 4, } X Toán rời rạc – Fall 2005 4' 5' (S) = { 2', 5' } Y NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 19 Chứng minh định lý đám cưới CM ) Giả sử G khơng có cặp ghép hồn hảo Xét tốn luồng cực đại tương ứng (A, B) lát cắt nhỏ G' Theo định lý luồng cực đại lát cắt nhỏ nhất, cap(A, B) < | X | Gọi XA = X A, XB = X B , YA = Y A cap(A, B) = | XB | + | YA | Do lát cắt nhỏ không sử dụng cạnh : (XA) YA Suy ra: |(XA )| | YA | = (| XB | + | YA |) - | XB | = cap(A, B) - | XB | < | X | - | XB | = | XA | Chọn S = XA ta có |(S)| < |S| ?! ■ G' 1' A 2' XA = {2, 4, 5} XB = {1, 3} s 4' Toán rời rạc – Fall 2005 5' YA = {2', 5'} 3' t (XA) = {2', 5'} NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 20 ... Qui toán tìm luồng cực đại G’ Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Các ứng dụng toán luồng cực đại ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT Bài. .. hợp – Bài toán cặp ghép cực đại đồ thị hai phía – Độ tin cậy mạng Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Một số toán luồng tổng quát Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ... Applications s Toán rời rạc – Fall 2005 t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT NỘI DUNG Một số toán luồng tổng quát – Bài toán với nhiều điểm phát điểm thu – Bài tốn với hạn chế thơng qua nút Một số ứng dụng