Phép biến đổi laplace và một số ứng dụng

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 1 13 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nguyễn Xuân Vui 1 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt Nội dung bài báo là trình bày phép b[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 10 (9/2017) tr - 13 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nguyễn Xuân Vui1 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Nội dung báo trình bày phép biến đổi Laplace thuận (tìm ảnh hàm) phép biến đổi Laplace ngược (tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh); Phép nhân chập (tích chập) hàm (ảnh đạo hàm tích phân hàm ngun mẫu) Từ trình bày số ứng dụng phép biến đổi Laplace vào việc giải phương trình vi phân tích phân Mỗi phần có số ví dụ minh họa Từ khóa: Biến đổi Laplace, phương trình tích phân, phương trình vi phân, tích chập Mở đầu Biến đổi Laplace biến đổi tích phân Biến đổi Laplace với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích thường sử dụng giải toán vật lý Qua biến đổi Laplace, phép tốn giải tích phức tạp đạo hàm tích phân đơn giản hóa thành phép tính đại số Vì vậy, phép biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, qua phép biến đổi Laplace phương trình trở thành phương trình đại số đơn giản Tìm nghiệm phương trình hàm ảnh sau dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc Năm 1744 , Euler đưa tích phân:  X ( x)e ax dx;  X ( x) x a dx để giải phương trình vi phân Sau đó, Lagrange nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất, đưa biểu thức tích phân:  X ( x)e ax a x dx Những dạng tích phân thu hút ý Laplace vào năm 1782 ơng tiếp tục cơng trình Euler sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình Năm 1785 , vượt khỏi giới hạn giải phương trình phương pháp tích phân, Laplace bắt đầu đưa biến đổi mà sau trở nên phổ biến Ông sử dụng tích phân: x s f (s)dx tương tự phép biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân từ tìm cách giải cho phương trình biến đổi Với cách tương tự vậy, ông suy tính chất phép biến đổi Laplace Ngày nhận bài: 13/01/2016 Ngày nhận kết phản biện: 03/03/2017 Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Nguyễn Xuân Vui, e - mail: nguyenxuanvui277@gmail.com Tìm ảnh hàm 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 Giả sử hàm f  t  thỏa mãn điều kiện sau: i) f (t )  t  ii) f (t )  Mes t t  , M  s0 số thực iii) Trên đoạn hữu hạn [a,b] nửa trục dương Ot, hàm f(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet, tức là: a) bị chặn; b) liên tục, có số hữu hạn điểm gián đoạn loại một; c) có số hữu hạn cực trị Các hàm phép tính tốn tử gọi hàm mơ tả theo Laplace hay hàm ngun mẫu (có gọi tắt nguyên mẫu) Giả sử p = α+βi tham số phức, đồng thời Rep = α  s1 s2  Với điều kiện nói trên, tích phân:  e pt f (t )dt hội tụ hàm p   pt Xét tích phân sau:  e f (t )dt  f ( p) Tích phân gọi tích phân Laplace, hàm biến phức p xác định tích phân gọi biến đổi Laplace hàm f (t ) , ảnh Laplace f (t ) (ảnh f (t )) Kí hiệu hàm f ( p) ảnh hàm nguyên mẫu f (t ) là: f ( p)  L[ f (t )], hay f ( p) f (t ) Quy ước giá trị hàm nguyên mẫu f (t ) điểm gián đoạn loại t0 nửa tổng số giá trị giới hạn từ phía trái phía phải điểm đó: f (t0 )  f (t0  0)  f (t0  0) (2.1) Nhận xét 2.2 Khi thỏa mãn điều kiện (2.1) tương ứng ngun mẫu ảnh có tính chất sau đây: a) Sự tương ứng tương ứng  (tức nguyên mẫu ứng với ảnh ngược lại); b) Tổ hợp tuyến tính số hữu hạn ngun mẫu có ảnh tổ hợp tuyến tính tương ứng ảnh chúng Như vậy, f k ( p) f k (t ) (k  1, 2, , n) , n  ck fk ( p) k 1 n c k 1 k f k ( p) 2.2 Tìm ảnh hàm Trong bảng ví dụ xem giá trị f  t  t  (luôn xem f (t )  0, t  ) Bảng ảnh hàm sơ cấp f ( p) TT f (t ) t  p VI e t cos  t p  ( p   )2   VII e t sin  t  ( p   )2   TT f (t ) t  I II tn n! III e t p  VIII IV cos  t p p 2 V sin  t  p n 1 p  f ( p) tn n! ( p   ) n 1 IX t cos  t p2   ( p   )2 X t sin  t p ( p   )2 e t 2 Ví dụ 1.Tìm ảnh hàm f (t )  at Giải: Vì a  eln a nên f (t )  et ln a Sử dụng công thức III có f (t )  p  ln a Ví dụ Tìm ảnh hàm f (t )  cos3 t Giải: Sử dụng công thức Euler: cos t  eit  eit , có phương trình:  eit  eit  3it e3it  e3it eit  eit it  it 3it cos t    ·  cos 3t  cos t   (e  3e  3e  e )  ·  4 4  p p p( p  7) Sử dụng cơng thức IV có: f ( p)  ·  ·  p  p  ( p  1)( p  9) Ví dụ Tìm ảnh hàm f  t   shbt Giải: Theo định nghĩa hàm sh, có f (t )  (ebt  ebt ) Sử dụng công thức III có: f ( p)  1 b   2 2( p  b) 2( p  b) p  b Ví dụ Tìm ảnh hàm f  t   shat.sin bt at e sin bt  e at sin bt   Giải: Theo định nghĩa hàm sh có: f  t   Dùng công thức VII có: b b pab f  p  ·  ·  2 2  p  a   b 2  p  a   b  p  a   b    p  a   b     Ví dụ Tìm ảnh hàm f (t )  t.chbt 1 Giải: Theo định nghĩa hàm ch có: f  t   t·  ebt  ebt    tebt  tebt  2 Dùng công thức VIII với n  1,    b, có: f  p   p  b   p  b  p  b2 p  b2  Tương tự, tìm ảnh hàm sau đây: f (t )  sin t; f (t )  chbt; f (t )  shat.cos bt; f (t )  chat.sin bt Tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh Khi tìm nguyên mẫu theo ảnh số trường hợp đơn giản nhất, sử dụng bảng ảnh hàm sơ cấp định lý khai triển (Định lý 3.1 [1]) Định lí 3.1 cho phép tìm ngun mẫu ảnh hàm phân thức p : f  p   u  p v  p u  p  v  p  đa thức p bậc m n tương ứng, đồng thời m  n Cụ thể sau Nếu khai triển v  p  thành thừa số đơn giản có dạng: v  p    p  p1   p  p2  k  p  pr  ,  k1  k2  k kr kr  n  Như biết, khai triển hàm f  p  thành tổng hàm sơ cấp đơn giản dạng: Aj , s p p  k j  s 1 j j lấy tất giá trị từ đến r, s nhận tất giá trị số từ đến kj Như vậy: r kj f  p    j 1 s 1 Aj , s p p  k j  s 1 j Tất hệ số Aj, s khai triển tìm theo cơng thức: (3.1) Aj , s   d s 1  k lim  s 1 ( p  p j ) j · f ( p)   (3.2)  s  1! p p j  dp  Thay cho công thức này, dùng phương pháp sơ cấp phép tính tích phân tích phân phân thức hữu tỷ Đặc biệt điều thuận lợi trường hợp tất nghiệm phức mẫu số v  p  đơn đôi liên hợp Nếu tất nghiệm v  p  đơn, khai triển đơn giản hơn, sau:  p  pn  ,  p j  pk v  p    p  p1  p  p2  n Aj j 1 p  pj f  p   j  k , u  pj  , Aj  (3.3) · v  p j  Sau tìm khai triển f  p  thành phân số đơn giản (bằng cách hay cách khác) nguyên mẫu f  t  tìm theo Định lý sau ([1]) Định lý 3.1 a) Nếu mẫu số v( p) có nghiệm bội r kj f (t )   Aj , s j 1 s 1 k s t j pt ·e j (k j  s)! (3.4) b) Nếu mẫu số v  p  có nghiệm đơn r f t    j 1 u  pj  ·e v  p j  p jt (3.5) c) Đặc biệt ảnh hàm cần tìm khai triển thành chuỗi lũy thừa theo f  p  a0 a1   p p2  p an  p n1 đồng thời chuỗi hội tụ f  p  | p | R, R  lim n  an 1   , nguyên mẫu an f  t  tìm theo công thức: f  t   a0  a1 a2 t  t  1! 2!  an n t  n! Hơn chuỗi hội tụ với tất giá trị t Sau đây, dựa vào Định lý 3.1, số ví dụ minh họa sau Ví dụ Tìm ngun mẫu hàm f  p   p p 2p 5 Giải: Ta có phân tích: p p 1  p 1    2 p  p   p  1   p  1   p  12  Từ cơng thức VI VII bảng ngun mẫu có phương trình: p 1  p  1 et ·cos 2t 4 1  ·  p  1   p  1  t ·e ·sin 2t 2 Bởi vậy: f  p    et  cos 2t  sin 2t    p p 2p 5 Ví dụ Tìm ngun mẫu hàm f  p   Giải: Tìm A, B, C phân tích p 8 A Bp  C có phương trình:   p 8 p  p  2p   A  p  p     Bp  C  p   Cho p = 2,  12 A  A  12 So sánh hệ số p2 số hạng tự vế phải với , có A + B = 0; 4A - 2C = 1 1 Từ B   A   ; C  A    12 Vậy:  p  1  1 1 p4 1  ·  ·  ·  · p3  12 p  12 p  p  12 p  12  p  12    Như vậy: f  p  1 p 1 ·  · 12 p  2  p  12     3 · 12  p  1   3 Sử dụng công thức III, VI, VII bảng ảnh có hàm nguyên mẫu là: f t    Ví dụ Tìm ngun mẫu hàm f  p    2t  t ·e  ·e cos t  3·sin t · 12 12 p  p  1  p   2 Giải: Phân tích: f  p   A11  p  1  A12  p  1  A13 A21 A   22 p 1  p  2 p2 Sử dụng công thức (3.2) để tìm hệ số Aij: A11  A12  p lim  p  1 f  p    lim    p  p  0!  p  2 d d p d 2p lim [( p  1)3 f ( p)]  lim  lim [  ]  · 2 p 1 dp ( p  2) p 1 dp ( p  2) 1! p1 dp ( p  2) 27  4 d2  d2  p  p  1  A13  lim  p  1 f  p   lim   lim      p1 dp   p    p1   p    p  3  27 2! p1 dp      p 2 A21  lim  p   f  p    lim    p  p  0!  p  1 27 A22   1 d  d p 3p  lim p   f  p    lim  lim     3 4  p2 dp  p  1 p 2 1! p 2 dp    p  1  p  1  27 Như vậy: f  p   1        2 27   p  1  p  1 p 1  p  2 p   Áp dụng cơng thức III VIII có: f t   3 t 3t  2t  t 2t  2t t t 2t 2t  t e  te  e  te  e  ·e  ·e  27  54 27 Ví dụ Tìm ngun mẫu hàm: f  p  p 1 p  p  1 p   p  3 Giải: Vì nghiệm mẫu số nghiệm thực đơn nên dùng cơng thức (3.5) Sẽ có u  p   p  1, v  p   p  p  1 p  2 p  3  p  p3  11 p  p, v  p   p3  18 p  22 p  Các nghiệm v(p) là: p1 =0, p2 =1, p3 =2, p4 =3 Có phương trình: u  p1  1 u  p2  u  p3  3 u  p4   ;  1;  ;  v  p1  v  p2  v  p3  v  p4  ... phân sau:  e f (t )dt  f ( p) Tích phân gọi tích phân Laplace, cịn hàm biến phức p xác định tích phân gọi biến đổi Laplace hàm f (t ) , ảnh Laplace f (t ) (ảnh f (t )) Kí hiệu hàm f ( p) ảnh hàm... tính chất sau đây: a) Sự tương ứng tương ứng  (tức nguyên mẫu ứng với ảnh ngược lại); b) Tổ hợp tuyến tính số hữu hạn nguyên mẫu có ảnh tổ hợp tuyến tính tương ứng ảnh chúng Như vậy, f k ( p)... , M  s0 số thực iii) Trên đoạn hữu hạn [a,b] nửa trục dương Ot, hàm f(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet, tức là: a) bị chặn; b) liên tục, có số hữu hạn điểm gián đoạn loại một; c) có số hữu hạn