Bài 1 véc tơ trong không gian p1 đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ trong không gian 1 Phép cộng vectơ  Quy tắc ba điểm[.]

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN • Chương QUAN HỆ VNG GĨC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ không gian Phép cộng vectơ:     Quy tắc ba điểm: AB  BC  AC , A, B, C     Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác ABCD hình bình hành AB  AD  AC      Qui tắc hình hộp: Nếu ABCD ABC D hình hộp AC '  AB  AD  AA  Phép nhân số k với vectơ a :  Ta có k a vectơ xác định sau:  - hướng với a k   - ngược hướng với a k    - có độ dài k a  k a Một số tính chất       a) I trung điểm AB  IA  IB   MA  MB  2MI ( M điểm khơng gian) b) Nếu I trung điểm AB , J trung điểm CD ta có      IJ  AD  BC  AC  BD 2         c) G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC   MA  MB  MC  3MG ( M điểm khơng gian)      d) G trọng tâm tứ diện ABCD  GA  GB  GC  GD        MA  MB  MC  MD  4MG ( M điểm khơng gian)     k  MB  MC e) Nếu AB  k AC  k  1 với điểm M khơng gian ta có MA  1 k 1 k Điều kiện phương hai vectơ:       a phương với b b   k   : a  k b      Hệ quả: A, B, C thẳng hàng  k   : AB  k AC  l   : l.MA  1  l  MB  MC     b   b     Chú ý: a, b hướng  b   a ; a, b ngược hướng  b    a a a       Tích vơ hướng hai vectơ      a) Định nghĩa: a.b  a b cos a, b   b) Tính chất:       a.b  a b Đẳng thức xảy a b phương 2   a  a     a  b  a.b   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/            a b  c  a.b  a.c; a b  c  a.b  a.c     2 2  a b a b  a b       a  b  a  2ab  b          II SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng      Định lí 1: Cho ba vectơ a, b, c a, b hai vectơ khơng phương Khi đó:       Điều kiện cần đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng có số thực m, n cho c  m.a  n.b Hơn số m, n        Hệ quả: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Nếu m, n, p ba số thực mà ma  nb  pc  m  n  p  Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng     Định lí 2: Nếu a, b, c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ v bất kì, ta tìm số     m, n, p cho v  ma  nb  pc Hơn số m, n, p PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Quy tắc véc tơ - Quy tắc vectơ đối:      Với hai điểm A, B cho trước ta ln có: AB   BA  AB  BA  - Quy tắc cộng vectơ: Cho trước hai điểm A, B Với điểm M , M , , M n ta ln có hệ thức sau:      AB  AM  M 1M  M M   M n B - Quy tắc trừ vectơ:    Cho trước hai điểm A, B Với điểm M ta ln có AB  MB  MA - Quy tắc hình bình hành:    AB  AD  AC Cho hình bình hành ABCD ,   AB  DC - Quy tắc trung điểm: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11     MA  MB  Cho hai điểm A, B Nếu M trung điểm AB ta có hệ thức      AM  BM  - Quy tắc trung tuyến: Cho tam giác ABC , gọi M N theo thứ tự trung điểm BC AC Khi    AB  AC  AM    BA  BC  BN - Quy tắc trọng tâm:     GA  GB  GC   Cho tam giác ABC có trọng tâm G hình vẽ Khi đó, ta có:     AG  AM  GM   Nhận xét:     - Với điểm I ta ln có IA  IB  IC  3IG      - Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD GA  GB  GC  GD  Cho tứ diện ABCD Xác định điểm M , N thỏa mãn:     a) AM  AB  AC  AD     b) AN  AB  AC  AD Lời giải Câu     a) AM  AB  AC  AD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    - Gọi I trung điểm BC , AB  AC  AI      -Gọi J điểm đối xứng A qua I , ta có: AI  AJ suy AB  AC  AJ       Từ AB  AC  AD  AJ  AD  AE Vậy M điểm đối xứng A qua E     b) AN  AB  AC  AD     - Theo a), ta có AB  AC  AI  AJ        -Gọi J điểm đối xứng A qua I , ta có AN  AB  AC  AD  AJ  AD  DJ Vậy tam giác ADJ ta tạo hình bình hành ADJN điểm N thỏa mẫn u cầu điểm cần tìm Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB CD, G trung điểm MN G1 trọng tâm tam giác BCD Chứng minh hệ thức sau:     a AC  BD  AD  BC      b MN  AC  BD  AD  BC 2      c GA  GB  GC  GD       d NA  NB  NC  ND  NG, N     e AB  AC  AD  AG1     Lời giải     a AC  BD  AD  BC Sử dụng quy tắc cộng vectơ ta có:     AC  AD  DC              AC  BD  AD  BC  CD  DC  AD  BC  BD  BC  CD      b MN  AC  BD  AD  BC 2    Chứng minh 2MN  AC  BD            AC  AM  MN  NC         AC  BD  MN  AM  BM  NC  ND  MN  BD  BM  MN  ND       Vì AM  BM  0; NC  ND     Chứng minh 2MN  AD  BC               Chứng minh tương tự sử dụng kết câu a      c GA  GB  GC  GD  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Theo quy tắc trung điểm GAB; GCD ta có:           GA  GB  2GM   GA  GB  GC  GD  GM  GN     GC  GD  2GN      d NA  NB  NC  ND  NG, N     NA  NG  GA                NB  NG  GA Ta có:      NA  NB  NC  ND  NG  GA  GB  GC  GD  NG  NC  NG  GC      ND  NG  GD      Vì GA  GB  GC  GD      e AB  AC  AD  AG1    Sử dụng quy tắc trung điểm cho ACD ta AC  AD  AN      Gọi I điểm đối xứng A qua N , AN  AI  AC  AD  AI       AB  AC  AD  AB  AI  AE , với E trung điểm BI   Xét tam giác ABI có BN AE đường trung tuyến, giả sử BN  AE  G  G  trọng tâm tam giác ABI BN  BG1  G  G1       AE AB  AC  AD       AB  AC  AD  AG1 Mà AG1  AE  3 Khi đó, BG  Câu Cho điểm A, B, C , D, E , F Chứng minh     a) AB  DC  AC  DB       b) AB  CD  EF  AF  ED  CB Lời giải           a) Ta có: VT  AC  CB  DB  BC  AC  DB  BC  CB  AC  DB  VP (ĐPCM)       b) Biến đổi VT  AF  FB  CB  BD  ED  DF           AF  ED  CB  FB  BD  DF  AF  ED  CB  VP   Câu       Cho hình hộp ABCD ABC D Chứng minh     a) AB  AD  AA  AC      b) AB  BC  DD  AC          c) Gọi O tâm hình hộp Chứng minh OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC   OD  Lời giải a)    Do ABCD hình chữ nhật nên ta có: AB  AD  AC        Lại có AAC C hình chữ nhật nên: AC  AA  AC   AB  AD  AA  AC           b) Ta có: VT  AB  BB  BC  DD  AB  BC  BB  DD  AC  VP     c) Gọi I I  tâm hình chữ nhật ABCD ABC D          Ta có: OA  OB  OC  OD  OA  OC  OB  OD  4OI     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/          OA  OB  OC   OD  OA  OC   OB  OD  4OI              Mặt khác: OI  OI   nên OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC   OD      Cho hình hộp ABCD ABC D Câu          a Chứng minh có điểm O cho OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC   OD  b Chứng minh với điểm M khơng gian ta có          MO  MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC   MD Suy điểm O nói Lời giải          a Tồn điểm O cho OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC   OD  (1)          Đặt v  OA  OC  OB  OD  OC  OA  OD  OB           Ta chọn O tâm hình hộp, tức trung điểm đường chéo AC , BD, CA DB Ta có             OA  OC   0; OB  OD  0; OC  OA  0; OD  OB    Do v           b Chứng minh MO  MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC   MD (2)           MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD 8          MO  OA  MO  OB  MO  OC   MO  OD                8MO OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC   OD  MO  8 Chứng minh O điểm thỏa mãn (1) Vì (2) với điểm M nên (1) với điểm O (2) cho ta:          OO  OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC   OD                       Cho tứ diện ABCD :       a Chứng minh: AB.DC  BC DA  CA.DB  b Suy cặp cạnh đối tứ diện vng góc với cặp cạnh đối thứ vng góc với Lời giải       a Chứng minh: AB.DC  BC DA  CA.DB               AB.DC  BC.DA  CA.DB  AB.DC  BC.DA  CA AB  AD          AB.DC  AB.CA  BC.DA  CA.DA            AB DC  CA  DA BC  CA  AD.DA  DA.BA  Câu           b Giả sử ta có AB  DC , BC  DA ta suy CA  DB Ta có, theo giả thiết:       AB  DC  AB.DC  0, BC  DA  BC.DA  Theo câu a ta suy CA.DB   CA  DB Dạng Phép phân tích, chứng minh toán liên quan đến vectơ + Ba vectơ đồng phẳng:       Cho ba vectơ đồng phẳng a , b , c Khi đó, tồn phép phân tích c  ma  nb + Ba vectơ không đồng phẳng: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11     Cho ba vectơ đồng phẳng a , b , c Khi đó, với vectơ d tồn phép phân tích     d  ma  nb  pc Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Hãy phân tích vectơ        SA, SB, SC , SD theo AB, AC , SO Lời giải  Phân tích SA :        Ta có SA  SO  OA  SO  CA  SO  AC 2  Phân tích SB :          Ta có SB  SO  OB  SO  OA  AB  SO  AC  AB  Phân tích SC :      Ta có SC  SO  OC  SO  AC  Phân tích SD :             Ta có SB  SD  2SO  SD  2SO  SB  2SO   SO  AC  AB         SD  SO  AC  AB Câu Cho tứ diện ABCD ,gọi M N theo thứ tự trung điểm AB, CD Chứng minh ba vectơ    MN , BC , AD đồng phẳng Lời giải A M D B N C Nhận xét: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    Để chứng minh ba vectơ MN , BC , AD đồng phẳng ta kiểm tra xem có đẳng thức vectơ liên quan đến vectơ hay khơng.Bằng trực quan hình học,ta thấy MN BC AD nên ta xuất phát từ vectơ MN theo hai hướng BC AD      MN  MA  AD  DN Ta có:       MN  MB  BC  CN        2MN  MA  MB  BC  AD  DN  CN            0       Từ ta có: MN  BC  AD ,tức MN , BC , AD đồng phẳng   Cho hình chóp tam giác S ABC Trên đoạn SA lấy M cho MS  2 MA đoạn BC lấy N      cho NB   NC Chứng minh ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng Lời giải  Câu  S M C A N B  Tương tự ví dụ trên,chúng ta phân tích MN theo hai hướng      MN  MA  AB  BN (1) Ta có:       MN  MS  SC  CN (2) Nhân hai vế 1 với cộng với   ta được:        3MN  2MA  MS  AB  SC  BN  CN       MS  2 MA 2 MA  MS   Từ giả thiết:          NB   NC 2 NB  NC          3MN  AB  SC  MN  AB  SC 3    Vậy AB, MN , SC đồng phẳng     Câu     Cho hình chóp S ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC     a Phân tích vectơ SG theo vectơ SA, SB, SC     b Gọi D trọng tâm của hình chóp S ABC Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA, SB, SC Lời giải a) Ta có: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11                GA  GB  GC   GS  SA  GS  SB  GS  SC   SG  SA  SB  SC 1              b) Ta có: DS  DA  DB  DC   DS  DS  SA  DS  SB  DS  SC                        SA  SB  SC  4SD  SD  1  SD   SA  SB  SC             Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AA  a, AB  b, AC  c      a Phân tích vectơ BC , BC  theo vectơ a, b, c         b Gọi G trọng tâm tam giác A B C Phân tích vectơ AG theo ba vectơ a, b, c Câu Lời giải          a) BC  B B  BC   B B  B A  AC   a  b  c          BC   BB  BC   BB  B A  AC   a  b  c     1    b) AG   AA  AB  AC    a  b  c 3    Cho tứ diện ABCD có trung tuyến qua đỉnh A tam giác ABC AN Lấy điểm M     AM  Phân tích vectơ DM theo DA, DB, DC AN cho MN Lời giải     MB  MC Ta có: AM  MN  14            AD  DM  MD  DB  MD  DC  MD  DA  DB  DC 14 10 20 Câu       Cho tứ diện ABCD , M , N trung điểm AB CD P, Q điểm định        BP  k BC , AQ  k AD Chứng minh ba vectơ MN , MP, MQ đồng phẳng Câu        MN  MC  MD ; BP  k BC  MP  MB  k    MQ  1  k  MA  k MD       MP  MQ  1  k  MA  MB  k MC  MD  k       Lời giải      MC  MB  MP  1  k  MB  k MC         MC  MD  (do MA  MB  )    Suy MN  MP  MQ k k Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D Hai điểm M , N chia đoạn AC BD theo tỉ      số  Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng Hãy biểu thị vectơ MN theo AB  CD Lời giải     Theo giả thiết ta có MA   MC; NB   ND         Vậy MN  MA  AB  BN ; MN  MC  CD  DN Câu Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/         MN   MN  MA  AB  BN   MC   CD   DN       Hay:  MA   MC  AB   CD  NB   ND               1    MN  AB   CD  MN  AB  CD 1  1     Điều chứng tỏ ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB, CD ; P, Q điểm chia đoạn AC BD theo tỉ số k  Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q đồng phẳng Lời giải    Ta chứng minh tồn hai số thực h, k cho MN  hMP  k MQ       Đặt AB  a, AC  b, AD  c              Ta có MN  MC  MD  MA  AC  MA  AD  MA  b  c  a  b  c (1) 2 2      k  b Từ giả thiết P chia đoạn thẳng AC theo tỉ số k ta có: PA  k PC  k AC  AP  AP  k 1  k  k   k   BD  AD  AB  ca Tương tự Q chia đoạn BD theo tỉ số k nên BQ  k 1 k 1 k 1 Từ ta có    1 k  MP  AP  AM   a  b k 1    1 k   MQ  BQ  BM   a  ca k 1      k  a  b  c (2) Suy MP  MQ  k 1       k MP  MQ Hệ thức chứng tỏ MN , MP, MQ đồng phẳng nên bốn Từ (1) (2) cho ta MN   k  1                     điểm M , N , P, Q đồng phẳng Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ...  k ? ?1 k ? ?1 k ? ?1 Từ ta có    1? ?? k  MP  AP  AM   a  b k ? ?1    1? ?? k   MQ  BQ  BM   a  ca k ? ?1      k  a  b  c (2) Suy MP  MQ  k ? ?1 ... vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng     Định lí 2: Nếu a, b, c ba vectơ không đồng phẳng với vectơ v bất kì, ta tìm số     m, n, p cho v  ma  nb  pc Hơn số m, n, p PHẦN CÁC DẠNG TOÁN... TOÁN 11     Cho ba vectơ đồng phẳng a , b , c Khi đó, với vectơ d tồn phép phân tích     d  ma  nb  pc Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Hãy phân tích vectơ