TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ chỉ phương của đường thẳng 0a là VTCP của d nếu[.]
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC • Chương QUAN HỆ VNG GĨC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ phương đường thẳng: a VTCP d giá a song song trùng với d a d II Góc hai đường thẳng: Cách Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O dựng a//a, b// b a b O , b a ', b ' a Cách Tìm hai vectơ phương u1 , u2 hai đường thẳng a , b Khi góc hai đường thẳng u1 u2 xác định cos a, b u1 u2 Chú ý: Giả sử u VTCP a , v VTCP b , (u , v ) Khi đó: a, b 180 neá u 0 90 neá u 90 180 Nếu a //b a b a , b 0 a, b 90 0 III Hai đường thẳng vng góc: a, b 90 Định nghĩa a b Chú ý u VTCP a, v VTCP b Khi a b u.v Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian 1)Góc hai véctơ AB u , với 0 BAC 180 Giả sử ta có u; v AB; AC BAC AC v 2)Tích vơ hướng hai véctơ AB u Giẳ sử ta có u v AB AC AB AC cos AB; AC AC v Nhận xét: u +) Khi u.v v +) Khi u v u; v 0 +) Khi u v u; v 180 +) Khi u v u.v Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Tính góc hai véctơ AB; BC b) Gọi I trung điểm AB Tính góc hai véctơ CI ; AC Lời giải: A I B D O C AB BC AB BC a)Sử dụng công thức tính góc hai vectơ ta được: cos AB; BC AB BC AB BC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 AB BC 1 a2 Xét AB BC AB BA AC AB.BA AB AC AB BA AB BA cos AB; BA a.a.cos180 a a2 a2 Mà AB BC a a 2 AB AC AB AC.cos AB; AC a.a.cos 60 a2 1 cos AB; BC 22 AB; BC 120 a CI AC CI AC b) Ta có cos CI ; AC CI AC CI AC Tứ diện ABCD cạnh a CI trung tuyến tam giác ABC nên CI a CI AC Suy cos CI ; AC 2 a Ta có CI AC CI AI IC CI AI CI IC Do ABC nên CI AI CI AI a a 3a Đồng thời CI IC CI IC.cos CI ; IC cos180 2 3a 3a Suy CI AC 4 3a Thay vào ta cos CI ; AC suy CI ; AC 150 a Vậy CI ; AC 150 Câu Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đơi vng góc SA SB SC a Gọi M trung điểm AB a) Biểu diễn véctơ SM BC theo véctơ SA , SB , SC b) Tính SM ; BC Lời giải: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ S a A C M B a)Sử dụng quy tắc trung điểm SA SB 2SM SM SA SB BC BS SC BC SC SB SM BC SM BC b) cos SM ; BC 1 SM BC SM BC quy tắc trừ hai véctơ ta SA.SB Mà SA , SB , SC đôi vuông góc nên SA.SC SB.SC Tam giác SAB SBC vuông S nên theo định lý Pitago ta AB BC a suy SM a AB 2 Theo câu a ta có: SM BC SA SB SC SB SA.SC SA.SB SB.SC SB.SB SB 2 2 a2 Thay vào 1 ta cos SM ; BC a2 a a 2 suy SM ; BC 120 Dạng Góc hai đường thẳng 1)Khái niệm vectơ phương đường thẳng Một vectơ u mà có phương song song trùng với d gọi vectơ phương đường thẳng d 2)Góc giữ hai đường thẳng Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a , b song song với a , a; b b Kí hiệu a / / a Từ định nghĩa ta có sơ đồ: a; b a; b b / / b -Nhận xét: +) Giả sử a , b có vectơ phương tương ứng u , v u; v a; b ; 0 90 Khi a; b 180 ; 90 180 a; b 0 +) Nếu a / /b a b Cách xác định góc hai đường thẳng Phương án Phương án (sử dụng định nghĩa) -Lấy điểm O thuộc a a / / a Tạo đường a; b a; b b / / b a; b a; -Qua O , dựng đường / /b -Chú ý: Các phương pháp tính tốn góc hai đường thẳng: -Nếu góc thuộc tam giác vng dùng cơng thức tính tốn tam giác vng; sin , cos in , tan , cot -Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC : b2 c a 2bc Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB , SAD , SAC giác vuông A Biết SA a , AB a , AD 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Lời giải a b c 2bc cos A cos A S I A D O B C a) Tính góc SD BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Để xác định góc hai đường thẳng SD BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với hai đường thẳng SD , BC song song với đường thẳng lại Ta dễ nhận thấy AD / / BC SDA SD; BC SD; AD Khi 180 SDA SA 30 Vậy SD; BC 30 suy SAD AD b) Tính góc SB CD SBA Tương tự, CD / / AB SB; CD SB; AB 180 SBA 60 Vậy SA suy SDA SB; CD 60 Xét SAB có tan SBA AB c)Tính góc SC BD Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD , I trung điểm SA IOB SC; BD OI ; BD Trong SAC có OI / / SC suy 180 IOB Xét SAD có tan SAD a 3 a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vng ABI có: IB IA AB a Ta có ABCD hình chữ nhật nên a 10 dụng định BD AB AD a 9a a 10 suy OB OA Áp lý Pitago 2 cho tam giác vng ABO có a a 10 a 13 IO IA AO Khi đó, theo định lý hàm số cosin 2 13a 10a a 2 OI OB IB 4 cos IOB 2.OI OB a 13 a 10 130 2 arccos Suy IOB SC ; BD 130 cho IOB ta được: Vậy SC ; BD arccos 130 Câu Cho tứ diện ABCD , gọi M , N trung điểm BC , AD Biết AB CD 2a , MN a Tính góc hai đường thẳng AB CD Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 A N P D B M C Do AB CD cạnh tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc hai đường thẳng AB CD ta tạo đường thẳng tương ứng song song với AB , CD chúng cắt AC , MP / / AB , Gọi trung điểm P MPN NP / /CD AB, CD MP, NP 180 MPN Do MP , NP đường trung bình nên ta có MP NP a Áp dụng định lý hàm số cosin MP NP MN 2a 3a 2.MP.NP 2.a.a 120 MP; NP 60 Vậy AB; CD 60 Suy MPN MPN ta được: cos MPN Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P ta lấy điểm P trung điểm BD , cách giải khí tương tự Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , AD DC a , AB 2a , SA 3a vng góc với AB AD , SA Tính góc đường thẳng a) CD SB b) SD BC Lời giải S I A D B C DC; AB AB; SB a)Do DC / / AB Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2a SA Tam giác SAB vuông A nên góc nhọn, tan suy AB 2a 30 Vậy góc hai đường thẳng DC SB 30 b)Gọi I trung điểm AB , AI a Tứ giác ADCI hình hình hành (do AI / / DC ), có AI AD a nên hình thoi Lại có góc A , D vng nên ADCI hình vng cạnh a suy DI a Mặt khác, tứ giác BIDC hình hình hành (do cặp cạnh DC BI song song nhau) nên SD; BC SD; DI BC / / DI Khi đó, 2a 7a 2 Tam giác SAI vuông A nên SI SA AI a 2 2 2a 7a 2 Tam giác SAD vuông A nên SD SA AD a Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác cos SDI 2 SD DI SI 2.SD.DI 2 SDI ta 2a a 21 42 .a nên góc SDI góc nhọn suy SDI arccos Do cos SDI 42 Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a , gọi I trung điểm cạnh AD Tính góc hai đường thẳng AB CI Lời giải A I B D K O C Ta có tam giác mặt đáy mặt bên tam giác cạnh a Gọi O tâm tam giác BDC K trung điểm BD IK đường trung bình tam giác ABD , IK / / AB Rõ ràng IC trung tuyến đồng thời đường cao tam giác ACD , CK đường cao tam giác Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Thu IK a 1 AB; CI IK ; CI CIK Tam giác CIK có AB a , CK IC 2 a 3a 3a 3 4 suy IK IC CK cos CIK AB; CI arccos 2.IK IC a a 2 2 Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P trung điểm BC , AD AC Biết AB 2a , CD 2a , MN a Tính góc hai đường thẳng AB CD Lời giải A N N E D B M C Vẽ hình hình hành BCDE ta có BE CD 2a Gọi F trung điểm AE FN trung bình tam giác AED , suy FN / / BM FN BM Vậy BFNM hình bình hành hay BF MN a AB; CD AB; BE ABE Dễ thấy Áp dụng công thức trung tuyến BF tam giác ABE ta có: BF AB BE AE AE AB BE BF 8a 16 a 20a a AB BE AE 4a 8a 4a cos ABE ABE 45 AB.BE 2.2a.2a 2 Câu Cho hình chóp S ABC có SA SB SC AB AC a BC a Tính góc SC ; AB , từ suy góc SC AB Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ S D B C H A Ta có SA SB SC a nên gọi H hình chiếu S mặt phẳng đáy ABC , với độ dài SH h BH CH DH a h BH CH DH a h Dẫn đến H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác AB AC BC , AB AC a nên tam giác ABC vuông cân A , H trung điểm đoạn BC ; AB SC ; CD SCD Dựng hình vng ABDC DC AB a DC / / AB , hay SC Vì hai tam giác vng SHD SHA c.g.c SD SA a , SD SC DC a 60 ; AB SC ; CD SCD Tam giác SDC tam giác hay SC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 2a , AD 2a , SC 3a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD trung điểm H AB Tính góc giữa: a) SB; AC b) SC; AM , với M trung điểm CD Lời giải S C B M H K A D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 a)Dựng hình bình hành ACBK mặt phẳng đáy ABCD ta có BK / / AC BK AC AB AD 4a 8a 2a ; HC BH BC a 2a 9a HC 3a Lại có HK HC 3a , SH SC HC 25a 9a 4a SK SH HK 4a 3a 2 25a SK 5a Dẫn đến 2 2 2 SB SH HB 4a a 17 a ; AC SB ; KB SKB Tam giác SKB có SB cos SKB KS KB SB 25a 12a 17a 2.KS KB 2.5a.2a 3 ; AM SC ; HC SCH b)Rõ ràng HC / / AM AHCM hình bình hành Do SC SH 4a arctan SCH HC 3a 3 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A , B , AB BC a , AD 2a , SD 4a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD điểm H thuộc AB với AH 3HB Tính góc giữa: a) SA; BD c)Tam giác SCH vuông H nên tan SCH b) SB; AC Lời giải S K J H C E B D A I a)Gọi I trung điểm AD ta có AB BC CI IA ID a , BCIA hình vng Dựng hình bình hành BDAE mặt phẳng đáy ABCD BD / / AE AE BD AB AD a 4a a ; EB AD 2a a 3a Vì AH 3HB 3BH HB ; AH 2 Hơn HE HB BE a2 17a 4a 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Áp dụng định lý pitago tam giác SHD , ABD ta có SH SD HD SD AH AD 16a 9a 39a 4a 4 Ta có SA2 SH AH 39a 9a 12a 4 39a 17a Tam giác SHE vuông H H hình chiếu nên SE SH HE 14a 4 2 2 2 2 mà cos SAE SA AE SE 12a 5a 14a SA ; BD SA ; AE SAE 2.SA AE 2.2a 3.a 15 b)Dựng hình bình hành BACK mặt phẳng đáy ABCD ta có BK AC a Với J trung điểm CK JK SK a 5a a HK HJ JK a SK SH HK 2 4 39a 5a 11a 4 Dễ tính SB HB SH 39a a 10a 4 2 2 2 cos SBK BS BK SK 10a 2a 11a ; AC SB ; BK SBK Ta có SB 2.BS BK 2.a 10.a Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc a, b) 900 Kí hiệu a b Hai đường thẳng a , b gọi vng góc với ( -Chú ý: Các phương pháp chứng minh a b : -Chứng minh (a, b) 90 -Chứng minh hai véc tơ phương hai đường thẳng vng góc với nhau: u.v -Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lí Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều, … 600 , BAD 600 , CAD 900 Gọi I J Câu Cho tứ diện ABCD AB AC AD a, BAC trung điểm AB CD a) Chứng minh IJ vng góc với hai đường thẳng AB CD b) Tính độ dài IJ Lời giải: a) Từ giả thiết dễ dàng suy tam giác ABC , ABD đều, ACD vuông cân A A Từ BC BD a, CD a BCD vuông cân B Chứng minh IJ vng góc với AB Do ACD , BCD vuông cân A, B nên 600 I D B J Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 AJ CD AJ BJ IJ AB BJ CD Chứng minh IJ vng góc với CD Do ABC , ABD nên CI DI IJ CD b) Áp dụng định lí Pitago cho AIJ vng I ta được: a a2 a IJ AJ AI a Vậy IJ 2 CSA Chứng minh ASB BSC Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có SA SB SC SA BC , SB AC , SC AB Lời giải: -Chứng minh SA BC Xét SA.BC SA SC SB SA.SC SA.SB SA SC SA SA cos SA; SC SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB SA.SB SA.SB.cos SA ; SB Mà SA.BC SA BC SA SB SC CSA ASB BSC Chứng minh tương tự ta SB AC ; SC AB Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M , N điểm thuộc A ' B B ' C cho BM MA '; CN NB ' Chứng minh rằng: 2 a) MN A ' B b) MN B ' C Lời giải: MN MB BC CN MN BC 2CN a) Ta có: 3MN BC A ' B ' MN MA ' A ' B ' B ' C 3MN A ' B BC A ' B ' A ' B A ' B ' A ' B b) Tương tự Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định góc cặp véc tơ: a) AB; A ' C ' b) AB; A ' D ' c) AC '; BD Lời giải: a) AB; A ' C ' AB; AC 450 b) AB; A 'D' AB; AD 900 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A' D' B' C' A D O B C c) Ta có: BD AC BD ACC ' BD AC ' AC ', BD 900 BD CC ' Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' Chứng minh rằng: a) AD A ' B ' b) AD D ' C Lời giải: AD AB Ta có: AD ABA ' B ' AD A ' B ' AD AA ' AD DD ' Ta có AD CDD ' C ' AD D ' C AD DC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Biết AB BC a ; AD 2a Hình chiếu S xuống ( ABCD ) điểm H thuộc AC cho CH AH ; SH a Tính góc giữa: a) SC; AB b) SA; BD Lời giải: S a E A 2a D H a F B a C 3a a 9a 33 Ta có: AC a HC ; AH SC 3a a 4 8 Gọi E trung điểm AD CE a HE AE AH AH AE.cos 450 5a 5a 29 SE 3a a 8 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 2 SC CE SE 66 2SC.CE 22 b) Gọi F điểm thuộc tia đối BC cho AD BF Khi SA; BD SA; AF cos SC; AB cos SC; CE SEC Ta dễ dàng chứng minh được: SAF SEC SAF Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a; AD a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc AB cho AB AH Biết SSAB a Tính góc giữa: a) SA; BD b) SC , BM với M trung điểm AD Lời giải: S M A D a H E B 2a F C a) Gọi E điểm cho ADBE hình bình hành AE a 5; BE 2a S SAB a SH 2a; AH EH AE AH a a2 a 37 AB SA 4a 3 14a 50 SE a 9 SA2 AE SE 16 SA AE 185 b) Tương tự ta có: SC; BM SC; CF với F điểm cho BCFM hình bình hành Khi cos SA; BD cos SA; AE cos SAE 38 19 Câu Cho tứ diện ABCD , cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vng góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc giữa: + BC AM + AC BM ta tính cos SC; BM Lời giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vơ hướng Gọi M trung điểm CD Ta có: AO.CD AM MO CD AM CD MO.CD Do ABCD tứ diện nên AM CD O Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ tâm đáy (hay O giao điểm ba đường cao) A J D B I O M C Khi AM CD AM CD AO.CD AO CD MO CD MO.CD b) Xác định góc BC AM ; AC BM Xác định góc BC AM : Gọi I trung điểm BD MI / / BC Từ AMI BC; AM MI ; AM AM ; MI 180 AMI Áp dụng định lí hàm số cosin AMI ta được: cos AMI AM MI AI (1) 2.AM.MI Các ABD, ACD đều, có cạnh a nên AI AM MI đường trung bình nên MI a a a 3a 3a 4 Từ (1) cos AMI a a 3 2 AMI arccos BC ; AM arccos 2 3 2 3 Xác định góc BC AM : Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Gọi J trung điểm AD MJ / / AC BMJ AC; BM MJ ; BM MJ ; BM Khi dó 1800 BMJ Các tam giác ABD, BCD tam giác cạnh a , nên trung tuyến tương ứng BJ BM a arccos Do đó, AIM BJM AMI BMJ 2 3 Vậy AC ; BM arccos 2 3 Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Đặt AB a, AD b, AA ' c a) Tính góc đường thẳng AB; B ' C '; AC ; B ' C ' ; A ' C '; B'C b) Gọi O tâm hình vng ABCD I điểm cho OI OA OA ' OB OB ' OC OC ' OD OD ' Tính khoảng cách từ O đến I theo a c) Phân tích hai véc tơ AC ', BD theo ba véc tơ a, b, c Từ đó, chứng tỏ AC ' BD vng góc với d) Trên cạnh DC BB ' lấy hai điểm tương ứng M , N cho DM BN x (với x a ) Chứng minh AC ' vng góc với MN Lời giải: Nhận xét: Để làm tốt tốn liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ số tính chất hình lập phương: -Tất đường chéo mặt hình lập phương a (nếu hình lập phương cạnh a ) -Các đoạn thẳng tạo kích thước hình lập phương ln vng góc với (dài, rộng, cao) a) Tính góc giữa: A' D' AB; B ' C '; AC ; B ' C '; A ' C '; B'C -Tính AB; B ' C ' : AB ', B ' C ' AB, BC 900 Do B ' C '/ / BC -Tính AC ; B ' C ' : Do B ' C '/ / BC AC , B ' C ' ACB AC , BC 1800 ACB B' C' N x A D x O B M C ABCD hình vng nên ABC tam giác vuông cân B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ ACB 450 AC , B ' C ' 450 A ' C '; B'C : -Tính ACB ' A ' C ', B ' C AC , B ' C Do A ' C '/ / AC 1800 ACB ' Xét tam giác ACB ' có AC B ' C AB ' (do đường chéo mặt hình vng hình lập phương) ACB ' 600 A ' C '; B ' C 600 Do ACB ' b) Tính độ dài OI theo a OA ' OC ' Vơi O tâm hình vng ABCD OA OC OB OD OB ' OD ' Khi OA ' OC ' OB ' OD ' OI Gọi O ' tâm đáy A ' B ' C ' D ' , theo quy tắc trung tuyến OA ' OC ' 2OO ' OI 4OO ' OB ' OD ' 2OO ' Khoảng cách từ O đến I độ dài véc tơ OI , từ ta OI 4OO ' 4a c) Phân tích hai véc tơ AC ', BD theo ba véc tơ a, b, c a.b Theo tính chất hình lập phương ta dễ dàng có: a.c b.c AC ' AB BC CC ' a b c -Phân tích: BD BA AD b a -Chứng minh AC ' vng góc với BD : Xét AC '.BD a b c b a a b b c b a a b a c b a 0 0 AD AB AC '.BD AC ' BD d) Chứng minh AC ' MN : MN MC CB BN Ta có phân tích AC ' AB BC CC ' MN AC ' MC CB BN AB BC CC ' ta MC AB MC BC CC AB CB.BC CB CC BN AB BN BC MC ' CB ' BN CC ' 0 0 MC AB CB.BC BN CC ' MC AB MC AB.cos 00 ( a x) a Mà CB.BC CB.BC.cos1800 a MN AC ' a x a a ax MN AC ' BN CC ' BN CC '.cos ax Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ có Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 ... 2) Góc giữ hai đường thẳng Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Góc hai đường thẳng a b góc hai đường. .. 4 2 2 2 cos SBK BS BK SK 10a 2a 11a ; AC SB ; BK SBK Ta có SB 2. BS BK 2. a 10.a Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc a, b) 900 Kí hiệu a b Hai đường. .. a2 a a 2 suy SM ; BC 120 Dạng Góc hai đường thẳng 1)Khái niệm vectơ phương đường thẳng Một vectơ u mà có phương song song trùng với d gọi vectơ phương đường thẳng