Chương 2. Định lý điểm bất động kiểu Browder và cân bằng
2.2. Cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi
Xét trò chơi suy rộng (Xi, Fi, ui)i∈I, ở đây I là tập người chơi (có thể hữu hạn hoặc vô hạn), Xi là không gian chiến lược của người chơi i( có thể vô hạn chiều), X−i = Qj∈I\{i}Xj và Fi : X−i → 2Xi là tập chiến lược chơi của người chơi i. Người chơi i ∈ I có thể chọn chiến lược chơi xi ∈ Fi(x−i) ⊆ Xi phụ thuộc vào tất cả người chơi còn lại x−i ∈ X−i. Khi người chơi i chọn chiến lược chơi xi thì tình thế chung của trò chơi được mô tả bởi không gian chiến lược
x = (xi)i∈I ∈ Y
i∈I
Xi.
Tình thế đó đem lại cho người chơi i một kết quả (lợi ích hay thiệt hại) đo bằng hàm số ui : Xi → R. Vì các người chơi độc lập nên người chơi i không biết chiến lược của những người khác. Ta đặt
F(x) =Y
i∈I
Fi(x) với mọi x ∈ Y
i∈I
Xi.
Định nghĩa 2.2.1. Một véctơ x∗ = (x∗i)i∈I ∈ X = Qi∈IXi được gọi là một điểm cân bằng Nash suy rộng của trò chơi suy rộng(Xi, Fi, ui)i∈I nếu với mỗi i ∈ I ta có
ui(x∗i, x∗−i) ≥ui(xi, x∗−i) với mọi xi ∈ Fi(x∗−i). (2.1) Điều này có nghĩa rằng, đối với mỗi người chơi, hàm lợi ích của họ đạt giá trị lớn nhất.
Năm 1954, Arrow và Debreu [2] đã chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong trò chơi hữu hạn người chơi.
Định lý 2.2.2. ([2]) Giả sửΓ = (Xi, Fi, ui)Ni=1 là một trò chơi vớiN người chơi sao cho với mỗi i ∈ {1,2, ..., N} thỏa mãn
(i) Xi là một tập con khác rỗng, lồi và compact của không gian Euclid;
(ii) Fi : X−i → 2Xi là u.s.c và l.s.c trên X−i;
(iii) Với mỗi x−i ∈ X−i, Fi(x−i) là khác rỗng, lồi và đóng;
(iv) ui liên tục;
(v) Với mỗi x ∈ X, ánh xạ xi →ui(xi, x−i) là tựa lõm trên Fi(x−i). Khi đó tồn tại một cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi hữu hạn Γ.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày mở rộng của Định lý 2.2.2 cho trường hợp vô hạn mà tập chiến lược là compact.
Định lý 2.2.3. Giả sử Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I là một trò chơi suy rộng sao cho với mỗi i ∈ I (I có thể không đếm được) thỏa mãn
(i) Xi là tập con không rỗng, lồi, compact và khả metric của không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff nào đó;
(ii) Fi là nửa liên tục dưới với giá trị không rỗng và lồi;
(iii) ui liên tục và ui(xi, x−i) là tựa lõm trên Fi(x−i); (iv) Tập ∆ = {x ∈ X : x ∈ F(x)} là đóng.
Khi đó Γ có một điểm cân bằng Nash suy rộng.
Chứng minh. Vì Xi là compact với mọi i ∈ I nên theo Định lý Tychonoff ta có X := Qi∈IXi là compact. Với mỗi i ∈ I, ta đặt
φi(x, y) =ui(yi, xi−1)−ui(x) và định nghĩa ánh xạ Pi : X → 2Xi bởi
Pi(x) ={yi ∈ Xi : φi(x, y) > 0} với mọi x ∈ X. (2.2) Khi đó xi ∈/ Pi(x) với mọi x ∈ X. Từ ui(xi, x−i) là tựa lõm theo biến nên Pi(x) là lồi với mọi x ∈ X. Do đó xi ∈/ Pi(x) = co(pi(x)) với mọi x ∈ X. Điều này kéo theo xi ∈/ co(Fi(x) ∩Pi(x)) với mọi x ∈ X. Vì ui liên tục nên Pi(x) mở với mọi x ∈ X. Do Fi là nửa liên tục dưới nên theo Bổ đề 1.3.6 thì Hi = Fi ∩Pi là nửa liên tục dưới. Với mỗi ε > 0, ta đặt
Piε(x) = {yi ∈ Xi :φi(x, y) > ε} với mọi x∈ X. (2.3) Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên, ta khẳng định rằng Piε có giá trị lồi và mở; xi ∈/ Piε(x) = co(Piε(x)) với mọi x ∈ X và Hiε = Fi∩ Piε là nửa liên tục dưới. Hơn nữa, từ (2.3) ta có
cl(co(Piε(x))) = cl(Piε(x)) = {yi ∈ Xi :φi(x, y) ≥ ε} với mọi x ∈ X.
Từ đó kéo theo xi ∈/ cl(co(Piε(x))) với mọi x ∈ X. Do vậy xi ∈/ cl(co(Fi(x)∩Piε(x))) với mọi x ∈ X.
Bây giờ, với mỗi ε > 0, áp dụng Định lý 5 [] với Ai = Bi = Fi và Di = Xi, tồn tại một cân bằng Nash suy rộng xε ∈ X đối với trò chơi suy rộng (Xi, Fi, Piε)i∈I, tức là xε ∈ F(xε) và Fi(xε)∩Piε(xε)=∅ với mọi i ∈ I, ε > 0. Bằng cách chọn ε = 1
m với m ≥ 1. Khi đó ta có
xm1 ∈ ∆ = {x ∈ X :x ∈ F(x)} với mọi m ≥ 1.
Vì ∆ là một tập con đóng của tập compact X, ∆ là compact. Dó đó, không mất tính tổng quát ta giả sử dãy {xm1}m≥1 hội tụ về x∗, tức là
xm1 −→ x∗. Vì ∆ đóng, x∗ ∈ ∆, tức là x∗ ∈ F(x∗). Ta chứng minh rằng x∗ là một điểm cân bằng Nash suy rộng trong trò chơi suy rộng Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I. Trước tiên, ta chứng minh Fi(x∗) ∩ Pi(x∗) = ∅ với i ∈ I. Thật vậy, giả sử tồn tại i ∈ I sao cho Fi(x∗)∩Pi(x∗) ̸= ∅. Ta chọn yi ∈ Fi(x∗) ∩ Pi(x∗). Khi đó yi ∈ Pi(x∗) và yi ∈ Fi(x∗). Từ (2.2) ta suy ra yi ∈ Pi(x∗). Điều này kéo theo φi(x∗, y) > 0 với y = (yi, y−i). Vì ui liên tục và xm1 −→ x∗, tồn tại số nguyên m′ > 0 sao cho φi(xm1, y) > 1
m với mọi m ≥ m′. Từ đó suy ra yi ∈ Pm1(xm1) với mọi m ≥ m′. Vì Fi là nửa liên tục dưới, yi ∈ Fi(x∗) và xm1 −→ x∗ nên với b = yi ∈ Fi(x∗), tồn tại một dãy con {xmk1 } của dãy {xm1} sao cho tồn tại bk ∈ Fi(xmk1 ) với k ≥ 1 thỏa mãn limk→∞bk = b = yi. Vì φi(xm1, y) > 1
m với mọi m ≥ m′ và limk→∞bk = yi, tồn tại k0 ≥0 sao cho mk0 ≥ m′ và φi(xmk1 , yk) > 1
mk (ở đây yik = bk). Từ đó suy ra bk ∈ P
1 mk
i (xmk1 ) với k ≥ k0. Từ bk ∈ Fi(xmk1 ) với k ≥ 1 ta suy ra bk ∈ Fi(x
1
mk) ∩ P
1 mk
i (x
1
mk) với k ≥ k0. Điều này mâu thuẫn với Fi(xε) ∩Piε(xε) = ∅ với mọi i ∈ I và ε = 1
m với m ≥ 1. Vậy Fi(x∗)∩Pi(x∗) =∅ với mọi i ∈ I. Điều này kéo theo với mọi i ∈ I ta có
ui(x∗i, x∗−i) ≥ui(xi, x∗−i) với mọi xi ∈ Fi(x∗−i).
Từ đó suy ra x∗ là một điểm cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suy rộng Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I.
Ví dụ 2.2.4. Cho I = {1,2}vàX1 = X2 = [0,1]. Xét hàmF1(x2) = [0,12] và
F2(x1) =
[x1,12], nếu x1 ∈ [0,12], [0,1], nếu x1 ∈ (12,1].
Khi đó F1, F2 là l.s.c nhưng F2 không u.s.c. Ta chọn u1(x1, x2) =u2(x1, x2) = x1 +x2.
Khi đó tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.3 được thỏa mãn và trò chơi có một điểm cân bằng Nash. Tuy nhiên do F2 không u.s.c nên không thể áp dụng Định lý 2.2.2.
.
Gọi Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I là một lý thuyết trò chơi sao cho |uj(x)| ≤ Mj với mọi j ∈ I và mọi x ∈ X = Q
i∈I
Xi. Với i ∈ I, gọi
ϕi(x, y) =ui(yi, x−i)−ui(x). (2.4) và định nghĩa
ϕ(x, y) = X
i∈I
1
2iMiϕi(x, y). (2.5) Mệnh đề 2.2.5. Cho Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I là một lý thuyết trò chơi với I đếm được và F(x) = Q
i∈I
Fi(x). Khi đó x∗ ∈ X là một điểm cân bằng Nash suy rộng của trò chơi suy rộng Γ nếu và chỉ nếu x∗ ∈ F(x∗) và
ϕ(x∗, y) ≤0 với mọi y ∈ F(x∗). (2.6) Chứng minh. Ta cần chứng minh ϕi(x∗, y) = ui(yi, x∗−i)−ui(x∗) ≤ 0 với mọi y ∈ F(x∗), i ∈ I khi và chỉ khi ϕ(x∗, y) ≤ 0 với mọi y ∈ F(x∗). Thật vậy, nếu ϕ(x∗, y) ≤ 0 với mọi y ∈ F(x∗) thì hiển nhiên ta khẳng định ϕi(x∗, y) = ui(yi, x∗−i) −ui(x∗) ≤ 0 với mọi y ∈ F(x∗), i ∈ I. Ngược lại, giả sử ϕi(x∗, y) = ui(yi, x∗−i)−ui(x∗) ≤ 0 với mọi y ∈ F(x∗), i ∈ I. Bằng cách chọn y−i = x∗−i ta thu được ϕj(x∗, y) = uj(yj, x∗−j) −uj(x∗) = 0 với mọi j ̸= i. Vậy mệnh đề được chứng minh.
Cuối cùng, chúng tôi trình định lý cho sự tồn tại điểm cân bằng Nash suy rộng đối với trò chơi suy rộng cho trường hợp vô hạn mà tập chiến lược là không compact.
Định lý 2.2.6. Giả sử Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I là một trò chơi suy rộng sao cho với mỗi i ∈ I (I đếm được) thỏa mãn
(i) Xi là tập con khác rỗng và lồi trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó;
(ii) Fi có giá trị khác rỗng, lồi và F(x) = Qi∈IFi(x) có nghịch ảnh mở;
(iii) Tập ∆ = {x ∈ X : x ∈ F(x)} là đóng và compact;
(iv) ui là bị chặn, liên tục theo biến x và lõm theo biến xi;
(v) Tồn tại tập khác rỗng X0 ⊆ X sao cho X0 chứa trong tập con lồi compact X′ của X và tập D = ∩x∈X0(F−1(x))c là compact.
Khi đó Γ có một điểm cân bằng Nash suy rộng.
Chứng minh. Vì Fi có giá trị khác rỗng và lồi với mọi i ∈ I, nên F có giá trị khác rỗng và lồi. Với mỗi i ∈ I, vì ui là bị chặn nên tồn tại Mi > 0 sao cho |ui(x)| ≤ Mi với mọi x ∈ X. Vì ui là liên tục với mọi i ∈ I nên ϕ(x, y) liên tục. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị P : X → 2X bởi
P(x) = {y ∈ X : ϕ(x, y) > 0} với mọi x ∈ X.
Hiển nhiên x /∈ P(x) với mọi x ∈ X. Từ ϕ(x, y) liên tục nên ta suy ra P−1(y) là mở với mọi y ∈ X. Do đó P có nghịch ảnh mở. Với mỗi i ≥ I, bởi ui(x) là lõm theo biến xi nên ϕi(x, y) lõm theo biến yi. Ta chứng minh P(x) là lồi với mọi x ∈ X. Thật vậy, lấy y′, y′′ ∈ P(x) và α ∈ [0,1]. Từ đó suy ra ϕ(x, y′) > 0 và ϕ(x, y′′) > 0. Theo định nghĩa, ta có
ϕi(x, y) =ui(yi, x−i)−ui(x) =ϕi(x,(yi, x−i)) với mọi i ∈ I.
Khi đó ta có
ϕ(x, αy′ + (α −α)y′′) = X
i∈I
1
2iMiϕi(x, αy′ + (1−α)y′′)
= X
i∈I
1
2iMiϕi(x,(αy′i+ (1−α)y′′i, x−i))
≥ X
i∈I
1 2iMi
[αϕi(x,(yi′, x−i)) + (1−α)ϕi(x,(yi′′, x−i))]
= αX
i∈I
1
2iMiϕi(x,(yi′, x−i)) + (1−α)X
i∈I
1
2iMiϕi(x,(yi′′, x−i))
= αϕ(x, y′) + (1−α)ϕ(x, y′′) > 0
Do đó αy′ + (1 −α)y′′ ∈ P(x). Vậy P(x) là lồi với mọi x ∈ X. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị φ : X →2X bởi
φ(x) = F(x)∩P(x) với mọi x ∈ X.
Vì F(x) và P(x) là lồi với mọi x ∈ X, φ có giá trị lồi. Từ F và P có nghịch ảnh mở nên φ cũng có nghịch ảnh mở. Tiếp theo, ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : X →2X bởi
G(x) =
F(x), nếu x ∈ X \∆, φ(x), nếu x ∈ ∆.
Khi đó G là giá trị lồi. Ta chỉ ra G có nghịch ảnh mở. Thật vậy, vì φ(x) ⊆ F(x) với mọi x ∈ X, φ−1(y) ⊆ F−1(y) với y ∈ X. Với mỗi y ∈ X, nếu y ∈ φ(x) ⊆ F(x), thì G−1(y) = φ−1(y)∪(F−1(y)∩(X \∆)); nếu y ∈ F(x)\φ(x) thì G−1(y) = F−1(y) ∩(X \∆). Vì ∆ là đóng nên X \∆ là mở trong X. Vì F và φ có nghịch ảnh mở nên G có nghịch ảnh mở. Chú ý rằng với mỗi y ∈ X thì
(G−1(y))c = (φ−1(y))c ∩(F−1(y))c ∪∆ hoặc (G−1(y))c = (F−1(y))c ∪∆.
Điều này kéo theo
(G−1(y))c ⊆ (F−1(y))c ∪∆.
Từ đó khẳng định
\
x∈X0
cl((G−1(x))c) ⊆ \
x∈X0
cl((F−1(y))c ∪∆) = ( \
x∈X0
cl((F−1(x))c))∪∆.
Vì ( T
x∈X0
cl((F−1(x))c)) ∪ ∆ là tập compact và T
x∈X0
cl((G−1(x))c) là tập đóng nên tập T
x∈X0
cl((G−1(x))c) là compact. Giả sử G(x) ̸= ∅ với mọi x ∈ X. Khi đó theo Định lý 2.1.5, tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ G(x∗). Vì G(x∗) ⊆ F(x∗) nên ta có x∗ ∈ ∆ ∩ φ(x∗). Điều này mâu thuẫn với x /∈ P(x) với mọi x ∈ X. Do đó tồn tại x′ ∈ X sao cho G(x′) = ∅. Vì F(x) khác rỗng với mọi x ∈ X nên ta suy ra x′ ∈ ∆ và φ(x′) = ∅. Từ đó suy ra x′ ∈ F(x′) và F(x′)∩P(x′) =∅. Điều này kéo theo x′ ∈ F(x′) và
ϕ(x′, y) ≤ 0 với mọi y ∈ F(x′).
Vậy theo Mệnh đề 2.2.5, x′ là một điểm cân bằng Nash suy rộng của trò chơi suy rộng Γ = (Xi, Fi, ui)i∈I.
Ví dụ 2.2.7. Cho I = N = {1,2, ..., n, ...} là tập các số tự nhiên và Xi = [0,1] với mọi i ∈ I. Khi đó X = Q
i∈I
Xi là tập con comapct của R∞ bởi Định lý Tychonoff. Với mỗi i ∈ I, ta định nghĩa Fi bởi
Fi(xi, x−i) =
( [13,1], nếu x−i ∈ Q
j̸=i
Xj và x−i ̸= 0, (12,1], nếu x−i = 0.
Khi đó với mỗi y ∈ Xi = [0,1] ta có
Fi−1(y) =
∅, nếu y ∈ [0,13), (Q
j∈I
Xj)\{0}, nếu y ∈ [13,12], Q
j∈I
Xj, nếu y ∈ (12,1]
là tập con mở trong X = Q
j∈I
Xj. Từ đó suy ra Fi có nghịch ảnh mở với mọi i ∈ I. Từ đó suy ra với F = Q
i∈I
Fi, ta có F−1(y) =∩i∈IFi−1(y) là tập mở trong X. Vậy F có nghịch ảnh mở. Hơn nữa, dễ thấy Fi không u.s.c tại 0. Với mỗi i ∈ I, ta chọn
ui(x) =
∞
X
j=1
1 2jxj.
Khi đó ui liên tục và bị chặn, lõm theo biến xi với mọi i ∈ I. Chú ý rằng tập
∆ =
∞
Y
j=1
[1 3,1]
là đóng và compact. Do đó tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.6 được thỏa mãn và trò chơi suy rộng có một điểm cân bằng Nash suy rộng. Tuy nhiên do Fi không u.s.c và I vô hạn nên không thể áp dụng Định lý 2.2.2.