Chương 2. Định lý điểm bất động kiểu Browder và cân bằng
2.1. Định lý điểm bất động kiểu Browder
Định nghĩa 2.1.1. Cho X và Y là hai không gian tôpô. Một ánh xạ đa trị G : X →2Y được gọi là
(i) dịch chuyển giá trị đóng nếu với mỗix ∈ X, y /∈ G(x), tồn tại x′ ∈ X sao cho y /∈ cl(G(x′)).
(ii) dịch chuyển giá trị mở nếu với mỗi x∈ X, y ∈ G(x), tồn tại x′ ∈ X sao cho y ∈ int(G(x′)).
Nhận xét. (a) Nếu G có nghịch ảnh mở thì G−1 là dịch chuyển giá trị mở.
(b) Nếu G có giá trị đóng thì G là dịch chuyển giá trị đóng.
(c) Nếu G có giá trị mở thì G là dịch chuyển giá trị mở.
(d) Ánh xạ G là dịch chuyển giá trị đóng nếu và chỉ nếu ánh xạ T : X → 2Y định nghĩa bởi T(x) = Y\G(x) với mọi x ∈ X là dịch chuyển giá trị mở.
Năm 1992, Tian [9] đã thiết lập một mở rộng của Định lý 1.4.6 cho lớp ánh xạ dịch chuyển giá trị đóng.
Định lý 2.1.2. ([9]) Cho Y là một tập con không rỗng, lồi trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó và ∅ ̸= X ⊆ Y. Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị sao cho
(i) F là dịch chuyển giá trị đóng;
(ii) F là KKM;
(iii) Tồn tại tập con không rỗng X0 của X sao cho X0 chứa trong một tập con lồi, compact của X và tập ∩x∈X0cl(F(x)) là compact.
Khi đó ∩x∈XF(x) ̸= ∅.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số mở rộng của định lý điểm bất động Browder (ta gọi là định lý điểm bất động kiểu Browder) mà điều kiện có ảnh ngược mở của ánh xạ đa trị được thay bởi ánh xạ ngược là dịch chuyển giá trị mở.
Định lý 2.1.3. Cho X là một tập con không rỗng, lồi trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó. Giả sử ánh xạ đa trị F : X →2X thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) F có giá trị không rỗng và lồi;
(ii) F−1 là dịch chuyển giá trị mở;
(iii) Tồn tại tập con không rỗng X0 của X sao cho X0 chứa trong một tập con lồi, compact của X và tập ∩x∈X0cl((F−1(x))c) là compact.
Khi đó tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Chứng minh. Vớix ∈ X, ta đặt G(x) := (F−1(x))c. Vì F−1 là dịch chuyển giá trị mở nên G là dịch chuyển giá trị đóng. Từ ∪x∈XF−1(x) =X ta suy
ra ∩x∈XG(x) = ∩x∈X(F−1(x))c = ∅. Theo Định lý 2.1.2, tồn tại tập con hữu hạn {x1, x2, . . . , xn} sao cho
co{x1, x2, . . . , xn} ̸⊆ ∪ni=1cl(G(xi)).
Từ đó suy ra tồn tại λi ≥0 với i = 1,2, . . . , n thỏa mãn Pn
i=1λi = 1 và x0 =
n
X
i=1
λixi ∈ ∪/ ni=1cl(G(xi)).
Điều này kéo theo x0 ∈/ G(xi) với mọi i = 1,2, . . . , n. Do đó x0 ∈ F−1(xi) với mọi i = 1,2, . . . , n. Do đó xi ∈ F(x0) với mọi i = 1,2, . . . , n. Bởi F(x0) lồi nên
x0 =
n
X
i=1
λixi ∈ F(x0).
Định lý 2.1.4. Cho X là một tập con không rỗng, lồi và compact trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó. Giả sử F : X → 2X là ánh xạ đa trị sao cho:
(i) F có giá trị không rỗng và lồi;
(ii) F−1 là dịch chuyển giá trị mở.
Khi đó tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Chứng minh. Vìcl((F−1(x))c)là tập con đóng củaX nên∩x∈X cl((F−1(x))c) là tập con đóng của X. Vì X là compact, ∩x∈X cl((F−1(x))c) cũng là tập compact. Khi đó tất cả các giả thiết của Định lý 2.1.3 được thỏa mãn với X0 = X. Áp dụng Định lý 2.1.3, tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗). Định lý 2.1.5. Cho X là một tập con không rỗng, lồi trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó. Giả sử ánh xạ đa trị F : X →2X thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) F có giá trị không rỗng và lồi;
(ii) F có nghịch ảnh mở;
(iii) Tồn tại tập con không rỗng X0 của X sao cho X0 chứa trong một tập con lồi, compact của X và tập ∩x∈X0cl((F−1(x))c) là compact.
Khi đó tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Chứng minh. Vì F có nghịch ảnh mở nên F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ F(x)}
là tập con mở trong X với mọi y ∈ X. Với y ∈ X và x ∈ F−1(y), ta chọn y′ = y ∈ X. Từ đó suy ra x ∈ F−1(y′). Do F−1(y′) mở nên x ∈ int(F−1(y′)). Vậy F−1 có giá trị mở dịch chuyển. Khi đó tất cả các giả thiết của Định lý 2.1.3 được thỏa mãn. Áp dụng Định lý 2.1.3, tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Định nghĩa 2.1.6. Một ánh xạ đa trị φ : X → 2Y được gọi là bao hàm nghịch ảnh mở tạix nếu tồn tại lân cận mở Ox của x và một ánh xạ đa trị ϕx : X → 2Y sao cho ϕx có nghịch ảnh mở và ∅ ̸= ϕx(z) ⊆ φ(z) với mọi z ∈ Ox. Ta nói φ bao hàm nghịch ảnh mở nếu nó bao hàm nghịch ảnh mở tại mọi x ∈ X. Ánh xạ ϕx được gọi là nhát cắt có nghịch ảnh mở tại x của φ.
Định lý 2.1.7. Cho X là một tập con không rỗng, lồi trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó. Giả sử ánh xạ đa trị F : X →2X thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) F có giá trị không rỗng và lồi;
(ii) F bao hàm nghịch ảnh mở;
(iii) Tồn tại tập con không rỗng X0 của X sao cho X0 chứa trong một tập con lồi, compact của X và tập ∩x∈X0cl((ϕ−1x (x))c) là compact, ở đây ϕx là nhát cắt có nghịch ảnh mở tại x của F.
Khi đó tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Chứng minh. Từ F bao hàm nghịch ảnh mở nên với mỗi x ∈ X, tồn tại một lân cận Ox của x và một ánh xạ đa trị ϕx : X → 2X sao cho ϕx có nghịch ảnh mở và ∅ ̸= ϕx(z) ⊆ F(z) với mọi z ∈ Ox. Mặt khác, tập {Ox : x ∈ X} là phủ mở của X. Với mỗi x ∈ X, ta đặt
I(x) = {xi : x ∈ Oxi} và φ(x) = co(∪xi∈I(x)coϕxi(x)).
Khi đó φ có giá trị khác rỗng và lồi. Từ F có giá trị lồi và x ∈ Oxi với mọi xi ∈ I(x), nên ta có φ(x) ⊆ F(x) vợi mọi x ∈ X. Với mỗi x ∈ X, từ ϕxi có nghịch ảnh mở nên ta suy ra coϕxi có nghịch ảnh mở với mọi xi ∈ I(x). Điều này kéo theo với mỗi y ∈ X, tập (∪xi∈Icoϕxi)−1(y) =
∪xi∈I(x)(coϕxi)−1(y) là mở. Do đó, ∪xi∈I(x)coϕxi có nghịch ảnh mở. Từ đó suy ra φ có nghịch ảnh mở. Từ ϕx ⊆ φ(x) với mọi x ∈ X nên ta có ∩x∈X0(φ−1(x))c ⊆ ∩x∈X0(ϕ−1x (x))c. Bởi φ có nghịch ảnh mở và
∩x∈X0(ϕ−1x (x))c là compact nên ∩x∈X0(φ−1(x))c là tập con đóng của tập compact. Từ đó kéo theo ∩x∈X0(φ−1(x))c là compact. Áp dụng Định lý 2.1.5 đối với φ, tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ φ(x∗). Từ đó suy ra x∗ ∈ F(x∗).
Định nghĩa 2.1.8. Một ánh xạ đa trị φ : X → 2Y được gọi là có tính chất tương giao địa phương tại x nếu tồn tại lân cận mở Ox của x thỏa mãn
∩x′∈Oxφ(x′) ̸= ∅.
Ta nói φ có tính chất tương giao địa phương nếu nó có tính chất tương giao địa phương tại mọi x ∈ X.
Định lý 2.1.9. Cho X là một tập con không rỗng, lồi trong không gian véctơ tôpô Hausdorff nào đó. Giả sử ánh xạ đa trị F : X →2X thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) F có giá trị không rỗng và lồi;
(ii) F có tính chất tương giao địa phương;
(iii) Tồn tại tập con không rỗng X0 của X sao cho X0 chứa trong một tập con lồi, compact của X và tập ∩x∈X0(Ox)c là compact, ở đây Ox là lân cận mở của x thỏa mãn
∩x′∈OxF(x′) ̸= ∅.
Khi đó tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Chứng minh. Vì F có tính chất tương giao địa phương nên với mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận mở Ox của x thỏa mãn
∩x′∈OxF(x′) ̸= ∅.
Do vậy, với mỗi x ∈ X, ta có thể chọn y ∈ ∩x′∈OxF(x′). Với mỗi x ∈ X, ta định nghĩa ánh xạ đa trị ϕx :X →2X bởi
ϕx(z) =
{y}, nếu z ∈ Ox,
∅, nếu z ∈ (Ox)c.
Khi đó ϕx có nghịch ảnh mở và ∅ ̸= ϕx(z) ⊆ F(z) với mọi z ∈ Ox. Vậy F có bao hàm nghịch ảnh mở. Áp dụng Định lý 2.1.7, tồn tại x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F(x∗).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày sự tương đương giữa Định lý 2.1.3 và Định lý 1.4.6.
Định lý 2.1.10. Định lý 2.1.3 tương đương với Định lý 1.4.6.
Chứng minh. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.4.6 được thỏa mãn. Ta chứng ∩x∈XF(x) ̸= ∅ bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử ∩x∈XF(x) = ∅. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị f : X →2X bởi f(y) = {x ∈ X : y /∈ F(x)}
với mọi y ∈ X. Khi đó f có giá trị không rỗng. Mặt khác, bởi F có giá trị đóng và f−1(x) = (F(x))c với mọi x ∈ X nên f−1 có giá trị mở.
Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : X → 2X bởi G(x) = co(f(x)) với mọi x ∈ X. Khi đó với mỗi x, y ∈ X, ta có f(x) ⊆ G(x) và f−1(y) ⊆ G−1(y). Ta chỉ raG−1 là dịch chuyển giá trị mở. Thật vậy, lấyx ∈ G−1(y). Khi đó y ∈ G(x) = co(f(x)). Do đó tồn tại {x1, x2, . . . , xn} ⊆ f(x) và {λ1, λ2, . . . , λn} với 1 ≤i ≤ n, Pn
i=1λi = 1 sao cho x = Pni=1λixi. Do đó x ∈ f−1(xi) với mọi i = 1,2, . . . , n. Bởi f−1 có giá trị mở, f−1(xi) là mở.
Do đó x ∈ int(f−1(x1)) ⊆ int(G−1(x1)). Vậy G−1 là dịch chuyển giá trị mở. Vì f có giá trị không rỗng, G có giá trị không rỗng và lồi. Mặt khác,
ta có
∩x∈X0cl((G−1(x))c) ⊆ ∩x∈X0cl((f−1(x))c) =∩x∈X0F(x).
Vì ∩x∈X0F(x) là compact nên ∩x∈X0cl((G−1(x))c) là tập compact. Áp dụng Định lý 2.1.3, tồn tại x0 ∈ X sao cho x0 ∈ G(x0) = co(f(x0)). Từ đó tồn tại{x1, x2, . . . , xn} ⊆ f(x0)vàλ1, λ2, . . . , λn ≥0với mọi0 ≤i ≤n thỏa mãn Pn
i=1λi = 1 và x0 = Pni=1λixi. Từ đó suy ra co{x1, x2, . . . , xn} ̸⊆ ∪ni=1F(xi).
Điều này mâu thuẫn với F là ánh xạ KKM. Do vậy ∩x∈XF(x) ̸= ∅.
Phần ngược lại của định lý chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh trong [8].