Một số định lý về điểm bất động kiểu suzuki

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC HỒNG THỊ BÍCH HỢP MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU SUZUKI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thanh Hà THANH HÓA, NĂM 2013 MỤC LỤC Mở đầu Chương Một số định lí điểm bất động ánh xạ đơn trị kiểu Suzuki 1.1 Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach 1.2 Ánh xạ kiểu Suzuki đặc trưng không gian metric đầy đủ 1.3 Mở rộng định lí Meir-Keeler 12 1.4 Mở rộng định lí Edelstein 15 Chương Điểm bất động ánh xạ đa trị kiểu Suzuki 20 2.1 Định lí điểm bất động Nadler 20 2.2 Mở rộng định lí Kikkawa Suzuki 25 Chương Một số định lí điểm bất động chung hai ánh xạ 27 3.1 Định lí kiểu Junck 27 3.2 Mở rộng định lí Meir-Keeler 32 3.3 Định lí điểm trùng 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình khoa học cơng bố Người cam đoan Hồng Thị Bích Hợp LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thanh Hà nhiệt tình hướng dẫn động viên cổ vũ tác giả suốt trình làm luận văn Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô trực tiếp giảng dạy lớp thạc sĩ Tốn khóa trường Đại học Hồng Đức, cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường Ban Chủ nhiệm khoa Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin dành tặng luận văn cho gia đình, bạn bè, người bên cạnh động viên, khích lệ tác giả chỗ dựa tinh thần vững cho tác giả sống, học tập, nghiên cứu Thanh Hóa, ngày 20 tháng 10 năm 2013 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động nhánh tốn học nói chung giải tích đại nói riêng, có nhiều ứng dụng lí thuyết tối ưu, lí thuyết trị chơi, bao hàm thức vi phân, lí thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng, giải tích phi tuyến nhiều ứng dụng khác vật lí Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lí ánh xạ co Banach (1922) Chúng xem kết kinh điển đánh dấu đời hướng toán học thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng giới Các kết mở rộng nhiều lớp ánh xạ khơng gian khác không gian mêtric lấy làm tảng Trong kết mở rộng không nhắc đến định lí tiêu biểu nhà tốn học tiếng người Nhật Bản Suzuki, người có nhiều đóng góp cho tốn học đại nói chung tốn học Nhật Bản nói riêng Các định lí ơng nói điểm bất động ánh xạ đơn trị đa trị sở đưa số định lí điểm bất động chung hai ánh xạ giao hoán IT - giao hốn Các định lí mà ơng đưa mở rộng khái quát hóa ngun lí ánh xạ co số điểm bất động khác mà biết trước Với mục đích trình bày lại cách hệ thống chi tiết số định lí điểm bất động ánh xạ đơn trị đa trị kiểu Suzuki mà chọn ý tưởng làm nội dung cho luận văn Bộ cục luận văn gồm chương - Chương 1: Một số định lí điểm bất động ánh xạ đơn trị kiểu Suzuki - Chương 2: Điểm bất động ánh xạ đa trị kiểu Suzuki - Chương 3: Một số định lí điểm bất động chung hai ánh xạ Do thời gian kinh nghiệm lực nhiều hạn chế nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến phê bình thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện mặt nội dung hình thức Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 10 tháng 08 năm 2013 Tác Giả Hồng Thị Bích Hợp Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ KIỂU SUZUKI 1.1 Mở rộng nguyên lí ánh cạ co Banach Định lí 1.1.1 (Banach 1922) Cho (M, d) không gian metric đầy đủ T : M → M ánh xạ co Khi T có điểm bất động M với x0 ∈ M dãy lặp {Tn x0 } hội tụ tới điểm bất động Định lý sau Suzuki tổng quát hóa nguyên lý ánh xạ co Banach Định lí 1.1.2 [9] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, T ánh xạ X Định nghĩa hàm θ, không tăng, từ [0, 1) vào ( 21 , 1] xác định        θ(r) = (1 − r)r−2      (1 + r)−1 √ ≤ r ≤ √ 5−1 5−1 ≤ r ≤ 2−1/2 (1.1) 2−1/2 ≤ r < Giả sử tồn r ∈ [0, 1) cho θ(r)d(x, Tx) ≤ d(x, y) kéo theo d(Tx, Ty) ≤ rd(x, y); với x, y ∈ X Khi tồn điểm bất động z T Hơn lim Tn x = z với x ∈ X n→∞ Chứng minh Ta có θ(r) ≤ nên θ(r)d(x, Tx) ≤ d(x, Tx) với x ∈ X Nhờ giả thiết ta d(Tx, T2 x) ≤ rd(x, Tx) với x ∈ X (1.2) Bây ta cố định u ∈ X xác định dãy {un } X un = Tn u Theo (1.2) ta có: d(un , un+1 ) ≤ rn d(u, Tu); Suy ∞ X d(un , un+1 ) < ∞ n=1 Do vậy, dãy {un }∞ n=1 dãy Cauchy X Vì X đầy đủ nên {un } hội tụ tới điểm z thuộc X Tiếp theo, ta chứng minh d(Tx, z) ≤ rd(x, z) với x ∈ X\{z} Với x ∈ X\{z}, tồn ν ∈ N cho d(un , z) ≤ d(x,z) (1.3) với n ∈ N, n ≥ ν Khi ta có θ(r)d(un , Tun ) ≤ d(un , Tun ) = d(un , un+1 ) ≤ d(un , z) + d(un+1 , z) ≤ d(x, z) = d(x, z) − d(x, z) 3 ≤ d(x, z) − d(un , z) ≤ d(un , x) Kết hợp bất đẳng thức với giả thiết, ta được: d(un+1 , Tx) ≤ rd(un , x) với n ≥ ν Cho n tiến đến vô (n → +∞), ta thu d(Tx, z) ≤ rd(x, z) Suy (1.3) chứng minh Bây ta giả sử Tj z 6= z với j ∈ N Khi đó, từ (1.3) ta có d(Tj+1 z, z) ≤ rj d(Tz, z) với j ∈ N Chúng ta xét trường hợp sau: √ • 0≤r≤ √ • 5−1 5−1 < r < 2−1/2 • 2−1/2 ≤ r < √ Trong trường hợp ≤ r ≤ 5−1 r2 + r − ≤ 2r2 < Nếu d(T2 z, z) < d(T2 z, T3 z) d(z, Tz) ≤ d(z, T2 z) + d(Tz, T2 z) < d(T2 z, T3 z) + d(Tz, T2 z) ≤ r2 d(z, Tz) + rd(z, Tz) ≤ (r2 + r)d(z, Tz) ≤ d(z, Tz) Điều vơ lí Vậy d(T2 z, z) ≥ d(T2 z, T3 z) = θ(r)d(T2 z, To T2 z) Kết hợp với giả thiết ta được: d(z, Tz) ≤ d(z, T3 z) + d(T3 z, Tz) ≤ r2 d(z, Tz) + rd(T2 z, z) ≤ r2 d(z, Tz) + r2 d(Tz, z) = 2r2 d(z, Tz) < d(z, Tz) √ Điều vơ lí Trong trường hợp 5−1 < r < 2−1/2 2r2 < Nếu d(T2 z, z) < θ(r)d(T2 z, T3 z) dựa vào (1.2) ta d(z, Tz) ≤ d(z, T2 z) + d(Tz, T2 z) < θ(r)d(T2 z, T3 z) + d(Tz, T2 z) ≤ θ(r)r2 d(z, Tz) + rd(z, Tz) = d(z, Tz) Điều không xảy Do vậy, d(T2 z, z) ≥ θ(r)d(T2 z, T3 z) Như trường hợp 1, ta chứng minh d(z, Tz) ≤ 2r2 d(z, Tz) < d(z, Tz) Điều dẫn đến mâu thuẫn Trong trường hợp 2−1/2 ≤ r < Với x, y ∈ X ta có θ(r)d(x, Tx) ≤ d(x, y) θ(r)d(Tx, T2 x) ≤ d(Tx, y) phải xảy Thật vậy, θ(r)d(x, Tx) > d(x, y) θ(r)d(Tx, T2 x) > d(Tx, y) d(x, Tx) ≤ d(x, y) + d(Tx, y) < θ(r)(d(x, Tx) + d(Tx, T2 x)) ≤ θ(r)(d(x, Tx) + rd(x, Tx)) = d(x, Tx) Điều khơng thể xảy Vì thế, θ(r)d(u2n , u2n+1 ) ≤ d(u2n , z) θ(r)d(u2n+1 , u2n+2 ) ≤ d(u2n+1 , z); xảy với n ∈ N Dẫn đến d(u2n+1 , Tz) ≤ rd(u2n , z) d(u2n+2 , Tz) ≤ rd(u2n+1 , z) xảy với n ∈ N Vì {un } hội tụ tới z, nên từ bất đẳng thức kéo theo tồn dãy {un } hội tụ tới Tz Dẫn đến Tz = z Điều mâu thuẫn Do 27 r1 = λr = r1/2 < Khi ta xây dựng dãy {un } điểm X cho un+1 ∈ pun d(un+1 , un ) ≤ r1 d(un , un−1 ), n = 1, Do vậy, dãy {un } dãy Cauchy Suy {un } hội tụ tới z thuộc X Hay ∃z ∈ X cho: z ∈ P z ♦ 28 Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ 3.1 Định lí kiểu Junck Định lí 3.1.1 Cho θ hàm số xác định (1.1) (X, d) không gian metric đầy đủ Giả sử S, T ánh xạ X thỏa mãn điều kiện sau (a) S liên tục (b) T (X) ⊂ S(X) (c) S T giao hoán Giả sử tồn r ∈ [0, 1) cho θ(r)d(Sx, T x) ≤ d(Sx, Sy) kéo theo d(T x, T y) ≤ rd(Sx, Sy) với x, y ∈ X Khi đó, tồn điểm bất động chung S T Nhận xét: θ(r) số tốt cho r Chứng minh Nhờ vào (b) ta xây dựng ánh xạ I X thỏa mãn SIx = T x với x ∈ X Vì θ(r) ≤ nên θ(r)d(Sx, T x) = θ(r)d(Sx, SIx) ≤ d(Sx, SIx) 29 Từ giả thiết ta có d(SIx, SIIx) = d(T x, T Ix) ≤ rd(Sx, SIx) với x ∈ X (3.1) Cho u ∈ X, đặt u0 = u, un = I n u với n ∈ N Ta có: un+1 = Iun Sun+1 = T un với n ∈ N Theo (3.1) ta nhận d(Sun , Sun+1 ) = d(SIun−1 , SIIun−1 ) ≤ rd(Sun−1 , SIun−1 ) = rd(Sun−1 , Sun ) ≤ · · · ≤ rn d(Su0 , Su1 ) ∀n ∈ N Do ∞ P d(Sun , Sun+1 ) < +∞, n=1 suy {Sun } dãy Cauchy X Nhờ vào tính đầy đủ X, tồn điểm z ∈ X cho Sun → z Ta chứng minh d(T x, z) ≤ rd(Sx, z) với x ∈ X, Sx 6= z Vì Sun → z, tồn ν1 ∈ N cho d(Sun , z) ≤ d(Sx, z) với n ∈ N, n ≥ ν1 Khi có θ(r)d(Sun , T un ) ≤ d(Sun , T un ) = d(Sun , Sun+1 ) ≤ d(Sun , z) + d(Sun+1 , z) ≤ d(Sx, z) = d(Sx, z) − d(Sx, z) 3 ≤ d(Sx, z) − d(Sun , z) ≤ d(Sun , Sx) Do đó: d(T un , T x) ≤ rd(Sun , Sx) với n ∈ N, n ≥ ν1 Ta lại có d(T x, z) = lim d(T x, Sun ) = lim d(T x, T un−1 ) n→∞ n→∞ (3.2) 30 ≤ lim rd(Sx, Sun−1 ) = rd(Sx, z), n→∞ với x ∈ X, Sx 6= z Vậy ta có (3.2) Tiếp theo ta cần chứng minh z điểm bất động S Giả sử phản chứng z 6= Sz Ta có lim θ(r)d(Sun , T un ) = 0(d(z, Sz) = lim d(Sun , SSun )) n→∞ n→∞ Suy d(T un , T Sun ) ≤ rd(Sun , SSun ) với n đủ lớn , n ∈ N Khi d(z, Sz) = lim d(Sun+1 , SSun+1 ) n→∞ = lim (T un , ST un ) n→∞ = lim (T un , T Sun ) n→∞ ≤ lim rd(Sun , SSun ) = rd(z, Sz), n→∞ vô lý Vậy z = Sz Bây ta chứng minh z điểm bất động T Ta chia làm ba trường hợp: • 0≤r< √ • √1 ≤ r < Card({n : Sun 6= z}) = ∞ • √1 ≤ r < Card({n : Sun 6= z}) 6= ∞ Trong trường hợp ≤ r < √ ta ý θ(r) ≤ (1 − r)r−2 Lập luận phản chứng, ta giả sử SIz = T z 6= z Khi ta có SI z 6= z d(SIz, SI z) ≤ rd(Sz, SIz) = rd(z, SIz) 31 Vì d(z, SIz) ≤ d(z, SI z) + d(SI z, SIz) ≤ d(z, SI z) + rd(z, SIz), nên ta có (1 − r)d(z, SIz) ≤ d(z, SI z) Do θ(r)d(SI z, SI z) ≤ (1 − r)r−2 d(SI z, SI z) ≤ (1 − r)d(z, SIz) ≤ d(z, SI z) Bởi điều giả sử ta có d(SI z, SIz) ≤ rd(SI z, z) Vì d(SI z, z) ≤ rd(SI z, z) ≤ r2 d(SIz, z), nên ta có d(z, SIz) ≤ d(z, SI z) + d(SI z, SIz) ≤ d(z, SI z) + rd(SI z, z) ≤ 2r2 d(SIz, z) < d(SIz, z), Điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy z = T z Trong trường hợp thứ hai, tồn dãy {unj } {un } cho Sunj 6= z Bởi (3.2) ta có θ(r)d(Sunj , T unj ) ≤ θ(r)(d(Sunj , z) + d(T unj , z)) ≤ θ(r)(d(Sunj , z) + rd(Sunj , z)) = d(Sunj , z) = d(Sunj , Sz) 32 Theo giả thiết, ta có d(T unj , T z) ≤ rd(Sunj , z), d(z, T z) = lim d(Sunj +1 , T z) = lim d(T unj , T z) ≤ lim rd(Sunj , z) = j→∞ j→∞ j→∞ Vậy T z = z Trong trường hợp cuối, tồn ν ∈ N cho Sun = z với n ≥ ν Đặc biệt, Suν = Suν+1 = z, điều kéo theo T z = T Suν3 = ST uν3 = SSuν3 +1 = Sz = z Như vậy, ta z điểm bất động chung S T Giả sử y điểm bất động chung S T Vì θ(r)d(Sz, T z) = ≤ d(Sz, Sy) nên ta có d(z, y) = d(T z, T y) ≤ rd(Sz, Sy) = rd(z, y) (r < 1) suy d(z, y) = hay y ≡ z, nghĩa z điểm bất động chung S T 3.2 ♦ Mở rộng định lí Meir-Keeler Định lí 3.2.1 Cho (X, d) không gian metric đủ, S,T ánh xạ X thỏa mãn điều kiện (a) − (c) định lí 3.1.1 Giả sử d(Sx, T x) < d(Sx, Sy) kéo theo d(T x, T y) < d(Sx, Sy), (3.3) 33 với x, y ∈ X Đồng thời với ε > tùy ý, tồn δ(ε) > cho d(Sx, T x) < d(Sx, Sy) d(Sx, Sy) < ε+δ(ε) kéo theo d(T x, T y) ≤ ε, (3.4) với x, y ∈ X Khi tồn điểm bất động chung S T Nhận xét: số tốt θ(r) định lí 1.1.2 tốt Chứng minh Theo (b) định nghĩa ánh xạ I X thỏa mãn SIx = T x với x ∈ X, đồng thời Ix = x với x ∈ X mà Sx = T x Với x ∈ X, Sx 6= T x, có: d(Sx, T x) < 2d(Sx, T x) = 2d(Sx, SIx) Từ (3.3) suy d(T x, T Ix) < d(Sx, SIx) Do d(SIx, SIIx) < d(Sx, SIx), (3.5) với x ∈ X mà Sx 6= SIx Khi d(SIx, SIIx) ≤ d(Sx, SIx) với x ∈ X (3.6) Cho u ∈ X, đặt u0 = u, un = I n u với n ∈ N Do (3.6), {d(Sun , Sun+1 )} dãy khơng tăng, {d(Sun , Sun+1 )} hội tụ tới số α ≥ 34 Giả sử α > Khi đó, nhờ (3.5) {d(Sun , Sun+1 )} dãy giảm nghiêm ngặt, kéo theo d(Sun , Sun+1 ) > α với n ∈ N Lấy j ∈ N, với d(Suj , Suj+1 ) < α + δ(α) Kết hợp với (3.4) suy d(Suj+1 , Suj+2 ) ≤ α Điều mâu thuẫn Do α = 0, tức lim d(Sun , Sun+1 ) = n→∞ (3.7) Cho trước ε > 0, đặt δ1 = min{δ(ε), ε} Bởi (3.7) ta chọn ν1 ∈ N cho d(Sun , Sun+1 ) < δ1 với n ≥ ν1 Cố định l ∈ N, l ≥ ν1 Chúng ta chứng minh d(Sul , Sul+m ) < ε + δ1 với m ∈ N (3.8) Thật vậy, với m = 1, (3.8) hiển nhiên Giả sử (3.8) với m ∈ N Trong trường hợp d(Sul , Sul+m ) ≤ ε, ta có d(Sul , Sul+m+1 ) ≤ d(Sul , Sul+m ) + d(Sul+m , Sul+m+1 ) < ε + δ1 Trong trường hợp ε < d(Sul , Sul+m ) < ε + δ1 , d(Sul , Sul+1 ) < δ1 ≤ ε < d(Sul , Sul+m ) < 2d(Sul , Sul+m ), nên ta có d(Sul+1 , Sul+m+1 ) ≤ ε theo (3.4) Suy d(Sul , Sul+m+1 ) ≤ d(Sul , Sul+1 ) + d(Sul+1 , Sul+m+1 ) < δ1 + ε vậy, quy nạp, (3.8) với m ∈ N Vì ε tùy ý nên ta có lim sup d(Sum , Sun ) = n∈∞ m>n 35 Điều kéo theo {Sun } dãy Cauchy Do X đủ nên {Sun } hội tụ tới điểm z thuộc X Tiếp theo ta chứng minh z điểm bất động S Trong trường hợp Card({n : d(Sun , T un ) ≥ 2d(Sun , SSun )}) = ∞ tồn dãy {unj } ⊂ {un } cho d(Sunj , T unj ) ≥ 2d(Sunj , SSunj ) Khi từ (a) suy d(Sz, z) = lim d(SSunj , z) j→∞ ≤ lim (d(SSunj , Sunj ) + d(Sunj , z)) j→∞ ≤ lim ( d(Sunj , T unj ) + d(Sunj , z)) j→∞ = lim ( d(Sunj , Sunj +1 ) + d(Sunj , z)) = j→∞ Từ d(Sz, z) = hay Sz = z Trong trường hợp Card({n : d(Sun , T un ) ≥ 2d(Sun , SSun )}) < ∞ tồn ν2 ∈ N cho d(Sun , T un ) < 2d(Sun , SSun ) với n ≥ ν2 Từ (3.3) ta có d(Sun+1 , SSun+1 ) = d(T un , T Sun ) < d(Sun , SSun ) với n ≥ ν2 Do {d(Sun , SSun )} dãy giảm nghiêm ngặt với n đủ lớn bị chặn 0, suy {d(Sun , SSun )} hội tụ tới β đó, β ≥ d(Sun , SSun ) > β với n ≤ ν2 Giả sử β > 0, theo định nghĩa β ta lấy j ≥ ν2 cho d(Suj , SSuj ) < β + δ(β) Kết hợp (3.4) (c) ta có d(Suj+1 , SSuj+1 ) = d(T uj , T Suj ) ≤ β 36 Điều mâu thuẫn Do β = Suy d(Sun , SSun ) → n → ∞, hay Sz = z Bây ta chứng minh T z = z Ta xét hai trường hợp: • Tồn ν ∈ N cho Suν = Suν+1 • Sun 6= Sun+1 với n ∈ N Trong trường hợp 1, để ý uν = uν+1 (dựa vào định nghĩa I) Do un = uν với n ≥ ν Từ Sun → z, ta có Sun = z với n ≥ ν Suy T z = T Suν = ST uν = SSuν+1 = Sz = z Trong trường hợp 2, ta có Sun 6= T un với n ∈ N Giả sử d(Sun , Sun+1 ) ≥ 2d(Sun , z) d(Sun+1 , Sun+2 ) ≥ 2d(Sun+1 , z) với n ∈ N Khi đó, nhờ (3.5) ta d(Sun , Sun+1 ) ≤ d(Sun , z) + d(Sun+1 , z) ≤ (d(Sun , Sun+1 ) + d(Sun+1 , Sun+2 )) < d(Sun , Sun+1 ), vơ lý Như ta phải có d(Sun , Sun+1 ) < 2d(Sun , z) d(Sun+1 , Sun+2 ) < 2d(Sun+1 , z), với n ∈ N Lúc này, kết hợp với (3.3) cho ta d(T un , T z) < d(Sun , z) d(T un+1 , T z) < d(Sun+1 , z) với n ∈ N Mặt khác T un = Sun+1 Sun → z, nên tồn dãy {Sun } hội tụ tới T z Điều suy T z = z Như vậy, tất trường hợp, chứng minh z điểm bất động chung S 37 T Cuối ta chứng minh điểm bất động Thật giả sử y điểm bất động khác Vì d(Sz, T z) = < 2d(z, y) = 2d(Sz, Sy), nên d(z, y) = d(T z, T y) < d(Sz, Sy) = d(z, y) Điều khơng thể xảy ra, tóm lại z = y ♦ 3.3 Định lý điểm trùng Cho (X, d) không gian metric Ánh xạ P : X → CL(X) T : X → X gọi IT-giao hoán z ∈ X TP z ≤ P Tz Những ánh xạ tổng quát ánh xạ giao hoán P Tx = TP x, ánh xạ giao hoán yếu (d(Ty, P Tx) ≤ d(P x, Tx), y ∈ P x) Chú ý P ánh xạ đơn trị tính chất IT-giao hốn tính chất giao hốn P T điểm Định lí 3.3.1 Cho P : Y → CL(X) T : Y → X cho T(Y ) không gian đầy đủ X p(Y ) ⊆ T(Y ) Hơn giả sử tồn r ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ Y , d(Tx, P x) ≤ (1 + r)d(Tx, Ty) kéo theo H(P x, P y) ≤ rd(Tx, Ty) Khi đó: (i) P T có điểm trùng lặp, tồn z ∈ Y cho Tz ∈ P z Hơn Y = X 38 (ii) P T có điểm bất động chung P T IT-giao hoán z Tz điểm bất động T Chứng minh Định nghĩa F (a) = P (T−1 a) với a ∈ T(Y ), T−1 a nghịch ảnh a qua T Để chứng tỏ ánh xạ F : T(Y ) → CL(T(Y )) định nghĩa đắn, ta ý rằng, F a ⊆ T(Y ) với a ∈ T(Y ) Lấy x, y ∈ T−1 a cho B = P x C = P y Vì T x = T y nên B = C Do đó, P x = P y F a = P x với x ∈ T−1 a Vậy F a ∈ CL(T(Y )) Suy F ánh xạ Với a, b ∈ T(Y ), giả thiết d(P x, Tx) ≤ (1 + r)d(Tx, Ty), dẫn đến d(F a, a) ≤ (1 + r)d(a, b) Các bất đẳng thức cho ta H(F a, F b) = H(P x, P y) ≤ rd(Tx, Ty) = rd(a, b), x ∈ T−1 a, y ∈ T−1 b Vì theo định lí 2.2.2, tồn ω ∈ T(Y ) cho ω ∈ F ω Khi với z ∈ T−1 ω, P z = F ω Tz ∈ P z Điều chứng tỏ (i) Hơn nữa, Y = X, TTz = Tz, p T IT-giao hốn z, nghĩa Tpz ⊆ pTz, Tz ∈ pz Kéo theo TTz ∈ TP z ⊆ P Tz, suy (ii) Định lí chứng minh ♦ 39 KẾT LUẬN Luận văn với đề tài "Một số định lí điểm bất động Suzuki" trình bày chi tiết cụ thể định lí điểm bất động ánh xạ đơn trị, đa trị điểm bất động chung hai ánh xạ Thơng qua có cách nhìn tổng quát điều kiện cần đủ để ánh xạ không gian hàm tập hợp đấy, khơng gian metric, khơng gian topo có điểm bất động Cụ thể, luận văn trình bày nội dung sau: Chương 1: Một số định lí điểm bất động ánh xạ đơn trị kiểu Suzuki Chương 2: Điểm bất động ánh xạ đa trị kiểu Suzuki Chương 3: Một số định lí điểm bất động chung hai ánh xạ Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái, Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm - tập 1, NXB Giáo dục Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm - tập 2, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lí điểm bất động, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [4] S Banach, Sur les operations les ensembles abstraits et lem application aux equation integrales, Fund Math, (1922), 133-181 [5] E.H Connell, properties of fixed point spaces, proc Amer Math soc., 10 (1959) 974-979 MR 0110093 [6] Y Enjouji, M Nakanishi and T Suzuki, A generation of Kanna’s fixed point theorem, submitted [7] A Granas, J Dugundji (2003), Fixed point Theory, Spinger-verlag NewYork [8] S Hoh, W Takahashi, Single-value mapping, multiralue mapping and fixed point theorems, J Math Anal Appl., 59 (1977) 514-521 40 41 [9] Tomonari Suzuki, A generalized Banach contraction prineiple that characterizes metric completeness, proc Amer Math soc., 136 (2008) 1861-1869 [10] M Kikkawa, Tomonari Suzuki, Three fixed point theorems for generalized contractions with constants in complete metric space, Nonlinear Anal 69 (2008) 2942-2949 [11] M Kikkawa, Tomonari Suzuki, Some notes on fixed point theorems with constants, Pure Appl Math No 56, 2009, 11-18 [12] S.B Nadler Jr., Multiralued contraction mappings, pacific J Math, 80 (1969) 475-488 [13] S.L Singh, S.N Mishra, Fixed point theorems for singlevalued and multi-valued maps, Nonlinear Analysis, 2010, doi: 10.1016/j.na.2010.11.029