Về công thức binet, tổng và biểu diễn của các số p fibonacci tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRIỆU THANH NGA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2024 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRIỆU THANH NGA Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thu Hằng TS Hà Thị Thu Hiền THÁI NGUYÊN - 2024 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thu Hằng và TS Hà Thị Thu Hiền Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo–TS Nguyễn Thu Hằng và cô giáo–TS Hà Thị Thu Hiền Các cô luôn theo sát, tận tâm, tận lực dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán–Tin cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Toán K15A2, đã tạo điều kiện tốt nhất và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT Xuân Giang, huyện Sóc Sơn, thành phố Hà Nội, cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân đã động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2024 Học viên Triệu Thanh Nga ii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Dãy Fibonacci 3 1.2 Về đại số tuyến tính của ma trận 5 1.3 Hàm sinh của dãy số 9 1.4 Ma trận Fibonacci 13 2 Công thức Binet, hàm sinh và tổng các số p-Fibonacci tổng quát 17 2.1 Dãy p-Fibonacci tổng quát, p-ma trận Fibonacci tổng quát và công thức Binet tổng quát 17 2.2 Hàm sinh của dãy số p-Fibonacci tổng quát 27 2.3 Tổng của các số p-Fibonacci tổng quát 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii Một số ký hiệu và viết tắt (Fn)n∈N dãy Fibonacci V không gian véctơ trên trường K AT ma trận chuyển vị của ma trận A F (x) hàm sinh của dãy Fibonacci Q ma trận Fibonacci (Fp(n))n∈N dãy p-Fibonacci tổng quát Qp ma trận p-Fibonacci tổng quát f (λ) đa thức đặc trưng của ma trận p-Fibonacci tổng quát Gp(x) hàm sinh của dãy p-Fibonacci tổng quát Sn tổng của n số hạng đầu tiên trong dãy p-Fibonacci tổng quát n hệ số nhị thức thứ k của n k iv Mở đầu Dãy số có tên là Fibonacci mà ta dùng ngày nay được Leonardo Pisano Bogollo, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci qua các bài toán: Bài toán con thỏ và Bài toán số các cụ tổ của một con ong đực Ta biết rằng dãy Fibonacci thoả mãn quy tắc đơn giản Fn+2 = Fn+1 + Fn Tuy nhiên dãy này chứa đựng nhiều các tính chất đẹp đẽ Người ta đã nghiên cứu rất nhiều các hiện tượng cũng như các quy luật tự nhiên được phân bố theo quy tắc của dãy này Dãy Fibonacci lý thú đến mức có hẳn Tạp chí The Fibonacci Quarterly chỉ xuất bản các kết quả nghiên cứu liên quan đến dãy Fibonacci Ngoài việc nghiên cứu dãy Fibonacci, người ta cũng quan tâm đến các mở rộng của nó Một trong số các mở rộng mà chúng tôi quan tâm đến là dãy p-Fibonacci tổng quát Công thức truy hồi của dãy p-Fibonacci tổng quát là Fp(n) = Fp(n − 1) + Fp(n − p − 1) Công thức này có sự tương đồng với công thức của dãy Fibonacci và khi p = 1, ta thu được dãy Fibonacci Vì vậy, một số tính chất của dãy p-Fibonacci tổng quát có thể được chứng minh tương tự như dãy Fibonacci Tuy nhiên cũng có nhiều tính chất khác của dãy tổng quát được tìm thấy mà không có sự tương tự từ dãy Fibonacci cổ điển, sau đó bằng cách đặc biệt hoá, ta có thể nhận được các tính chất mới cho dãy Fibonacci cổ điển Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu một số tính chất và trình bày lại các kết quả về dãy p-Fibonacci tổng quát Các kết quả chính trong luận văn được viết dựa trên các tài liệu tham khảo [3], đồng thời được tham khảo 1 2 thêm các tài liệu [2], [4] và [5] Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chúng tôi trình bày lại một số tính chất cơ bản của dãy Fibonacci, về một số tính chất của Đại số tuyến tính và về hàm sinh của một dãy số Chúng tôi đưa ra một số cách có thể xác định số hạng tổng quát của dãy Fibonacci như: công thức Binet, thông qua ma trận Fibonacci và thông qua hàm sinh Chương 2 Công thức Binet, hàm sinh và tổng các số p-Fibonacci tổng quát Chương này chúng tôi dành để trình bày lại các kết quả về dãy p-Fibonacci tổng quát Chúng tôi giới thiệu về dãy p-Fibonacci tổng quát, về ma trận p-Fibonacci tổng quát và công thức Binet biểu thị số hạng tổng quát của dãy Chúng tôi sử dụng ma trận p-Fibonacci, hàm sinh hoặc khai triển qua các hệ số nhị thức để tìm số hạng tổng quát của dãy Ngoài ra dựa vào phương pháp ma trận, chúng tôi có thể tính được tổng của n số hạng đầu tiên trong dãy p-Fibonacci tổng quát Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày lại định nghĩa và một số tính chất cơ bản, quan trọng của dãy Fibonacci, ma trận Fibonacci, hàm sinh của dãy Fibonacci Vì dãy p–Fibonacci là dãy số tổng quát của dãy Fibonacci nên dựa vào các tính chất đã biết của dãy Fibonacci đưa ra các định nghĩa, các tính chất về với dãy p–Fibonacci, các ma trận liên kết với dãy p–Fibonacci trong chương sau Tất cả các kết quả của chương này đều nằm trong các tài liệu tham khảo [1–5] 1.1 Dãy Fibonacci Trước hết chúng tôi nhắc lại về dãy Fibonacci quen thuộc Trong toàn bộ luận văn ta luôn ký kiệu dãy số là (un)n∈N Định nghĩa 1.1.1 Dãy Fibonacci, ký hiệu là (Fn)n∈N, được định nghĩa bởi công thức truy hồi sau đây:  F0 = 0, (1.1)   F1 = 1,   Fn = Fn−1 + Fn−2, với mọi n ≥ 2 Ta gọi Fn là số hạng thứ n của dãy Fibonacci Nói cách khác ta có dãy Fibonacci là dãy số sau: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 3 4 Nhận xét 1.1.2 Có nhiều cách để có thể tìm được số hạng tổng quát của dãy Fibonacci Đầu tiên, từ hệ thức truy hồi (1.1) của dãy Fibonacci trong Định nghĩa 1.1.1 ta có Fn − Fn−1 − Fn−2 = 0, với mọi n ⩾ 2 Do đó ta có phương trình đặc trưng (1.2) t2 − t − 1 = 0 Phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm là: √ √ 1+ 5 1− 5 α1 = 2 , α2 = 2 Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.1) là: Fn = a1α1n + a2α2n, trong đó a1, a2 là các hằng số tự do Với F0 = 0, F1 = 1 ta có  a1 + a2 = 0, a1α1 + a2α2 = 1, hay  1 √ a1 = 5 , a2 15 = −√ Từ trên ta có ngay kết quả sau Mệnh đề 1.1.3 (Công thức Binet) Dãy Fibonacci được cho bởi công thức tổng quát √ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n Fn = 2 √ 2 5 5 1.2 Về đại số tuyến tính của ma trận Trong mục này chúng tôi trình bày lại số một khái niệm và tính chất của ma trận Các kết quả được chúng tôi tham khảo từ tài liệu [1] Ta nhắc lại rằng hai ma trận vuông A, B cấp n gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P cấp n sao cho B = P −1AP Định nghĩa 1.2.1 (Ma trận chéo hoá được) Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận chéo hoá được nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P −1AP là ma trận đường chéo Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hoá ma trận A Nói cách khác, ma trận A chéo hoá được nếu nó đồng dạng với ma trận đường chéo Định lý 1.2.2 Giả sử A là ma trận vuông cấp n với các phần tử nằm trong trường K i) Điều kiện cần và đủ để A chéo hoá được là không gian véctơ Kn có một cơ sở gồm n véctơ riêng của ma trận A ii) Nếu đa thức đặc trưng của ma trận A có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận A chéo hoá được Quy trình chéo hoá ma trận: Cho A là ma trận vuông A cấp n Để chéo hoá ma trận A ta thực hiện các bước như sau: 1) Tìm n véctơ riêng độc lập tuyến tính của A, ta giả sử là α1, , αn 2) Lập ma trận P có các cột lần lượt là các véctơ riêng α1, , αn 3) Ma trận P −1AP sẽ là ma trận chéo với các phần tử nằm trên đường chéo là các giá trị riêng λ1, , λn tương ứng với các véctơ riêng α1, , αn