Biểu diễn đa diện lồi và ứng dụng trong lập thời khóa biểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Đỗ Thị Thùy BIỂU DIỄN ĐA DIỆN LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG LẬP THỜI KHÓA BIỂU Chuyên ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Xuân Thanh Phản biện 1: TS Lê Hải Yến Phản biện 2: TS Nguyễn Đức Mạnh Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi 00 phút, ngày 15 tháng 11 năm 2021 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ 1 Mở đầu Ý tưởng thực luận văn nghiên cứu tốn xếp thời khóa biểu trường trung học Việt Nam Sau khảo sát trường hợp thực tế tốn, chúng tơi quan tâm đến loại ràng buộc đặc biệt số tiết trống giáo viên Cụ thể hơn, tiết ngày dạy, giáo viên xếp dạy không Nếu giáo viên không phân công dạy tiết hai tiết dạy ngày dạy, tiết nghỉ dạy gọi tiết trống giáo viên Một số giáo viên yêu cầu phải có tiết trống ngày dạy họ, việc giảng dạy nhiều tiết liên tiếp khối lượng công việc nặng nề họ Tuy nhiên, nhiều tiết trống ngày dạy giáo viên gây lãng phí thời gian giáo viên, thời gian chờ đợi lâu tiết dạy Vì lý đó, ràng buộc quan tâm đặt giới hạn giới hạn số tiết trống ngày dạy giáo viên Chúng gọi ràng buộc “ràng buộc tiết trống giáo viên” Những đóng góp luận văn sau Chúng tơi xây dựng mơ hình quy hoạch ngun cho ràng buộc tiết trống giáo viên, đánh giá hiệu mơ hình thơng qua thực nghiệm trường hợp thực tế tốn Để xây dựng mơ hình này, chúng tơi đề xuất khái niệm “đa diện idle” Chính xác hơn, sử dụng biến nhị phân để định giáo viên xếp dạy vào tiết Bằng cách này, việc xếp giảng dạy giáo viên ngày học mã hóa vectơ nhị phân, thành phần vectơ gọi idle giáo viên trống tiết tương ứng Với cách biểu diễn này, giới hạn số lượng tiết trống giáo viên giới hạn số lượng thành phần idle vectơ tương ứng Mơ hình quy hoạch ngun cho ràng buộc tiết trống giáo viên mà đề xuất hệ ràng buộc tuyến tính biến nhị phân, mà nghiệm hệ xác vectơ với số thành phần idle thỏa mãn giới hạn cho Điều gợi cho định lý Minkowski-Weyl tiếng tương đương biểu diễn đa diện lồi Lấy cảm hứng từ định lý này, định nghĩa đa diện idle bao lồi vectơ có số thành phần idle thỏa mãn giới hạn cho trước Mơ hình quy hoạch ngun chúng tơi đề xuất cho ràng buộc tiết trống giáo viên hệ bất phương trình xác định mặt đa diện idle Chương luận văn nhắc lại số khái niệm kết quan trọng lý thuyết đa diện lồi Chương luận văn giới thiệu khái niệm đa diện idle đưa biểu diễn chi tiết cho số trường hợp cụ thể Chương luận văn trình bày ứng dụng khái niệm đa diện idle việc mơ hình hóa ràng buộc tiết trống giáo viên tốn lập thời khóa biểu cho trường trung học 3 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi nón lồi Định nghĩa 1.1 (Tập lồi) Một tập C ⊂ Rn tập lồi với x1 , x2 ∈ C θ ∈ [0, 1] ta có θx1 + (1 − θ)x2 ∈ C Định nghĩa 1.2 (Tổ hợp lồi) Tổ hợp lồi điểm x1 , , xk ∈ Rn điểm có dạng θ1 x + θ2 x + + θk x k θ1 , , θk ∈ [0, 1] thỏa mãn θ1 + + θk = Định nghĩa 1.3 (Bao lồi) Bao lồi tập C ⊂ Rn , kí hiệu conv(C), tập hợp gồm tất tổ hợp lồi điểm C, nghĩa conv(C) = {θ1 x1 + + θk xk | xi ∈ C, θi ≥ 0, i = 1, , k, θ1 + + θk = 1} Bổ đề 1.4 Cho C tập lồi Rn x1 , , xk ∈ C Khi tổ hợp lồi điểm x1 , , xk thuộc C Bổ đề 1.5 Với tập C ⊂ Rn bất kỳ, bao lồi conv(C) tập lồi 4 Mệnh đề 1.6 Bao lồi conv(C) tập C ⊂ Rn tập lồi nhỏ chứa C Định nghĩa 1.7 (Nón) Tập C ⊂ Rn nón với x ∈ C θ ≥ ta có θx ∈ C Định nghĩa 1.8 (Nón lồi) Tập C nón lồi với x1 , x2 ∈ C θ1 , θ2 ≥ ta có θ1 x1 + θ2 x2 ∈ C Mệnh đề 1.9 Một nón lồi Rn vừa tập lồi vừa nón Định nghĩa 1.10 (Tổ hợp nón) Tổ hợp nón điểm x1 , , xk ∈ Rn điểm có dạng θ1 x + θ2 x + + θk x k với θ1 , , θk ≥ Định nghĩa 1.11 (Bao nón) Bao nón tập C tập hợp tất tổ hợp nón điểm thuộc C , nghĩa cone(C) = {θ1 x1 + + θk xk | xi ∈ C, θi ≥ 0, i = 1, , k} Mệnh đề 1.12 Bao nón cone(C) tập C ⊂ Rd nón lồi nhỏ chứa C 1.2 Đa diện lồi Định nghĩa 1.13 (V -đa diện) Một V -đa diện P ⊂ Rd tập hợp có dạng P = conv(x1 , , xk ) (1.1) = {θ1 x1 + + θk xk | θ1 , , θk ≥ 0, θ1 + + θk = 1}, k số nguyên dương x1 , , xk véc tơ Rd Biểu thức (1.1) gọi V -biểu diễn V -đa diện P Định nghĩa 1.14 (V -nón) Một V -nón C ⊂ Rd tập hợp có dạng P = cone(v1 , , vk ) = {θ1 v1 + + θk vk | θ1 , , θk ≥ 0}, (1.2) k số ngun dương v1 , , vk véc tơ Rd Biểu thức (1.2) gọi V -biểu diễn V -nón C Định nghĩa 1.15 (H-nón) Một H-nón C ⊂ Rd tập có dạng C = P (A, 0) = {x ∈ Rd | Ax ≤ 0}, A ma trận Rn×d (với n bất kì) véc tơ khơng Rd Hệ tuyến tính Ax ≤ gọi H-biểu diễn H-nón C Định nghĩa 1.16 (H-đa diện) Một H-đa diện tập bị chặn có dạng P = P (A, b) = {x ∈ Rd | Ax ≤ b}, A ma trận Rn×d (với n bất kì) b ∈ Rd Hệ tuyến tính Ax ≤ b gọi H-biểu diễn H-đa diện P Định lý 1.17 Nếu P ⊂ Rd V -đa diện, nghĩa là, P bao lồi tập hữu hạn điểm P = conv(x1 , , xn ) với x1 , , xn ∈ Rd , P H-đa diện, nghĩa là, P giao bị chặn nửa khơng gian đóng P = P (A, z) := {x ∈ Rd | Ax ≤ z} với A ∈ Rm×d , z ∈ Rm Bổ đề 1.18 Cho C H-nón Rd Cho elimk (C) = {x − tek | x ∈ C, t ∈ R} projk (C) = elimk (C) ∩ Hk , Hk = {x ∈ Rd | xk = 0} Khi elimk (C) projk (C) H-nón Bổ đề 1.19 Nếu C ⊂ Rd V -nón, nghĩa là, bao nón tập hữu hạn điểm C = cone(y1 , , yn ) với y1 , , yn ∈ Rd , H-nón, nghĩa là, giao bị chặn nửa khơng gian tuyến tính đóng P = P (A, 0) := {x ∈ Rd | Ax ≤ 0} với A ∈ Rm×d Chương Đa diện idle 2.1 V-biểu diễn đa diện idle Định nghĩa 2.1 Thành phần vi gọi thành phần idle véc tơ v ∈ {0, 1}n tồn p ∈ {1, , i − 1} q ∈ {i + 1, , n} cho vp = vq = 1, vi = Với v ∈ {0, 1}n , cho f idle (v) số lượng thành phần idle v Cho trước ≤ ℓ ≤ u ≤ n − 2, kí hiệu Vnℓ,u := {v ∈ {0, 1}n | ℓ ≤ f idle (v) ≤ u} Định nghĩa 2.2 Đa diện (ℓ, u, n)-idle xác định Pnℓ,u := conv(Vnℓ,u ) Ví dụ 2.3 Bảng 2.1 liệt kê tất véc tơ nhị phân có n = thành phần, với số lượng thành phần idle (f idle ) véc tơ Tập hợp V50,0 chứa véc tơ nhị phân 5-thành phần thành phần idle, nghĩa là, V50,0 = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v7 , v8 , v9 , v13 , v15 , v16 , v17 , v25 , v29 , v31 , v32 }, Bảng 2.1: Véc tơ nhị phân 5-thành phần số lượng thành phần idle tương ứng chúng Véc tơ Giá trị f idle Véc tơ Giá trị f idle v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 (0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1) (0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1, 1) (0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 1, 0) (0, 0, 1, 1, 1) (0, 1, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0, 1) (0, 1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 0, 1) (0, 1, 1, 1, 0) (0, 1, 1, 1, 1) 0 0 0 1 0 v17 v18 v19 v20 v21 v22 v23 v24 v25 v26 v27 v28 v29 v30 v31 v32 (1, 0, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1, 0) (1, 0, 1, 1, 1) (1, 1, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 0, 1) (1, 1, 0, 1, 0) (1, 1, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 0, 0) (1, 1, 1, 0, 1) (1, 1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 1, 1) 2 1 1 0 ta có dạng V -biểu diễn đa diện idle-(0, 0, 5) sau: P50,0 = conv(V50,0 ) Tương tự, trường hợp khác người đọc xem chi tiết luận văn 2.2 H-biểu diễn đa diện idle Chúng sử dụng phần mềm Polymake để thu H-biểu diễn đa diện lồi giới thiệu Ví dụ 2.3 Chú ý ví dụ này, đa diện idle miêu tả V -biểu diễn chúng Ví dụ 2.4 Dạng H-biểu diễn sinh Polymake đa diện idle đề cập Ví dụ 2.3 sau • H-biểu diễn P50,0 : x1 − x2 + x3 x1 − x2 ≤1 + x4 x1 − x2 ≤1 + x5 ≤ x1 − x3 + x4 x1 − x3 ≤1 + x5 ≤ − x4 + x5 ≤ x1 x2 − x3 + x4 x2 − x3 x2 ≤1 + x5 ≤ − x4 + x5 ≤ x3 − x4 + x5 ≤ x1 − x2 + x3 − x4 + x5 ≤ ≤ x1 , x , x , x , x ≤ Các trường hợp cịn lại người đọc xem luận văn 10 Chương Áp dụng vào tốn lập thời khóa biểu 3.1 Mơ tả tốn Thời khóa biểu phân cơng cặp giáo viên-môn học cho lớp học tiết học ngày học Đối với toán lập thời khóa biểu cho trường trung học Việt Nam, ràng buộc sau ràng buộc cứng theo nghĩa số chúng bị vi phạm, khơng thể xây dựng thời khóa biểu khả thi (H1) Chương trình học lớp phải tuân thủ (H2) Phân công chuyên môn cho giáo viên phải tuân thủ (H3) Mỗi lớp học ấn định trước tiết học tuần (H4) Tại thời điểm, giáo viên phân công dạy nhiều lớp Ở đây, chương trình học quy định phân bổ lớp học môn thời gian tiết tuần, phân công chuyên môn quy định giáo viên xếp dạy môn cho lớp Ngồi ràng buộc cứng nêu trên, có ràng buộc bổ sung đến từ đặc điểm thời khóa biểu yêu cầu giáo viên 11 Chúng xem xét loại ràng buộc phổ biến sau (C1) Số tiết mà lớp học môn ngày học bị giới hạn (C2) Một số môn học không dạy cho số lớp học vào số thời gian (tiết học ngày học) cố định (C3) Một số môn học dạy cho số lớp học vào thời gian (tiết học lớp học) cố định (C4) Một số giáo viên xếp để không dạy vào thời gian (tiết học ngày học) cố định Ngoài ra, loại ràng buộc sau thường tính đến q trình xây dựng thời khóa biểu cho trường phổ thơng Việt Nam (C5) Số tiết trống ngày học số giáo viên bị chặn chặn 3.2 Mơ hình hóa Kí hiệu tập lớp học, ngày học, tiết học, môn học, giáo viên C, D, P, S, T Chúng sử dụng biến nhị phân xcdpst , số c, d, p, s, t tương ứng lấy giá trị từ tập hợp C , D, P , S , T Biến xcdpst = giáo viên t xếp để dạy môn s tiết p ngày học d cho lớp c, ngược lại xcdpst = Đặt A1 := {(s, c) ∈ S × C | môn học s dạy cho lớp c}, A2 := {(t, s, c) ∈ T × A1 | giáo viên t dạy môn học s cho lớp c}, A3 := {(c, d, p) ∈ C × D × P | lớp c học tiết p ngày d}, IX := {(c, d, p, s, t) | (t, s, c) ∈ A2 , (c, d, p) ∈ A3 }, X := {xcdpst | (c, d, p, s, t) ∈ IX } 12 Sử dụng biến tập hợp X , ràng buộc cứng (H2) (H3) tự động thỏa mãn Các ràng buộc lại mơ hình hóa sau (H1) Chương trình học lớp phải tuân thủ ∑ xcdpst = αs¯,¯c ∀(¯ s, c¯) ∈ A1 , (c,d,p,s,t)∈IX (s,c)=(¯ s,¯ c) αs,c số tiết dạy mơn s tuần cho lớp c (H4) Mỗi giáo viên dạy nhiều lớp thời điểm ∑ ¯ p¯, t¯) ∈ D × P × T xcdpst ∀(d, (c,d,p,s,t)∈IX ¯ p,t¯) (d,p,t)=(d,¯ (C1) Giới hạn số tiết dạy môn học cho lớp học ngày học ∑ xcdpst ≤ βc¯,¯s , (c,d,p,s,t)∈IX (c,s)=(¯ c,¯ s) βc,s giới hạn số tiết dạy mơn s cho lớp c ngày (C2) Môn s¯ không xếp dạy cho lớp c¯ vào tiết p¯ ngày d¯ ∑ xcdpst = (c,d,p,s,t)∈IX ¯ p,¯ (c,d,p,s)=(¯ c,d,¯ s) (C3) Môn s¯ xếp dạy cho lớp c¯ vào tiết p¯ ngày d¯ ∑ xcdpst = (c,d,p,s,t)∈IX ¯ p,¯ (c,d,p,s)=(¯ c,d,¯ s) (C4) Giáo viên t¯ xếp nghỉ dạy tiết p¯ ngày d¯ ∑ xcdpst = (c,d,p,s,t)∈IX ¯ p,t¯) (d,p,t)=(d,¯ 13 (C5) Giáo viên t¯ dự kiến có ℓ nhiều u tiết trống ngày học d¯ (trong ≤ ℓ ≤ u ≤ |P | − 2) Đặt ∑ vi := xcdpst (i ∈ {1, , |P |}) (c,d,p,s,t)∈IX ¯ t¯) (d,p,t)=(d,i, Đặt v = (v1 , , v|P | ) Khi v ∈ {0, 1}|P | , số lượng thành phần idle v với số lượng tiết trống giáo viên t¯ ngày học d¯ Do đó, ràng buộc mà xem xét tương đương với việc nói số lượng thành phần idle v nằm khoảng từ ℓ tới u Bất kì H-biểu diễn đa diện idle (ℓ, u, |P |) cung cấp cho cơng thức ràng buộc Ví dụ, trường hợp |P | = 5, ℓ = 0, u = 1, suy từ H-biểu diễn P50,1 trình bày mục 2.2 cơng thức sau cho (C5) − v3 − v4 + v5 ≤ v1 v1 − v2 − v3 + v4 ≤1 v2 − v3 − v4 + v5 ≤ 2v1 − v2 − v3 − v4 + 2v5 ≤ v1 − v2 − v3 v1 − v2 + v5 ≤ − v4 + v5 ≤ 3.3 Thực nghiệm số Chúng sử dụng ZIMPL 3.4.0 (cf [?]) để cài đặt mơ hình đề xuất trên, sử dụng GUROBI 9.1.1 (cf [?]) để giải số mơ hình Các thực nghiệm chúng tơi thực máy tính PC Intel(R) Core (TM) i7-6700 CPU 2*2.60GHz, RAM 16 GB Chúng thực nghiệm mô hình liệu từ tốn lập thời khóa biểu thực tế, với 54 giáo viên, 17 môn học, 21 14 lớp học, 593 tiết học tuần Để đánh giá ảnh hưởng ràng buộc số tiết trống, thực thực nghiệm sau • Thực nghiệm 1: tất giáo viên u cầu khơng có tiết trống thời gian biểu họ • Thực nghiệm 2: tất giáo viên yêu cầu có nhiều tiết trống ngày dạy thời khóa biểu họ • Thực nghiệm 3: tất giáo viên yêu cầu có nhiều tiết trống ngày dạy thời khóa biểu họ Bảng 3.1: Một số kết thực nghiệm mơ hình đề xuất ví dụ tốn xếp thời khóa biểu thực tế Thí nghiệm Số biến Số ràng buộc Thời gian chạy (s) Thí nghiệm Thí nghiệm Thí nghiệm 10333 10333 10333 9716 8096 6476 18.93 0.56 0.22 Kết Bảng 3.1 cho thấy tính hiệu mơ hình chúng tơi đề xuất 15 Kết luận Trong luận văn này, đề xuất khái niệm đa diện idle lớp đa diện lồi đặc biệt Chúng tơi tập trung vào khía cạnh ứng dụng khái niệm thông qua việc sử dụng đa diện idle việc mơ hình hóa ràng buộc tiết trống giáo viên tốn xếp thời khóa biểu bậc trung học Việt Nam Để có sở lý thuyết cho việc nghiên cứu khái niệm đề xuất, Chương 1, nhắc lại số khái niệm kết liên quan lý thuyết đa diện lồi Một đa diện lồi biểu diễn bao lồi tập hợp hữu hạn điểm (V -biểu diễn), giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng (H-biểu diễn) Chúng tơi đưa chứng minh chi tiết phần định lý Minkowski-Weyl khẳng định rằng, với V -biểu diễn đa diện lồi, thu H-biểu diễn cho đa diện Trong Chương 2, định nghĩa khái niệm đa diện idle bao lồi tập hợp vectơ thành phần nhị phân, vectơ biểu thị trạng thái thực hành động chuỗi khung thời gian hữu hạn Sau đó, chúng tơi trình bày chi tiết H-biểu diễn số ví dụ đa diện idle Chương trình bày ứng dụng cho khái niệm đa diện idle Trong chương này, trước tiên, chúng tơi mơ tả tốn xếp thời khóa biểu trường trung học Việt Nam, chúng tơi nhấn mạnh đến ràng buộc số tiết trống giáo viên đặc thù toán Những ràng buộc áp đặt giới hạn 16 giới hạn số lượng tiết trống ngày dạy giáo viên Sau đó, chúng tơi mơ hình hóa tốn xếp thời khóa biểu dạng quy hoạch ngun, chúng tơi sử dụng H-biểu diễn đa diện idle để mơ hình hóa ràng buộc giới hạn số tiết trống giáo viên Các thực nghiệm số trường hợp thực tế tốn xếp thời khóa biểu trường cho thấy tính hữu ích hiệu mơ hình chúng tơi Có số vấn đề chúng tơi muốn theo đuổi sau thực luận văn Về khía cạnh tổ hợp, chúng tơi dự định tính số đỉnh số mặt đa diện idle Về khía cạnh ứng dụng, chúng tơi dự định nghiên cứu khả ứng dụng đa diện idle việc mơ hình hóa vấn đề thực tế khác  ... H -biểu diễn đa diện lồi giới thiệu Ví dụ 2.3 Chú ý ví dụ này, đa diện idle miêu tả V -biểu diễn chúng Ví dụ 2.4 Dạng H -biểu diễn sinh Polymake đa diện idle đề cập Ví dụ 2.3 sau • H -biểu diễn P50,0... luận văn 10 Chương Áp dụng vào tốn lập thời khóa biểu 3.1 Mơ tả tốn Thời khóa biểu phân cơng cặp giáo viên-môn học cho lớp học tiết học ngày học Đối với toán lập thời khóa biểu cho trường trung... xuất 15 Kết luận Trong luận văn này, đề xuất khái niệm đa diện idle lớp đa diện lồi đặc biệt Chúng tơi tập trung vào khía cạnh ứng dụng khái niệm thông qua việc sử dụng đa diện idle việc mơ