CHƯƠNG III Biểu Diễn Tín Hiệu và Hệ Thống TTBB trong Miền Tần Số Bài 1: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống liên tục theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 1 29 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn liên tục theo thời gian Tín hiệu tuần hoàn x(t) với chu kỳ T có thể biểu diễn được chính xác bởi chuỗi Fourier sau đây: x(t) = X ∞ k=−∞ cke jkω0t trong đó, ω0 = 2πT là tần số cơ sở của x(t). Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin phức có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ sở của tín hiệu được biểu diễn. Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 2 29 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Điều kiện hội tụ Để sai số giữa x(t) và biểu diễn chuỗi Fourier của nó bằng không, x(t) phải là tín hiệu công suất, nghĩa là: 1 T Z T 0 |x(t)| 2dt < ∞ Điều kiện để biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) hội tụ về x(t) tại mọi điểm ở đó x(t) liên tục (điều kiện Dirichlet): x(t) phải bị chặn. Số lượng cực trị của x(t) trong mỗi chu kỳ phải hữu hạn. Số điểm không liên tục của x(t) trong mỗi chu kỳ phải hữu hạn. Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 3 29 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Tính trực giao của tập hợp {e jkω0 t} Hai tín hiệu f(t) và g(t) tuần hoàn với cùng chu kỳ T được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: Z T 0 f(t)g ∗ (t)dt = 0 Hai tín hiệu e jkω0t và e jlω0t , với ω0 là một tần số cơ sở, trực giao nếu k 6= l, nghĩa là: ∀k 6= l ∈ Z : Z T 0 e jkω0te −jlω0tdt = 0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 4 29 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Xác định các hệ số của chuỗi Fourier Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x(t) được tính bằng cách khai thác tính trực giao của tập hợp hàm cơ sở dạng sin phức {e jkω0t} như sau: Z T 0 x(t)e −jkω0tdt = Z T 0 X ∞ l=−∞ cle jlω0te −jkω0tdt = X ∞ l=−∞ cl Z T 0 e jlω0te −jkω0tdt = ckT → ck = 1 T Z T 0 x(t)e −jkω0tdt Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 5 29 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Các loại phổ tần số Đồ thị của ck theo biến tần số ωk = kω0 (k ∈ Z) được gọi là phổ Fourier của tín hiệu x(t). Đồ thị của |ck | = p Re(ck ) 2 + Im(ck ) 2 được gọi là phổ biên độ của x(t) trong miền tần số. Đồ thị của φ(ck ) = arctanIm(ck )Re(ck ) được gọi là phổ pha của x(t) trong miền tần số. Chú ý: các loại phổ của tín hiệu tuần hoàn đều là hàm rời rạc theo tần số. Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 6 29 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Các thuộc tính của biểu diễn chuỗi Fourier Tính tuyến tính: x(t) = X ∞ k=−∞ cke jkω0t and z(t) = X ∞ k=−∞ dke jkω0t → αx(t) + βz(t) = X ∞ k=−∞ (αck + βdk )e jkω0t Dịch thời gian: x(t) = X ∞ k=−∞ cke jkω0t → x(t − t0) = X ∞ k=−∞
CHƯƠNG III Biểu Diễn Tín Hiệu Hệ Thống TTBB Miền Tần Số Bài 1: Biểu diễn tín hiệu hệ thống liên tục theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn liên tục theo thời gian Tín hiệu tuần hồn x(t) với chu kỳ T biểu diễn xác chuỗi Fourier sau đây: x(t) = ∞ X ck ejk ω0 t k =−∞ đó, ω0 = 2π/T tần số sở x(t) Nói cách khác, tín hiệu tuần hồn biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính tín hiệu dạng sin phức có tần số số nguyên lần tần số sở tín hiệu biểu diễn Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Điều kiện hội tụ Để sai số x(t) biểu diễn chuỗi Fourier khơng, x(t) phải tín hiệu cơng suất, nghĩa là: Z T |x(t)|2 dt < ∞ T Điều kiện để biểu diễn chuỗi Fourier x(t) hội tụ x(t) điểm x(t) liên tục (điều kiện Dirichlet): x(t) phải bị chặn Số lượng cực trị x(t) chu kỳ phải hữu hạn Số điểm không liên tục x(t) chu kỳ phải hữu hạn Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Tính trực giao tập hợp {ejk ω0 t } Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Hai tín hiệu f (t) g(t) tuần hồn với chu kỳ T gọi trực giao điều kiện sau thỏa mãn: Z T f (t)g ∗ (t)dt = 0 Hai tín hiệu ejk ω0 t ejlω0 t , với ω0 tần số sở, trực giao k 6= l, nghĩa là: Z T ∀k 6= l ∈ Z : ejk ω0 t e−jlω0 t dt = 0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hoàn Xác định hệ số chuỗi Fourier Các hệ số chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x(t) tính cách khai thác tính trực giao tập hợp hàm sở dạng sin phức {ejk ω0 t } sau: Z T Z T X ∞ −jk ω0 t x(t)e dt = cl ejlω0 t e−jk ω0 t dt 0 = l=−∞ ∞ X l=−∞ → ck Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Z cl T ejlω0 t e−jk ω0 t dt = ck T Z T x(t)e−jk ω0 t dt = T Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các loại phổ tần số Đồ thị ck theo biến tần số ωk = k ω0 (k ∈ Z ) gọi phổ Fourier tín hiệu x(t) p Đồ thị |ck | = Re(ck )2 + Im(ck )2 gọi phổ biên độ x(t) miền tần số Đồ thị φ(ck ) = arctan[Im(ck )/Re(ck )] gọi phổ pha x(t) miền tần số Chú ý: loại phổ tín hiệu tuần hồn hàm rời rạc theo tần số Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Tính tuyến tính: ∞ ∞ X X jk ω0 t x(t) = ck e and z(t) = dk ejk ω0 t k =−∞ k =−∞ → αx(t) + βz(t) = ∞ X (αck + βdk )ejk ω0 t k =−∞ Dịch thời gian: x(t) = ∞ X ck ejk ω0 t k =−∞ → x(t − t0 ) = ∞ X ck e−jk ω0 t0 ejk ω0 t k =−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Đạo hàm: x(t) = ∞ X ck e jk ω0 t k =−∞ ∞ X dx(t) → = (jk ω0 ck )ejk ω0 t dt k =−∞ Tích phân: ∞ X x(t) = ck ejk ω0 t k =−∞ Z t → x(τ )dτ = −∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) ∞ X k =−∞ Tín hiệu Hệ thống ck jk ω0 t e jk ω0 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Công thức Parseval: T Z T |x(t)| dt = ∞ X |ck |2 k =−∞ Giá trị |ck |2 coi biểu diễn cho phần đóng góp thành phần ejk ω0 t vào cơng suất tổng cộng tín hiệu x(t) → đồ thị |ck |2 theo biến tần số ωk = k ω0 biểu thị phân bố công suất x(t) theo tần số gọi phổ công suất x(t) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 29 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Tính đối xứng: Phổ biên độ phổ công suất x(t) hàm chẵn, nghĩa là: ∀k : |ck | = |c−k | |ck |2 = |c−k |2 ∗ Nếu x(t) hàm thực ∀k : ck = c−k Nếu x(t) hàm thực chẵn phổ Fourier x(t) hàm chẵn, nghĩa ∀k : ck = c−k Nếu x(t) hàm thực lẻ phổ Fourier x(t) hàm lẻ, nghĩa ∀k : ck = −c−k Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 10 / 29 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các loại phổ tần số Hàm X (ω) gọi phổ Fourier tín hiệu x(t) p Đại lượng |X (ω)| = Re[X (ω)]2 + Im[X (ω)]2 gọi phổ biên độ tín hiệu x(t) miền tần số Hàm φ(ω) = arctan[Im[X (ω)]/Re[X (ω)]] gọi phổ pha tín hiệu x(t) miền tần số Chú ý: loại phổ tín hiệu khơng tuần hồn hàm liên tục theo tần số Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 15 / 29 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Điều kiện hội tụ Để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu x(t) tồn x(t) phải tín hiệu lượng, nghĩa là: Z +∞ |x(t)|2 dt < ∞ −∞ Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier x(t) hội tụ x(t) tất điểm x(t) liên tục (điều kiện Dirichlet): R +∞ |x(t)|dt < ∞ Số cực trị x(t) phải hữu hạn Số điểm không liên tục x(t) phải hữu hạn −∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 16 / 29 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Tính tuyến tính: F[αx1 (t) + βx2 (t)] = αX1 (ω) + βX2 (ω) Dịch thời gian: F[x(t − t0 )] = X (ω)e−jωt0 Dịch tần số: F[x(t)ejγt ] = X (ω − γ) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 17 / 29 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Co giãn trục thời gian: ω F[x(at)] = X |a| a Đạo hàm: dx(t) F = jωX (ω) dt Tích phân: Z t F x(τ )dτ = −∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống X (ω) jω 2021 18 / 29 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Tích chập: F[f (t) ∗ g(t)] = F (ω)G(ω) Điều chế: F[f (t)g(t)] = Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) F (ω) ∗ G(ω) 2π Tín hiệu Hệ thống 2021 19 / 29 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Công thức Parseval: Z +∞ Z +∞ |x(t)|2 dt = |X (ω)|2 dω 2π −∞ −∞ Đại lượng |X (ω)|2 biểu diễn cho đóng góp thành phần ejωt vào lượng tổng cộng tín hiệu x(t) → đồ thị |X (ω)|2 theo tần số ω biểu thị mật độ lượng x(t) miền tần số gọi phổ lượng x(t) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 20 / 29