Mô hình phương trình vi phân là loại mô hình toán học phổ biến nhất cho việc mô tả các hệ thống động trong nhiều lĩnh vực. Đối với các hệ thống vật lý, các mô hình phương trình vi phân của chúng dựa vào phương trình của các định luật vật lý mô tả hoạt động của các thành phần của hệ thống. Hệ thống tuyến tính bất biến liên tục theo thời gian mô tả được bằng các phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số là hằng số.
CHƯƠNG II Biểu Diễn Hệ Thống TTBB Miền Thời Gian Bài 1: Biểu diễn hệ thống liên tục theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Biểu diễn hệ thống phương trình vi phân Mơ hình phương trình vi phân loại mơ hình tốn học phổ biến cho việc mơ tả hệ thống động nhiều lĩnh vực Đối với hệ thống vật lý, mơ hình phương trình vi phân chúng dựa vào phương trình định luật vật lý mô tả hoạt động thành phần hệ thống Hệ thống tuyến tính bất biến liên tục theo thời gian mô tả phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Ví dụ: phương trình vi phân mạch R-C rc.jpg Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Phương trình vi phân tuyến tính hệ số Dạng tổng quát phương trình vi phân tuyến tính hệ số biểu diễn hệ thống TTBB liên tục theo thời gian: N X i=0 M d i y (t) X d j x(t) = bj dt i dt j j=0 đó, x(t) tín hiệu vào y (t) tín hiệu hệ thống Bằng việc giải phương trình vi phân, tín hiệu y (t) xác định biết tín hiệu vào x(t) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Đáp ứng hệ thống TTBB Đáp ứng đầy đủ hệ thống TTBB có dạng sau: y (t) = y0 (t) + ys (t) y0 (t): đáp ứng với điều kiện đầu hay đáp ứng tự nhiên, nghiệm phương trình sau đây: N X i=0 d i y (t) =0 dt i (1) ys (t): đáp ứng với tín hiệu vào hay đáp ứng bắt buộc, bao gồm thành phần nghiệm thành phần nghiệm riêng phương trình với tín hiệu vào x(t) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Xác định đáp ứng với điều kiện đầu y0 (t) đáp ứng hệ thống với điều kiện thời điểm khởi đầu (t = 0), không tính tới tín hiệu vào x(t) Phương trình (??) có nghiệm dạng est s biến phức, thay vào y (t) phương trình thu được: N X si est = i=0 → s nghiệm phương trình đại số bậc N sau đây: N X si = (2) i=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Xác định đáp ứng với điều kiện đầu Phương trình (??) gọi phương trình đặc trưng hệ thống Gọi nghiệm phương trình (??) {sk |k = N}, nghiệm tổng quát phương trình (??) có dạng sau tất {sk } nghiệm đơn: N X ck esk t k =1 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Xác định đáp ứng với điều kiện đầu Trong trường hợp phương trình (??) có nghiệm bội, dạng tổng qt nghiệm là: ! pk −1 X X esk t cki t i k i=0 sk nghiệm bội bậc pk phương trình đặc trưng Các hệ số nghiệm tương ứng với đáp ứng với điều kiện đầu y0 (t) xác định từ điều kiện đầu hệ thống Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Xác định đáp ứng với tín hiệu vào ys (t) đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x(t) tất điều kiện đầu khơng ys (t) có hai thành phần: thành phần nghiệm thành phần nghiệm riêng phương trình với tín hiệu vào x(t) Thành phần nghiệm ys (t) có dạng nghiệm tổng quát xác định trước đó, với hệ số chưa biết xác định sau Thành phần nghiệm riêng ys (t) thường có dạng tương tự dạng tín hiệu vào x(t) với hệ số chưa biết xác định sau Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 21 Phương trình vi phân hệ thống TTBB liên tục theo thời gian Xác định đáp ứng với tín hiệu vào Chú ý dự đoán dạng ys (t): thành phần nghiệm riêng phải độc lập với tất số hạng thành phần nghiệm Ví dụ, x(t) = eαt , cần xem xét trường hợp sau: Nếu eαt phần nghiệm nhất, thành phần nghiệm riêng có dạng ceαt Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (??) → eαt phần nghiệm → thành phần nghiệm riêng có dạng cteαt Nếu α nghiệm bội bậc p phương trình đặc trưng (??) → eαt , teαt , ,t p−1 eαt phần nghiệm → thành phần nghiệm riêng có dạng ct p eαt Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 10 / 21 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Tích chập hai tín hiệu Tích chập hai tín hiệu f (t) g(t), ký hiệu f (t) ∗ g(t), định nghĩa sau: Z +∞ f (τ )g(t − τ )dτ f (t) ∗ g(t) = −∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 11 / 21 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Các thuộc tính tích chập Hốn vị: f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t) Kết hợp: [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] Phân phối: [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ h(t) + g(t) ∗ h(t) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 12 / 21 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Các thuộc tính tích chập Dịch thời gian: x(t) = f (t) ∗ g(t), x(t − t0 ) = f (t − t0 ) ∗ g(t) = f (t) ∗ g(t − t0 ) Tích chập tín hiệu với tín hiệu xung đơn vị: f (t) ∗ δ(t) = f (t) Tính nhân quả: f (t) g(t) tín hiệu nhân f (t) ∗ g(t) nhân Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 13 / 21 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Đáp ứng xung hệ thống TTBB Xét hệ thống TTBB y (t) = T[x(t)], có: Z ∞ y (t) = T[x(t) ∗ δ(t)] = T x(τ )δ(t − τ )dτ −∞ Z ∞ = x(τ )T[δ(t − τ )]dτ = x(t) ∗ h(t) −∞ đó, h(t) = T[δ(t)] gọi đáp ứng xung hệ thống mô tả hàm biến đổi T Hệ thống TTBB xác định đáp ứng xung hệ thống xác định Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 14 / 21 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Phân tích đáp ứng xung hệ thống TTBB Hệ thống khơng có nhớ: đáp ứng xung khác không t = Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung tín hiệu nhân Hệ thống ổn định: điều kiện sau thỏa mãn Z ∞ |h(t)|dt < ∞ −∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 15 / 21 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Đáp ứng xung hệ thống phức hợp Sơ đồ nối tiếp: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1 (t) ∗ h2 (t) Sơ đồ song song: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1 (t) + h2 (t) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 16 / 21 Mơ hình biến trạng thái Biến trạng thái hệ thống Trạng thái hệ thống mô tả tập biến trạng thái Mơ hình biến trạng thái hệ thống TTBB tập phương trình vi phân biến trạng thái, qua trạng thái hệ thống xác định trạng thái tín hiệu vào xác định → hệ thống hoàn toàn xác định biết tín hiệu vào trạng thái đầu hệ thống Mơ hình biến trạng thái thuận tiện cho việc biểu diễn hệ thống đa biến Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 17 / 21 Mơ hình biến trạng thái Phương trình trạng thái Gọi {u1 (t), u2 (t) } tín hiệu vào, {y1 (t), y2 (t) } tín hiệu ra, {q1 (t), q2 (t) } biến trạng thái hệ thống TTBB Phương trình trạng thái hệ thống phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: X dqi (t) X = aij qj (t) + bik uk (t) (i = 1, 2, ) dt j k Tín hiệu tính từ biến trạng thái tín hiệu vào sau: X X yi (t) = cij qj (t) + dik uk (t) (i = 1, 2, ) j Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) k Tín hiệu Hệ thống 2021 18 / 21 Mơ hình biến trạng thái Phương trình trạng thái Mơ hình biến trạng thái hệ thống TTBB thường biểu diễn dạng phương trình ma trận sau: dq(t) = Aq(t) + Bu(t) dt y(t) = Cq(t) + Du(t) đó, u(t), y(t) q(t) vector cột với thành phần tín hiệu vào, tín hiệu ra, biến trạng thái hệ thống; A, B, C D ma trận hệ số Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 19 / 21 Mơ hình biến trạng thái Thiết lập phương trình trạng thái Phương trình trạng thái thiết lập từ phương trình vi phân sau hệ thống TTBB: N X i=0 M d i y (t) X d j x(t) = bj dt i dt j j=0 Ký hiệu uj (t) = d j x(t)/dt j (j = M) tín hiệu vào hệ thống viết lại phương trình dạng sau đây: N X i=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) M d i y (t) X = bj uj (t) dt i j=0 Tín hiệu Hệ thống 2021 20 / 21