Bài 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 1 23 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc theo thời gian Tín hiệu tuần hoàn xn với chu kỳ N có thể biểu diễn được chính xác bởi chuỗi Fourier sau đây: xn = N X−1 k=0 cke jkΩ0n trong đó, Ω0 = 2πN là tần số cơ sở của xn. Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin phức có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ sở của tín hiệu được biểu diễn.
CHƯƠNG III Biểu Diễn Tín Hiệu Hệ Thống TTBB Miền Tần Số Bài 2: Biểu diễn tín hiệu hệ thống rời rạc theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn rời rạc theo thời gian Tín hiệu tuần hồn x[n] với chu kỳ N biểu diễn xác chuỗi Fourier sau đây: x[n] = N−1 X ck ejk Ω0 n k =0 đó, Ω0 = 2π/N tần số sở x[n] Nói cách khác, tín hiệu tuần hồn biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính tín hiệu dạng sin phức có tần số số nguyên lần tần số sở tín hiệu biểu diễn Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Tính trực giao tập hợp {ejk Ω0 n } Hai tín hiệu f [n] g[n] tuần hoàn với chu kỳ N gọi trực giao điều kiện sau thỏa mãn: N−1 X f [n]g ∗ [n] = n=0 Hai tín hiệu ejk Ω0 n ejlΩ0 n , với Ω0 tần số sở, trực giao k 6= l, nghĩa là: ∀k 6= l ∈ Z : N−1 X ejk Ω0 n e−jlΩ0 n = n=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Xác định hệ số chuỗi Fourier Các hệ số chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x[n] tính cách khai thác tính trực giao tập hợp hàm sở dạng sin phức {ejk Ω0 n } sau: N−1 X x[k ]e −jk Ω0 n = n=0 = N−1 X N−1 X n=0 l=0 N−1 X N−1 X cl l=0 → ck cl ejlΩ0 n e−jk Ω0 n ejlΩ0 n e−jk Ω0 n n=0 = ck N N−1 1X x[n]e−jk Ω0 n = N n=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hoàn Các loại phổ tần số Đồ thị ck theo biến tần số Ωk = k Ω0 (k ∈ Z ) gọi phổ Fourier tín hiệu x[n] p Đồ thị |ck | = Re(ck )2 + Im(ck )2 gọi phổ biên độ x[n] miền tần số Đồ thị φ(ck ) = arctan[Im(ck )/Re(ck )] gọi phổ pha x[n] miền tần số Chú ý: loại phổ tín hiệu tuần hồn x[n] hàm rời rạc theo tần số tuần hoàn với chu kỳ chu kỳ N tín hiệu Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Tính tuyến tính: x[n] = N−1 X ck e jk Ω0 n and z[n] = k =0 N−1 X dk ejk Ω0 n k =0 → αx[n] + βz[n] = N−1 X (αck + βdk )ejk Ω0 n k =0 Dịch thời gian: x[n] = N−1 X ck ejk Ω0 n k =0 → x[n − n0 ] = N−1 X ck e−jk Ω0 n0 ejk Ω0 n k =0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Công thức Parseval: N−1 N−1 X 1X |x[n]| = |ck |2 N n=0 k =0 Giá trị |ck |2 coi biểu diễn cho phần đóng góp thành phần ejk Ω0 t vào công suất tổng cộng tín hiệu x[n] → đồ thị |ck |2 theo biến tần số Ωk = k Ω0 biểu thị phân bố công suất x[n] theo tần số gọi phổ công suất x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn Các thuộc tính biểu diễn chuỗi Fourier Tính đối xứng: Phổ biên độ phổ cơng suất x[n] hàm chẵn, nghĩa là: ∀k : |ck | = |c−k | |ck |2 = |c−k |2 ∗ Nếu x[n] hàm thực ∀k : ck = c−k Nếu x[n] hàm thực chẵn phổ Fourier x[n] hàm chẵn, nghĩa ∀k : ck = c−k Nếu x[n] hàm thực lẻ phổ Fourier x[n] hàm lẻ, nghĩa ∀k : ck = −c−k Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier cho tín hiệu khơng tuần hồn Với tín hiệu khơng tuần hồn x[n], việc coi x[n] tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N → ∞ (hay Ω0 → 0), biểu diễn x[n] chuỗi Fourier: x[n] = lim Ω0 →0 +∞ X ck ejk Ω0 n k =−∞ đó: ck +∞ X x[n]e−jk Ω0 n = lim Ω0 →0 N n=−∞ +∞ Ω0 X = lim x[n]e−jk Ω0 n Ω0 →0 2π n=−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier cho tín hiệu khơng tuần hồn Vì Ω0 → 0, biến tần số Ω = k Ω0 trở nên liên tục, viết lại biểu thức dạng sau đây: Z +2π c(Ω)ejΩn dΩ x[n] = lim Ω0 →0 Ω0 Z +π c(Ω) jΩn e dΩ = lim Ω0 →0 −π Ω0 đó, c(Ω) hàm liên tục theo tần số xác định sau: +∞ Ω0 X c(Ω) = lim x[n]e−jΩn Ω0 →0 2π n=−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 10 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc theo thời gian Cho X (Ω) = 2πc(Ω)/Ω0 , thu cơng thức biến đổi Fourier tín hiệu x[n] (biến đổi thuận): +∞ X X (Ω) = F(x[n]) = x[n]e−jΩn n=−∞ công thức biến đổi Fourier nghịch: Z +π −1 X (Ω)ejΩn dΩ x[n] = F [X (Ω)] = 2π −π Để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu x[n] tồn x[n] phải tín hiệu lượng Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 11 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc theo thời gian Một dạng khác công thức biến đổi Fourier x[n] sử dụng biến tần số F thay cho tần số góc Ω: +∞ X X (F ) = x[n]e−j2πFn n=−∞ với công thức biến đổi Fourier nghịch tương ứng: Z +1/2 x[n] = X (F )ej2πFn dF −1/2 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 12 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các loại phổ tần số Hàm X (Ω) gọi phổ Fourier tín hiệu x[n] p Đại lượng |X (Ω)| = Re[X (Ω)]2 + Im[X (Ω)]2 gọi phổ biên độ tín hiệu x[n] miền tần số Hàm φ(Ω) = arctan[Im[X (Ω)]/Re[X (Ω)]] gọi phổ pha tín hiệu x[n] miền tần số Chú ý: loại phổ tín hiệu khơng tuần hồn hàm liên tục theo tần số tuần hoàn với chu kỳ 2π Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 13 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Tính tuyến tính: F(αx1 [n] + βx2 [n]) = αX1 (Ω) + βX2 (Ω) Dịch thời gian: F(x[n − n0 ]) = X (Ω)e−jΩn0 Dịch tần số: F(x[n]ejΓn ) = X (Ω − Γ) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 14 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Tích chập: F(f [n] ∗ g[n]) = F (Ω)G(Ω) Điều chế: F(f [n]g[n]) = F (Ω) ~2π G(Ω) 2π đó, ký hiệu ~2π biểu thị phép nhân chập phạm vi chu kỳ 2π, nghĩa là: Z 2π F (Ω) ~2π G(Ω) = F (θ)G(Ω − θ)dθ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 15 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Cơng thức Parseval: +∞ X |x[n]|2 = 2π n=−∞ Z +π |X (Ω)|2 dΩ −π Đại lượng |X (Ω)|2 biểu diễn cho đóng góp thành phần ejΩn vào lượng tổng cộng tín hiệu x[n] → đồ thị |X (Ω)|2 theo tần số Ω biểu thị mật độ lượng x[n] miền tần số gọi phổ lượng x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 16 / 23 Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Các thuộc tính biến đổi Fourier Tính đối xứng: Phổ biên độ phổ lượng x[n] hàm chẵn, nghĩa là: |X (Ω)| = |X (−Ω)| |X (Ω)|2 = |X (−Ω)|2 Nếu x[n] hàm thực X (Ω) = X ∗ (−Ω) Nếu x[n] hàm thực chẵn X (Ω) hàm chẵn, nghĩa X (Ω) = X (−Ω) Nếu x[n] hàm thực lẻ X (Ω) hàm lẻ, nghĩa X (Ω) = −X (−Ω) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 17 / 23 Đáp ứng tần số hệ thống TTBB Đáp ứng hệ thống TTBB với tín hiệu vào dạng sin Xem xét hệ thống TTBB có đáp ứng xung h[n], đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x[n] = ejΩn tính sau: +∞ X y [n] = h[n] ∗ x[n] = h[k ]ejΩ(n−k ) k =−∞ = e jΩn +∞ X h[k ]e−jΩk = H(Ω)ejΩn k =−∞ đó, H(Ω) gọi đáp ứng tần số: H(Ω) = +∞ X h[k ]e−jΩk k =−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 18 / 23 Đáp ứng tần số hệ thống TTBB Đáp ứng hệ thống TTBB với tín hiệu vào dạng sin Đáp ứng tần số H(Ω) biến đổi Fourier đáp ứng xung h[n] → để H(Ω) tồn h[n] phải tín hiệu lượng, nghĩa là, hệ thống có đáp ứng xung h[n] phải hệ thống ổn định H(Ω) đặc trưng cho đáp ứng hệ thống tín hiệu vào dạng sin có tần số Ω Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 19 / 23 Đáp ứng tần số hệ thống TTBB Đáp ứng hệ thống TTBB với tín hiệu vào dạng sin Tín hiệu tín hiệu dạng sin có tần số với tín hiệu vào Thay đổi biên độ pha tín hiệu so với tín hiệu vào đặc trưng hai thành phần sau H(Ω): q |H(Ω)| = Re[H(Ω)]2 + Im[H(Ω)]2 gọi đáp ứng biên độ, φ(Ω) = arctan Im[H(Ω)] Re[H(Ω)] gọi đáp ứng pha hệ thống Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 20 / 23 Đáp ứng tần số hệ thống TTBB Đáp ứng hệ thống TTBB với tín hiệu vào dạng sin Khi đó, tín hiệu biểu diễn dạng: y [n] = |H(Ω)|ejφ(Ω) ejΩn = |H(Ω)|ej[Ωn+φ(Ω)] điều có nghĩa là, tín hiệu có biên độ |H(Ω)| lần biên độ tín hiệu vào pha bị dịch góc φ(Ω) so với pha tín hiệu vào Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 21 / 23 Đáp ứng tần số hệ thống TTBB Đáp ứng hệ thống TTBB với tín hiệu vào tuần hồn Xem xét hệ thống tuyến tính bất biến với đáp ứng tần số H(Ω) Khi tín hiệu vào tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier P∞có biểu jkdiễn Ω0 n x[n] = k =−∞ ck e , đáp ứng hệ thống jk Ω0 n với thành phần e H(k Ω0 )ejk Ω0 n → đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x[n] có dạng: y [n] = ∞ X ck H(k Ω0 )ejk Ω0 n k =−∞ biểu diễn chuỗi Fourier y [n] với hệ số {ck H(k Ω0 )} Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 22 / 23 Đáp ứng tần số hệ thống TTBB Đáp ứng hệ thống TTBB với tín hiệu vào khơng tuần hồn Khi tín hiệu vào tín hiệu khơng tuần hồn x[n] có phổ Fourier X (Ω), x[n] biểu diễn dạng sau đây, theo công thức biến đổi Fourier nghịch: Z +π X (Ω)ejΩn dΩ x[n] = 2π −π Đáp ứng hệ thống với thành phần ejΩn H(Ω)ejΩn → đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x[n] có dạng: Z +π y [n] = X (Ω)H(Ω)ejΩn dΩ 2π −π với phổ Fourier y [n]: Y (Ω) = X (Ω)H(Ω) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 23 / 23