Bài 2: Biểu diễn hệ thống rời rạc theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu và Hệ thống 2021 1 19 Phương trình sai phân của hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Biểu diễn phương trình sai phân của hệ thống Mô hình của một hệ thống rời rạc theo thời gian có thể thiết lập được bằng việc rời rạc hóa một mô hình của hệ thống liên tục theo thời gian tương ứng. Phiên bản rời rạc của phương trình vi phân được gọi là phương trình sai phân. Ví dụ: một hệ thống liên tục theo thời gian được mô tả bằng phương trình vi phân dy(t)dt + ay(t) = bx(t) Sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm dy(nT−T) dt ≈ y(nT)−y(nT−T) T , chúng ta thu được phương trính sai phân sau đây cho hệ thống rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T: yn + (aT − 1)yn − 1 = bTxn − 1
CHƯƠNG II Biểu Diễn Hệ Thống TTBB Miền Thời Gian Bài 2: Biểu diễn hệ thống rời rạc theo thời gian Trần Đức Tân Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Biểu diễn phương trình sai phân hệ thống Mơ hình hệ thống rời rạc theo thời gian thiết lập việc rời rạc hóa mơ hình hệ thống liên tục theo thời gian tương ứng Phiên rời rạc phương trình vi phân gọi phương trình sai phân Ví dụ: hệ thống liên tục theo thời gian mơ tả phương trình vi phân dy (t)/dt + ay (t) = bx(t) Sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm dy (nT −T ) dt ≈ y (nT )−y (nT −T ) , T thu phương trính sai phân sau cho hệ thống rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T : y [n] + (aT − 1)y [n − 1] = bTx[n − 1] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Phương trình sai phân tuyến tính hệ số Hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số Dạng tổng quát phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: N X i=0 y [n − i] = M X bj x[n − j] j=0 đó, x[n] tín hiệu vào y [n] tín hiệu hệ thống Bằng việc giải phương trình sai phân nói trên, tín hiệu y [n] xác định biết tín hiệu vào x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Đáp ứng hệ thống TTBB Đáp ứng đầy đủ hệ thống TTBB có dạng sau: y [n] = y0 [n] + ys [n] y0 [n]: đáp ứng với điều kiện đầu hay đáp ứng tự nhiên, nghiệm phương trình nhất: N X y [n − i] = (1) i=0 ys [n]: đáp ứng với tín hiệu vào hay đáp ứng bắt buộc, bao gồm thành phần nghiệm thành phần nghiệm riêng phương trình với tín hiệu vào x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Xác định đáp ứng với điều kiện đầu y0 [n] đáp ứng hệ thống với điều kiện thời điểm khởi đầu (n = 0), khơng tính tới tín hiệu vào x[n] Phương trình (1) có nghiệm dạng z n z biến phức, thay vào y [n] phương trình thu được: N X z N−i = (2) i=0 Phương trình (2) gọi phương trình đặc trưng hệ thống Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Xác định đáp ứng với điều kiện đầu Gọi nghiệm phương trình (2) {zk |k = N}, nghiệm tổng qt phương trình (1) có dạng sau tất {zk } nghiệm đơn: N X ck zkn k =1 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Xác định đáp ứng với điều kiện đầu Trong trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội, dạng tổng quát nghiệm là: ! pk −1 X X zkn cki ni k i=0 zk nghiệm bội bậc pk phương trình đặc trưng Các hệ số nghiệm tương ứng với đáp ứng với điều kiện khởi đầu y0 [n] xác định từ điều kiện đầu Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Xác định đáp ứng với tín hiệu vào ys [n] đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x[n] tất điều kiện đầu không ys [n] có hai thành phần: thành phần nghiệm thành phần nghiệm riêng phương trình sai phân với tín hiệu vào x[n] Thành phần nghiệm ys [n] có dạng nghiệm tổng quát xác định trên, với hệ số chưa biết xác định sau Thành phần nghiệm riêng ys [n] thường có dạng tương tự với dạng tín hiệu vào x[n], với hệ số chưa biết xác định sau Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Xác định đáp ứng với tín hiệu vào Chú ý dự đoán dạng ys [n]: thành phần nghiệm riêng phải độc lập với tất số hạng thành phần nghiệm Ví dụ, x[n] = αn , cần xem xét trường hợp sau: Nếu αn phần nghiệm nhất, thành phần nghiệm riêng có dạng cαn Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (2) → αn phần nghiệm → thành phần nghiệm riêng có dạng cnαn Nếu α nghiệm bội bậc p phương trình đặc trưng (2) → αn , nαn , ,np−1 αn phần nghiệm → thành phần nghiệm riêng có dạng of cnp αn Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 19 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Tích chập hai tín hiệu rời rạc theo thời gian Tích chập hai tín hiệu rời rạc theo thời gian f [n] g[n], ký hiệu f [n] ∗ g[n], định nghĩa sau: f [n] ∗ g[n] = +∞ X f [k ]g[n − k ] k =−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 10 / 19 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Thuộc tính tích chập Hốn vị: f [n] ∗ g[n] = g[n] ∗ f [n] Kết hợp: (f [n] ∗ g[n]) ∗ h[n] = f [n] ∗ (g[n] ∗ h[n]) Phân phối: (f (n) + g[n]) ∗ h[n] = f [n] ∗ h[n] + g[n] ∗ h[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 11 / 19 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Thuộc tính tích chập Dịch thời gian: x[n] = f [n] ∗ g[n], x[n − n0 ] = f [n − n0 ] ∗ g[n] = f [n] ∗ g[n − n0 ] Tích chập tín hiệu với tín hiệu xung đơn vị: f [n] ∗ δ[n] = f [n] Tính nhân quả: f [n] g[n] tín hiệu nhân f [n] ∗ g[n] nhân Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 12 / 19 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Đáp ứng xung hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Xem xét hệ thống TTBB y [n] = T(x[n]), có: y [n] = T(x[n] ∗ δ[n]) = T +∞ X ! x[k ]δ[n − k ] k =−∞ ∞ X = x[k ]T(δ[n − k ]) = x[n] ∗ h[n] k =−∞ đó, h[n] = T(δ[n]) gọi đáp ứng xung hệ thống biểu diễn hàm biến đổi T Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 13 / 19 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Phân tích đáp ứng xung hệ thống Hệ thống khơng có nhớ: đáp ứng xung khác không n = Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung tín hiệu nhân Hệ thống ổn định: điều kiện sau thỏa mãn +∞ X |h[n]| < ∞ k =−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 14 / 19 Mơ hình biến trạng thái cho hệ thống rời rạc theo thời gian Phương trình trạng thái hệ thống rời rạc theo thời gian Gọi {u1 [n], u2 [n] } tín hiệu vào, {y1 [n], y2 [n] } tín hiệu ra, {q1 [n], q2 [n] } biến trạng thái hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian Các phương trình trạng thái hệ thống có dạng sau: X X qi [n + 1] = aij qj [n] + bik uk [n] (i = 1, 2, ) j k Tín hiệu tính từ biến trạng thái tín hiệu vào sau: X X yi [n] = cij qj [n] + dik uk [n] (i = 1, 2, ) j Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) k Tín hiệu Hệ thống 2021 15 / 19 Mơ hình biến trạng thái cho hệ thống rời rạc theo thời gian Phương trình trạng thái hệ thống rời rạc theo thời gian Mô hinh biến trạng thái hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian thường biểu diễn dạng phương trình ma trận sau: q[n + 1] = Aq[n] + Bu[n] y[n] = Cq[n] + Du[n] đó, u[n], y[n] q[n] vector cột với thành phần tín hiệu vào, tín hiệu ra, biến trạng thái hệ thống; A, B, C D ma trận hệ số Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 16 / 19 Mơ hình biến trạng thái cho hệ thống rời rạc theo thời gian Thiết lập phương trình trạng thái Mơ hình trạng thái hệ thống rời rạc theo thời gian thiết lập từ mơ hình trạng thái hệ thống liên tục theo thời gian tương ứng: Cho mơ hình trạng thái hệ thống liên tục theo thời gian sau: dq(t) = Aq(t) + Bu(t) dt y(t) = Cq(t) + Du(t) Rời rạc hóa phương trình với chu kỳ lấy mẫu dq(nT ) q(nT +T )−q(nT ) T xấp xỉ đạo hàm dt ≈ , T thu mơ hình cho hệ thống rời rạc theo thời gian: q[n + 1] = (T A + I)q[n] + T Bu[n] y[n] = Cq[n] + Du[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 17 / 19 Mơ hình biến trạng thái cho hệ thống rời rạc theo thời gian Thiết lập phương trình trạng thái Các phương trình trạng thái thiết lập từ phương trình sai phân hệ thống TTBB rời rạc theo thời gian đây: N X y [n − i] = i=0 M X bj x[n − j] j=0 Ký hiệu uj [n] = x[n − j] (j = M) tín hiệu vào hệ thống viết lại phương trình dạng sau đây: N X y [n − i] = i=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) M X bj uj [n] j=0 Tín hiệu Hệ thống 2021 18 / 19 Mơ hình biến trạng thái cho hệ thống rời rạc theo thời gian Thiết lập phương trình trạng thái Chọn biến trạng thái sau: q1 [n] = y [n − N], q2 [n] = y [n − N + 1], qN [n] = y [n − 1] Chúng ta thu phương trình trạng thái sau đây: q1 [n + 1] = q2 [n], q2 (n + 1) = q3 [n], qN−1 [n + 1] = qN [n] N M X X −1 qN [n + 1] = qN−i+1 [n] − bj uj [n] a0 i=1 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống j=0 2021 19 / 19