Phân tích và biểu diễn hệ thống TTBB rời rạctrong miền thời gian

Bài 3: Phân tích biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc miền thời gian Nguyễn Hồng Thịnh Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 1/1 Bài 3: Phân tích biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc miền thời gian Nội dung: Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 2/1 Mục tiêu Xác định đáp ứng xung hệ thống Áp dụng đáp ứng xung để phân tích tính chất hệ thống Biết cách tính tích chập Biết cách giải phương trình sai phân Chuyển đổi qua lại Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối phương trình sai phân Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 3/1 Biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc miền thời gian Mục đích phép biểu diễn? Mô tả mối quan hệ tín hiệu vào x (n) y (n) Dễ dàng xác định đầu biết tín hiệu đầu vào tương ứng Dễ dàng phân tích tính chất hệ thống Thiết kế cấu trúc hệ thống Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 4/1 Biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc miền thời gian Phân loại Có cách thông dụng để biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc: Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 5/1 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Khái niệm Đáp ứng xung, h(n), đầu hệ thống tín hiệu đầu vào δ(n) Cho hệ thống T, y(n) = T(x(n)) Đáp ứng xung hệ thống: h(n) = T (x (n)) = T (δ(n)) Ví dụ: Xác định đáp ứng xung hệ thống: y (n) = x (n) + 2x (n − 1) + x (n − 2) Khi x (n) = δ(n) đầu hệ thống đáp ứng xung Do đó: h(n) = δ(n) + 2δ(n − 1) + δ(n − 2) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 6/1 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Định nghĩa tích chập Tích chập tín hiệu a(n) b(n) tín hiệu, ký hiệu a(n) ∗ b(n), xác định sau: a(n) ∗ b(n) = ∞ −∞ Hong-Thinh NGUYEN a(k)b(n − k) = ∞ b(k)a(n − k) −∞ Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 7/1 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Cách tính tích chập Giả sử, cần tính tích chập tín hiệu a(n) b(n) Ký hiệu c(n) = a(n) ∗ b(n) Sử dụng định nghĩa, tính giá trị đầu ra: c(0) = c(1) = ∞ a(k)b(−k) −∞ ∞ a(k)b(1 − k) −∞ ∞ c(−1) = c(−2) = −∞ ∞ a(k)b(−1 − k) a(k)b(−2 − k) −∞ Tính đến hết ta xác định c(n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 8/1 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Cách tính tích chập Sử dụng đồ thị: Đổi biến n → k, vẽ x (k), h(k) Lật tín hiệu h(-k): h(k) → h(−k): lấy đối xứng (k) qua trục tung Dịch chuyển h(−k) theo giá trị n ta thu h(n − k) n > dịch chuyển phía bên phải n < dịch chuyển phía bên trái Thực phép nhân x (−k).h(n − k) (nhân vector) Cộng dồn giá trị x (−k).h(n − k) ta thu giá trị y (n) Tiếp tục thực dịch chuỗi h(−k), thu chuỗi y (n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 9/1 Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Ví dụ: Cách tính tích chập Tính tích chập chuỗi sau đây: a(n) = {1, 3, 2} b(n) = {1, 2} Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 10 / Sử dụng đáp ứng xung để phân tích hệ thống Hệ thống ổn định Xác định  a, b n   a h(n) =   b n để hệ thống sau ổn định: n≥0 n = −1 n < −1 Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 16 / Sử dụng đáp ứng xung để phân tích hệ thống Hệ thống ổn định Hệ thống sau hệ thống ổn định: a) h(n) = sin(πn/2) b) h(n) = (−1)n u(−n) c) h(n) = u(n) − 2u(n − 5) d) h(n) = e) h(n) = ∞ k=0 δ(n (1/2)|n| − 2k) f) h(n) = 2n [u(n) − u(n − 2)] Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 17 / Sử dụng đáp ứng xung để phân tích hệ thống Hệ thống có nhớ/khơng nhớ Một hệ TTBB không nhớ (hệ thống tĩnh) đáp ứng xung thoả mãn: h(k) = 0∀k = Nếu ∃h(k) = 0, k = hệ thống có nhớ (hệ thống động) Chứng minh: Hệ thống khơng nhớ nên tín hiệu y (n) phụ thuộc vào thời điểm tín hiệu vào mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai hay q khứ: Ta có tín hiệu thời điểm n: y (n) = ∞ k=−∞ h(k)x (n − k) = −1 ∞ k=1 h(k)x (n − k) Do để hệ k=−∞ h(k)x (n − k) + h(0).x (n) + −1 thống khơng nhớ k=−∞ h(k)x (n − k) + ∞ k=1 h(k)x (n − k) = 0∀n hay h(k) = 0v ỵik = (−∞, −1)(1, ∞) Nói cách khác: h(k) = 0∀k = Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 18 / Sử dụng đáp ứng xung để phân tích hệ thống Hệ thống có nhớ/khơng nhớ Hệ thống sau hệ thống không nhớ? a) h(n) = (−1)n u(−n) b) h(n) = (1/2)|n| c) h(n) = 2n [u(n) − u(n − 2)] d) h(n) = cos(πn/8)[u(n) − u(n − 10)] Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 19 / Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân Phương trình sai phân M Dạng tổng quát: y (n) = − N k=1 ak y (n − k) + k=0 bk x (n − k) N M a y (n − k) = b x (n − k), a = 1, → phương trình sai phân k=0 k k=0 k -Nếu ak = 0, k ∈ (1, N), y (n) phụ thuộc vào x (n): hệ thống không đệ quy -Nếu ∃ak = 0, k ∈ (1, N): y (n) phụ thuộc vào tín hiệu thời điểm khứ, hệ thống đệ quy -Bằng cách giải phương trình sai phân nói tín hiệu y (n) hồn tồn xác định biết tín hiệu vào x (n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 20 / Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Cách giải phương trình sai phân Mọi PT sai phân có nghiệm dạng tổng quát là: y (n) = y0 (n) + ys (n) y0 (n): đáp ứng nhất, khơng phụ thuộc tín hiệu vào x (n) y0 (n) nghiệm phương trình: N k=0 ak y (n − k) = ys (n): đáp ứng riêng, đáp ứng hệ thống điều kiện đầu Dạng ys (n) xác định dạng tín hiệu vào x (n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 21 / 2.Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Nghiệm phương trình sai phân n PT N k=0 ak y (n − k) = có nghiệm dạng λ N n−k n = 0: phương trình đặc Thay y(n) =λ vào ta có: k=0 ak λ trưng Nếu PT đặc trưng có N nghiệm đơn: λ1 , λ2 , , λN ⇒ Nghiệm n PT có dạng: N i=1 ci λi ci xác định điều kiện ban đầu tốn Nếu PT đặc trưng có nghiệm bội: λ1 nghiệm bội bậc m ⇒ Nghiệm PT có dạng: m−1 N i n n i=m ci λi = i=0 ci n λ1 + Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 22 / 2.Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Xác định nghiệm pt sai phân sau đây: y (n) + 2y (n − 1) = x (n) y (n) − 2y (n − 1) + y (n − 2) = 3x (n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 23 / 2.Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Nghiệm riêng phương trình sai phân Nghiệm riêng ys (n) nghiệm pt: N M k=0 ak y (n − k) = k=0 bk x (n − k) với đk ban đầu ys (n) có dạng giống với tín hiệu vào x (n): x (n) = u(n) x (n) = nu(n) (h) x (n) = An u(n) x (n) = cos(ωn + φ)u(n) ys (n) = c ys (n) = a.n + b ys (n) = c.An ys (n) = c1 cos(ωn) + c2 sin(ωn) Chú ý: Phải chọn ys (n) có dạng độc lập với nghiệm Khi xác định y0 (n), ys (n), nghiệm tổng quát pt sai phân là: y (n) = y0 (n) + ys (n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 24 / 2.Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Giải phương trình sai phân sau đây: y (n) + 2y (n − 1) = x (n) với y (−1) = x (n) = nu(n) y (n) − 1/2y (n − 1) = x (n) + 2x (n − 1) với y (−1) = x (n) = (1/2)n u(n) y (n) − 5y (n − 1) + 6y (n − 2) = x (n) + x (n − 1) với: y (−1) = 2, y (−2) = 3, x (n) = 5n u(n) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 25 / Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Các phần tử bản: Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 26 / Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Ví dụ: Phương trình: y (n) = β0 x (n) + β1 x (n − 1) + β2 x (n − 2) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 27 / Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Ví dụ: Xác định phương trình sai phân tương ứng? Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 28 / Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Ví dụ: Xác định phương trình sai phân tương ứng? Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 29 / Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Ví dụ: Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối phương trình sai phân sau: a) y (n) = y (n − 1) + 2x (n) b) y (n) = y (n − 1) + x (n) + x (n − 1) c) y (n) + y (n − 1) − y (n − 3) = x (n) + 2x (n − 2) Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 30 / ...Bài 3: Phân tích biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc miền thời gian Nội dung: Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối... chất hệ thống Thiết kế cấu trúc hệ thống Hong-Thinh NGUYEN Signal and Systems Ngày 29 tháng năm 2016 4/1 Biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc miền thời gian Phân loại Có cách thơng dụng để biểu diễn hệ. .. loại Có cách thơng dụng để biểu diễn hệ thống TTBB rời rạc: Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân hệ số Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Hong-Thinh NGUYEN Signal