Đang tải... (xem toàn văn)
Biểu Diễn Tín Hiệu và Hệ Thống TTBB trong Miền Tần Số Bài 3: Biến đổi Fourier rời rạc Phổ Fourier X(Ω) của một tín hiệu rời rạc là hàm tuần hoàn có chu kỳ bằng 2π → chúng ta chỉ cần lấy mẫu phổ trong một chu kỳ như sau: X 2π N k = X +∞ n=−∞ xne −j 2π N kn trong đó, N là số lượng mẫu trong khoảng 0, 2π → chu kỳ lấy mẫu là 2πN. Kể từ đây, chúng ta sử dụng Xk thay vì X
CHƯƠNG III Biểu Diễn Tín Hiệu Hệ Thống TTBB Miền Tần Số Bài 3: Biến đổi Fourier rời rạc Trần Đức Tân Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa 2021 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Lấy mẫu tần số Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc Phổ Fourier X (Ω) tín hiệu rời rạc hàm tuần hồn có chu kỳ 2π → cần lấy mẫu phổ chu kỳ sau: X 2π k N = +∞ X 2π x[n]e−j N kn n=−∞ đó, N số lượng mẫu khoảng [0, 2π] → chu kỳ lấy mẫu 2π/N Kể từ đây, sử dụng X [k ] thay X để biểu diễn phổ Fourier rời rạc x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2π Nk 2021 / 15 Lấy mẫu tần số Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc Biến đổi cơng thức trang trước sau: X [k ] = = = +∞ X lN+N−1 X 2π x[n]e−j N kn l=−∞ n=lN +∞ N−1 X X 2π x[n − lN]e−j N k (n−lN) l=−∞ n=0 N−1 X 2π xp [n]e−j N kn n=0 đó: xp [n] = +∞ X x[n − lN] l=−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Lấy mẫu tần số Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc xp [n] tín hiệu tuần hồn với chu kỳ N → xp [n] biểu diễn chuỗi Fourier sau đây: N−1 X 2π xp [n] = ck ej N kn k =0 Các hệ số {ck |k = N − 1} tính sau: N−1 2π 1X ck = xp [n]e−j N kn → ck = X [k ] N N n=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Lấy mẫu tần số Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc Từ phổ Fourier rời rạc tín hiệu x[n], khơi phục tín hiệu tuần hồn xp [n] sau: N−1 2π 1X xp [n] = X [k ]ej N kn N k =0 Có thể khơi phục tín hiệu x[n] từ X [k ] hay không? Câu trả lời "có thể": độ dài x[n] khơng lớn N tất giá trị khác không nằm khoảng [0, N − 1], đó: xp [n] (0 ≤ n ≤ N − 1) x[n] = otherwise Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) DFT tín hiệu rời rạc tuần hồn Tín hiệu rời rạc tuần hồn x[n] có lượng vơ → biến đổi Fourier (liên tục) x[n] không tồn Định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc x[n] dựa biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) DFT tín hiệu rời rạc tuần hồn Biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu rời rạc x[n] tuần hoàn với chu kỳ N định nghĩa sau: DFT (x[n]) = X [k ] = N−1 X x[n]e−j2πkn/N n=0 X [k ] tuần hoàn với chu kỳ N Biền đổi nghịch DFT (IDFT) định nghĩa sau: x[n] = DFT −1 N−1 1X (X [k ]) = X [k ]ej2πkn/N N k =0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Các tính chất DFT tín hiệu tuần hồn Dịch thời gian: DFT (x[n − n0 ]) = X [k ]e−j2πkn0 /N Tích chập tuần hồn hai tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N: Định nghĩa: x1 [n] ∗N x2 [n] = N−1 X x1 [k ]x2 [n − k ] k =0 Khi đó: DFT (x1 [n] ∗N x2 [n]) = X1 [k ]X2 [k ] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Các tính chất DFT tín hiệu tuần hồn Tương quan hai tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N: Định nghĩa: rx1 x2 [n] = N−1 X x1 [k ]x2 [k − n] k =0 Khi đó: Rx1 x2 [k ] = X1∗ [k ]X2 [k ] = X1 [k ]X2∗ [k ] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 / 15 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) DFT tín hiệu rời rạc có độ dài hữu hạn Xem xét tín hiệu rời rạc x[n] có độ dài L hữu hạn, tín hiệu tuần hồn xp [n] với chu kỳ N ≥ L sinh từ tín hiệu x[n] theo cách sau: xp [n] = +∞ X x[n − lN] l=−∞ Biến đổi Fourier rời rạc độ dài N tín hiệu x[n] định nghĩa DFT tín hiệu tuần hồn xp [n]: DFTN (x[n]) = DFT (xp [n]) = N−1 X x[n]e−j2πkn/N n=0 Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 10 / 15 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Tính chất DFT tín hiệu độ dài hữu hạn Dịch vòng: DFTN (x[n − n0 ]N ) = DFTN (x[n])e−j2πkn0 /N Tích chập vịng hai tín hiệu độ dài hữu hạn: Định nghĩa: x1 [n] ~N x2 [n] = N−1 X x1 [k ]x2 [n − k ]N k =0 Khi đó: DFTN (x1 [n] ~N x2 [n]) = DFTN (x1 [n])DFTN (x2 [n]) Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 11 / 15 Định lý lấy mẫu Lấy mẫu tín hiệu có phổ hữu hạn Xem xét tín hiệu lượng liên tục x(t) → phổ tín hiệu (có miền xác định) hữu hạn → tồn tần số lớn ωa tín hiệu, nghĩa là, ∀|ω| > |ωa | : X (ω) = Lấy mẫu x(t) với tốc độ lấy mẫu ωs để thu tín hiệu rời rạc x[n] Nếu ωs = 2ωa , tín hiệu liên tục x(t) khơi phục cách xác từ tín hiệu rời rạc x[n] cơng thức sau đây: x(t) = +∞ X n=−∞ Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) x[n] sin(ωa t − nπ) ωa t − nπ Tín hiệu Hệ thống 2021 12 / 15 Định lý lấy mẫu Định lý lấy mẫu Shannon Một tín hiệu có phổ hữu hạn với thành phần tần số có giá trị khơng vượt q ωa khơi phục cách xác từ tín hiệu lấy mẫu tốc độ lấy mẫu thỏa mãn điều kiện ωs ≥ 2ωa Tốc độ lấy mẫu ωa = 2ωa gọi tốc độ Nyquist Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 13 / 15 Định lý lấy mẫu Định lý lấy mẫu Shannon If ωs = 2ωa : x[n] có phổ tuần hồn với chu kỳ 2π dạng phổ khoảng [−π, +π] tương tự với dạng phổ tín hiệu x(t) khoảng [−ωa , +ωa ] Nếu ωs > 2ωa : x[n] có phổ tuần hồn với chu kỳ 2π dạng phổ tín hiệu x(t) khoảng [−ωa , +ωa ] bảo toàn bên khoảng [−π, +π] phổ tín hiệu x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 14 / 15 Định lý lấy mẫu Chồng phổ gập phổ Nếu ωs < 2ωa : chồng phổ (aliasing) gập phổ (folding) xuất → x[n] có phổ tuần hồn với chu kỳ 2π dạng phổ khoảng [−π, +π] tạo từ việc gập phổ tín hiệu x(t) khoảng [−ωa , +ωa ] quanh tần số gập phổ (còn gọi tần số Nyquist, có giá trị nửa tốc độ lấy mẫu) → việc khơi phục xác tín hiệu x(t) từ x[n] khơng thể phổ bị biến dạng Chồng phổ: tần số khác tín hiệu x(t) xuất vị trí phổ tín hiệu x[n] Gập phổ: tượng chồng phổ gây tần số bị gập vào vị trí tần số khác phổ tín hiệu x[n] Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI) Tín hiệu Hệ thống 2021 15 / 15