TIỂU LUẬN môn học tín HIỆU hệ THÔNG đề tài lọc tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG KHOA VIỄN THƠNG TIỂU LUẬN MƠN HỌC “TÍN HIỆU HỆ THƠNG” Đề tài: “Lọc tuyến tính q trình ngẫu nhiên” Giảng viên : NGUYỄN THỊ THU HIÊN Sinh viên thực : TỐNG THỊ THÙY LINH Mã sinh viên : B18DCVT248 Lớp : D18CQVT08-B Nhóm mơn học : Nhóm 03 Hà Nợi, tháng 8/2021 1|Pa ge MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU Tổng quan Random Process………………………………………………… Wide-Sense Stationary……………………………………………………………5 Lọc trình ngẫu nhiên…………………………………………………….8 Bất biến thời gian………………………………………………………………….8 Giá trị trung bình………………………………………………………………….8 Tự tương quan đầu ra……………………………………………………….……9 Định lý tương quan chéo………………………………………………………….9 Xung photon…………………………………………………… ………………11 Đáp ứng máy dò với xung Poisson…………………………………………13 Nhiễu trắng……………………………………………………….………………14 Lọc nhiễu trắng……………………………………………… …………………16 Tính tốn thực tế…………………………………………………………………17 KẾT LUẬN 18 2|Pa ge LỜI NÓI ĐẦU Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Nguyễn Thị Thu Hiên Trong q trình học tập tìm hiểu mơn Tín Hiệu Hệ Thống, em nhận quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tận tình, tâm huyết Cơ giúp em tích lũy thêm nhiều kiến thức để có nhìn hồn thiện Từ kiến thức nà cô truyền tải, em dần hiểu môn Tín Hiệu Hệ Thống, từ thực tiểu luận đề tài liên quan đến Random Prosses- Biến ngẫu nhiên hàm thời gian mà kết hợp chiều thời gian vào biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên hàm thời gian trình ngẫu nhiên Dù có nhiều cố gắng q trình tìm hiểu nhận thức trình độ cịn hạn hẹp nên viết không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Vậy em mong nhận ý kiến đóng góp, nhận xét để em có thêm điều kiện học hỏi thêm cao kiến thức mình, phục vụ tốt cho trình học tập sau 3|Pa ge I Tổng quan Random Process Giới thiệu chung - Biến ngẫu nhiên hàm thời gian t - Biến ngẫu nhiên hàm thời gian mà kết hợp chiều thời gian vào biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên hàm thời gian trình ngẫu nhiên Random Process bao gồm: - Random signal( tín hiệu ngẫu nhiên) - Random noise process at receiver(quá trình ngẫu nhiên máy thu) Lọc tuyến tính trình ngẫu nhiên: - Wide Sense Stationary Filtering Random Process( Lọc trình ngẫu nhiên) Time Invariance( Bất biến thời gian) Mean Value(Giá trị trung bình) Output Autocorrelation( Tự tương quan đầu ra) Crosscorrelation Theorem( Định lý tương quan chéo) Photon Pulses( Xung photon) Dectector Response to Poisson Pulses( Đáp ứng máy dò với xung Poisson) - White Noise( Nhiễu trắng) - Filtered White Noise( Lọc nhiễu trắng) - Practical Calculations( Tính tốn thực tế) 4|Pa ge II Nợi dung Wide-Sense Stationary - Định nghĩa: trình ngẫu nhiên X(t) WSS giá trị trung bình khơng đồi E[X(t)] = 𝜇 tự tương quan phụ thuộc vào 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2 𝑅𝑥𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 )= E[X(𝑡1 )X*(𝑡2)] E[X(t + 𝜏)X*(t)]= 𝑅𝑥𝑥 (𝜏) Lưu ý rằng: 𝑅𝑥𝑥 (−𝜏)= 𝑅 ∗ 𝑥𝑥 (𝜏) 𝑅𝑥𝑥 (0)= E[|𝑋(t)|2] - Auto- Correlation( Tự tương quan): 𝑅𝑥𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 )= E[X(𝑡1 )X*(𝑡2)] Cũng tự tương quan tương quan hàm trình ngẫu nhiên thời điểm T1, T2 giá trị kì vọng Giá trị giá trị xóa q trình ngẫu nhiên thời điểm T1 lần thời gian thời gian T2 E[X(𝑡1 )X*(𝑡2)]: kết hợp thời điểm T1, T2 Vây tư tương quan gì? Tự tương quan trình ngẫu nhiên tương ứng với trường hợp thời gian khác nhau, nghĩa bạn nhìn vào trình ngẫu nhiên X(t) thời điểm T1 X(t)T2 thời điểm T2 giá trị cốt lõi điều tự tương quan Đó giá trị trung bình tích X(t)1 xới X(t)2 tự nhiên trình ngẫu nhiên chung → Đây hàm trường hợp thời gian, T1&T2 hàm khác 𝑅𝑥𝑥 T1,T2 5|Pa ge Ví dụ: Chúng ta nhận thấy tín hiệu điện báo ngẫu nhiên có tính tự tương quan hàm số: 𝑅𝑥𝑥 (𝜏)= 𝑒 −𝑐|𝜏| Chúng ta sử dụng hàm tự tương quan để tìm thời điểm thứ hai kết hợp tuyến tính chẳng hạn như: Y(t)= aX(t) +bX(t - 𝑡0) Chúng ta tự tính tự tương quan: 𝑅𝑦𝑦 (𝜏) với 𝜏 ≠ 6|Pa ge Ví dụ kết hợp giá trị có trọng số X(t) X(t-𝑡0) thành Y(t) Các thông số thống kê E[Y], E[𝑌 ], var(Y) 𝑅𝑦𝑦 (𝜏) tính tốn dễ dàng từ kiến thức E[X] 𝑅𝑥𝑥 (𝜏) Các kỹ thuật mở rộng cho kết hợp tuyến tính mẫu X(t) Đây ví dụ lọc tuyến tính với lọc rời rạc có trọng số Mối quan hệ tương ứng cho trình xử lý thời gian liên tục là: 7|Pa ge Lọc trình ngẫu nhiên: Gọi X(t,e) trình ngẫu nhiên Tại thời điểm này, hiển thị kết e thử nghiệm ngẫu nhiên Gọi Y(t, e) = L[X(t,e)] đầu hệ thống tuyển tính X(t,e) đầu vào Rõ ràng, Y(t, e) tập hợp hàm chọn e trình ngẫu nhiên Chúng ta nói Y có mơ tả thống kê X mô tả hệ thống? Lưu ý L không cần thể hành vi ngẫu nhiên cho L trở thành ngẫu nhiên Bất biến thời gian: Chúng ta làm việc với hệ thống bất biến thời gian( dịch chuyển bất biến) Các hệ thống bất biến phản hồi đầu vào dịch chuyển theo thời gian thay đổi đầu Y(t + 𝜏) = L[X(t + 𝜏)] Đầu hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian biểu diễn tích đầu vào với phản ứng xung, h(t) ∞ Y(t) = ∫−∞ 𝑋 (𝑡 − 𝑠)ℎ(𝑠) 𝑑𝑠 Giá trị trung bình: - Kết sau phù hợp với hệ thống tuyển tính nào, có thời gian bất biến đầu vào cố định E L[X(t)] = L E[X(t)] = L[𝜇(𝑡 )] - Khi trình dừng lại, thấy 𝜇𝑦 = 𝐿𝜇𝑥 , phản ứng với số giá trị 𝜇𝑥 8|Pa ge Tự tương quan đầu ra: - Hàm tự tương quan đầu là: 𝑅𝑦𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 )= E[y(𝑡1 )y*(𝑡2)] - Chúng ta đặc biệt quan tâm đến hàm tự tương quan 𝑅𝑦𝑦 (𝜏) đầu hệ thống tuyến tính đầu vào trình ngẫu nhiên - Khi đầu vào WSS hệ thống bất biến theo thời gian đầu WSS - Hàm tự tương quan tìm thấy cho q trình khơng WSS sau chuyên trường hợp WSS mà khơng cần làm nhiều cơng việc bổ sung Chúng ta theo hướng phát triển Định lý tương quan chéo: - Cho phép x(t) y(t) q trình ngẫu nhiên có liên quan đến ∞ y(t) =∫−∞ 𝑥 (𝑡 − 𝑠)ℎ(𝑠) 𝑑𝑠 Sau ∞ 𝑅𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 )= ∫−∞ 𝑅𝑥𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 − 𝛽 )ℎ(𝛽) 𝑑𝛽 ∞ 𝑅𝑦𝑦 (𝑡1 ,𝑡2 )= ∫−∞ 𝑅𝑥𝑦 (𝑡1 − 𝛼, 𝑡2 )ℎ(𝛼) 𝑑𝛼 Vì vậy, ∞ 𝑅𝑦𝑦 (𝑡1 ,𝑡2 )= ∬−∞ 𝑅𝑥𝑥 (𝑡1 − 𝛼, 𝑡2 − 𝛽 )ℎ(𝛼)ℎ(𝛽) 𝑑𝛼 𝑑𝛽 9|Pa ge Chứng minh Nhân phương trình thứ với x(1) lấy giá trị kì vọng Điều chứng tỏ kết Để chứng điều thứ 2, ta nhân số thứ phương trình y(t2) lấy giá trị kỳ vọng Điều chứng minh đẳng thức thứ thứ Bây thay phương trình thứ thành phương trình thứ để chứng minh điều cuối 10 | P a g e Xung photon Ví dụ: Tự tương quan lượng Photon đến Giả sử photon đến máy dò tạo xung động hành Chúng ta muốn lập mơ hình hóa để sử dụng làm phương pháp khuyến khích X(t) tới hệ thống phát Giả sử photon đến với tốc độ λ photons/giây photon tạo xung chiều cao h chiều rộng 𝜖 Để tính tốn hàm tự tương quan, phải tìm 𝑅𝑥𝑥 (𝜏)= E[X(t + 𝜏)X(t)] - Đầu tiên giả định 𝜏 > 𝜖 Sau đó, khơng thể cho phiên t t + 𝜏 nằm xung - Xác suất để dạng sóng xung mức h tức thời λ, phần nhỏ thời gian bị chiếm xung 11 | P a g e Vì thế, - Bây xem xét trường hợp |𝜏 | < 𝜖 Sau đó, theo giả định Poisson, khơng thể có hai xung q gần để X(t) = h X(t + 𝜏)= h t t + 𝜏 nằm xung P(X1 = h, X2 = h=P(X1=h)=P(X2=h|X1=h)= λ 𝜖 P(X2=h|X1=h) - Xác suất mà t+|𝜏 | đánh vào mạch là: P(X2 = h|X1 =h)=1 -|𝜏 |/ 𝜖 Do đó, Nếu để 𝜖 → giữ h=1 tam giác trở thành xung động khu vực h có 𝑅𝑥𝑥 (𝜏)= λ𝛿 (𝜏 ) + λ2 12 | P a g e Đáp ứng máy dò với xung Poisson - Thơng thường máy dị vật lý phải có nội trở điện dung Mạch Aseries RC có đáp ứng xung - Chức tự tương quan đầu máy dò là: 13 | P a g e Nhiễu trắng: - Chúng ta nói q trình ngẫu nhiên w(t) nhiễu trắng giá trị w(𝑡𝑖 ) w(𝑡𝑗 ) không tương quan với 𝑡𝑖 𝑡𝑗 ≠ 𝑡𝑖 Đó là, - Phương sai tự động phải có dạng: giá trị bình phương trung bình thời điểm 𝑡𝑖 Trừ nêu cụ thể ngược lại, giả định giá trị trung bình nhiễu trắng số Trong trường hợp đó, 𝑅𝑤 (𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 )= 𝐶𝑤 (𝑡𝑖 ,𝑡𝑗 ) Ví dụ: Chuỗi tung đồng xu( rời rạc) Điện trở nhiệt tiếng ồn( liên tục) Giả sử w(t) nhiễu trắng 𝑡 Sau đó, y(t)= ∫0 𝑤(𝑠) 𝑑𝑠 Nếu tiếng ồn tĩnh 14 | P a g e 15 | P a g e 10 Lọc nhiễu trắng: Tìm phản hồi lọc tuyến tính với phản ứng xung h(t) đến nhiễu trắng với x(t) = w(t) ta có 𝑅𝑥𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 )= 𝑞𝛿(𝑡1 − 𝑡2 ) Sau đó, để 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2 ta Vì 𝛿(-𝜏)= 𝛿(𝜏), kết đối xứng 𝜏 Ví dụ: Truyền nhiễu trắng qua lọc với phản xung theo cấp số nhân h(t) = A𝑒 −𝑏𝑡step (𝑡 ) Vì kết đối xứng 𝜏, 𝐴2 𝑞 −𝑏|𝜏| 𝑅𝑦𝑦 (𝜏) = 𝑒 2𝑏 Điều thú vị hàm có dạng tương tự hàm tự tương quan tín hiệu điện báo ngẫu nhiên ngoại trừ hàm hạn không đổi, chuỗi xung Poisson 16 | P a g e 11 Tính tốn thực tế Giả sử bạn cung cấp tập hợp mẫu có dạng sóng ngẫu nhiên Biểu diễn mẫu vecto x= [𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑁−1 ] Nó giả định mẫu lấy số tần số lấy mẫu 𝑓𝑠 = 1/Ts đại diện tồn q trình ngẫu nhiên Đó quy trình tập hợp mẫu đủ lớn Trung bình mẫu: Giá trị trung binh tính gần 𝑋̅ = 𝑁 ∑𝑁−1 𝑖=0 𝑥𝑖 Tính tốn biểu diễn sản phầm vecto bên trong( dấu chấm) vector bên Gọi 1=[1,1,…,1] vecto số vecto thích hợp chiều dài Sau đó, 〈𝑥,1〉 𝑋̅ = 𝑁 Giá trị trung bình bình phương: Theo cách tương tự, giá trị trung bình bình phương ước lượng Phương sai: Ước tính phương sai Có thể cho thấy E[𝑆 ]= 𝜎 cơng cụ ước lượng khơng thiên vị phương sai 17 | P a g e KẾT LUẬN Các ứng dụng việc nghiên cứu tượng tạo cảm hứng cho đề xuất trình ngẫu nhiên Điển hình q trình ngẫu nhiên nhắc đến trình Poisson sử dụng A.K.Erlang để nghiên cứu số lượng gọi điện thoại xảy khoảng thời gian định Lý thuyết q trình ngẫu nhiên coi đóng góp quan trọng cho tốn học tiếp tục chủ đề nghiên cứu tích cực lý lý thuyết lẫn ứng dụng 18 | P a g e ... ngẫu nhiên hàm thời gian trình ngẫu nhiên Random Process bao gồm: - Random signal( tín hiệu ngẫu nhiên) - Random noise process at receiver (quá trình ngẫu nhiên máy thu) Lọc tuyến tính q trình ngẫu. .. Tín Hiệu Hệ Thống, từ thực tiểu luận đề tài liên quan đến Random Prosses- Biến ngẫu nhiên hàm thời gian mà kết hợp chiều thời gian vào biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên hàm thời gian q trình ngẫu. ..