TIỂU LUẬN MÔN HỌC LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

TIỂU LUẬN MÔN HỌCLÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠIĐỀ BÀI1. Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực càng tốt).2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.3. Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp:+ Dùng tiêu chuẩn Lyapunov.+ Điều khiển trượt.+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc.+ Tuyến tính mở rộng (Gainschudeling).+ Tuyến tính hình thức.+ Tuyến tính hóa chính xác.+ Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping).4. Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha. Bài 1:1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNGGiả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2Tín hiệu vào u(t)Tín hiệu ra y(t)2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG2.1. Xác định điểm cân bằng của hệ thốngTa có phương trình trạng thái của hệ thống:

Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại TIỂU LUẬN MÔN HỌC LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI ĐỀ BÀI 1 Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực càng tốt) 2 Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng 3 Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp: + Dùng tiêu chuẩn Lyapunov + Điều khiển trượt + Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc + Tuyến tính mở rộng (Gain-schudeling) + Tuyến tính hình thức + Tuyến tính hóa chính xác + Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping) 4 Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Bài 1: 1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG Giả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau  x1 = x12 + x 2     x2 = x1 x 2 + u y = x 1  Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2 Tín hiệu vào u(t) Tín hiệu ra y(t) 2 XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG 2.1 Xác định điểm cân bằng của hệ thống Ta có phương trình trạng thái của hệ thống:  x1 = x12 + x 2     x2 = x1 x 2 + u y = x 1  (2.1a) Mô hình (2.1a) khi có u(t) = 0 và trở thành ~  x = f ( x, u ) u = 0 = f ( x ) Một điểm trạng thái x e thỏa mãn ~ f (0) = 0 ∀t (2.1b) được gọi là điểm cân bằng của hệ thống Tức là, (2.1b) có nghiệm x e = 0 và nghiệm này  thỏa mãn x e = 0 Như vậy hệ (2.1a) có một điểm cân bằng là (0, 0) 2.2 Kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng Sử dụng Lyapunov để kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng Lyapunov sử dụng tập các đường đồng mức của hàm xác định dương, trơn V(x) trong toàn bộ không gian trạng thái T  ∂V  ∂V  ∇υ = grandV =   ∂ x  =  ∂x ,      1 T ∂V   thì vecto Grandient gradV, luôn vuông góc đường ∂x2   cong vk và chỉ chiều tăng theo giá trị theo giá tri k của V(x) = k Với hàm xác định dương V(x) thì T  ∂V  ∂V  dx dx ∇υ = ∇υ cos ϕ =   =  ∂x   ∂x , dt dt    1 T ∂V   ∂x2   T Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Theo tiêu chuẩn Lyapunov Trong lân cận điểm cân bằng mô tả gần đúng bởi mô hình tuyến tính  x = A x + Bu y = cx Mô hình toán học không bị kích thích của (2.1a) như sau:  x1 = x12 + x2     x2 = x1 x2 (2.2a) - Các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm, nếu nghiệm thực bằng 0 thì phải là nghiệm đơn của phương trình det(λI-A)=0  x1 = x12 + x2     x2 = x1 x2 + u (2.2b) Khai triển các hàm (2.1b) thành chuỗi Taylor tại điểm x 0 ,u 0 như sau:  ∂f1 ∂f ( x1 − x0 ) + ( 1 ) ( x1 − u0 )  f1 ( x, u ) = f1 ( x 0 , u 0 ) + ( ) ∂x1 x ,u ∂u1 x ,u  0 0 0 0  ∂f  f ( x, u ) = f ( x , u ) + ( ∂f 2 ) ( x1 − x0 ) + ( 2 ) ( x1 − u0 ) 0 0 2  2 ∂x1 x ,u ∂u1 x ,u 0 0 0 0    ∂f1   ∂f ∂x A = ( ) = 1  ∂ x x ,u  ∂f 2 0 0    ∂x   1 ⇔  ∂f1    ∂f ∂u = 1 B = ( ) ∂u x ,u  ∂f 2  0 0   ∂u   1  ∂f1   ∂x2  ∂f 2   ∂x2   ∂f1   ∂u 2  ∂f 2   ∂u 2    0 Thay điểm cân bằng x 0 =   dựa vào ma trận Jacobi ta được hệ tuyến tính trong lân cận  0   điểm làm việc  2x 1   0     x +  u x = 1     x2 x1  1  Thay giá trị điểm cân bằng vào ta được hệ tuyến tính sau:  0 1   0  x ==   0 0  x + 1 u        (2.2c) Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại  Nếu tồn tại V(x) xác định dương và V (x) xác định âm thì hệ sẽ ổn định tại điểm cân bằng đó 2 Nếu chọn hàm V ( x ) = ax12 + bx2    Suy ra V ( x) = 2ax1 x1 + 2bx2 x2 cùng với mô hình (2.2a) ta có 3 2 2  V ( x) = 2ax1 + 2bx1 x2 = 2 x1 (ax12 + bx2 )  Như vậy, để hệ ổn định thì V(x) xác định dương và V (x) xác định âm tức là a>0, b>0, x 10 12 Vậy hệ có thể điều khiển được 3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp cuốn chiếu (Backstepping)) Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại  x1 = x12 + x2     x2 = x1 x2 + u (3.2a) Mô hình (3.2a) có thể viết lại khi thay x2 = z, x1 = x x = x 2 + z     z = xz + u (3.2b) Dựa trên định lý (thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển GAS cho hệ Tam giác) ta có ngay hệ con thứ nhất của đối tượng:  x = x2 + z (3.2c) Có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thì ta có 1 V ( x, z ) = V1 ( x) + ( z − υ ( x)) 2 2 V1 ( x) = (3.2d) 1 2 x 2   V1 ( x) = x.x = x( x 2 + z ) (3.2e) Để hệ con (3.2c) ổn định thì (3.2d) xác định âm, gán (3.2d) giá trị là:–x2 x( x 2 + z ) = − x 2 ⇔ x2 + z = −x Như vậy, phép biến đổi z = υ(x) = -x-x2 Thay vào (3.2d) ta có V ( x, z ) = 1 2 1 x + (z + x + x2 )2 2 2 (3.2f)      V ( x, z ) = x.x + ( z + x + x 2 )( z + x + 2 xx) = − x 2 + ( z + x + x 2 ) x + ( z + x + x 2 )(u + 3 xz + x 2 + z + 2 x 3 ) = − x 2 + ( z + x + x 2 )( x + u + 3xz + x 2 + z + 2 x 3 )  Để V (x) xác định âm chọn − ( z + x + x 2 ) = ( x + u + 3 xz + x 2 + z + 2 x 3 ) đồng thời thay u bởi r(x,z) ta có r(x,z) Ta có bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái: r ( x, z ) = −( z + x + x 2 ) − x − 3 xz − x 2 − z − 2 x 3 Thay x bởi x1, và z bởi x2 r ( x1 , x2 ) = −( x2 + x1 + x12 ) − x1 − 3 x1 x2 − x12 − x2 − 2 x13 = −2( x13 + x12 + x1 + x2 ) − 3x1 x2 Vậy hệ sau khi có bộ điều khiển là Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại 2   x1 = x1 + x2   x2 = −2( x13 + x12 + x1 + x2 + x1 x2 )  4 MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA 4.1 Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống Phương trình trạng thái của hệ thống ban đầu:  x1 = x12 + x 2     x2 = x1 x 2 + u y = x 1  Khi biểu diễn điểm x(t 0 ) khi t=t0 trong không gian vecto n chiều (hai chiều x 1, x2) và sau đó cho t0 = chạy từ 0 đến ∞ ta thu được một đường cong biểu diễn nghiệm x(t ) ứng với u(t) dã cho Đường cong này gọi là quỹ đạo trạng thái của hệ thống Hình 4.1a: Sơ đồ khối quỹ đạo pha của hệ thống Ta thấy với giá trị đầu vào dương thì hệ sẽ không xác định tại thời điểm 1,9s hệ sẽ có giá trị nhảy vọt và đưa hệ ra khỏi vĩ đạo trạng thái: Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Còn với gí trị vào kích thích u