TIỂU LUẬN MÔN HỌCLÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠIĐỀ BÀI1. Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực càng tốt).2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.3. Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp:+ Dùng tiêu chuẩn Lyapunov.+ Điều khiển trượt.+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc.+ Tuyến tính mở rộng (Gainschudeling).+ Tuyến tính hình thức.+ Tuyến tính hóa chính xác.+ Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping).4. Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha. Bài 1:1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNGGiả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2Tín hiệu vào u(t)Tín hiệu ra y(t)2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG2.1. Xác định điểm cân bằng của hệ thốngTa có phương trình trạng thái của hệ thống:
Trang 1TIỂU LUẬN MÔN HỌC
LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
HIỆN ĐẠI
ĐỀ BÀI
1 Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực càng tốt)
2 Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng
3 Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp:
+ Dùng tiêu chuẩn Lyapunov
+ Điều khiển trượt
+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc
+ Tuyến tính mở rộng (Gain-schudeling)
+ Tuyến tính hình thức
+ Tuyến tính hóa chính xác
+ Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping)
4 Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha
Trang 2Bài 1:
1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
Giả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau
1
2 1 2
2
2 1 1
x y
u x x x
x x x
Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2
Tín hiệu vào u(t) Tín hiệu ra y(t)
2 XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG
2.1 Xác định điểm cân bằng của hệ thống
Ta có phương trình trạng thái của hệ thống:
1
2 1 2
2
2 1 1
x
y
u x x x
x x
x
(2.1a)
Mô hình (2.1a) khi có u(t) = 0 và trở thành
) (
~ )
, (x u 0 f x
f
Một điểm trạng thái x e thỏa mãn
t
f(0)0
~
(2.1b) được gọi là điểm cân bằng của hệ thống Tức là, (2.1b) có nghiệm x e 0 và nghiệm này thỏa mãn x e 0
Như vậy hệ (2.1a) có một điểm cân bằng là (0, 0)
2.2 Kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng
Sử dụng Lyapunov để kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng Lyapunov sử dụng tập các đường đồng mức của hàm xác định dương, trơn V(x) trong toàn bộ không gian trạng thái
T T
x
V x
V x
V
2 1
,
cong vk và chỉ chiều tăng theo giá trị theo giá tri k của V(x) = k
Với hàm xác định dương V(x) thì
T T
Trang 3Theo tiêu chuẩn Lyapunov
Trong lân cận điểm cân bằng mô tả gần đúng bởi mô hình tuyến tính
x
c
y
u
B
x
A
x
Mô hình toán học không bị kích thích của (2.1a) như sau:
2 1 2
2
2 1 1
x x x
x x x
(2.2a)
- Các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm, nếu nghiệm thực bằng 0 thì phải là nghiệm đơn của phương trình det(λI-A)=0.I-A)=0
u x x x
x x x
2 1 2
2
2 1 1
(2.2b) Khai triển các hàm (2.1b) thành chuỗi Taylor tại điểm x0,u0như sau:
) (
) ( ) (
) ( ) , ( )
,
(
) (
) ( ) (
) ( ) , ( )
,
(
0 1 , 1
2 0
1 , 1
2 0
0 2 2
0 1 , 1
1 0
1 , 1
1 0
0 1 1
0 0 0
0
0 0 0
0
u x u
f x
x x
f u
x f u
x
f
u x u
f x
x x
f u
x f
u
x
f
u x u
x
u x u
x
2
2 1 2 2
1 1 1
,
2
2 1 2 2
1 1 1
,
0 0
0 0
) (
) (
u
f u f u
f u f u
f B
x
f x f x
f x f x
f A
u x
u x
Thay điểm cân bằng
0
0 0
x dựa vào ma trận Jacobi ta được hệ tuyến tính trong lân cận
điểm làm việc
u x
x x
x
1
0 1
2
1 2
1
Thay giá trị điểm cân bằng vào ta được hệ tuyến tính sau:
u x
1
0 0
0
1 0
Trang 4Nếu tồn tại V(x) xác định dương và V (x) xác định âm thì hệ sẽ ổn định tại điểm cân bằng
đó
2
2 1 ) (x ax bx
Suy ra V(x)2ax1x12bx2x2 cùng với mô hình (2.2a) ta có
) (
2 2
2
)
2
2 1 1
2 2 1
3
ax
x
Như vậy, để hệ ổn định thì V(x) xác định dương và V (x)xác định âm tức là a>0, b>0, x1<0 Vậy, nếu như giá trị x1 không thỏa mãn thì ta có hệ không ổn định
Ngoài ra ta thấy trong lân cận điểm cân bằng của hệ phi tuyến tương dương với hệ tuyến tính (2.2c)
Mô hình tuyến tính này có hai giá trị riêng λI-A)=0.1= λI-A)=0.2 = 0, không có nghiệm nằm bên trái trục ảo nên hệ chưa cân bằng mà giá trị riêng chỉ nằm biên trục ảo
2.3 Kiểm tra tính điều khiển được
Mô hình toán học được tuyến tính hóa lân cận điểm cân bằng như sau:
u x
1
0 0
0
1 0
1 0
1
A
e
1 0
1 )
e A T
T
T A T T A
0
) ( )
(
T T
T T d T
T T
d T
T
T
T
2
2 3 1
) (
1
0 1 1 0 1
0 1 0
1
2
2 2
0
2 0
0 12 ) det( T4
Q T với T>0
Vậy hệ có thể điều khiển được
3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp cuốn chiếu (Backstepping))
Trang 5
u x
x
x
x
x
x
2
1
2
2
2
1
1
(3.2a)
Mô hình (3.2a) có thể viết lại khi thay x2 = z, x1 = x
u
xz
z
z
x
x
(3.2b) Dựa trên định lý (thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển GAS cho hệ Tam giác) ta có ngay hệ con thứ nhất của đối tượng:
z
x
Có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thì ta có
2
2
1 ) (
)
,
2
1
2
1
)
) (
)
1 x x x x x z
Để hệ con (3.2c) ổn định thì (3.2d) xác định âm, gán (3.2d) giá trị là:–x2
x z
x
x z
x
x
2
2
2 )
(
Như vậy, phép biến đổi z = υ(x) = -x-x2
Thay vào (3.2d) ta có
2 2
2
1 2
1
)
,
) 2 3
)(
( ) (
) 2 )(
(
)
,
(
3 2
2 2
2
2
x z x xz u x x z x x x z
x
x x z x x z x
x
z
x
V
) 2 3
)(
Để V (x) xác định âm chọn (zxx2)(xu3xzx2 z2x3) đồng thời thay u bởi r(x,z) ta có r(x,z)
Ta có bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái:
3 2
(
)
,
Thay x bởi x1, và z bởi x2
2 1 2 1
2
1
3
1
3 1 2
2 1 2 1 1
2 1 1 2 2
1
3 ) (
2
2 3
) (
)
,
(
x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x
r
Vậy hệ sau khi có bộ điều khiển là
Trang 6
) (
1
3
1
2
2
2
1
1
x x x x x x
x
x
x
x
4 MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA
4.1 Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống
Phương trình trạng thái của hệ thống ban đầu:
1
2
1
2
2
2
1
1
x
y
u x
x
x
x x
x
Khi biểu diễn điểm x(t0)khi t=t0 trong không gian vecto n chiều (hai chiều x1, x2) và sau
đó cho t0 = chạy từ 0 đến ∞ ta thu được một đường cong biểu diễn nghiệm x (t)ứng với u(t)
dã cho Đường cong này gọi là quỹ đạo trạng thái của hệ thống
Hình 4.1a: Sơ đồ khối quỹ đạo pha của hệ thống
Ta thấy với giá trị đầu vào dương thì hệ sẽ không xác định tại thời điểm 1,9s hệ sẽ có giá trị nhảy vọt và đưa hệ ra khỏi vĩ đạo trạng thái:
Trang 7Còn với gí trị vào kích thích u<0 thì cho ta hệ tiệm cận ổn định
4.2 Quỹ đạo trạng thái sử dụng phương pháp cuốn chiếu
Cùng một mô hình đối tượng ta xây dựng sơ đồ khối theo mô hình toán học sau khi đã thiết
kế bộ điều khiển theo phương pháp back stepping (cuốn chiếu)
) (
1
3 1 2
2
2
1
1
x x x x x x
x
x x
x
Trang 8Kết quả mô phỏng sau khi xây dựng sơ đồ khối và sau 3s trạng thái của quỹ đạo được đưa về
vị trí cân bằng
Trang 10Bài 2:
1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
Thiết kế bộ điều khiển Gain-Scheduling cho hệ có mô hình trạng thái sau:
(2.1)
2 2 1 2
2 1
x x x
u x x
Viết lại hệ dưới dạng: x f(x,u)
Trong đó:
2
1
x
x
2 1
2
x x
u x f
2 XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG
Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng
Hệ (2.1) có điểm cân bằng là nghiệm của hệ phương trình 0
x ứng với u0 = 0
Suy ra:
0
|
0
,u
x e
0
0 2 2 1
2
e e
e x x
x
0
0
1
2
e
e x x
Khai triển Taylor của hàm f(x,u) xung quanh điểm cân bằng (x e,u0) ta có thể mô tả
hệ thống bằng mô hình tuyến tính tương đương:
~
~
~
u B x A dt
x d
Trong đó x~ x x e, u~ u u e
Từ phương trình trạng thái của hệ ta có các ma trận Jacobi:
0
11 12
1 2 x u e,
A
0
0 , 1
1
u
x e x
f
0 , 2
1
u
x e x
f a
1
0 , 1
2
u
x e x
f
, 2
2 22
0
u x
x x
f a
e
Vậy ma trận hệ thống A là:
Trang 11Ta có đa thức đặc tính của hệ thống :
det(sI - A) = s2 – 1 = (s+1)(s-1)
Đa thức đặc tính của hệ thống có 2 nghiệm là s1 = -1 và s2 = 1 trong đó nghiệm s2 nằm bên phải trục ảo, do đó hệ thống không ổn định tại điểm cân bằng
3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp tuyến tính mở rộng (Gain-scheduling))
Thiết kế theo các bước như sau:
1- Xác định các điểm làm việc x v (v),u0(v) của đối tượng (2.1), trong đó v là vector
tham số:
Giải hệ phương trình (2.1) tại điểm cân bằng ta có: 2 2 22
0 0
Chọn v x 1 ta có :
2
Vậy điểm làm việc của đối tượng được biểu diễn theo tham số là: v
v
v x
v
Quan hệ giữa tham số v và các biến trạng thái của đối tượng là:
1
v x
2- Tuyến tính hóa đối tượng tại các điểm làm việc x v (v),u0(v) để có mô hình tuyến tính tương đương:
1 2
f x u
x x
f x u( , )A v x x( ).( v)B v u u( )( v)
A v x B v u( ). ( ).
Trong đó :
( ), ( )
( )
v v
x v u v
f
A v
( ), ( )
1 ( )
0
v v
x v u v
f
B v
u
Vậy mô hình tuyến tính tương đương của nó tại các điểm làm việc sẽ là:
~
~
0
1 2 1
1 0 ) ,
v u
x f
3- Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho đối tượng thông qua mô hình tuyến tính
tương đương:
~
~
~
).
( ).
A
Trang 12Hình 2.1 –Mô hình tuyến tính tương đương
với bộ điều khiển phản hồi trạng thái.
Giả sử các điểm cực của hệ kín (tại điểm làm việc) đã chọn trước là s1s2 1
Sở dĩ ta chọn điểm cực trên vì một số lý do sau đây:
- Điểm cực không nằm trên trục ảo
- Điểm cực nằm bên trái trục ảo thì hàm truyền đạt là hàm bền, khi đó hệ ổn định
Sử dụng phương pháp gán điểm cực, do đối tượng có hai biến trạng thái nên bộ điều khiển 1
R là một ma trận hàng hai cột R1 r r1, 2
0
1
Đồng nhất thức ta có:
1 1
2
1
r
v r
v
Vậy bộ điều khiển R phụ thuộc vào tham số v như sau:1
1
1 , 2
R
v
4 - Từ bộ điều khiển R cho mô hình tuyến tính tương đương ta xác định bộ điều khiển 1
cho mô hình trạng thái phi tuyến ( bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến hay gọi là bộ điều khiển Gain-Scheduling) như sau:
Từ sơ đồ cấu trúc (Hình 2.1) ta có thể viết lại như sau:
1( )
u R v x
1 1
( ).( ) ( ).( )
v v
Từ R ta tìm được ta thay vào phương trình ta được:1
Trang 131 2
1
1
v x
x
v
Do sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái mới chỉ gán được điểm cực chứ không giải quyết được nhứng vấn đề khác như độ quá điều chỉnh, độ sai lệch tĩnh Nên người ta sử dụng thêm một bộ điều khiển tiền xử lý R , vì2
đối tượng (1) có môt tín hiệu vào nên R là một đại lượng vô hướng (giống một khâu2
khuyếch đại)
2( ) 1( )
u R v R v x
Trong bài toán này không cho giá trị đầu ra y nên giả sử ta chọn y x 1 để đánh giá sai lệch tỉnh theo sơ đồ cấu trúc hình 2.2
Hình 2.2 –Mô hình tuyến tính tương đương
với bộ điều khiển phản hồi trạng thái và khâu tiền xử lý.
Lúc này ta có hệ:
~
~
~ 1
).
0 , 1 (
' )
(
x y
B x BR A
1 1
G s C sI A BR B
Từ đó ta có hàm truyền đạt khi có R như sau:2 G s( )G s R v( ) ( )2
Hệ không có sai lệch tĩnh khi:
2 0
0
1 lim ( ) 1 ( )
lim ( )
s
s
G s
s
1 2
u t
x
~
~
~
).
( ).
A
1( )
R v
2( )
T
C
Trang 141 1
1
sI A BR
s
v
G s
s
2
0
0
( )
lim
1
s
s
R v
v
Vậy ta có được bộ điều khiển tiền xử lý là:
2
1 2
R
v
4 MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA
a- Mô hình ban đầu của hệ thống
Hình 2.3 –Sơ đồ cấu trúc của hệ thống.
Trang 15Hình 2.4 –Mô phỏng hệ thống trên Simulink.
Hình 2.5 –Quỹ đạo pha của hệ thống.
b- Mô hình hệ thống có bộ điều khiển
Hình 2.6 –Cấu trúc bộ điều khiển phi tuyến với nhiều khâu xử lý từng phần.
Trang 16Hình 2.7 – Đáp ứng biến trạng thái x1.
Hình 2.8 – Đáp ứng biến trạng thái x2.
Trang 17Hình 2.9 – Quỹ đạo trạng thái từ điểm ban đầu.
