Yêu cầu: 1. Tự đưa ra mô hình toán học của một hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực thì càng tốt). 2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng. 3. Thiết kế bộ điều khiển theo : + Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc (bài 1) + Thiết kế bộ điều khiển GainScheduling (bài 2) 4. Mô phỏng hệ thống vẽ quỹ đạo pha. Bài 1: 1.1 Mô hình hóa hệ cánh tay Robot: Hình 1.1: Mô hình cánh tay Robot Trong đó: J: Mômen quán tính của cánh tay máy. M: Khối lượng của cánh tay máy. m: Khối lượng của vật nặng. l: Chiều dài cánh tay máy. lc: Khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay. B: Hệ số ma sát. g: Gia tốc trọng trường. Min: Mômen tác động lên trục quay của cánh tay máy. (t): Góc quay (vị trí) của cánh tay máy. Theo định luật II Newton, ta có:
Tiểu luận môn học ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - oOo - TIỂU LUẬN CUỐI KÌ MƠN HỌC: LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI Giảng viên hướng dẫn :TS Nguyễn Anh Duy Học viên thực :Huỳnh Văn Minh Lớp :CH Tự Động Hóa Khố :9/2011 - 2013 Đà Nẵng, tháng 8/2012 Yêu cầu: Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận mơn học Tự đưa mơ hình tốn học hệ phi tuyến (phân tích từ hệ thống thực tốt) Xét tính ổn định hệ thống điểm cân Thiết kế điều khiển theo : + Tuyến tính hóa lân cận điểm làm việc (bài 1) + Thiết kế điều khiển Gain-Scheduling (bài 2) Mô hệ thống - vẽ quỹ đạo pha Bài 1: Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận mơn học 1.1 Mơ hình hóa hệ cánh tay Robot: θ(t) Hình 1.1: Mơ hình cánh tay Robot Trong đó: - J: Mơmen qn tính cánh tay máy - M: Khối lượng cánh tay máy - m: Khối lượng vật nặng - l: Chiều dài cánh tay máy - lc: Khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay - B: Hệ số ma sát - g: Gia tốc trọng trường - Min: Mômen tác động lên trục quay cánh tay máy - θ(t): Góc quay (vị trí) cánh tay máy Theo định luật II Newton, ta có: ( J + ml ) θ (t) + B θ (t) + ( ml + Ml ) g cos θ(t) = M c ⇔ θ (t ) = − in B ml + Mlc θ (t ) − g cos θ (t ) + M in 2 J + ml J + ml J + ml x1 (t ) =θ (t ) Đặt biến trạng thái: x2 (t ) =θ (t ) Vectơ tín hiệu đầu vào: u(t) = Min Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận môn học Vectơ tín hiệu đầu ra: y(t) = x1(t) Khi hệ phi tuyến đưa dạng phương trình trạng thái sau: f x = − ( x, u ) − − − y = g ( x, u ) − − − − Trong đó: f1 ( x, u ) x2 − − ml + Ml = f ( x, u ) = B c − − − g cos x1 − x2 + u − f ( x, u ) − − J + ml J + ml J + ml g ( x, u ) = x1 − − − Ta có thơng số cánh tay máy sau: l = 0,5m; lc = 0,2m; m = 0,1kg; M = 1,5kg; J = 0,02 kg.m2; B = 0,005; g = 9,81m/s2 Thay số vào hệ phương trình ta có: f1 ( x, u ) x f ( x, u ) = − − = − − − f ( x, u ) − 98,1cos x1 − 0,111x2 + 22,222u − − (1) 1.2 Xét tính ổn định hệ thống điểm cân bằng: Hệ (1) có điểm cân nghiệm x = ứng với u0 (u = 0): − − x2 e = x2e = ⇔ π − 32,7 cos x1e = x1e = + kπ k ∈Z π + kπ x1e xe = = Điểm cân có tọa độ (xe, u0): x2 e 0 k ∈Z f Sử dụng khai triển Taylor − ( x, u ) g ( x, u ) xung quanh điểm cân ( x−e , − − − − − u0) ta mơ tả hệ thống phương trình trạng thái tuyến tính: Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận môn học ∼ ∼ ∼ d x − = Ax+ Bu − − dt ∼ ∼ ∼ y =C x + Du − − − (2) ∼ x = x − xe − − − ∼ Trong đó: u = u − u0 − − ∼ y = y − g(x ,u ) − − − −e Từ phương trình trạng thái hệ ta có ma trận Jacobi: a A = 11 a21 a11 = a21 = ∂f1 ∂x1 ∂f ∂x1 ∂f1 a12 ∂x1 = a22 ∂f ∂x1 =0 ; ∂f ∂x2 ∂f ∂x2 x e , u0 − a12 = xe , u0 − = 98,1sin x1 x ∂f1 ∂x2 e , u0 − xe , u0 − =1 ; a22 = xe , u0 − 98,1 = − 98,1 ∂f ∂x2 = − 0,111 xe , u0 − π + 2kπ 3π x1e = + 2kπ x1e = k ∈Z ∂f1 b ∂u 0 B= = = 22,222 b2 ∂f ∂u xe , u0 − ∂g C = [ c1 c2 ] = ∂x1 ∂g ∂x2 x = [1 0] e , u0 − ∂g D =[d ] = = [ 0] ∂u xe , u − 3π x1e1 *Trường hợp 1: Điểm cân có tọa độ: xe1 = = x2 e1 Khi ta có ma trận trạng thái sau: Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận môn học 0 A1 = ; B1 = 22,222 ; C1 = [1 0] ; D1 = [ 0] − 98,1 − 0,111 ⇒ Đa thức đặc tính ma trận hệ thống A 1: det(sI - A1) = s2 + 0,111s + 98,1 đa thức Hurwitz nên hệ thống (2) ổn định 3π x1e1 Vì hệ phi tuyến (1) ổn định điểm cân xe1 = = x2 e1 π x1e *Trường hợp 2: Điểm cân có tọa độ: xe = = x2 e Khi ta có ma trận trạng thái sau: 0 A2 = ; B2 = 22,222 ; C2 = [1 0] ; D2 = [ 0] 98,1 − 0,111 ⇒ Đa thức đặc tính ma trận hệ thống A 2: det(sI - A2) = s2 + 0,111s - 98,1 có nghiệm s1 = -9,9602, s2 = 9,8492 nên hệ thống (2) không ổn định, nghĩa π x1e hệ (1) không ổn định điểm cân xe = = x2 e 1.3 Thiết kế điều khiển theo phương pháp tuyến tính hóa lân cận điểm làm việc: Do hệ thống (2) không ổn định nên ta đưa thêm điều khiển R tĩnh, phản hồi trạng thái để ổn định hệ ω − ∼ u − ∼ ∼ dx − dt ∼ ∼ − x − = A x+ Bu − R Hình 1.7: Thiết kế điều khiển làm ổn định hệ tuyến tính Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận môn học Sử dụng phương pháp Roppenecker để chuyển điểm cực tới vị trí s1 = -1, s2 = -2 Với s1 = -1 ta có: −1 −1 −1 − = − 1 98,1 − 0,111 − 98,1 − 0,889 [ s1I − A2 ] = − 0,2286 −1 ⇒ [ s1 I − A2 ] B2 = 0,2286 Với s2 = -2 ta có: −2 −2 −1 − 98,1 − 0,111 = − 98,1 − 1,889 − 2 [ s2 I − A2 ] = − 0,2356 −1 ⇒ [ s2 I − A2 ] B2 = 0,4712 Vì hai vectơ độc lập tuyến tính nên cần chọn t1 = 1, t2 = Khi − 0,2286 −1 a1 = [ s1I − A2 ] B2t1 = − 0,2286 − 0,4712 −1 a2 = [ s2 I − A2 ] B2t2 = − 0,9424 hai vectơ độc lập tuyến tính Suy ra: −1 R = − [t1 t ] [a1 − − 0,2286 − 0,4712 a2 ] = − [1 2] = [ 4,5044 0,13] 0,9424 − 0,2286 −1 Kiểm tra lại thấy R tổng hợp ma trận hệ kín: [ A2 − B2 R] = 0 − 22,222 [ 4,5044 0,13] = − 1,968 − 2,999 có 98,1 − 0,111 hai giá trị riêng -1 -2 Khi ta có hệ kín gồm khâu phi tuyến điều khiển phản hồi trạng thái R ổn định điểm cân xe với miền ổn định θ Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận môn học Với điều khiển này, hệ kín có mơ hình khơng bị kích thích: dx x = f [ x, − R ( x − xe )] = − − dt − − 98,1cos x1 − 2,999 x2 − 100,0968 x1 + 157,2316 − (3) Vấn đề ta phải tìm miền ổn định θ hệ (3) điểm cân xe Trước hết ta ∼ đổi hệ tọa độ: x = x − xe Lúc hệ (3) trở thành: − − − ∼ ∼ − x2 + x2 e = ∼ ∼ ∼ dt − 98,1cos( x1 + x1e ) − 2,999( x2 + x2 e ) − 100,0968( x1 + x1e ) + 157,2316 dx ∼ ∼ x − = f ( x) = ∼ ∼ ∼ − dt − 98,1sin x1 − 2,999 x2 − 100,0968 x1 dx (4) ∼ Sử dụng phương pháp Schultz - Gibson để tìm hàm xác định dương V ( x) : − q q Sử dụng ma trận đối xứng: Q = q q 2 ∂V ∼ ∼ ∼ ∼ q1 x1 + q3 x2 ∂ x1 ⇒ gradV = =Q x = ∼ − ∼ ∂V ∼ q3 x1 + q2 x2 ∂ x 2 Suy ra: ∂V ∼ ∂x f = ( gradV )T f − − ∼ x2 = [q1 x1 + q3 x2 , q3 x1 + q2 x2 ] ∼ ∼ ∼ 98,1sin x1 − 2,999 x2 − 100,0968 x1 ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ q − 2,999q − 100,0968q + 98,1q2 sin x1 + x ( q − 2,999q ) = x1 x2 2 ∼ x1 ∼ ∼ 98,1q3 sin x1 + x1 − 100,0968q3 ∼ x1 ∼ ∼ Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh Tiểu luận môn học ∼ Nếu chọn: q1 = 2,999q3 + 100,0968q2 − 98,1q2 sin x1 ∼ x1 q2 = q3 số thỏa mãn : < q3 < 2,999q2 = 5,998 ∼ sin x1 Mặt khác ta có: ⇒ ∂V ∼ ∂x f ∼ ∼ 98,1q3 sin x1