TIỂU LUẬN CUỐI KÌ MÔN HỌC LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

Yêu cầu: 1. Tự đưa ra mô hình toán học của một hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực thì càng tốt). 2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng. 3. Thiết kế bộ điều khiển theo : + Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc (bài 1) + Thiết kế bộ điều khiển GainScheduling (bài 2) 4. Mô phỏng hệ thống vẽ quỹ đạo pha. Bài 1: 1.1 Mô hình hóa hệ cánh tay Robot: Hình 1.1: Mô hình cánh tay Robot Trong đó: J: Mômen quán tính của cánh tay máy. M: Khối lượng của cánh tay máy. m: Khối lượng của vật nặng. l: Chiều dài cánh tay máy. lc: Khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay. B: Hệ số ma sát. g: Gia tốc trọng trường. Min: Mômen tác động lên trục quay của cánh tay máy. (t): Góc quay (vị trí) của cánh tay máy. Theo định luật II Newton, ta có:

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

oOo

-TIỂU LUẬN CUỐI KÌ MÔN HỌC:

LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

Giảng viên hướng dẫn :TS Nguyễn Anh Duy

Học viên thực hiện :Huỳnh Văn Minh Lớp :CH Tự Động Hóa Khoá :9/2011 - 2013

Đà Nẵng, tháng 8/2012

Yêu cầu:

1 Tự đưa ra mô hình toán học của một hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thốngthực thì càng tốt).

2 Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng

3 Thiết kế bộ điều khiển theo :

+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc (bài 1)

+ Thiết kế bộ điều khiển Gain-Scheduling (bài 2)

4 Mô phỏng hệ thống - vẽ quỹ đạo pha

Bài 1:

1.1 Mô hình hóa hệ cánh tay Robot:

Hình 1.1: Mô hình cánh tay Robot

Trong đó:

- J: Mômen quán tính của cánh tay máy

- M: Khối lượng của cánh tay máy

- m: Khối lượng của vật nặng

- l: Chiều dài cánh tay máy

- lc: Khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay

- B: Hệ số ma sát

- g: Gia tốc trọng trường

- Min: Mômen tác động lên trục quay của cánh tay máy

- (t): Góc quay (vị trí) của cánh tay máy

Theo định luật II Newton, ta có:

J ml2θ (t)t)B θ (t)t)mlMl cgcosθ(t)t)M in

in

ml J t g

ml J

Ml ml t ml J

B

) ( cos )

( )

) ( ) (

2

1

t t

x

t t

x





Vectơ tín hiệu đầu vào: u(t) = Min

Vectơ tín hiệu đầu ra: y(t) = x1(t)

Khi đó hệ phi tuyến đưa về dạng phương trình trạng thái như sau:

(t)

) , (

.

u x g y

u x f x

B x g ml J Ml ml x u x f

u x f u x

2 2 1 2 2 2

1

1 cos

) , (

) , ( ) ,

(

1

) , (x u x

u x f u x

f

222 , 22 111 ,0 cos 1, 98 ) , (

) , ( ) , (

2 1 2 2

1

(1)

1.2 Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng:

Hệ (1) có các điểm cân bằng là nghiệm của



.  0

x ứng với u0 (u = 0):

Z k x x x x

e e

e e

,

32

0

1 2 1 2

Điểm cân bằng có tọa độ (xe, u0): k k Z

x

x x

e e

2 2

u B x A dt

x d

0

u x g y y

u u u

x x x

e e

Từ phương trình trạng thái của hệ ta có các ma trận Jacobi:

0

, 2

2 1 2

2

2 1 1

22 21

12 11

u

x e

x

f x f x

f x f a

a

a a A

0 0 , 1

x

f

0 , 2

x

f

0 , 2

x

f a

Z k k

x

k x

x x

f a

e

e u

x e

u x

3 1

, 98

2 2 1

, 98 sin

1 , 98

1

1

, 1 1

2

0 ,

0

, 2 1 2 1

u

x e

u f u f b b B

0

, 2 1 2

g c

c C

0 ,

g d

1 1 1



e e

x x

Khi đó ta có các ma trận trạng thái như sau:

1 0

0

1

B ; C11 0 ; D1 0

 Đa thức đặc tính của ma trận hệ thống A1: det(sI - A1) = s2 + 0,111s + 98,1 là

đa thức Hurwitz nên hệ thống (2) ổn định

Vì vậy hệ phi tuyến (1) ổn định tại điểm cân bằng 

1 1 1



e e e x

x x

*Trường hợp 2: Điểm cân bằng có tọa độ: 



e e e x

x x

Khi đó ta có các ma trận trạng thái như sau:

1 0



e e e x

x x

1.3 Thiết kế bộ điều khiển theo phương pháp tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc:

Do hệ thống (2) không ổn định nên ta đưa thêm bộ điều khiển R tĩnh, phản hồitrạng thái để ổn định hệ.

Hình 1.7: Thiết kế bộ điều khiển làm ổn định hệ tuyến tính

Sử dụng phương pháp Roppenecker để chuyển các điểm cực trên tới những vị trímới là s1 = -1, s2 = -2

1 1

111 , 0 1 , 98

1 0

1 0

0 1 2

1I A s

     

2286 , 0 2286 , 0

2 1 2

1 2

111 , 0 1 , 98

1 0

2 0

0 2 2

2I A s

     

4712 , 0 2356 , 0

2 1 2

2 2 1 2 2

2 s I A B t a

là hai vectơ độc lập tuyến tính Suy ra:

x d

4 , 5044 0 , 13

9424 , 0 2286 , 0

4712 , 0 2286 , 0 ] 2 1 [ ] [

] [

1 1

2 1 2

1 0 13 ,0 5044 ,4 222 , 22

0 111 ,0 1, 98

1 0 2

2 B R

Khi đó ta có hệ kín gồm khâu phi tuyến và bộ điều khiển phản hồi trạng thái R

ổn định tại điểm cân bằng x e2với miền ổn định 

Với bộ điều khiển này, hệ kín có mô hình không bị kích thích:

(

,

[

1 2

1

2 2

x x

x

x x x R

1,98 1 21 2 22 1 21

22

2

e e e

e

x x x x

2

0968 , 100 999 ,2 sin 1, 98

)

x x

3 1

q q

q q Q

2 3 1 1 2

1

x q x q

x q x q x Q x V x V gradV

1

2 2 2 1 3 2 3 1 1

0968 , 100 999 , 2 sin 1 , 98 ] ,

[

x x

x

x x q x q x q x q

1 3 2

1

2 3

2 2 1

1 2 2

3 1

2 1

0968,100sin

1,98

999,2sin

1,980968

,100999

,2

q x

x q x

q q

x x

x q q

q q

x x

3 1

sin1,980968

,100999

,2

x

x q q

q q

x q x

2 x

x q x q x q x V

2 2 1 3

1 q x x x k x x

x k x d

d x q x V

x q x q x V

1 1 1 1 1

sin2,1961936,200999

,2

x

x q

x x q x k x d d

, 200 999

,

x k x d d

1 2

1 3

1 1 , 4995q x 100 , 0968x 196 , 2 1 cosx x

2 1 3

2 2 2 1

2 1

2 2 1

4 0968 , 100 4995

, 1

q q

x x

x q

và hàm này xác định dương với 



Vậy hệ (4) ổn định tiệm cận Lyaponov tại điểm gốc tọa độ tức là hệ (3) ổn địnhtiệm cận Lyaponov tại điểm cân bằng x e2 Hệ có miền ổn định là toàn bộ mặtphẳng pha nên nó là ổn định tuyệt đối

1.4 Mô phỏng hệ thống và vẽ quỹ đạo pha

1.4.1 Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống

Sơ đồ mô phỏng hệ trong simulink

*Trường hợp 1: Điểm cân bằng có tọa độ: 

1 1 1



e e e x x x

Quỹ đạo pha

1 2 1 1



e e e

x

x

x Nhưng hệ thống có thời gian để xác lập khá lớn

*Trường hợp 2: Điểm cân bằng có tọa độ: 



e e

x x

Quỹ đạo pha

Đáp ứng ra

* Nhận xét:

Từ quỹ đạo pha và đáp ứng ra của hệ thống ta thấy hệ thống không ổn



e e e x

x

1.4.2 Quỹ đạo trạng thái sử dụng phương pháp tuyến tính hóa lân cận điểm làm việc

Sơ đồ mô phỏng trong simulink

Quỹ đạo pha

e e

2 1

x x x

u x x

Viết lại hệ dưới dạng: x  f(x,u)

2

x x

u x f

2.2 Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng

Hệ (2.1) có điểm cân bằng là nghiệm của hệ phương trình  0



x ứng với u0 = 0.Suy ra:

3 2 1

2

e e

e x x

Khai triển Taylor của hàm f(x,u) xung quanh điểm cân bằng (x e,u0) ta có thể

mô tả hệ thống bằng mô hình tuyến tính tương đương:

~

~

~

u B x A dt

x d

f

0 , 2

f a

1

0 , 1

f

, 2

2 22

x x

f a

1 0

A

Ta có đa thức đặc tính của hệ thống :

det(sI - A) = s2 – 1 = (s+1)(s-1)

Đa thức đặc tính của hệ thống có 2 nghiệm là s1 = -1 và s2 = 1 trong đó nghiệm

s2 nằm bên phải trục ảo, do đó hệ thống không ổn định tại điểm cân bằng

2.3 Thiết kế bộ điều khiển theo phương pháp tuyến tính mở rộng scheduling)

(Gain-Thiết kế theo các bước như sau:

1- Xác định các điểm làm việc x v (v), u0(v) của đối tượng (t)2.1), trong đó v là vector tham số:

Giải hệ phương trình (2.1) tại điểm cân bằng ta có: 

1

2 0

x x x u x x u x

v x

v u

Vậy điểm làm việc của đối tượng được biểu diễn theo tham số là: 

v u v v x

v v

Quan hệ giữa tham số v và các biến trạng thái của đối tượng là:

v x

2- Tuyến tính hóa đối tượng tại các điểm làm việc x v (v), u0(v) để có mô hình tuyến tính tương đương:

x x

u x u

3 1

1 0

v x

f v

A x v u v v

v

( ), ( )

1 ( )

0

v v

~

~ 3

0

1 3 1

1 0 ) ,

v u

x f

Giả sử các điểm cực của hệ kín (tại điểm làm việc) đã chọn trước là s1 s2  1

Sở dĩ ta chọn điểm cực trên vì một số lý do sau đây:

-Điểm cực không nằm trên trục ảo

-Điểm cực nằm bên trái trục ảo thì hàm truyền đạt là hàm bền, khi đó

( v x B v u A

Hình 2.1 –Mô hình tuyến tính tương đương

với bộ điều khiển phản hồi trạng thái.

2 1 3

2

3 1

1

0

1 3

1

1 0

v

r r

r r v

BR

A

   1  2

3 2 2 1

3

1

1

v s

r r

s BR A

1

1 3 2 2 3

2 1 2

3 1 1

2 3 2

1 2 3v ; 3v 2 3v R

4 - Từ bộ điều khiển R1 cho mô hình tuyến tính tương đương ta xác định bộ điều khiển cho mô hình trạng thái phi tuyến (t) bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến hay gọi là bộ điều khiển Gain-Scheduling) như sau:

Từ sơ đồ cấu trúc (Hình 2.1) ta có thể viết lại như sau:

( ).( ) ( ).( )

v v

2 3

2 1

3 2 3 2 2

1 3

2 3

2 3 2

3 2 3

3 2 3 3 2

v v x v v

v x t

u

v v

v x

x v

v v t

2 ( ) 1 ( ).

u R v   R v x

1 2

Trong bài toán này không cho giá trị đầu ra y nên giả sử ta chọn y x 1 để đánhgiá sai lệch tỉnh theo sơ đồ cấu trúc hình 2.2.

)

0,1(

')

(

x y

B x BR A

1 1

Từ đó ta có hàm truyền đạt khi có R2 như sau:G s ( ) G s R v( ) ( ) 2

Hệ không có sai lệch tĩnh khi:

2 0

0

1 lim ( ) 1 ( )

2 3

2

1

3 2 3 2 3

2 3 2

1

3 1

3 2 3 3

2

3 1

3 2 3 3 2

v s

v v

v s

BR A sI v

v v

v BR

3 2 3

2 3

2

3 1

3 2 3 3

2

v s

v v

v s

2 3

2 3

2

3 2

3 2 3 2 3

2 3

2

2

3 2 3 3

3

2

3 2

0 1 3

1

3 2 3 3

2 0 , 1 1 1 1

v v

v s v

s

v s

v s

v v

v s

( v x B v u A

Hình 2.2 –Mô hình tuyến tính tương đương

với bộ điều khiển phản hồi trạng thái và khâu tiền xử lý.

 

 

3 2

3 2 3

2 3 2 3

2

3 2

0 0

3 2 3 3 3

2

3 2 lim

1 lim

1

v

v v

v s v s

v s

s G v

R

s s

2 6v

R 



2.4 Mô phỏng hệ thống

a- Mô hình ban đầu của hệ thống

Hình 2.3 –Sơ đồ cấu trúc của hệ thống.

Hình 2.4 –Mô phỏng hệ thống trên Simulink.

b- Mô hình hệ thống có bộ điều khiển

Hình 2.5 –Quỹ đạo pha của hệ thống

Hình 2.6 –Cấu trúc bộ điều khiển phi tuyến với nhiều khâu xử lý từng phần.

Hình 2.7 – Đáp ứng biến trạng thái

Hình 2.8 – Quỹ đạo trạng thái