Các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN DUY THÀNH CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN DUY THÀNH CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TƠ PƠ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 1.1 Khơng gian tô pô không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 1.2 Định lý điểm bất động Brouwer 12 1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff 13 1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani 19 1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan 21 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 27 2.1 Điểm bất động ánh xạ compact 27 2.2 Vấn đề không gian bất biến 34 2.3 Trung bình bất biến nửa nhóm abel 37 2.4 Lý thuyết trò chơi điểm cân Nash 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 LỜI NĨI ĐẦU Nhiều vấn đề tốn học lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, cần sử dụng định lý điếm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff, Markov – Kakutani, Kakutani – Ky Fan Điều cho thấy nghiên cứu vấn đề toán học nói chung tốn học ứng dụng nói riêng khơng thể bỏ qua định lý điểm bất động lớp không gian quan trọng Đây sở khoa học để tác giả lựa chọn đề tài cho luận văn “Các định lý điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương ứng dụng” Dưới tiêu đề tác giả trình bày lại kết lý thuyết điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương số áp dụng lý thuyết vào phần khác tốn học Bản luận văn gồm Lời nói đầu, hai chương, Kết luận danh mục tài liệu tham khảo CHƯƠNG I MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương tóm tắt số định nghĩa kiện liên quan đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứng minh số định lý điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương : định lý Schauder – Tychonoff, định lý Markov – Kakutani, định lý Kakutani – Ky Fan Định lý điểm bất động Kakutani – Ky Fan chứng minh Kakutani cho trường hợp hữu hạn chiều ( 1941) chứng minh Ky Fan cho trường hợp vô hạn chiều (1952) dựa bất đẳng thức chứng minh Ky Fan liên quan đến song hàm nửa liên tục theo biến, nửa liên tục lõm theo biến khác Những định lý sở cho áp dụng lý thuyết điểm bất động chương II CHƯƠNG II MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương xét áp dụng định lý điểm bất động chương I Định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff áp dụng để chứng minh định lý Schaefer tồn điểm bất động lớp toán tử compact, định lý điểm bất động Krasnoselskii, số hệ định lý định lý Lomonosov tồn không gian bất biến không tầm thường lớp tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn có nêu cải tiến định lý Krasnoselskii, chứng minh T.A Burton vào năm 1998, kèm theo ví dụ áp dụng vào lý thuyết phương trình tích phân Định lý Markov – Kakutani áp dụng để chứng minh tồn trung bình bất biến nửa nhóm abel Cuối cùng, bất đẳng thức Ky Fan ( định lý 1.5.4 ) áp dụng để chứng minh tồn điểm cân Nash trò chơi bất hợp tác lý thuyết trò chơi Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thơng dụng tài liệu tốn học đại Tuy nhiên, vài chỗ tác giả giới thiệu ký hiệu để tránh hiểu nhầm Tài liệu tham khảo gồm 06 danh mục, tài liệu [V.Pata] tài liệu tham khảo Tác giả nhận giúp đỡ tận tình thày hướng dẫn, T.S Hoàng Văn Hùng – Viện Khoa học Cơ bản, Đại học Hàng Hải Việt Nam, việc tìm hiểu vấn đề luận văn trình bày lại theo trình tự logic Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập thể thày, Khoa Tốn- Tin, Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên; thày, cô Viện Toán học- Viện Khoa học Việt Nam thày hướng dẫn; người tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt khóa học cao học Đại học Thái Nguyên hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2014 Người viết Trần Duy Thành Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TƠ PƠ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương tóm tắt số định nghĩa kiện liên quan đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứng minh số định lý điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Những định lý sở cho áp dụng lý thuyết điểm bất động chương sau 1.1 Không gian tô pô không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 1.1.1 Không gian tô pô * Cho X tập khác rỗng Một tô pô X lớp τ tập X có tính chất sau: 1) X thuộc τ ∅ (tập rỗng) thuộc τ 2) Hợp họ tuỳ ý tập thuộc τ thuộc τ giao họ hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Một tập X với tô pô τ X ( tức cặp (X, τ )) gọi không gian tô pô Mỗi tập thuộc τ gọi tập mở ( cần xác ta gọi tập thuộc τ τ -mở) Nếu (X, τ ) không gian tô pô Y tập X họ τY gồm tất tập dạng G ∩ Y , G tập mở tuỳ ý thuộc họ τ , tô pô Y Không gian tô pô (Y, τY ) gọi không gian không gian tô pô (X, τ ) Nếu τ σ hai tô pô tập X σ ⊂ τ ta nói τ mịn σ hay σ thô τ Ta xét không gian tô pô tách, tức không gian thỏa mãn tiên đề Hausdorff đây: * Với hai điểm phân biệt x, y X tồn lân cận Ux x lân cận Uy y cho Ux ∩ Uy = ∅ 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian tô pô F tập X Tập F gọi đóng X X\F tập mở Vậy tập đóng tập X mà phần bù mở Các tập đóng có tính chất : 1’) X ∅ đóng 2’) Giao họ tuỳ ý tập đóng đóng Hợp hữu hạn tập đóng đóng 1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian tô pô x phần tử X ( ta gọi phần tử X điểm nó) Một tập mở X chứa x gọi lân cận x Một điểm z X gọi điểm dính tập A ⊂ X lân cận z chứa điểm A Điểm y X gọi điểm giới hạn A lân cận y tìm điểm x A cho x khác y Tập tất điểm dính tập A X gọi bao đóng A, ký hiệu A Ta có : i) A đóng ⇔ A = A ii) A tập đóng bé X chứa A iii) B mở ↔ B lân cận x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở Vx ⊂ B cho x ∈ Vx 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, τ ) không gian tô pô Tập B τ gọi sở tô pô τ tập mở tô pô τ biểu diễn dạng hợp ( hữu hạn vô hạn) tập thuộc B Ví dụ : Tập hình cầu mở ( với tâm điểm tuỳ ý bán kính tuỳ ý) khơng gian metric X sở tô pô gồm tất tập mở X Một sở B tơ pơ τ tập X có tính chất sau 1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G 2) Nếu x chứa giao hai tập G1 , G2 thuộc B tồn tập G thuộc B cho x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 Ngược lại họ B tập tập X có hai tính chất nêu sở tô pô τ gồm tất tập X biểu diễn dạng hợp họ B Tơ pơ gọi tơ pô sinh B Nếu A họ tập X có tính chất “hợp tập thuộc A X” ( nói cách khác : A phủ X ) tập B tập X nhận từ tập A số hữu hạn phép giao thoả mãn hai tính chất 1), 2) Do A gọi tiền sở tô pô sinh B 1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y hai không gian tô pô Ánh xạ f không gian tô pô X vào không gian tô pô Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận Uy0 điểm y0 = f (x0 ) tìm lân cận Vx0 điểm x0 cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 Ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục f liên tục x ∈ X 1.1.6 Mệnh đềi) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục nghịch ảnh f tập mở Y tập mở X ii) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục nghịch ảnh f tập đóng Y tập đóng X iii) Giả sử X, Y, Z không gian tô pô f : X → Y, ϕ : Y → Z ánh xạ liên tục Khi ánh xạ hợp ϕ ◦ f từ X vào Z liên tục 1.1.7 Định nghĩa Giả sử f song ánh từ không gian tô pô X lên không gian tô pô Y Nếu ánh xạ f f −1 liên tục f gọi phép đồng phôi từ X lên Y Hai không gian tô pô X Y gọi đồng phôi tồn phép đồng phôi từ X lên Y 1.1.8 Định nghĩa Không gian tô pô X gọi compact từ phủ mở X trích phủ hữu hạn Tập Y X gọi tập compact X Y xem không gian không gian tô pô X không gian compact 1.1.9 Định nghĩa Họ (Ai ) tập tập T gọi có tính tương giao hữu hạn giao họ hữu hạn tuỳ ý họ (Ai ) khác rỗng 1.1.10 Định lý i) Điều kiện cần đủ để không gian tô pô X compact họ tập đóng có tính chất tương giao hữu hạn X có giao khác rỗng ii) Mọi khơng gian đóng khơng gian tơ pơ compact compact iii) Nếu Y tập compact khơng gian tơ pơ Hausdorff X Y đóng X Với x ∈ / Y tồn tập mở U chứa x, tập mở V chứa Y cho U ∩ V = ∅ iv) Nếu X không gian tô pô compact f song ánh liên tục Suy x ≤ (I − g)(x) = f (y) Theo giả thiết i) ii), với y ∈ C ta có: t f (y) ≤ p + |D(t − s)|[r − p ]ds ≤ p + 1.[r − p ] = r −∞ Vậy x ≤ r x = g(x) + f (y) ∈ C với y ∈ C, tức điều kiện a’) định lý Burton thỏa mãn Như vậy, ví dụ xét tất điều kiện định lý Burton thỏa mãn, phải tồn x ∈ C cho f (x) + g(x) = x Nói cách khác phương trình (*) có nghiệm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π 2.1.4 Mệnh đề: Cho X không gian Banach, g ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B(θ; r) X vào X cho g(B(θ; r)) tập compact tương đối x = r ln có g(x) ∈ / {λx : λ > 0} Khi tồn x0 ∈ B(θ; r) cho g(x0 ) = θ Chứng minh Nếu khẳng định mệnh đề khơng ánh xạ f cho công thức f (x) = rg(x) g(x) ánh xạ liên tục hình cầu đóng B(θ; r) lên mặt cầu S(θ; r) = {x ∈ X : x = r} f (B(θ; r)) tập compact tương đối B(θ; r) Theo định lý 1.3.11 ( Schauder-Tychonoff) ta suy f có điểm bất động x∗ ∈ S(θ; r) Như g(x∗ ) = g(x∗ ) x∗ r với x∗ = r, trái với giả thiết 2.1.5 Mệnh đề: Cho X không gian Banach, g ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B(θ; r) X vào X cho g(B(θ; r)) tập compact tương đối Giả sử với x thuộc mặt cầu S(θ; r) = {x ∈ X : x = r} tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục Λx ∈ X ∗ cho Λx (x) = 1, Λx (g(x)) ≥ Khi tồn x0 ∈ B(θ; r) cho g(x0 ) = θ Chứng minh Nếu khẳng định mệnh đề khơng ánh xạ f cho công thức f (x) = − rg(x) g(x) ánh xạ liên tục hình cầu đóng B(θ; r) lên mặt cầu S(θ; r) = {x ∈ X : x = r} f (B(θ; r)) tập compact tương đối B(θ; r) Theo định lý 1.3.11 ( Schauder-Tychonoff) ta 33 suy f có điểm bất động x∗ ∈ S(θ; r) Suy g(x∗ ) = − g(x∗ ) x∗ r Khi với phiếm hàm tuyến tính liên tục Λx∗ ∈ X ∗ thỏa mãn Λx∗ (x∗ ) = ta có Λx∗ (g(x∗ )) = − g(x∗ ) r < 0, mâu thuẫn với giả thiết 2.1.6 Mệnh đề: Giả sử f : Rn → Rn ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện: lim x →+∞ f (x), x = +∞ x Khi f (Rn ) = Rn Chứng minh Lấy tùy ý y0 ∈ Rn , đặt g(x) = f (x) − y0 Khi g ánh xạ liên tục compact Rn không gian Banach hữu hạn chiều ( không gian Banach hữu hạn chiều ánh xạ liên tục tồn khơng gian ánh xạ compact) Từ giả thiết suy với r > đủ lớn ta có g(x), x x > với x thuộc mặt cầu S(θ; r) = {x ∈ X : x = r} Phiếm hàm Λx = , x x thỏa mãn giả thiết cuối mệnh đề 2.1.5, tồn x0 ∈ B(θ; r) cho g(x0 ) = θ ↔ f (x0 ) = y0 2.2 Vấn đề không gian bất biến Bài tốn khơng gian bất biến tốn lý thuyết tốn tử tuyến tính phạm trù không gian Banach Cho không gian Banach X tốn tử tuyến tính liên tục T từ X vào Một khơng gian đóng M X gọi không gian bất biến T T (M ) ⊂ M Một không gian bất biến M T gọi không tầm thường X = M = {θ} Đã biết tồn tốn tử tuyến tính liên tục T khơng gian Banach X có không gian bất biến tầm thường Năm 1973 nhà toán học Nga Lomonosov chứng minh tồn không gian bất biến không tầm thường tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach X giao hốn 34 với tốn tử tuyến tính compact khác khơng X Chứng minh kiện đơn giản định lý điểm bất động Schauder-Tychonoff đóng vai trị cốt yếu Sau số ký hiệu định nghĩa cần thiết cho mục Cho (X, ) không gian Banach, ký hiệu L(X) tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Nếu T ∈ L(X) T = sup { T x : x ≤ 1} chuẩn L(X) Ký hiệu B(x, r) hình cầu đóng tâm x, bán kính r không gian Banach X 2.2.1 Định nghĩa:Cho X không gian Banach Không gian bất biến không tầm thường M T ∈ L(X) gọi siêu bất biến bất biến với tốn tử S ∈ L(X) giao hoán với T ( nghĩa T S = ST , ký hiệu ST phép hợp S ◦ T ánh xạ S T ) Nhận xét : Nếu T ∈ L(X) tốn tử khác vơ hướng (nghĩa T = αI, α vơ hướng, I tốn tử đồng nhất) T có giá trị riêng λ khơng gian riêng M ứng với giá trị riêng λ không gian siêu bất biến T Thực vậy, S ∈ L(X) giao hốn với T với x ∈ M ta có: λSx = S(λx) = S(T x) = T (Sx) Sx ∈ M M khơng gian bất biến S 2.2.2 Định lý ( Lomonosov) Giả sử X không gian Banach thực vô hạn chiều T ∈ L(X) toán tử khác vơ hướng giao hốn với tốn tử compact khác khơng S ∈ L(X) Khi T có khơng gian siêu bất biến Chứng minh Trước hết ta nhận xét S toán tử compact λ = giá trị riêng S khơng gian riêng F = {x ∈ X : Sx = λx} không gian hữu hạn chiều Thực vậy, thu hẹp S |F S lên không gian đóng F tốn tử vơ hướng F Vì S compact nên S |F tốn tử compact Nhưng tốn tử vơ 35 hướng khơng gian Banach F tốn tử compact F không gian hữu hạn chiều Giả sử trái lại T khơng có khơng gian siêu bất biến Gọi A tập tất toán tử thuộc L(X) giao hoán với T Khi A đại số khác rỗng Với x ∈ X\ {θ} đặt Y (x) = {U x : U ∈ A} Dễ thấy Y (x) khơng gian đóng khác {θ} X bất biến với toán tử T ∈ L(X) giao hốn với T Bởi T khơng có khơng gian siêu bất biến X = Y (x) Nếu cần nhân với vơ hướng thích hợp, ta coi S ≤ mà khơng làm giảm tính tổng quát Chọn x0 ∈ X cho Sx0 > ( điều kéo theo x0 > ) đặt B = B(x0 , 1) Nếu x ∈ S(B) x = θ vì: Sx − Sx0 = S(x − x0 ) ≤ S x − x0 ≤ 1, Sx0 > → Sx ≥ Sx0 − Sx − Sx0 > Với x ∈ S(B) tìm tốn tử T ∈ A cho T x − x0 < X = Y (x) Do với x ∈ S(B) có lân cận mở Vx cho T (Vx ) ⊂ B với T thuộc A Do tính compact tập S(B), tồn phủ hữu hạn V1 , , Vn toán tử T1 , , Tn ∈ A cho Tj (Vj ) ⊂ B (∀j = 1, , n) Giả sử φ1 , , φn phân hoạch đơn vị S(B) phù hợp với phủ mở {V1 , , Vn } đặt: n φj (Sx)Tj (Sx) (∀x ∈ B) f (x) = j=1 Khi f ánh xạ liên tục hình cầu đóng B vào Vì ánh xạ Tj S ánh xạ compact với j, dễ thấy f (B) compact tương đối X Theo định lý 1.3.11 (Schauder-Tychonoff) tồn x∗ ∈ B cho f (x∗ ) = x∗ Ta định nghĩa tốn tử T ∈ A cơng thức: n T = φj (Sx∗).Tj j=1 ∗ Khi ta có (T S)(x ) = T (Sx∗ ) = x∗ Nhưng T S toán tử compact, khơng gian riêng F T S ứng với giá trị riêng phải 36 không gian hữu hạn chiều theo nhận xét đầu chứng minh Vì T S giao hốn với T nên F không gian bất biến ( khác không gian khơng) T Vì X khơng gian Banach thực vô hạn chiều nên F = X Vậy F không gian siêu bất biến T , trái với giả thiết phản chứng Nhận xét: 1) Phép quay góc α = nπ ( n số nguyên) mặt phẳng thực R2 rõ ràng toán tử tuyến tính có khơng gian bất biến tầm thường Vì khơng gian hữu hạn chiều tốn tử tuyến tính compact nên định lý Lomonosov khơng cịn với khơng gian Banach thực hữu hạn chiều 2) Định lý Lomonosov không gian Banach phức vô hạn chiều, khơng gian Banach phức X xem không gian Banach thực xét phép nhân với số thực, đồng thời toán tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach phức X cịn tuyến tính liên tục xét X không gian Banach thực Sự khác biệt chỗ: không gian Banach phức có số chiều hữu hạn ≥ tốn tử tuyến tính có khơng gian bất biến khơng tầm thường 2.3 Trung bình bất biến nửa nhóm abel 2.3.1 Định nghĩa: Tập S khác rỗng với luật hợp thành hai ∗ : (a, b) → a ∗ b ∈ S (a, b) ∈ S gọi nửa nhóm abel ( hay nửa nhóm giao hốn) : i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (∀a, b, c ∈ S) ii) a ∗ b = b ∗ a (∀a, b ∈ S) Ví dụ: Tập số nguyên không âm N với luật cộng , tập số thực khơng âm R+ với luật cộng ví dụ nửa nhóm abel 37 2.3.2 Định nghĩa: Đặt : ∞ Khi (S) = {f : S → R : f = sup {|f (s)| : s ∈ S} < +∞} ∞ (S) không gian Banach thực Một phần tử f ∈ ∞ (S) gọi dương f (s) ≥ (∀s ∈ S) , ký hiệu f ≥ Một phiếm hàm tuyến tính Λ : dương f ∞ ∞ (S) → R gọi dương Λf ≥ với phần tử (S) Ta quy ước ký hiệu hàm S dạng f (s) = α = const ∈ R đơn giản α Với f ∈ ∞ (S), ta ký hiệu |f | hàm ∈ ∞ (S) cho s → |f (s)| (s ∈ S) Rõ ràng |f | hàm dương f = |f | Với ∞ hai phần tử f, g ∈ (S) ta ký hiệu f ≤ g f (s) ≤ g(s) (∀s ∈ S) Nếu phiếm hàm tuyến tính Λ dương từ f ≤ g suy Λ(f ) ≤ Λ(g) 2.3.3 Mệnh đề: i) Mọi phiếm hàm tuyến tính dương ∞ (S) liên tục ii) Nếu phiếm hàm tuyến tính liên tục Λ thỏa mãn Λ = Λ(1) = Λ dương Chứng minh i) Giả sử trái lại Λ phiếm hàm tuyến tính dương khơng liên tục Khi tìm dãy {fn }∞ hàm bị chặn S cho fn ≤ Λ(fn ) ≥ 2n với số nguyên dương n Vì chuẩn ∞ (S) chuẩn supremum nên ta suy fn ≤ |fn | ≤ với n nguyên dương Nhưng Λ phiếm hàm tuyến tính dương nên ta có 2n = Λ(fn ) ≤ Λ(|fn |) ≤ Λ(1) với n nguyên dương Mâu thuẫn Vậy Λ phiếm hàm tuyến tính liên tục ii) Giả sử trái lại Λ thỏa mãn Λ = Λ(1) = khơng phải phiếm hàm tuyến tính dương Khi tồn f ∈ ∞ (S), f ≥ cho Λf = β < Do f ≥ nên với ε > đủ bé ta có : − εf = sup {|1 − εf (s)| : s ∈ S} ≤ 38 Do đó: < − εβ = |1 − εβ| = |Λ(1 − εf )| ≤ − εf ≤ Mâu thuẫn Vậy Λ phiếm hàm tuyến tính dương 2.3.4 Định nghĩa: Cho S nửa nhóm abel với luật hợp thành ∗, t ∈ S Toán tử t-dịch chuyển ∞ ∞ (S) ánh xạ Lt : ∞ (S) → (S) cho công thức: (Lt f )(s) = f (t ∗ s) (∀s ∈ S, ∀f ∈ ∞ (S)) Một trung bình bất biến S phiếm hàm tuyến tính dương Λ ∞ (S) thỏa mãn điều kiện sau: (a) Λ(1) = (b) Λ(Lt f ) = Λ(f ) (∀t ∈ S, ∀f ∈ ∞ (S)) Nếu phiếm hàm tuyến tính tồn tại, ta nói nửa nhóm abel S uốn Ví dụ ( Banach) : Lấy S = N, bất biến ∞ ∞ (S) = ∞ Một trung bình gọi giới hạn Banach suy rộng Nguyên tên gọi sau: x = {xn }∞ n=0 ∈ ∞ lim xn = α ∈ R Λx = α n→∞ Thực vậy, với ε > tồn số nguyên n0 cho α − ε ≤ xn ≤ α + ε với n ≥ n0 Do ta định nghĩa dãy y = {yn } yn = xn+n0 Ln0 (x) = y, Λ(x) = Λ(y) α − ε = Λ(α − ε) ≤ Λ(y) ≤ Λ(α + ε) = α + ε → α − ε ≤ Λ(x) ≤ α + ε Do ε > tùy ý nên từ bất đẳng thức suy Λ(x) = α Như trung bình bất biến Λ ∞ đặt tương ứng dãy x = {xn }∞ n=0 hội tụ α với giới hạn α Điều giải thích tên gọi giới hạn Banach suy rộng trung bình bất biến hạn Banach suy rộng ∞ ∞ Sự tồn giới suy từ định lý tổng quát sau 2.3.5 Định lý ( Day).Mọi nửa nhóm abel S uốn 39 ∞ Chứng minh Ký hiệu (S)∗ không gian liên hợp ∞ (S) đặt : K = {Λ ∈ ∞ (S)∗ : Λ = Λ(1) = 1} Theo mệnh đề 2.3.3 phần tử thuộc K phiếm hàm tuyến tính dương ∞ (S) Dễ thấy K tập lồi theo định lý Banach- Alaoglu (xem [F.Wilde]) K tập compact tô pô yếu ∗ ∞ (S)∗ Ta định nghĩa họ tốn tử tuyến tính Ts : ∞ (S)∗ → ∞ (S)∗ , s ∈ S công thức (Ts Λ)(f ) = Λ(Ls f ) (∀f ∈ Ts liên tục tô pô yếu ∗ ∞ (S)) Ta chứng minh với s ∈ S Tất nhiên, cần chứng minh tính liên tục khơng Giả sử V lân cận thuộc sở lân cận không tô pô yếu ∗ : V = {Λ ∈ ∞ (S)∗ : |Λ(fj )| < εj , j = 1, , n} với số dương ε1 , , εn f1 , , fn ∈ Ts −1 (V ) = {Λ ∈ = {Λ ∈ ∞ (S) Khi ∞ (S)∗ : |(Ts Λ) (fj )| < εj , j = 1, , n} ∞ (S)∗ : |Λ (Ls fj )| < εj , j = 1, , n} lân cận mở khơng Do Ts liên tục tơ pô yếu ∗ không với s ∈ S Tiếp theo ta chứng minh Ts (K) ⊂ K với s ∈ S Thực vậy, với s ∈ S ta có: (Ts Λ)(1) = Λ(Ls 1) = Λ(1) = Mặt khác, Ls f ≤ f (∀f ∈ ∞ (2.2) (S)) nên ta có: Ts Λ = sup {|(Ts Λ)(f )| : f ≤ 1} = sup {|Λ(Ls f )| : f ≤ 1} (2.3) ≤ sup {|Λ(f )| : f ≤ 1} = Λ = Từ (2.2) (2.3) ta suy Ts Λ = 1, lại dùng (2.2) ta suy ra: Ts Λ ∈ K (∀Λ ∈ K, ∀s ∈ S) 40 Vậy Ts (K) ⊂ K với s ∈ S Cuối cùng, S nửa nhóm abel ta có: (Ts ◦Tt )Λ = Ts (Tt Λ) = Ts (Λ◦Lt ) = Λ◦Lt ◦Ls = Λ◦Ls∗t = Λ◦Lt∗s = (Tt ◦Ts )Λ với s, t ∈ S, Λ ∈ K, nghĩa họ tốn tử tuyến tính {Ts } giao hoán Theo định lý 1.4.1 ( Markov – Kakutani), tồn Λ0 ∈ K cho Ts Λ0 = Λ0 (∀s ∈ S), điều tương đương với Λ0 (Ls f ) = Λ0 f ∞ (∀f ∈ (S), ∀s ∈ S) Vậy Λ0 trung bình bất biến S S uốn 2.4 Lý thuyết trò chơi điểm cân Nash Chúng ta xét trò chơi gồm n ≥ người chơi với giả thiết người chơi bất hợp tác Mỗi người chơi theo đuổi chiến lược độc lập với chiến lược người chơi khác Ký hiệu tập tất chiến lược người chơi thứ k Kk đặt K = K1 ×K2 × ×Kn Một phần tử x ∈ K gọi chiến lược hỗn hợp n người chơi Với k ∈ {1, , n} giả sử fk : K → R hàm tổn thất người chơi thứ k Nếu n fk (x) = (∀x ∈ K) (2.4) k=1 trị chơi gọi có tổng khơng, tức tổn thất số người thu nhập số người khác chiến lược hỗn hợp x n người chơi Mục đích người chơi thứ k chọn chiến lược xk ∈ Kk làm cực tiểu hàm tổn thất fk n − người chơi lại chọn chiến lược 2.4.1 Định nghĩa: Điểm cân Nash trị chơi bất hợp tác chiến lược hỗn hợp có tính chất người chơi chịu tổn thất lớn người thay đổi chiến lược người khác giữ nguyên chiến lược họ Nói cách khác, điểm cân Nash 41 chiến lược hỗn hợp x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ K n người chơi có tính chất: fk (x) ≤ fk (x1 , , xk−1 , xk , xk+1 , , xn ) (∀xk ∈ Kk ) (2.5) với k ∈ {1, , n} Nhận xét: Điểm cân Nash (nếu tồn tại) khơng 2.4.2 Định lý ( Nash):Giả sử với k ∈ {1, , n} tập Kk tập lồi, compact khác rỗng không gian véc tơ tô pô lồi địa phương X Giả sử với k ∈ {1, , n} hàm tổn thất fk liên tục K Thêm nữa, với xj ∈ Kj (j = k) cố định, ánh xạ : fk (x1 , , xk−1 , , xk+1 , , xn ) : Kk → R lồi Khi tồn x ∈ K thỏa mãn (2.5), hay x điểm cân Nash theo định nghĩa 2.4.1 Chứng minh Xét hàm Φ : K × K → R cho công thức: n [fk (x) − fk (x1 , , xk−1 , yk , xk+1 , , xn )] Φ(x, y) = k=1 Khi Φ liên tục Φ(x, ) hàm lõm với x ∈ K Từ định lý 1.5.4 (Ky Fan) ta suy tồn x ∈ K cho : sup {Φ(x, y) : y ∈ K} ≤ sup {Φ(y, y) : y ∈ K} = Nói riêng, ta đặt y k = (x1 , , xk−1 , xk , xk+1 , , xn ) với xk ∈ Kk ta nhận được: Φ(x, y k ) ≤ (∀xk ∈ Kk , ∀k ∈ {1, , n}) (2.6) Các bất đẳng thức (2.6) tương đương với (2.5) Với n = xét trị chơi có tổng khơng (cịn gọi đấu tay đơi), giả thiết định lý 2.4.2 giảm nhẹ phát biểu định lý 2.4.3 Định lý ( von Neumann): Giả sử K1 , K2 tập lồi, compact khác rỗng không gian véc tơ tô pô lồi địa phương X 42 Giả sử Ψ : K1 × K2 → R hàm thỏa mãn: (a) Ψ(., x2 ) hàm nửa liên tục lồi với x2 ∈ K2 (b) Ψ(x1 , ) hàm nửa liên tục lõm với x1 ∈ K1 Xét đấu tay đôi với hàm tổn thất tương ứng là: f1 (x1 , x2 ) = Ψ(x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 ) = −Ψ(x1 , x2 ) Khi tồn điểm cân Nash x = (x1 , x2 ) ∈ K1 × K2 Chứng minh Trong trường hợp hàm Φ : (K1 × K2 ) × (K1 × K2 ) → R có dạng: Φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = −Ψ(y1 , x2 ) + Ψ(x1 , y2 ) Lặp lại lý luận chứng minh định lý 2.4.2 (dùng định lý 1.5.4 (Ky Fan)) ta điều phải chứng minh Định lý 2.4.3 thường gọi định lý minimax Lý tên gọi định lý sau: 2.4.4 Định lý: Với giả thiết định lý 2.4.3 ta có: inf sup Ψ(x1 , x2 ) ≤ Ψ(x1 , x2 ) ≤ sup inf Ψ(x1 , x2 ) x2 ∈K2 x1 ∈K1 x1 ∈K1 x2 ∈K2 Chứng minh Ta định nghĩa: g(x1 ) = supx2 ∈K2 Ψ(x1 , x2 ) h(x2 ) = infx1 ∈K1 Ψ(x1 , x2 ) Khi với x1 ∈ K1 , x2 ∈ K2 ta có: h(x2 ) ≤ Ψ(x1 , x2 ) ≤ g(x1 ) Vậy : sup h(x2 ) ≤ inf g(x1 ) x1 ∈K1 x2 ∈K2 Mặt khác, theo định lý 2.4.3 ( von Neumann) : h(x2 ) = inf Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x1 , x2 ) = sup Ψ(x1 , x2 ) = g(x1 ) x1 ∈K1 x2 ∈K2 43 (2.7) Do đó: sup h(x2 ) ≥ h(x2 ) = g(x1 ) ≥ inf g(x1 ) ≥ sup h(x2 ) x1 ∈K1 x2 ∈K2 x2 ∈K2 Vậy tất bất đẳng thức thực chất đẳng thức ta thu (2.7) 2.4.5 Trị chơi tay đơi với tập chiến lược hữu hạn Chúng ta xét trò chơi tay đôi với tập chiến lược K1 , K2 hữu hạn Giả sử người chơi thứ k(k = 1, 2) lựa chọn chiến lược xk ∈ Kk với xác suất pk (xk ) Ký hiệu hàm tổn thất người chơi thứ Ψ(x1 , x2 ) Tổn thất trung bình người chơi thứ là: ΨP (p1 , p2 ) = p1 (x1 )p2 (x2 )Ψ(x1 , x2 ) x1 ∈K1 x2 ∈K2 Tổn thất trung bình người chơi thứ hai −ΨP (p1 , p2 ) Hàm ΨP xác định tập K1P × K2P , : KkP = pk : Kk → [0; 1] : pk (xk ) = xk ∈Kk Nếu đặt K = K1 ∪ K2 , X = ∞ (K), đồng K1P với tập ánh xạ từ K vào [0;1] mà thu hẹp chúng K2 thỏa mãn điều kiện định nghĩa K1P , tương tự đồng K2P với tập ánh xạ từ K vào [0;1] mà thu hẹp chúng K1 thỏa mãn điều kiện định nghĩa K2P Do K hữu hạn tập K1P , K2P com pact, lồi khác rỗng ∞ (K) Ta có: Định lý : Với ký hiệu trị chơi tay đơi với tập chiến lược hữu hạn có điểm cân Nash Chứng minh Các tập KkP (k = 1, 2) hàm ΨP thỏa mãn điều kiện định lý 2.4.3 44 KẾT LUẬN Bản luận văn “Các định lý điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương ứng dụng” trình bày lại cách hệ thống định lý điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương số ứng dụng lý thuyết phương trình tích phân, lý thuyết tốn tử khơng gian Banach, lý thuyết trị chơi Các định lý điểm bất động khẳng định liên quan đề cập đến bao gồm: định lý Schauder – Tychonoff, định lý Markov – Kakutani, bất đẳng thức Ky Fan định lý Kakutani – Ky Fan Các ứng dụng bao gồm: định lý Schaefer tồn điểm bất động lớp toán tử compact hệ quả; định lý điểm bất động Krasnoselskii hệ quả; định lý Lomonosov tồn không gian bất biến không tầm thường lớp tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X; tồn trung bình bất biến nửa nhóm abel; tồn điểm cân Nash trò chơi bất hợp tác lý thuyết trị chơi Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn có trình bày cải tiến định lý Krasnoselskii chứng minh T.A Burton vào năm 1998 ví dụ áp dụng vào lý thuyết phương trình tích phân định lý Các ứng dụng chứng tỏ tầm quan trọng định lý điểm bất động không gian véc tơ tơ pơ lồi địa phương tốn 45 học lý thuyết tốn học ứng dụng Vì vậy, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán trường đại học khoa học đại học sư phạm nước 46 Tài liệu tham khảo [Burton] T.A Burton A fixed – point Theorem of Krasnoselskii Appl Math Lett.Vol.11 No 1, pp 85-88,1998 [Goebel – Kirk] Kazimierz Goebel, W.A Kirk Topics in metric fixed point theory Cambridge University Press, 1990 [Hochstadt] Harry Hochstadt Integral Equations A wiley – interscience Publication New York-London- Sydney-Toronto, 1973 [ J Kelley] J Kelley General Topology, Van Nostrand Co., Princeton (1955) [V Pata] Vittorino Pata Fixed point Theorems and applications Dipartimento di Matematica “F.Brioschi” Politecnico di Milano (Vittorino.pata@polimi.it.) [ F Wilde] Ivan F Wilde Topological vector spaces Lecture Notes Department of Mathematics King’s College, London 47 ... ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 1.1 Không gian tô pô không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 1.2 Định lý điểm bất động Brouwer 12 1.3 Định lý điểm. .. định lý điểm bất động không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Những định lý sở cho áp dụng lý thuyết điểm bất động chương sau 1.1 Không gian tô pô không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 1.1.1 Không. .. dụng lý thuyết điểm bất động chương II CHƯƠNG II MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương xét áp dụng định lý điểm bất động chương I Định lý