bài giảng tìm cực trị môn toán cao cấp giúp bạn nắm chắc cũng như hiểu sâu các kiến thức mà môn toán đem lại giúp bạn không bị mất gốc môn toán khi tham khảo tài liệu bạn cần chọn lọc các kiến thức sao cho áp dụng vào bài học cho đúng
CHƯƠNG KHƠNG GIAN VÉC TƠ TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bài Khái niệm không gian véc tơ Định nghĩa • Cho tập V ≠ ∅ phép toán V: + Phép cộng hai phần tử V: x, y V , x + y V + Phép nhân phần tử V với số thực (hoặc phức): x V , R ( C ) x V • Tập V với hai phép tốn gọi khơng gian véc tơ R (hoặc C) với x, y, z ∈ V k, l ∈ R (hoặc C) ta có (1) x + y = y + x (2) (x + y) + z = x + (y + z) (3) Tồn phần tử θ ∈ V cho ( phần tử trung hòa với phép cộng) x + θ = θ + x = x (∀x ∈ V) (4) Với ∀x ∈ V, tồn phần tử (−x) ∈ V cho x + (−x) = θ (1 đgl phần tử trung hòa với phép nhân ) (5) x = x1 = x (6) k(lx) = (kl)x (7) (k + l)x = kx + lx (8) k(x + y) = kx + ky Định nghĩa: Tập V khác rỗng thỏa mãn phép toán t/c nêu gọi KGVT trường số thực Một số ví dụ KGVT 3 Khơng gian véc tơ • Khơng gian con: ĐN1 + Cho V không gian véc tơ W ⊂ V Nếu W với hai phép toán V tạo thành khơng gian véc tơ W gọi không gian V + Định lý: Cho W ⊂ V W ≠ ∅ Khi W khơng gian V W đóng với hai phép tốn V, nói cách khác x, y W , R ( C ) x + y W , x W Định nghĩa 𝐖 ⊂ 𝐕 W thỏa mãn điều kiện 𝟏) 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐖 𝐭𝐡ì 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝐖 𝟐) 𝐤 ∈ 𝐑, 𝐱 ∈ 𝐖 𝐭𝐡ì 𝐤𝐱 ∈ 𝐖 Thì W kGVT KGVT V Bài Họ vec tơ Đọc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1) Hệ sinh: +Cho hệ véc tơ S = {v1 , v2 , … , } ⊂ V, tổ hợp tuyến tính S véc tơ có dạng k1 v1 + k v2 + … + k n , ( k1 , k2 , R ) + Tập tất tổ hợp tuyến tính S gọi bao đóng tuyến tính S, ký hiệu span(S) span(S) = { k1 v1 + k v2 + … + k n , k1 , k2 , R } + Span(S) không gian véc tơ +Tập S = {x1 , x2 , … , xn } ⊂ V gọi hệ sinh không gian W phần tử W tổ hợp tuyến tính S, tức W = span(S) Định nghĩa Hệ sinh Họ vec tơ S = {v1 , v2 , … , } ⊂ V đgl hệ (họ) sinh KGVT V vec tơ x thuộc V x đêu biểu diễn đc qua họ véc tơ S Thưc hành; Xét k1 v1 + k v2 + … + k n = x Chứng minh phương trình ln có nghiệm k với vec to x Suy S hệ sinh Chỉ tồn tai vec tơ x làm cho hệ vô nghiệm suy S Hệ sinh 2) Họ vec tơ Đọc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính + Hệ S = {v1 , v2 , … , } ⊂ V gọi độc lập tuyến tính k1 v1 + k v2 + … + k n = θ ↔ k1 = k = ⋯ = k n = + Hệ S = {v1 , v2 , … , } ⊂ V gọi phụ thuộc tuyến tính tồn số k1 , k , … , k n không đồng thời cho k1 v1 + k v2 + … + k n = θ Bài Cơ sở số chiều Không gian vec tơ Hệ sinh Họ vec tơ S = {v1 , v2 , … , } ⊂ V đgl hệ (họ) sinh KGVT V vec tơ x thuộc V x đêu biểu diễn đc qua họ véc tơ S Thưc hành; Xét k1 v1 + k v2 + … + k n = x Chứng minh phương trình ln có nghiệm k với vec to x Suy S hệ sinh Chỉ tồn tai vec tơ x làm cho hệ vô nghiệm suy S Hệ sinh Cơ sở số chiều a) Định nghĩa sở Hệ S = {v1 , v2 , … , } ⊂ V gọi sở V S t/m điều kiện 1) hệ sinh 2)độc lập tuyến tính V b) Đinh nghĩa số chiều Số chiều KGVT = { số vecrơ sở } Kí hiệu dim (V) = số véc tơ sở V = R^n dim (V) = n Cụ thể V = R^2 , dim (V ) = V = R^3 , DIM (V) =3 Bài Tìm để x thuộc vào không gian sinh họ véc tơ S = a, b, c, d : a=( 1,2,3,4 ); b=(3,4,1,2); c=(2,4,6,8); d = (2,1,3,4); x = (4, −2, 4, ) a=( 1,2,4,2); b=(3,2,1,1); c=(1,4,1,2); d= (2,4,8,2); x = (2, 7, , 2) Bài 2.Tìm m để hệ sau độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính R3 a) a = (1,2, m); b = (−1, m, −2); c = (1,4 + m, 2m − 2) b) a = (1, −2,5); b = (2, m − 3,1); c = (2, m, 0) Bài Chỉ hệ sau không sở không gian tương ứng a) S = {(1,2), (1,0), (0,1)}trong R2 b) S = {(1,3,0), (4,1,2), (−2,5, −2)} R3 c) S = {(6,4,1), (3, −5,1), (8,13,16), (0,6,9)} R3 + Hệ S = {x1 , x2 , … , xn } ⊂ V gọi sở V S hệ sinh độc lập tuyến tính V + Nếu khơng gian V có sở gồm hữu hạn véc tơ, số véc tơ sở V Số gọi số chiều V, ký hiệu dim(V) + Định lý: Hệ S = {x1 , x2 , … , xn } sở V véc tơ x ∈ V có biểu diễn x = k1 x1 + ⋯ + k n xn • Một số khơng gian bản: + Không gian ℝn = {(x1 , … , xn )|xi ∈ ℝ}, dim(ℝn ) = n Cơ sở tắc e = {ei , i = ̅̅̅̅̅ 1, n}: e1 = (1,0, … ,0); e2 = (0,1, , … ,0); … ; en = (0,0, … ,1) + Khơng gian Mm×n = {(aij )m×n }, dim(Mm×n ) = mn Cơ sở tắc e = {eji , i = ̅̅̅̅̅ 1, m, j = ̅̅̅̅̅ 1, n}: eij = (akl )m×n , akl = (k, l) ≠ (i, j) aij = +Không gian Pn (x) = {p = a0 + a1 x … + an x n |ai ∈ ℝ}, Cơ sở tắc e = {ei , i = ̅̅̅̅̅ 0, n}: dim(Pn (x)) = n + eo = 1; e1 = x; … ; en = x n + Không gian nghiệm hệ AX = θ có số chiều n − r(A) Tọa độ véc tơ, Ma trận chuyển sở Bài Tọa độ véc tơ sở ĐN: Giả sử S = {e1 e2 , … , en } sở V Với véc tơ x ∈ V, x có biểu diễnduy dạng x = k1 e1 + ⋯ + k n en Khi đó, tọa độ x theo S, ký hiệu: k1 [x]S = ( ⋮ ) kn Nói cách khác, x S k1 k = x = k1e1 + kn en x = S x S kn + Nếu S sở tắc [x]S gọi tọa độ tắc Tọa độ tắc thường viết [x]e Ví Dụ: Tìm tọa độ x = (4,7) sơ S, biết S = {(1,2), (0,1)} R2 Giải; Ma trận chuyển sở S sang sở S’: + Cho S = {v1 , v2 , … , }, S ′ = {f1 , f2 , … , fn } hai sở V Nếu a11 a12 a1n ⋮ ⋮ [f1 ]S = ( ) ; [f2 ]S = ( ) ; … ; [fn ]S = ( ⋮ ) an1 an2 ann a11 a12 … a1n ⋮ ⋮ ) ; gọi ma trận chuyển sở từ S sang S′ T = (aij )n×n = ( ⋮ an1 an2 … ann Cách tìm T; Bước , Lấy vec tơ S’ biểu diễn qua S Bước Lập ma trận T cấp n, (viết tọa độ biểu diễn trên) Ví dụ Trong khơng gian R2 , tìm ma trận chuyển sở từ sở S = {(1, 1), (1, 2)} sang sở S′ = {(2, 1), (1, 4)} Lời giải Giả sử có biểu diễn (2, 1) = α1 (1, 1) + α2 (1, 2) (1, 4) = β1 (1, 1) + β2 (1, 2), { α1 + α2 = α1 + 2α2 = Giải hệ ta α1 = 3, α2 = −1, { β1 + β2 = β1 + 2β2 = β1 = −2, β2 = Vậy ma trận chuyển từ sở 𝑆 sang sở 𝑆′ T = ( −1 −2 ) + Tính chất: T khả nghịch T −1 ma trận chuyển sở từ S′ sang S [x]S′ = T −1 [x]S Với ∀x ∈ V [x]S = T [x]S′ Bài tập: Bài Trong không gian ( ) , cho sở S gồm véc tơ: ( ) ( ( ) ) 1) a = 1, 4, ; b = 3, 2, ; c = 1, 1, Tìm tọa độ véc tơ x = 10, 11, 10 theo sở S 2) ( ) ( ) ( ) ( ) a = 1, 3, −2 ; b = 5,1,1 ; c = 2, −1,1 Tìm tọa độ véc tơ x = 15, 10, −3 theo sở S Bài Trong R3 cho hai hệ véc tơ S = {u1 , u2 , u3 } S′ = {v1 , v2 , v3 }, u1 = (1, −1, −1); u2 = (0, 1, 2); u3 = (0, 0, −2); v1 = (1, 0, −1); v2 = (1, 0, 1); v3 = (−2, 2, 2) a) Chứng minh hệ véc tơ S S′ sở R3 b) Tìm ma trận chuyển từ S → S′ Bài 3.Tìm ma trận chuyển từ sở S sang S ′ trường hợp a) S = {(1,0), (0,1)}; S ′ = {(2,4), (1,3)} b) S = {(1,0,2), (0,1,3), (1,1,1)}; S ′ = {(2,1,1), (1,0,0), (0,2,1) c) S = {(1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1)}; S′ = {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} Bài Cơ sở số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thn • Hạng hệ véc tơ: + Cho hệ véc tơ S = {x1 , x2 , … , xm } Số chiều Span(S) gọi hạng S, ký hiệu r(S) + Tính chất: r(S) < 𝑚 hệ S phụ thuộc tuyến tính Hơn nữa, r(S) = m hệ S độc lập tuyến tính • Bài tốn tìm hạng hệ véc tơ: + Cho hệ véc tơ S = {x1 , x2 , … , xm } Ma trận ghép cột tọa độ x1 , x2 , … , xm theo sở tắc gọi ma trận tọa độ S + Định lý: Nếu A ma trận tọa độ hệ véc tơ S dim[span(S)] = r(S) = r(A) VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1.1 Chứng minh tập R2 với hai phép toán sau không gian véc tơ (KGVT) 𝑅 (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ); k(x, y ) = (kx, ky ) Chứng minh tập R2 không gian véc tơ Lời giải Dễ thấy thỏa mãn phép tốn tính chất suy tập R2 không gian véc tơ Lời giải Ta kiểm tra tiên đề KGVT sau: Vì phép cộng cho phép cộng KGVT R2 nên có tính chất giao hốn, tính chất kết hợp; phần tử trung hoà (0,0) ∈ R2 phần tử (x, y) ∈ R2 có phần tử đối (−x, −y) ∈ R2 Với ∀α = a + bi ∈ C, ∀u = (x1 , y1 ), v = (x2 , y2 ) ∈ R2 , ta có α(u + v) = (a + bi)(x1 + x2 , y1 + y2 ) = (ax1 + ax2 − by1 − by2 , ay1 + ay2 − bx1 − bx2 ) = (ax1 − by1 , ay1 − bx1 ) + (ax2 − by2 , ay2 − bx2 ) = αu + αv Tương tự, kiểm tra tính chất khác KGVT Như vậy, R2 với hai phép tốn cho khơng gian véctơ trên C Ví dụ Tập R2 , với phép cộng thông thường phép nhân với số thực xác định bởi: 𝛂(𝐱, 𝐲) = (𝟎, 𝟎), ∀𝛂 ∈ 𝐑, ∀(𝐱, 𝐲) ∈ 𝐑𝟐 có khơng gian véc tơ hay không ( (𝐱 𝟏 , 𝐲𝟏 ) + (𝐱 𝟐 , 𝐲𝟐 ) = (𝐱 𝟏 + 𝐱 𝟐 , 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 ); Phép cộng thông thường Tập R2 ) Lời giải Với a ≠ (x, y) = (0,0) ≠ (x, y) (khơng thỏa mãn t/c 5) Suy Vậy, R2 khơng gian véctơ R Ví dụ 3.3 Các tập sau có khơng gian R2 hay không a) F = {(r, −r); r ∈ R} b) G = {(x, y); ≤ x, y ∈ R} Lời giải a) Nếu u = (r, −r), v = (s, −s) ∈ F, ∀α ∈ R, u + v = (r + s, −r − s) = (r + s, −(r + s)) ∈ F, αu = (αr, −αr) ∈ F Vậy, F đóng với hai phép toán Hơn nữa, hiển nhiên F ≠ ∅ suy F không gian véc tơ R2 b) Ta có α = −1 ∈ R, u = (1,1) ∈ G, αu = (−1, −1) ∉ G Do đó, G khơng phải khơng gian R2 Ví dụ 3.4.Trong R3 , cho véc tơ u = (1, 2, 3); v = (−2, −5, −2); w = (1, 2, −1); b = (7, 6, 1) Véc tơ b có thuộc khơng gian Span(u, v, w) R3 hay không? Lời giải Giả sử b = αu + βv + γw Khi (7, 6, 1) = α(1, 2, 3) + β(−2, −5, −2) + γ(1, 2, −1) Tương đương với hệ α − 2β + γ = {2α − 5β + 2γ = 3α − 2β − γ = Định thức ma trận hệ số khác không, nên hệ có nghiệm Từ đó, b ∈ Span(u, v, w) Ví dụ 3.5 Cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } độc lập tuyến tính Chứng minh rằng, hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính b1 = a1 + 2a2 + a3 ; b2 = 2a1 − a2 + 3a3 ; b3 = a1 + 3a2 + a3 Lời giải Giả sử α1 b1 + α2 b2 + α3 b3 = θ Khi α1 (a1 + 2a2 + a3 ) + α2 (2a1 − a2 + 3a3 ) + α3 (a1 + 3a2 + a3 ) = θ Vì {a1 , a2 , a3 } độc lập tuyến tính nên hệ thức xảy a1 + 2a2 + a3 = {2a1 − a2 + 3a3 = a1 + 3a2 + a3 = Do định thức hệ khác nên hệ phương trình có nghiệm tầm thường Vậy hệ {b1 , b2 , b3 } độc lập tuyến tính Ví dụ 3.6.Trong R5 , tìm sở không gian F = {(x, y, z, t, 0); y = 3x, t + 2z = 0} Lời giải Ta có, ∀u ∈ F u = (x, 3x, z, −2z, 0) = x(1, 3, 0, 0, 0) + z(0, 0, 1, −2, 0) Nếu đặt v = (1, 3, 0, 0, 0); w = (0, 0, 1, −2, 0) u = xv + zw Do đó, {v, w} hệ sinh F.Dễ kiểm tra {v, w} độc lập tuyến tính nên sở F Ví dụ 3.7 Tìm theoα số chiều khơng gian F R4 sinh hệ véctơ: v1 = (−1, 2, 1, 2); v2 = (1, α, 1, 3); v3 = (1, −1, −1, −1); v4 = (−1, 2, α, 2); v5 = (1, 1, −1, 1) Lời giải Lập ma trận tọa độ hệ véc tơ biến đổi sơ cấptheo hàng: −1 A=( α −1 −1 −1 1 −1 α−1 −1 α −1 )→( −1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 α α ) (c2 ↔ c5) −1 →( 0 3 −1 α+2 )→ ( 0 1 0 −1 α−1 α+2 ) 3−α Nếu α = 3, α = dim(F) = r(A) = Nếu α ≠ α ≠ dim(F) = r(A) = ìï Ví dụ 3.8 Cho W= ïí ïï ïỵ ỹ ổ a ùù a + bữ ỗỗ ữ : a, b ẻ R ý ữ ỗỗa - b ùù 2b ữ ữ ố ứ ùỵ Chng minh W không gian véc tơ không gian ma trận vng cấp Tìm số chiều sở W Lời giải ỉ a ỉ1 1ư ổ 1ử a + bử ữ ữ ữ ỗ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ữ w ẻ W w = ỗỗ = a + b , a, b ẻ R ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ 2b ứ 1 ỗốa - b ỗ ỗ ÷ ÷ ÷ è ø è ø ìï ỉ1 1ư ổ 1ửỹ ùù ữ ữ ùỗ ỗ ữ ữ w ẻ Span ỗỗ , ỗỗ ý ữ ữ ữ ữ ùù ỗố1 0ứ ữ ốỗ- 2ứ ữùù ùợ ùỵ Vy W l khụng gian vộc t ổ1 1ử ổ0 ữ ỗ ữ , ỗỗ D thy hai ma trn ỗỗỗ ữ ữ 1ử ữ ữ độc lập tuyến tính nên hệ gồm hai ma trn ny l mt ữ ữ ỗố1 0ứ ữ ốỗ- 2ø ÷ sở W, dimW = Chú ý: Có thể chứng minh W khơng gian véc tơ sau: Xét hai phần tử bất k ca ổ a W l w = ỗỗỗ ổ a a + bư a + b ư÷ ữ ỗỗ ữ ữ ; w = ữ ữ.Vi số thực a , b , ta có ÷ 2b ứ 2b ứữ ỗốa - b ữ ốỗỗa - b ữ ổ aa a (a + b )ử ữ ỗ ữ a w+ a w1 = ỗỗ + ữ ữ ỗỗốa (a - b ) a (2b ) ø ÷ ỉ a 1a a (a + b )ử ữ ỗỗ ữ ữ ỗỗ ữ ữ a (2b ) ứ ữ ỗốa (a - b ) æ (a a + a 1a ) (a a + a 1a ) + (a b + a 1b )ửữ ỗỗ ữ = ỗ ữ ữ çç(a a + a 1a ) - (a b + a b ) ÷ a b + a b ( ÷ 1) è ø Vậy a w + a w1 Ỵ W, " a ,a Ỵ R, w, w1 Ỵ W Từ W khơng gian véc tơ Ví dụ 3.9 Các véc tơ sau có sinh R3 khơng x = (1, 0, 1); y = (2, 1, −1); z = (3, 1, 0); t = (4, 1, 1) Lời giải Ma trận hệ véc tơ S = {x, y, z, t} A = (0 −1 1) Biến đổi sơ cấp A theo cột, đưa dạng bậc thang theo cột A → (0 1 −3 −3 1 ) → (0 −3 1 −3 0 0 0) Do đó, r(S) = dim(Span(S)) = r(A) = < dim(R3 ) = Hệ S không sinh R3 Ví dụ 3.10 Xét độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ M2 A=( 1 );B = ( 1 Lời giải Ma trận hệ véc tơ S = {A, B, C} −1 );C = ( −1 ) 1 E=( 1 −1 −1 ) Biến đổi sơ cấp E theo cột, đưa dạng bậc thang E→( 1 −1 −1 −2 −1 )→( −1 −2 −1 −1 −2 0 ) 0 Do đó, r(S) = r(E) = nhỏ số véc tơ S Vậy hệ S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 3.11.Các véc tơ sau có sở P2 (x) không a) p1 = − x + x ; p2 = + x − 2x b) p1 = − x + x ; p2 = + x − 2x ; p3 = − x c) p1 = − 2x + x ; p2 = x − 2x ; p3 = − x + x Lời giải a) Khơng, số véc tơ hệ khác số chiều P2 (x) b) Ma trận tọa độ hệ véc tơ S = {p1 , p2 , p3 } A = (−1 −2 −1) →det(A) = → r(S) = r(A) < Hệ S phụ thuộc tuyến tính, khơng sở P2 (x) c) Ma trận tọa độ hệ véc tơ S = {p1 , p2 , p3 } A = (−2 1 −2 −1) →det(A) ≠ → r(S) = r(A) = Hệ S độc lập tuyến tính, S sở P2 (x) Ví dụ 3.12 Trong khơng gian R2 , tìm ma trận chuyển sở từ sở f = {(1, 1), (1, 2)} sang sở g = {(2, 1), (1, 4)} Lời giải Giả sử có biểu diễn (2, 1) = α1 (1, 1) + α2 (1, 2) (1, 4) = β1 (1, 1) + β2 (1, 2), { α1 + α2 = α1 + 2α2 = { β1 + β2 = β1 + 2β2 = Giải hệ ta α1 = 3, α2 = −1, β1 = −2, β2 = Vậy ma trận chuyển từ sở f sang sở g T = ( −1 −2 ) BÀI TẬP 3.1 Tập R2 với phép toán sau có khơng gian véc tơ khơng a) Phép cộng thông thường: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Phép nhân thông thường: k(x, y) = (kx, ky) Ví dụ Phép cộng: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (y1 + y2 , x1 + x2 ) Phép nhân: k(x, y) = (kx, ky) Ví dụ 4) Phép cộng: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 ) Phép nhân: k(x, y) = (kx + k − 1, ky) Ví du Cho 𝑊∁V = R^3 Với phép cộng phép nhân thông thường, Hỏi W có phải KGVT hay khơng ? a) W = {(x1 , 1, 0)|x1 ∈ R, } Đường thẳng y=1 mp xoy b) W = {(x1 , 0, x3 )|x1 , x3 ∈ R, } mặt phắng xoz c) W = {(x1 , 0, x3 )|x3 > 0, } nửa mặt phẳng x0z, z> Trả lời: d) 𝑊 = {(x1 , 0, 0)|x1 ∈ R, } Đương thẳng trục Ox Chú ý: V la KGVT, phần tử V đc goi véc tơ V; khơng gian R^n, Khơng gian đa thức có bậc nhở n 3.2 Tập tập sau không gian Rn a) A = {(x1 , … , xn )|xi ∈ ℤ, i = ̅̅̅̅̅ 1, n} b) B = {(x1 , … , xn )|x1 + ⋯ + xn = 0} c) C = {(x1 , … , xn )|x1 + ⋯ + xn = 1} d) D = {(x1 , … , xn )|x1 = xn } e) E = {(x1 , … , xn )|k1 x1 + ⋯ + k n xn = 0, k i ∈ R} 3.3.Tập tập sau không gian M2 a b ) ; a, b, c ∈ R} b c a−b ) ; a, b ∈ R} b) G = {( b−a a+b −c ) ; a, b, c ∈ R} c) H = {( c a−b a) F = {( 3.4.Tập tập sau không gian P3 (x): a) I = {a + bx + (a + b)x |a, b ∈ R} b) J = {a + bx + cx + dx |a + b = c + d, a, b, b, c ∈ R} c) K = { a + bx + cx + dx |a + b + c − d = 2, a, b, b, c ∈ R} 3.5 Hệ sau có sinh không gian tương ứng không a) {(1,2,3); (2,1,0); (4,5,6)} R3 b) {1 + x; − x + 3x ; 3x − x } P2 (x) c) {( );( 2 );( 0 );( )} M2 d) {x − 2x; x + 8; x − x ; x − 4} P3 (x) 3.6 Xác định không gian sinh véc tơ sau a) u1 = (−2, −1, −3); u2 = (1, 2, 3); u3 = (−1, 1, 0)trong R3 b) u1 = (2, 1, −3); u2 = (1, 2, 3); u3 = (−1, 1, 0) R3 c) p1 = + x; p2 = − 2x + 3x ; p3 = − 3x + 6x trongP2 (x) d) m1 = ( 1 ) ; m2 = ( 1 ) ; m3 = ( 3 ) ; m4 = ( ) M2 3.7 Cho hệ véc tơ R4 : u1 = (1, 2, 3, −1); u2 = (−2, −3, −5, 1); u3 = u4 = (−1, −3, −4, 2) Tìm biểu diễn tuyến tính có véc tơ u theo hệ trên, a) u = (−1, 2, 1, 0) b) u = (4, −1, 3, 5) 3.8* Trong R3 , kiểm tra mệnh đề span(u1 , u2 ) = span(v1 , v2 ) a) u1 = (3, −4, 2); u2 = (2, 3, −1); v1 = (0, −17, 7); v2 = (11, 9, 5) b) u1 = (2, −1, 5); u2 = (−1, 4, 3); v1 = (1, 2, 8); v2 = (4, 5, 21) 3.9 Xét phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hệ véc tơ a) {(1,2,3); (2,0, −2); (4,4,4)} R3 b) {(1,0,1,0); (2,0,1,2); (2,0,2,4) R4 c) {x − 1, x + 1, 4x, 2x − 3} P2 (x) d) {2 − x, 2x − x , − 5x + x }trong P2 (x) −1 −8 );( );( )} M2 −2 22 23 1 1 ); ( ); ( ); ( )} M2 f) {( 1 0 0 e) {( g*) {1, sin2 x, cos2x, cos2 x} C[−π, π] h*) {sinx, sin2x, sin3x} C[−π, π] 3.10.Tìm m để hệ sau độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính R3 a) a = (1,2, m); b = (−1, m, −2); c = (1,4 + m, 2m − 2) b) a = (1, −2,5); b = (2, m − 3,1); c = (2, m, 0) 3.12.Chỉ hệ sau không sở không gian tương ứng (1, 2, 3, −1); a) S = {(1,2), (1,0), (0,1)}trong R2 b) S = {(1,3,0), (4,1,2), (−2,5, −2)} R3 c) S = {(6,4,1), (3, −5,1), (8,13,16), (0,6,9)} R3 3.13.Tìm số chiều sở cho không gian nghiệm hệ phương trình 3x1 + x2 + x3 + x4 = 5x1 − x2 + x3 + x4 = a)x1 − 3x2 + x3 = b) { 3x + y + 9z = c) {x + 2y − 2z = 2x + y + 5z = x + 3y + 5z + 7t = d){ 2x + 4z + 2t = 3x + 2y + 8z + 7t = −1 e) (−2 −1 x1 x −1 ) ( ) = (0) x3 −3 x4 −1 3.14 Gọi M tập hợp ma trận X thỏa mãn phương trình 3 (2 3) X = (0) Chứng minh M khơng gian véc tơ thực.Tìm số chiều sở M 3.15 Cho tập hợp W = {P(x) = a + bx + cx |a − b − 2c = 0} Chứng minh W khơng gian P2 (x) Tìm sở số chiều W 3.16 Cho tập hợp W = {m = ( a 2a + 3b ) ; a, b ∈ R} Chứng minh W không gian 3b −b M2 Tìm sở số chiều W 3.17 Trong không gian P2 (x) cho tập M gồm đa thức p(x) thỏa mãn p(2) = 0; p(3) = 2p(−1) Chứng minh M khơng gian P2 (x).Tìm số chiều sở M 3.18 Giả sử hệ (e1 , e2 , e3 ) sở không gian véc tơ V Cho hệ véc tơ x1 = e1 + 2e2 − e3 ; x2 = 2e1 + 5e2 − e3 ; x3 = −3e1 − 5e2 + 7e3 Hệ (x1 , x2 , x3 ) có sở không gian véc tơ V không? Tại sao? 3.19.Tìm sở số chiều khơng gian sinh a) {(1, 3, 1); (2, 5, 1); (1, 1, 1)} R3 b) {x + 4x + x ; + 2x + x + 3x ; + x; + x + 4x } P3 (x) 3.20 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ S = {(1,3,2); (0,1,2); (0,2,1)} Chứng minh S sở R3 tìm tọa độ véc tơ x = (1,6,5) theo S 3.21 Trong không gian M2 , cho hệ S gồm véc tơ m1 = ( 1 ) ; m2 = ( −1 1 ) ; m3 = ( 1 ) ; m4 = ( 0 ) Chứng minh S sở M2 tìm tọa độ véc tơ 𝑚 theo S, biết m=( ) 3.22 Trong không gian P2 (x), cho hệ S = {1 + x + x , + x, − 2x} Chứng minh S sở P2 (x) tìm tọa độ đa thức p = + x theo S 3.23 Trong R3 cho hai hệ véc tơ S = {u1 , u2 , u3 } S′ = {v1 , v2 , v3 }, u1 = (1, −1, −1); u2 = (0, 1, 2); u3 = (0, 0, −2); v1 = (1, 0, −1); v2 = (1, 0, 1); v3 = (−2, 2, 2) a) Chứng minh hệ véc tơ S S′ sở R3 b) Tìm ma trận chuyển từ S → S′ 3.24.Tìm ma trận chuyển từ sở S sang S ′ trường hợp a) S = {(1,0), (0,1)}; S ′ = {(2,4), (1,3)} b) S = {(1,0,2), (0,1,3), (1,1,1)}; S ′ = {(2,1,1), (1,0,0), (0,2,1) c) S = {(1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1)}; S ′ = {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} ... Khơng gian véc tơ • Khơng gian con: ĐN1 + Cho V không gian véc tơ W ⊂ V Nếu W v? ?i hai phép toán V tạo thành khơng gian véc tơ W g? ?i không gian V + Định lý: Cho W ⊂ V W ≠ ∅ Khi W khơng gian V... Ví dụ 1.1 Chứng minh tập R2 v? ?i hai phép toán sau không gian véc tơ (KGVT)