Chương 1: Không gian tuyến tính R ppsx

Nếu cùng với hai phần tử bất a, b bất kỳ thuộc V mà V chứa toàn bộ đường thẳng đi qua hai phần tử ấy thì V được gọi là một đa tạp tuyến tính hoặc đa tạp aphin.. Tức là: aphinHay biểu d

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Rn

§1 Không gian tuyến tính

1.1 Khái niệm về không gian tuyến tính

Đn 1.1 Cho K là tập con của tập hợp các số phức C Tập K được gọi là một

trường, nếu thỏa mãn các tiên dề sau đây:

(a) Nêu α, β là các phần tử thuộc K thì α+β và αβ cũng là những phần tử thuộc K

(b) Phần tử 0 và 1 đều là phần tử thuộc K

(c) Nếu α∈ K thì -α cũng là phần tử thuộc K Ngoài ra, nếu α≠ 0 thì α-1 cũng là phần tử thuộc K (với a α- =1).

Ví dụ: Tập hợp các số thực R, tập hợp các số phức C và tập hợp các số hữu tỉ

Q là những trường Trong khi đó tập hợp các số nguyên Z không phải là một

trường, vì với n ≠ 0, n-1 = 1/n không phải là số nguyên

Đn 1.2: Tập X ≠ ∅ gồm các đối tượng nào đó được gọi là một không gian

tuyến tính trên trường K, nếu trên đó:

(I) Có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một phần

tử z cũng thuộc X được gọi là “tổng” của x và y, ký hiệu z = x + y;

(II) Có qui tắc cho ứng với một phần tử α∈ K và một phần tử x ∈ X một phần tử p cũng thuộc X gọi là tích giữa α với x, ký hiệu là p

= αx.

(III) Các qui tắc cho ở (I) và (II) phải thỏa mãn 8 tiên đề sau đây: (1) ∀x, y ∈ X: x + y = y + x (tính giao hoán)

(2) ∀x, y, z ∈ X : (x+y) + z = x + (y+z) (tính kết hợp) (3) ∃θ (phần tử 0) sao cho ∀x ∈ X : θ + x = x + θ = x (4) ∀x∈X: ∃ x’ (phần tử đối) sao cho: x + x’ = x’ + x = θ

(5) ∀x∈X: 1x = x; (1∈K)

(6) ∀α∈K, ∀x, y ∈X: α(x+y) = αx + αy

(7) ∀α, β∈K, ∀x∈X: (αβ)x = α(βx)

(8) ∀α, β∈K, ∀x∈X: (α+β)x = αx + βx

Chú ý: Trong không gian tuyến tính X:

0

2) Người ta ký hiệu các qui tắc được định nghĩa trong (I) và (II) là

các phép cộng và nhân với một “vô hướng” trên trường K;

3) Ứng với một phần tử x bất kỳ cũng có duy nhất một phần tử đối x’ Vì vậy phần tử này được ký hiệu là (-x);

4) Từ đó phần tử tổng của x và phần tử đối (-y) của phần tử y được gọi là “hiệu” giữa hai phần tử x và y Tức là: x – y = x + (-y)

= C, thì X là không gian tuyến tính phức

Ở bài tập 1.1 bạn đọc sẽ chúng minh được rằng trong không gian tuyến tính

Ví dụ về không gian tuyến tính:2

1) Không gian các vectơ tự do trên đường thẳng (trong mặt phẳng, trong không gian) lần lượt là những không gian tuyến tính với phép cộng vectơ

và phép nhân một vectơ với một vô hướng và vecto 0 là phần tử 0 Vì vậy các phần tử trong một không gian tuyến tính thường được gọi là các

vectơ và không gian tuyến tính còn được gọi là không gian vectơ.

2) Tập hợp các số thực cũng là không gian tuyến tính

3) Ta xét tập hợp X gồm các bộ n số thực (x1, x2, …., xn), với xi∈R, i = 1,2,

…, n

Ta định nghĩa phép cộng giữa x = (x1, x2, …., xn) và y = (y1, y2, …., yn) như sau:

x + y = (x1+y1, x2+y2,…., xn+yn),

αx = (αx1, αx2, …., αxn)

–x = (-x1, -x2, …., -xn), dễ thấy rằng tập X là một không gian tuyến tính

1.2 Cơ sở, chiều của một không gian tuyến tính

Đn 1.3: Cho X là một không gian tuyến tính (thực hoặc phức), {x1 , x 2 , …., x k }

là k vectơ thuộc X, k ∈ N Các vectơ x i , i=1,2,…,k, được gọi là độc

lập tuyến tính nếu đẵng thức

1 Từ nay về sau, khi nói X là “không gian tuyến tính” thì đó là không gian tuyến tính thực.

2 Các ví dụ tiếp theo về không gian tuyến tính xin xem ở [ ]

(1.1) α1x 1 + α2x 2 +….+ αkx k = 0

chỉ xãy ra khi α1 = α2 =… = αk = 0.

Từ định nghĩa này suy ra, nếu tồn tại ít nhất một αl ≠ 0, 1 ≤ l ≤ k để cho

thuộc tuyến tính.

Đn 1.4: Cho {x1 , x 2 , …., x k } là hệ k vectơ thuộc không gian tuyến tính X, k ∈

N, và x∈ X Nếu tồn tại các vô hướng αi (thực hoặc phức), i = 1,2,

Rõ ráng, hệ vectơ {x1, x2, …., xk} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

một trong số các vectơ ấy có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

Đn 1.5: Một hệ vectơ {x1 , x 2 , …., x k } trong không gian tuyến tính X được gọi

Ứng với một cơ sở {x1, x2, …., xk} cho trước thì sự biểu diễn x ở (1.3) là

theo cơ sở {x1, x2, …., xk} Do đó có thể viết

x = (α1, α2,…, αn)

Ví dụ: Trong không gian Rn, cho n bộ số thực đặc biệt e1 = (1, 0,….,0), e2 = (0, 1, 0,…,0), …., en = (0,0,…, 1) Dễ thấy rằng hệ {e1, e2,…, en} là hệ độc lập tuyến tính Lấy x = (α1, α2,…, αn), là bộ gồm n số thực αi , i = 1,2,…,n

Rõ ràng đẵng thức sau đây thỏa mãn:

Đn 1.6: Trong không gian tuyến tính X một vectơ độc lập tuyến tính {x1 , x 2 ,

…., x k } gọi là hệ (vectơ) độc lập tuyến tính cực đại, nếu thêm vào hệ

đó bất kỳ một vectơ nào khác sẽ được hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Rõ ràng theo Đn 1.5 thì mỗi cơ sở của X là một hệ độc lập tuyến tính cực đại trong X

Đn 1.7: Số vectơ độc lập tuyến tính cực đại có trong X được gọi là số chiều

của X, ký hiệu là dim X.

tính cực đại trong X đúng bằng m, tức là dim X = m

tính nào đó trong X đều là một cơ sở của X

• Định lý bổ sung cơ sở: nếu dim X = m và {x1, x2, …., xk} là hệ gồm k vectơ độc lập tuyến tính trong X với k < m thì bao giờ cũng tìm thấy (m-k) vectơ xi∈ X, i = k+1, k+2,….m, sao cho hệ {x1, x2, …., xk, xk+1, xk+2,

Đlý 1.1: Cho X là không gian tuyến tính (thực hoặc phức), dim X = n, {f 1 , f 2 ,

…., f n } là một cơ sở của X Cho x∈X bất kỳ và (α1, α2,…, αn) là tọa

độ của x theo cơ sở {f 1 , f 2 , …., f n }; tức là

i k i

k k

0, i 1,2, k 1,k 1, ,n 0

Vì y bất kỳ nên điều này chứng tỏ hệ {f1, f2,…, fk-1, x, fk+1,…, fn} là một cơ sở

Toạ độ của y theo cơ sở mới:

Ghi chú: Phép biến đổi toạ độ (1.10) gọi là phép biến đổi cơ sở hay phép

biến đổi trục xoay (pivot-transformation)

1.3 Không gian tuyến tính con

Đn 1.8: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K, L là tập con của X; L

≠∅ Tập L được gọi là không gian (tuyến tính) con của X nếu bản

thân L là không gian tuyến tính với phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như trên X.

Hiển nhiên, giao của một họ bất kỳ các không gian con của X cũng là một không gian con (của X) Cho A là tập con không rỗng của X Bao giờ cũng có một không gian con của X chứa A Đó là không gian X Giao của tất

cả các không gian con của X chứa A là không gian con nhỏ nhất của X chứa

A, ký hiệu liA, và được gọi là bao tuyến tính của A Tức là

Đlý 1.2: Tập L ⊆ X là không gian con của X khi và chỉ khi:

Chứng minh: Rõ ràng, nếu L là không gian tuyến tính trên trường K thì

(1.11) là hiễn nhiên Ngược lại, nếu (1.11) thỏa mãn thì dễ dàng kiểm chứng

8 tiên đề ở phần 1.1 Đặc biệt, nếu α = β = 0 thi 0∈ L và khi β = 0, α = -1,

trường K Vậy L là không gian con của X ª

Ví dụ về không gian con:

1) Tập L = {0} và L = X là những không gian con đặc biệt

con của Rn

3) Cho A là ma trận cấp (mxn) Ký hiệu r[A] là hạng của ma trận A

4) Không gian các ma trận thực có m hàng, n cột với phép cộng và nhân ma trận thông thường; phần tử 0 là ma trận 0

5) Không gian các đa thức có hệ số thực có bậc không quá n

6) Không gian các hàm số thực, xác định và liên tục trên [a,b] (không

được gọi là đường thẳng đi qua a và b.

(tia) xuât phát từ b và đi qua a.

(tia) xuât phát từ a và đi qua b.

• Nếu đồng thời thêm cả hai điều kiện α ≥ 0 và β ≥ 0 thì D là

đoạn thẳng nối a với b.

Đn 1.10: Cho V là tập con của X, V ≠∅ và có ít nhất hai phần tử phân biệt

Nếu cùng với hai phần tử bất a, b bất kỳ thuộc V mà V chứa toàn

bộ đường thẳng đi qua hai phần tử ấy thì V được gọi là một đa tạp

tuyến tính (hoặc đa tạp aphin) Tức là:

aphinHay biểu diễn dưới dạng khác: V là đa tạp tuyến tính, nếu và chỉ nếu

(1.15) ∀α, β∈ K: αV + βV ⊆ V

Hiển nhiên bất kỳ không gian con nào cũng là một đa tạp tuyến tính và giao của một họ bất kỳ các đa tạp tuyến tính, nếu khác trống, cũng là một đa tạp tuyến tính Cho A là tập con không rỗng của X Bao giờ cũng có một đa tạp tuyến tính chứa A Đó là toàn bộ không gian X Giao của tất cả các đa tạp tuyến tính của X chứa A là đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa A, ký hiệu là

affA và gọi là bao aphin của A Tức là:

Trong bài tập 1.2 bạn đọc sẽ chứng minh rằng, nếu V là đa tạp tuyến tính trong X, thì

là tổ hợp aphin gồm k phần của x thì tính chất này có thể được phát biểu như

sau: Nếu V là đa tạp tuyến tính thì bất kỳ tổ hợp aphin nào đó của các phần

tử của V đều chứa trong V

Đlý 1.3: Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K, V ⊆ X, V≠

∅ và a∈ V Tập V là đa tạp tuyến tính khi và chỉ khi V có dạng: (1.18) V = L + a = {x∈X/ ∃ y∈L: x = y + a}

Trong đó L là không gian con của X.

Chứng minh: a) Giả sử V là đa tạp tuyến tinh Từ (1.18), L = V – a = {x∈X/

αx + βy = α(x’-a) + β(y’-a)

= αx’+ βy’ - (α + β)a

= αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a - a Đặt z = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a Vì x’, y’, a∈V và α+β+ [1 -(α + β)]=1 nên

lý 1.2 thì L là không gian con

b) Giả sử L là không gian con và V có dạng như (1.18) Lấy x, y∈ V,

α,β∈K, với α+β =1 Khi đó sẽ tồn tại x’, y’∈L để cho x = x’+ a, y = y’+ a

với L(a) = V – a là một không gian con của X Cho b là phần tử khác của V Khi ấy cũng theo định lý trên L(b) = V-b cũng là không gian con của X Tuy nhiên, trong bài tập 7 bạn đọc sẽ chứng minh rằng L(a) = L(b) Tức là, mỗi

đa tạp tuyến tính V sẽ tương ứng với duy nhất một không gian con L, xác

định bởi (1.8), trong đó a là một phần tử bất kỳ của V Vì phép biến đổi (1.8)

là phép tịnh tiến song song, nên người ta gọi L là không gian con song song

với đa tạp tuyến tính V Từ đây có thể định nghĩa thứ nguyên của một đa tạp

tuyến tính như sau:

dimV = dimL

Tức là, thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính được định nghĩa là chiều của

không gian con song song với nó

§2 Không gian Euclid, không gian định chuẩn,

không gian mêtric

2.1 Không gian Euclid

Đn 2.1: Không gian tuyến tính X được gọi là không gian Euclid (Ơcơlit)

nếu

1) có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một số

thực α, ký hiệu α = 〈x,y〉, gọi là tích vô hướng giữa x và y; 2) Tích vô hướng xác định ở 1) phải thỏa mãn 4 tính chất sau đây:

i) ∀x, y∈X: 〈x,y〉 = 〈y,x〉

ii) ∀x, y, z∈X: 〈x+y,z〉 = 〈x,z〉 +〈y,z〉

iii) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈αx,y〉 = α〈x,y〉

Ví dụ về không gian Euclid:

〈ar,b r〉 = ar.b r = ar.b r.cos(ar,b r)

C[a,b], là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa như sau:

vô hướng giữa x = (x1, x2,… xn) và y = (y1, y2,…, yn) được định nghĩa theo một trong 2 cách sau đây:

2.2 Không gian định chuẩn

Đn 2.2 : Không gian (tuyến tính) X trên trường vô hướng K được gọi là

không gian (tuyến tính) định chuẩn, nếu trên đó có qui tắc cho ứng với mỗi phần tử x∈X bất kỳ một số thực không âm gọi là chuẩn

4 Khi ấy tính chất vii) ở định nghĩa 2.1 trở thành Bất đẵng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:

(hoặc độ dài) của x, ký hiệu là x , thỏa mãn các tính chất sau đây:

Dễ thấy rằng không gian Euclid là một không gian định chuẩn với chuẩn được định nghĩa như sau:

Chuẩn (2.1) được định nghĩa dựa vào tích vô hướng trong không gian

2.3 Không gian mêtric

Đn 2.2: Một tập hợp X được gọi là khả mêtric hay gọi đơn giản là không

gian mêtric, nếu có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y∈X bất kỳ

một số thực không âm gọi là khoảng cách (mêtric) giữa x và y, ký

hiệu là ρ(x,y), thỏa mãn các tính chất sau đây:

i) ∀x, y ∈X:ρ(x,y) ≥ 0 và ρ(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y (Tính không âm)

ii) ∀x, y ∈X: ρ(x,y) = ρ(y,x) (Tính đối xứng)

iii) ∀x, y, z ∈X: ρ(x,z) ≤ρ(x,y) + ρ(y,z) (Bất đẵng thức tam

giác)

Dễ thấy rằng không gian định chuẩn X là không gian mêtric với

5

Ngoài chuẩn euclide x = x, x =

n 2 i

b) Chuẩn trị tuyệt đối: x 1 =

n i

i 1

=

Đặc biệt, vì Rn, là không gian định chuẩn nên cũng là không gian mêtric với khoảng cách

lại không phải lúc nào cũng đúng

bằng nhau, đều có thể là không gian mêtric, nếu định nghĩa

được gọi là hình cầu tâm x bán kính ε

Hiển nhiên x∈ S(x, ε)

Đn 3.2 Một tập con V của X được gọi là một lân cận của x ∈ X, ký hiệu là

V(x) nếu nó chứa một hình cầu S(x, ε) với số ε> 0 nào đó.

gọi là điểm trong của A Tập hợp tất cả các điểm trong của A được

là Ao ⊆A

được gọi là điểm ngoài của A Hiển nhiên mọi điểm ngoài của A

đều không thuộc A

ngoài của A khác x Khi ấy x được gọi là điểm biên của A Tập hợp

V(x) V(x) V(x)

x x x

điểm ngoài của nó Tức là A = Ao ∪∂A

Tập trống ∅ và toàn bộ không gian X được coi là vừa mở vừa đóng.

Từ định nghĩa trên đây dễ dàng thấy rằng tập A là mở khi và chỉ khi

phần bù của C X A là tập đóng Trong Bài tập 13 bạn đọc sẽ chứng minh các

Cho A là tập con không rỗng bất kỳ của X Bao giờ cũng có một tập mở

trong của A Theo tính chất T2 thì intA cũng là một tập mở và là tập mở lớn

Mặt khác, bao giờ cũng có một tập đóng bao hàm A Đó là toàn bộ không gian X Ta xét giao của tất cả các tập đóng F(A) bao hàm A, ký hiệu

3.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Đn 3.4: Tập hợp A gòm các phần tử trong không gian mêtric X được gọi là

một dãy vô hạn, ký hiệu là { } xk nếu tồn tại một song ánh từ các phần tử của A lên tập hợp các số tự nhiên N

là hội tu về x0, ký hiệu

k

x →∞→ x hay lim xk k x0

nếu ρ (x , x )k 0 k→∞→ 0

Cho X= Rn và lấy ρ = ρE(x,y) = n 2

i =1,n _ , là các toạ độ của x, y theo một cơ sở nào đó Khi ấy xkk→∞→ x0

tương ứng với ρ (x , x )k 0 k→∞→ 0, hay

• Một dãy vô hạn { } xk trong không gian mêtric X được gọi là dãy

Cauchy, nếu ∀ε >0 bất kỳ có thể tìm thấy ∃ k0 ∈N, sao cho ∀k,l > k0 đều

có ρ(xk,xl) < ε Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là một dãy Cauchy Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng

không gian mêtric đủ Vì trong Rn mọi dãy Cauchy đều hội tụ nên nó là một không gian mêtric đủ

Đn 3.5: Một dãy vô hạn khác { } xk l được gọi là dãy con của { } xk nếu

a) { } xk l ⊆{ } xk

b) ∀ ∈ k0 N, l ∃ ∈0 N : ∀ > ⇒ > l l0 kl k0

trong dãy con { } xk l so với thứ tự của chúng trong dãy lớn { } xk nếu bị thay

đổi thì chỉ có thể thay đổi với hữu hạn các phần tử mà thôi

• Dễ thấy rằng, nếu xkk→∞→ x0 và { } xk l là dãy con của dãy { } xk thì

l k

x →∞→ x

Tức là nếu dãy { } xk hội tụ về x0 thì mọi dãy con của nó cũng đều hội tụ về

nhiều điểm khác nhau

• Nếu { } xk ⊂ A và x0 là giới hạn của { } xk thì nó được gọi là điểm tụ của

A

3.3 Tập hợp compac

Đn 3.6: Một tập A trong không gian mêtric X là hoàn toàn giới nội (hoặc

tiền compac, hoặc compac có điều kiện) nếu ∀ε > 0 có thể tìm thấy hữu hạn các điểm a 1 , a 2 , , a k k ∈ N, để cho

Ở bài tập 15 bạn đọc sẽ chứng minh rằng trong một không gian mêtric bất kỳ một tập hợp hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội

Đn 3.7: Tập V trong không gian mêtric X được gọi là compac nếu mỗi dãy

vô hạn trong V đều chứa một dãy con hội tụ về một điểm thuộc V.

Từ định nghĩa này ta thấy rằng một tập V là đóng khi và chỉ khi V chứa toàn bộ các điểm tụ (giới hạn) của nó Bài tập 16 cho thấy rằng một tập hợp compac thì bao giờ cũng đóng và hoàn toàn giới nội Mặt khác, một tập hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội Do vậy một tập compac trong không gian mêtric bất kỳ là đóng và giới nội Ngược lại, do một tập giới nội trong không gian mêtric đủ thì hoàn toàn giới nội, nên một tập đóng và giới nội trong không gian mêtric đủ là compac Như vậy trong không gian mêtric

Người ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, nếu A là compac thì cũng là tiền compac Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng

6 Cho t p A đóng và gi i n i L y {xậ ớ ộ ấ k} là dãy vô h n b t k Do {xạ ấ ỳ k} b ch n, nên t nị ặ ồ

t i m t dãy con {xạ ộ kl} h i t v xộ ụ ề 0 Do A đóng nên x0∈A V y A compac.ậ

Xem V.V Voerodin: Đạ ối s tuy n tính, NXB Mir 1983, Tr 234 ế

đúng Ví dụ, trong R tập A = (0;1) với mêtric ρ(x,y) = x-ylà tập tiền compac nhưng không compac.

§4 Tập hợp lồi

4.1 Khái niệm về tập lồi và các tính chất của tập lồi

Đn 4.1: Cho X là không gian mêtric bất kỳ; V là tập con không rỗng của X

Tập V được gọi là lồi nếu với hai điểm x, y bất kỳ V chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm đó Tức là:

ấy tính chất T1) có thể phát biểu thành định lý như sau: Nếu V là lồi thì V

cũng chứa toàn bộ các tổ hợp lồi của các điểm của nó

T2) Giao của hữu hạn các tập lồi, nếu không rỗng, cũng là một tập lồi.

T3) Cho A,B là tập con lồi của X, a∈X và α∈R Khi đó các tập hợp sau đây

T4) Nếu A là lồi thì phần trong và bao đóng của A cũng là lồi

Cho A là tập con không rỗng của không gian mêtric X Bao giờ cũng có một tập lồi chứa A Đó là toàn bộ không gian X Ta xét giao của tất cả các tập con lồi của X mà chứa A Theo tính chất T2) thì đây cũng là tập lồi và là

tập lồi nhỏ nhất chứa A Người ta gọi nó là bao lồi của A và ký hiệu là

convA (hoặc coA) Tức là:

Trong đó G(A) là lồi và chưa A Hiễn nhiên khi A lồi thì convA = A

Người ta định nghĩa thứ nguyên của một tập lồi A là thứ nguyên của bao aphin affA Tức là

dimA = dim(affA)Như vậy, tập một điểm sẽ có dim = 0, đoạn thẳng, nửa đường thẳng, đường thẳng là những tập có thứ nguyên 1, v.v

Đlí 4.1 (Carathéodory)

Nếu A là tập hợp chứa trong đa tạp aphin V với dimV = r thì mỗi điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá (r+1) điểm thuộc A.

Chúng minh: Ta có A ⊆ V và dimV = r Lấy y∈convA bất kỳ Khi đó y có

cũng là phần tử của V Như vậy các vectơ xi – xk , i = 1,2, , (k-1), là (k-1) phần tử thuộc không gian con L Vì theo giả thiết (k-1) > r, nên (k-1) vectơ

=1,2, ,(k-1) không đồng thởi bằng 0 để cho

i 11

ngược lại, chứng minh sẽ được thực hiện như trong phần b) Qua mỗi bước người ta sẽ bớt đi dược ít nhất một số hạng trong tổ hợp lồi xác định y Do

đó sau một số hữu hạn lần thực hiện qui trình như phần b) sẽ có một số p,

được chứng minh xong ª

Theo định lý này thì nếu A là tập hợp chứa trong một đường thẳng thì mọi điểm của bao lồi của A có thể được biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá 2 điểm thuộc A, vì dimA = 1 Tương tự, nếu A là tập hợp chứa trong mặt phẳng thì mọi điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá 3 điểm thuộc A v.v

4.2 Nón lồi

Đn 4.2: Tập K’ trong không gian tuyến tính X được gọi là nón có mũi (đỉnh)

tại x 0 , nếu

Rõ ràng các không gian con và các đa tạp tuyến tính đều là những nón có

thể Do đó có thể nghiên cứu K thay cho nghiên cứu K’ Vì vậy ta có định nghĩa như sau:

Đn 4.3: Tập K trong không gian mêtric X gọi là nón có đỉhh tại gốc nếu

Đn 4.4: Nón K là nón lồi nếu nó là tập lồi.

Từ đây ta có thể chứng minh định lý sau đây:

Đlí 4.2: Tập K trong không gian mêtric X là nón lồi khi và chỉ khi

ii) ∀ x, y K : ∈ x y K + ∈ (4.7)

αx + (1-α)y = x’ + y’ ∈ K Suy ra K là nón lồi.

b)Điều kiện cần: i) là hiển nhiên vì K là một nón Lấy x, y ∈ K bất kỳ Ta có:

x + y = 2[(1/2)x + (1/2)y] = 2z, với z = [(1/2)x + (1/2)y] Vì K là tập lồi nên

Cho A là tập con bất kỳ của X Bao giờ cũng có một nón lồi chứa A Đó

chứa A, cũng là nón lồi và chứa A Đó là nón lồi nhỏ nhất chứa A Người ta

gọi đó là nón lồi sinh bởi A.

4.3 Định lý về nón đóng:

Đlí 4.3: Cho A là ma trận cấp (mxn) Nếu các cột của A là độc lập tuyến tính

thì phép biến đổi tuyến tính y = Ax sẽ biến một tập đóng X ⊆ R n thành một tập đóng Y⊆ R m

Chúng minh: Lấy dãy vô hạn {yk} ⊆ Y, tức yk = Axk, k = 1, 2, , Giả sử yk

biến 7 Tức là tồn tại (ATA)-1 Từ {yk} ta có dãy vô hạn {xk} trong X với xk = (ATA)-1 (AT yk), k = 1, 2, Đặt x0 = (ATA)-1 (AT y0) Do

lim xk k (A A) (A (lim y )) (A A) (A y ) xT −1 T k k T −1 T 0 0

nghĩa x0 ta có AT y0 = (ATA) x0 = AT(Ax0) Hay AT(y0 - Ax0) = 0 Do các cột

giới hạn của nó Suy ra Y là tập đóng ª

Chứng minh: Dễ thấy rằng Y là nón lồi Chỉ còn phải chứng tỏ Y là tập

đóng Ký hiệu A.j là các cột của A, j = 1,2, ,n và A(js) là ma trận tạo bởi s cột độc lập tuyến tính A.jl, l = 1, 2, , s s ≤ k = r[A] ≤ min{m;n} Để đơn giản

vectơ cột của A) Ứng với mỗi ma trận như vậy ta thành lập tập hợp như định nghĩa trong Đlí 4.3:

s m

là nón đóng, nên, theo Đlí 4.3, Yjl là tập đóng Cho s chạy từ 1 đến k ≤ n ta sẽ

Y và số tập con như vậy là hữu hạn nên Y* là tập đóng (hợp của hữu hạn các

n j j

như phần chứng minh định lý Capathéodory dể biểu diễn y thành tổ hợp

Từ hai bao hàm thức này suy ra Y* = Y Do vậy Y là nón lồi, đóng ª

4.4 Các định lý tách