tài liệu toán cao cấp giúp bạn có thêm kiến thức môn học cũng như nắm chắc hơn về chương này, tài liệu rất chi tiết giúp bạn không bỏ lõ học phần nào qua đó giúp bạn nắm chắc môn toán cao cấp hơn và hiểu bài hơn
BÀI THIẾT LẬP BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài tốn thực tế Có n loại dầu thơ, khối lượng 𝑎𝑗 𝑗 = 1, 𝑛 Cần sản xuất 𝑚 loại dầu thành phẩm với lượng đặt trước 𝑏𝑖 i= 1, 𝑛 Biết dầu thô thứ 𝑗 sản xuất thành 𝑎𝑖𝑗 dầu thành phẩm thứ 𝑖 Cứ dầu thô thứ 𝑗 sản xuất chi phí 𝑐𝑗 ($) ? Hãy xác định khối lượng dầu thô loại cần đưa vào sản xuất để thực đơn hàng với chi phí nhỏ Giải - Gọi khối lượng dầu thô cần sản xuất 𝑥𝑗 𝑗 = 1, 𝑛 - Điều kiện ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝑎𝑗 , 𝑗 = 1, 𝑛 - Chi phí sản xuất: 𝑛 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑚𝑖𝑛 𝑗=1 - Khối lượng dầu thành phẩm thu là: 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 𝑗=1 𝑖 = 1, 𝑚 Thiết lập tốn Tìm 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) thỏa mãn: 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑚𝑖𝑛 Hàm mục tiêu 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 Ràng buộc chung 𝑗 = 1, 𝑛 Ràng buộc dấu 𝑗=1 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝑎𝑗 , Định nghĩa Hàm 𝑓(𝑥) gọi hàm mục tiêu 𝑥 thỏa mãn , (3) gọi phương án 𝑥 thỏa mãn , , (3) gọi phương án tối ưu (PATƯ) Các dạng toán quy hoạch tuyến tính a) Dạng tổng qt Tìm 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) thỏa mãn: 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → min(max) (1) 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑘 (2) 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 𝑘 + 1, 𝑚 𝑗=1 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛) (3) b) Dạng chuẩn tắc Tìm 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) thỏa mãn: 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑗=1 (1) 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 (2) 𝑗=1 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑛 (3) b) Dạng chuẩn tắc a) Dạng tổng quát Tìm 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) thỏa mãn: Tìm 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) thỏa mãn: 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → min(max) 𝑗=1 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑛 𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 𝑘 + 1, 𝑚 𝑗=1 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑛 𝑗 = 1, 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛) 𝑖 = 1, 𝑚 𝑗=1 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑛 Định lí Mọi toán dạng tổng quát đưa dạng chuẩn tắc ➢ Nếu {𝑓(𝑥) → 𝑚𝑎𝑥} đổi thành {−𝑓(𝑥) → 𝑚𝑖𝑛} ➢ Nếu σ𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 thêm biến 𝑦 ≥ để σ𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑦 = 𝑏𝑖 ➢ Nếu σ𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 thêm biến 𝑦 ≥ để σ𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑦 = 𝑏𝑖 ➢ Nếu có biến 𝑥 khơng có ràng buộc dấu đặt 𝑥 = 𝑢 − 𝑣 𝑢, 𝑣 ≥ Chú ý Vì ta nhân −1 vào vế phương trình hệ chuẩn tắc nên vế phải 𝑏𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 Ví dụ Đưa tốn sau dạng chuẩn tắc 𝑓 𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 ≤ 2𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ Giải −𝑓 𝑥 = −𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 =1 𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 + 𝑥4 =3 2𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥5 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 ≥ Bài tập Đưa toán sau dạng chuẩn tắc 𝑓 𝑥 = 𝑥1 − 3𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑓 𝑥 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 + 3𝑥3 ≥ 𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = 𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = −3𝑥 + 2𝑥 ≤ 3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 𝑥1 , 𝑥3 ≥ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥1 + 2𝑥2 → 𝑚𝑎𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥 𝑥 − 𝑥 ≥ 1 4𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = ቐ2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 ≤ 𝑥 ≥ −𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥1 − 2𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,3 ≤ 𝑥1 ≤ ቊ 𝑥2 ≥ −3 c) Dạng ma trận Đặt 𝐴 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋮ 𝑎𝑚𝑛 Khi tốn viết thành: 𝑏= 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥= ⋮ 𝑥𝑛 𝑐1 𝑐2 𝑐= ⋮ 𝑐𝑛 b) Dạng chuẩn tắc 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑇 𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑥 = 𝑏 ቊ 𝑥≥0 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 𝑗=1 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑛 Chú ý Hệ phương trình có trường hợp xảy ra: - Hệ vơ nghiệm - Hệ có nghiệm - Hệ có vơ số nghiệm Số phương trình < số ẩn 𝑚