CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU 3.1 Các tốn thực tế Xét tốn ví dụ thực tế sau Ví dụ a Bài tốn lập kế hoạch sản xuất Mộtnhàmáysản xuất hailoạisản phẩm A,Bgồmhai phânxưởngvớinăng suấtnhưsau: PhânxưởngI: 1nghìn sản phẩmA +4 nghìn sảnphẩmBtrong1 năm vàChiphí 16 triệu đồng Phân xưởng II:3nghìn sản phẩmA +1 nghìn sảnphẩmBtrong1 năm vàChiphí 15 triệu đồng KếhoạchNhà nướcgiao chonhà máylà:1nghìn sảnphẩmA +2nghìn sản phẩm B.Hãy lập kếhoạch sản xuấtsaocho tổngchiphíthấp nhấtđồngthời đảmbảo kế hoạchnhànướcgiaochonhà máy Gọi:x1 thờigian phânxưởng I sảnxuất(đơn vịnăm) x2là thờigian phânxưởngIIsảnxuất(đơn vịnăm) Tổngchiphícủakếhoạchsảnxuất x=(x1,x2) làf(x)=16x1+15x2(triệu đồng) Mơ hình tốn học: f(x)=16x1+15x2→ ( D) b  x1  3x2   4 x1  x2  x , x   Bài toán đánh giá sản phẩm Vớinăngsuất haiphânxưởng nhà máy tốntrên.Nhàmáy sản xuất được1nghìn sảnphẩmA và2 nghìn sản phẩm B.Hãyđịnhgiá trị cho1 sản phẩmA và1 sảnphẩmBsao chotổng giátrị củasảnphẩm:phân xưởngI khơngvượtqchiphílà16triệu đồng/nămvà phânxưởng IIkhơng vượtqchiphílà15triệuđồng/năm,vàtổnggiátrịsản phẩmcủanhàmáy lớn Gọi:y1 (nghìnđồng) làgiá trịđơn vị sản phẩm A y2 (nghìnđồng) làgiá trịđơn vị sản phẩm B Tổnggiá trịsảnphẩmtheo kế hoạchđánhgiáy=(y1,y2)làg(y) =y1+2y2(nghìn đồng) Mơ hình tốn học: g(y) =y1+2y2→ max ( D)  y1  y2  16  3 y1  y2  15 y , y   Nghiệm toán trên: GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics x2 y2 3y1 x2=2 +1 = 15 x1 + y2 4x1 + 16 5x 2= a D(4; 3) D(5/11; 6/11) x1 + 3x2 y1 + 4y2= 16 y1 =1 x1 y1 + 2y =a fmin=f(5/11,2/11)=10 (triệuđồng) gmax=g(4, 3)=10 (triệu đồng) Nhậnxét: fmin=gmax Ví dụ a Bài toán lập kế hoạch sản xuất Một xưởng mộc gia công bàn tủ Lượng sản phẩm gia công phụ thuộc vào số công lao động diện tích mặt Nhu cầu sử dụng tài nguyên để gia công tủ bàn lượng tài nguyên tối đa cung cấp hàng ngày trình bày bảng sau Tủ Bàn Lượng tài nguyên cung cấp ngày Lao động 80 Mặt (m2) 60 Tài nguyên Nhu cầu Giá gia công 0.5 triệu đ/tủ 1.2 triệu đ/ bàn Mỗi ngày nên gia công tủ bàn để có doanh thu lớn nhất? Gọi x1 số tủ nên đóng ngày x2 số bàn nên đóng ngày Hàm mục tiêu: Z=50x1+120x2→max (10000 đồng) Xác định điều kiện ràng buộc 2x1+4x2≤ 80 (Khả đáp ứng công) 3x1+ x2≤ 60 (Khả đáp ứng mặt bằng) Mơ hình tốn học: f(x)=50x1+120x2→ max GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics 2 x1  34 x2  80  3x1  x2  60 x , x   ( D) b Bài toán định giá sản phẩm Do hai mặt hàng tủ bàn bán không chạy nên người chủ xưởng định không nhận gia công mà cho cơng ty sản xuất đồ gỗ có đơn hàng xuất thuê thợ thuê mặt Người chủ xưởng phải đặt giá cho thuê công thợ, mét vuông mặt để tối thiểu phải đạt doanh thu nhận gia công Gọi y1 giá cho thuê công thợ (10000 đồng) y2 giá cho thuê m2 mặt (10000 đồng) Với điều kiện doanh thu cho thuê với doanh thu tự sản xuất ta có hai điều kiện sau: 2y1+3y2 ≥ 50 (doanh thu thuê tài nguyên để sản xuất tủ) 4y1+y2 ≥ 120 (doanh thu thuê tài nguyên để sản xuất bàn) Để thực hợp đồng cho thuê, tổng tiền thuê phải giá trị thấp Hàm mục tiêu toán là: Z=80y1+60y2→min Mơ hình tốn học: g(x)=80y1+60y2→ ( D) 2 y1  y2  50  4 y1  y2  120 y , y   Nghiệm toán trên: y2 x2 3x1 + x2=60 4y1 + y2=120 A(0,20) 50x1 + 120x2=2400 2x1 + 4x2=80 80y1 + 60y2= a x1 2y1 + 3y2=50 B(30,0) y1 50x1 + 120x2=a fmax=f(0,20)= 2400 (10000 đồng) GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics gmax=g(30, 0)=2400 (10000 đồng) Nhậnxét: fmax=gmin Giá trị hàm mục tiêu toán kế hoạch sản xuất ban đầuvà toán định giá cho thuê tài nguyên Bài toán định giá cho thuê gọi toán đối ngẫu toán ban đầu 3.2 Các dạng toán đối ngẫu 3.2.1 Đối ngẫu khơng đối xứng Chobài tốn(D,f) dạng chínhtắc n (1) f ( x)   c j x j  j 1  n   aij x j  bi (i  m)  j 1  x  0( j  n)  j ( D) Cùng với toán (1) xét toán (D,g) n (1) g ( y )   bi yi  max i 1 (D) n  a ji yi  c j ( j  n )  j 1  y tudo( j  m)  i (1) gọi toán đối ngẫucủa bàitoán (1) Bàitoán đốingẫu toán(D, f)bất kỳ làbài tốn đốingẫu tốndạngchínhtắc tương đương với Nếu xem (1) tốn gốcthì(1)là tốn đốingẫucủa Vềmặt hìnhthức, cặp(1, ) gọilà cặp bàitốnđốingẫu khơngđốixứng Cách thành lập - Bàitốngốcở dạng tắc - Hệsốhàmmụctiêu toánnày làhệ số tự tronghệràng buộc bàitoánkia - Matrận sốliệu chuyển vịchonhau - Bàitoánđối ngẫu làbàitốnmaxvà ràngbuộc ≤ Ví dụ: f(x) =x1+2x2+3x3→ GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics  x1  x2  x3   ( D ) 2 x1  3x2  x3  5  x  0( j  3)  j Bài toán đối ngẫu g(x) = y1 – 5y2 → max  y1  y2   y  3y   ( D)   y1  y2   y1 , y2 tu 3.2.2 Đối ngẫu đối xứng Chobài toán (D,f) dạng sau n f ( x)   c j x j  (1) j 1 n  aij x j  bi (i  m) (D)  j 1  x  0( j  n)  j Bàitốndạngchínhtắctương đương n f ( x)   c j x j  j 1 n  aij x j  xn i  bi (i  m) Trong xn i ẩn phụ  j 1  x  0( j  m  n)  j Bàitoánđốingẫu n (2) g ( y )   bi yi  max i 1 n  a ji yi  c j ( j  n ) (D)  j 1   y  0( j  m)  i n Hay (2) g ( y )   bi yi  max i 1 n  a ji yi  c j ( j  n ) (D)  j 1  y  0( j  m)  i GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Ngượclại xem (2) tốn gốc ( ) tốn đối ngẫu Về mặt hình thức, cặp (2, ) gọi cặp toán đối ngẫu đối xứng Cách thành lập - Hệsốhàmmụctiêu toánnày làhệ số tự tronghệràng buộc bàitoánkia - Matrận sốliệu chuyển vịchonhau - Bàitoán minràng buộclà ≥ tốnmaxràng buộc ≤ - Cảhai tốn có ràng buộc ẩn khơng âm Ví dụ: f(x) = 3x1+ 2x2+x3→ 2 x1  x2  3x3   x  x  x  6  (D)  7 x1  x2  x3   x j  ( j  3) Bàitoánđốingẫu g(y)=4y1-6y2+y3→max 2 y1  y2  y3   y  y  y   (D)  3 y1  y2  y3   y j  ( j  3) Nhậnxét: Vớibàitốn(D ,g)chỉ cần đưavềdạng tắcthìtrở thành dạng chuẩn tắc Tổng qt hóa tốn: (Sơ đồ TUCKER) Từ hai cặp bàitoánđối ngẫu(1, ) ( 2, ) cósơ đồ Tuckerđểviết tốnđối ngẫu củabài toánbấtkỳnhư sau Bài toán gốc: f ( x )  n  c j x j  Bài toán đối ngẫu: g ( x )  j 1 n a x j 1 ij a x j 1 ij  bi (i  p ) yi tự (i  p) j  bi (i  p  m) yi  ( p  m) x j  (1 q) m a i 1 x j tự ( j  q  n) b y i 1 j n m ij m a i 1 ij i i  max yi  c j (i  q) yi  c j ( j  q  n ) Lưu ý: Bài tốn khơng có ràng buộc ≤ Bài tốn max khơng có ràng buộc ≥ GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Ví dụ 1: Bài tốn gốc f(x) = 2x1+x2+4x3→ 2 x1  x2  3x3   x  3x  x  5  ( D)  3x1  x2  x3   x1 , x3  Bài toán đối ngẫu g(y)=4y1-5y2+2y3→ max 2 y1  y2  y3   y  y  y   (D)  y  y  y 4   y1 , y2  Ví dụ 2: Cho toán gốc f ( x )  x1  x2  3x3   x1  x2  3x3   4 x  3x  x  5  ( D)  5 x1  x2   x1 , x2  Trước hết ta biến đổi bất phương trình dạng thành dạng bằngcách nhân hai vế với -1 toán tương ứng f ( x )  x1  x2  3x3   x1  x2  3x3  4 x  3x  x  5  ( D)  5 x1  x2  x3   x1 , x2  g( x )  y1  y2  y3  max  y1  y2  y3  2 y  y  y  1  (D)  3 y1  y2   y2 , y3  3.3 Các nguyên lý đối ngẫu GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Xét cặp toán đối ngẫu (D,f) ( D ,g) với f(x)→min g(y)→max Có ngun lý sau • Ngun lý a) x  ( D), y  (D) : f ( x)  g ( y ) x  ( D ), y  (D) : f ( x )  g ( y )  f ( x )  f g ( y )  gmax b) • Nguyên lý Nếu tốnnàycó nghiệm thìbàitốnkia có nghiệm cặpnghiệm thoả mãn điềukiện cânbằng fmin=gmax • Ngun lý ( Độ lệch bù) Cho x  ( D) , y  (D) Điềukiệncầnvàđủ đểx,ylà nghiệmtương ứngcủacặp toánđốingẫulà:  n  aij x j  bi  yi   j 1  n y   a x  b  ij j i  i j 1  n  aij y j  c j  x j   j 1  n x   a y  c  ij j j  j j 1 3.4 Ý nghĩa kinh tế Xét cặp đối ngẫu đối xứng ( 2, ) Ý nghĩabài tốn(2) Cóncáchkhácnhau đểsảnxuấtm loạisảnphẩm.Cáchthứjsử dụng cường độ1 cho aijđơnvị sản phẩm loạii (i=1 m)và chiphí cj(j=1 n).Hãy tìmcường độxjcần sử dụngcho từngcách sản xuất, đểtổngsố đơnvị củasảnphẩmloại iđượcsản xuất raít rabằngbi(i=1 m)và tổngchiphí sảnxuấtlà x = (xj)n:phương án sản xuất Ý nghĩa toán ( ) Cùng điều kiện vớibài toán(2 ) Giảsửsản xuất đượcbisảnphẩmi (i=1 m) Hãyđịnhgiátrịyicho mỗiđơn vịsảnphẩmloại i(i=1 m), đểđảmbảo tổng giátrị sản phẩmsảnxuấttheocáchjkhơngvượtqchiphísảnxuấtlà cj(j=1 n)đồng thờitổng giátrị sảnphẩmlàlớn y=(yi):phương án đánh giá GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Ý nghĩa nguyên lý độ lệch bù Điều kiện cần vàđủđểphươngán sản xuất x=(xj)nvàphươngánđánhgiáy=(yi)mđồngthờitốiưulà: 1) Nếumộtcách sản xuấtđược sử dụng (xj>0)thì tổnggiá trị sản phẩm sản xuất theo cách m phí ( aij yi  c j ) i 1 2) Nếumột loại sản phẩm có gái trị ( yi> ) tổng số sản phẩm sản xuất phải n nhu cầu ( aij x j  b j ) j 1 Ví dụ: Cho tốn quy hoạch tuyến tính sau: f ( x )  3x1  x2  x3  2 x1  x2  x3  x  2x  x   ( D)  3x1  3x2  x3  10  x1 , x2 , x3  a Giải tốn phương pháp đơn hình b Lập tốn đối ngẫu tốn tìm nghiệm tốn đối ngẫu Lời giải Bài tốn tắc tương đương f ( x )  3x1  x2  x3  6 2 x1  x2  x3  x4 x  2x  x  x5 8    x6  10 3x1  3x2  x3  xi  Lập bảng đơn hình để giải tốn Biế n sở x4 x5 x6 Hê ̣ số CB 0 Bảng x3 -2 x5 x6 Bảng Phương án x1 x2 -1 x3 -2 x4 x5 x6 i 10 11 -6 -3 2 -5 1/2 5/2 5/2 -1 0 0 1/2 1/2 -1/2 -1 0 0 0 0 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 10 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Trong bảng này mo ̣i  k ≤ 0, nên phương án x* = (0; 0; -3;0; 0; 0) là PATU với fmin = f(x*) = -6; Bài toán đối ngẫu g( x )  y1  y2  10 y3  max 2 y1  y2  y3   y  y  y  1  (D)  2 y1  y2  y3  2  y2 , y3 , y3  Gọi y ( y1 , y2 , y3 ) nghiệm toán đối ngẫu Áp dụng nguyên lý độ lệch bù ta có x1  x2  x3  3   y2  3x1  3x2  x3  3  10  y3  x3    y1  y2  y3  2 Vậy nghiệm toán đối ngẫu là: y1  1, y2  0, y3   g ( y*)  6 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 10 ... ( y1 , y2 , y3 ) nghiệm toán đối ngẫu Áp dụng nguyên lý độ lệch bù ta có x1  x2  x3  3   y2  3x1  3x2  x3  3  10  y3  x3    y1  y2  y3  2 Vậy nghiệm toán đối ngẫu là: y1 ... x2  x3   ( D ) 2 x1  3x2  x3  5  x  0( j  3)  j Bài toán đối ngẫu g(x) = y1 – 5y2 → max  y1  y2   y  3y   ( D)   y1  y2   y1 , y2 tu 3. 2.2 Đối ngẫu đối xứng Chobài toán. .. tốn: (Sơ đồ TUCKER) Từ hai cặp bàitốnđối ngẫu( 1, ) ( 2, ) cósơ đồ Tuckerđểviết toán ối ngẫu củabài toánbấtkỳnhư sau Bài toán gốc: f ( x )  n  c j x j  Bài toán đối ngẫu: g ( x )  j 1 n a x