bài toán đối ngẫu

tài liệu tham khảo rất hay

1  Bài toán đối ngẫu 2.1 Định nghĩa bài toán đối ngẫu 2.1.1 Định nghĩa Ta g ọi vectơ Xét bài toán quy hoạch tuyến tính gốc (P) 11 2 2 n i1 1 i2 2 in 1 i1 1 i2 2 in 2 i1 1 i2 2 in 3 1 2 3 min(max) ; (1) ; (2) ; (3) () 0; (4) 0; (5) ;(6) n ni ni ni j j j fcxcx cx ax ax ax bi I ax ax ax bi I ax ax ax bi I P xjJ xjJ xRjJ                 2  Bài toán quy hoạch tuyến tính 11 2 2 m 1j 1 2j 2 1 1j 1 2j 2 2 1j 1 2j 2 3 1 2 3 max(min) ; (4') ; (5') ; (6') () 0; (1') 0; (2 ') ;(3') m mj m j mj m j mj m j i i i gbyby by ay ay a y c j J ay ay a y c j J ay ay a y c j J Q yiI yiI yRiI                    Bài toán sau đây được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán (P), ta gọi là bài toán (Q) Trong đó các cặp ràng buộc (1) – (1), (2) – (2), , (6) – (6) được gọi là các ràng buộc đối ngẫu với nhau. 3  Bài toán quy hoạch tuyến tính VD21: Viết bài toán đối ngẫu (Q) biết 12 34 5 12 345 1345 12 45 1234 13 5 24 232min 212 2325 32 6 ()3 2 3 ,0 0 , fxxxxx xx xxx xxxx xx xx Px xxx xx x xx                         4  Bài toán quy hoạch tuyến tính Giải: Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán sau: 12 34 1234 13 4 124 12 34 123 1243 12 5 6 3 max 232 32 1 23 () 32 1 22 0, , 0, . gyyyy yyyy yyy yyy Q yyyy yyy yyyyR                   5  Bài toán đối ngẫu 2.1.2 Cách thành lập bài toán đối ngẫu Ta g ọi vectơ Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu f = c j x j  min g = b i y i  max a ij x j  b i y i  0  b i  0 = b i  R x j  0 a ji y i  c j  0  c j  R = c j 6  Bài toán quy hoạch tuyến tính VD22: Viết bài toán đối ngẫu (Q) biết 124 5 1345 134 5 12345 12345 25 34 1 3min 22 4 327 ()2 3 3 6 24 3 ,0,,0, . fxxx x xxxx xxxx Pxxxx x xxxxx xx xx x R                  7  Bài toán quy hoạch tuyến tính Giải: Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán sau: 1234 12 34 34 123 4 1234 1234 13 2 4 4763 max 21 321 23 4 0 () 21 23 3 ,,0,0 fyyyy yy yy yy yyyy Q yyyy yyyy yy Ry y                 Lưu ý: Ta có đối ngẫu của bài toán đối ngẫu chính là bài toán gốc ban đầu. 8  Bài toán đối ngẫu 2.2 Mối liên hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu 2.2.1 Định lý 1 (Đối ngẫu yếu) Ta g ọi vectơ Ta xét bài toán quy hoạch tuyến tính gốc dạng tìm min. Cho x, y theo thứ tự là phương án của bài toán gốc và đối ngẫu ta có f(x)  g(y). Lưu ý: Từ định lý nếu ta có phương án của bài toán gốc và đối ngẫu theo thứ tự là x, y mà f(x) = g(y) thì x, y lần lượt là phương án tối ưu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu. 2.2.2 Định lý 2 (Đối ngẫu mạnh) Nếu một trong hai bài toán có phương án tối ưu thì bài toán đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu của chúng là bằng nhau. 9  Bài toán đối ngẫu Ta g ọi vectơ 2.2.3 Định lý 3 (Định lý tồn tại) Một cặp bài toán và bài toán đối ngẫu của nó chỉ có thể xảy ra một trong 3 khả năng loại trừ sau:  Cả hai bài toán đều không có phương án.  Cả hai bài toán đều có phương án, khi đó cả hai cùng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu là bằng nhau.  Một bài toán có phương án còn bài toán kia không có phương án, khi đó bài toán có phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu không b ị chặn trong miền ràng buộc. 10  Bài toán đối ngẫu Ta g ọi vectơ 2.2.4 Định lý 4 (Độ lệch bù) Một cặp phương án x, y của bài toán gốc và đối ngẫu là phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng hệ thức sau 1 1 01, 01, n iijji j m jjiij i baxy im cayx jn                    Lưu ý: b i – a ij x j là độ lệch ở ràng buộc thứ i ở bài toán gốc và c j – a ji y i là độ lệch ở ràng buộc thứ j ở bài toán đối ngẫu của nó.