Bài toán quy hoạch toán học có vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu và được nghiên cứu nhiều trong toán học ứng dụng và mô hình trong thời gian gần đây bởi nhiều nhà nghiên cứu. Cho trước một bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng, để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một và tính đối ngẫu cho bài toán chúng tôi thiết lập bài toán đối ngẫu dạng Mond-Weir đối với bài toán này.
ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU DẠNG MOND-WEIR CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Trần Văn Sự Võ Văn Minh2 Tóm tắt: Bài tốn quy hoạch tốn học có vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu nghiên cứu nhiều toán học ứng dụng mơ hình thời gian gần nhiều nhà nghiên cứu Cho trước toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng, để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp tính đối ngẫu cho tốn chúng tơi thiết lập tốn đối ngẫu dạng Mond-Weir toán Dưới số điều kiện phù hợp ban đầu liên quan đến ràng buộc tập, đẳng thức bất đẳng thức, điều kiện cần đủ tối ưu cho toán gốc toán đối ngẫu nghiên cứu sử dụng cơng cụ giải tích lồi đại số tuyến tính Một số ứng dụng tốn quy hoạch tốn học với hai ví dụ cụ thể để mô tả kết đạt được cung cấp Từ khóa: Bài tốn quy hoạch tốn học với ràng buộc cân bằng, Bài toán đối ngẫu dạng Mond-Weir, Tính đối ngẫu yếu, tính đối ngẫu mạnh, Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương Mở đầu Lý thuyết đối ngẫu lý thuyết toán quy hoạch toán học giữ vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu Bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân xuất nhiều mơ hình tốn ứng dụng, chẳng hạn lý thuyết tập mờ, lý thuyết điều khiển, robot, thiết kế kỹ thuật, v.v., có nhiều ứng dụng lý thuyết khác ứng dụng giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt, chẳng hạn toán bán hàng, toán vận tải, tốn tìm bus, tốn phân cơng lao động, toán phân bổ nguồn tài nguyên, v.v (xem [1,2,3,4,5,6,7, 10] danh mục tài liệu tham khảo) Để nghiên cứu điều kiện cần đủ cho toán quy hoạch toán học cách đầy đủ, sâu sắc nhiều có phần tiện ích toán nghiên cứu báo gọi tên (LOPEC) biểu diễn thơng qua mơ hình đối ngẫu dạng Mond-Weir Với mục đích này, chúng tơi gọi tốn (LOPEC) toán gốc toán đối ngẫu dạng Mond-Weir toán gốc (LOPEC) toán (MWLOPEC) Chú ý toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân xem xét báo dạng tốn tối ưu tuyến tính Chúng tơi dùng ký hiệu (LOPEC) thay cho ký hiệu thông dụng (MPEC) Ký hiệu TS., Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam ThS., Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam 87 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU chưa sử dụng tác giả khác Bên cạnh, toán (LOPEC) dạng mở rộng trực tiếp tử tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt, chọn G ≡ ∨ H ≡ 0, toán trở thành toán quy hoạch tuyến tính tổng quát dạng “min” mà biết nhiều giáo trình quy hoạch tuyến tính hay giáo trình tối ưu hóa Do đó, tốn nghiên cứu báo có nhiều ứng dụng tốn bán hàng, tốn phân cơng lao động, tốn đèn giao thơng, tốn tìm bus, v.v đề cập bên Ngoài ra, đối ngẫu kiểu Mond-Weir liên kết với toán gốc chưa nghiên cứu cho trường hợp tuyến tính Nội dung Trong tiểu mục chúng tơi giới thiệu tốn quy hoạch tốn học gốc có ràng buộc cân đề xuất mơ hình đối ngẫu dạng Mond-Weir liên kết với tốn gốc, bên cạnh chúng tơi cung cấp định lý tính đối ngẫu yếu đối ngẫu mạnh cho cặp toán 2.1 Bài toán gốc Xét toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân cho dạng sau: ( LOPEC ) : f ( x) x∈C g ( x) ≤ 0, h( x) = 0, G ( x) ≥ 0, H ( x) ≥ 0, 〈G ( x), H ( x)〉 = 0, 〈.,.〉 ký hiệu tích vô hướng, C tập khác rỗng không gian R q với chuẩn Euclidean, g : R q → R m , g : R q → R m , h : R q → R n , G : R q → R p , H : R q → R p G : R q → R p , H : R q → R p ánh xạ tuyến tính cho trước Ký hiệu K thay cho tập chấp nhận toán (LOPEC), K = { x ∈ C : g ( x) ≤ 0, h( x) = 0, G ( x) ≥ 0, H ( x) ≥ 0, < G ( x), H ( x) >= 0} Mỗi vectơ x ∈ K gọi chấp nhận toán (LOPEC) Vectơ x ∈ K nghiệm hữu hiệu yếu (tồn cục) tốn (LOPEC) f ( x) ≥ f ( x) ∀x ∈ K (*) Nếu tồn δ > cho bất đẳng thức (*) với { } x ∈ K ∩ x ∈ R p : x − x < δ ta nói vectơ x ∈ K nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (LOPEC) 2.2 Bài toán đối ngẫu: Bài toán đối ngẫu dạng Mond-Weir liên kết với toán gốc (LOPEC) toán “max” sau: (MWLOPEC): m ax [ f (u )] u, λ 88 Trần Văn Sự, Võ Văn Minh n g f ( v ) + λ g ( v ) + ( λ jh − µ hj ) h j (v) ∑ ∑ i i i∈I g j =1 p − ∑ ( λiG Gi (v) + λiH H i (v) ) ≥ ∀v ∈ C − u ; i =1 g (u ) ≥ ∀i ∈ I ; h j (u ) = ∀j = 1, , n; g i Gi (u ) ≤ ∀i ∈ A ∪ B; H i (u ) ≤ ∀i ∈ C ∪ B; g λi ≥ ∀i ∈ I g ; λ jh , µ hj ≥ ∀j = 1, 2, , n; G H G H λi , λi , µi , µi ≥ ∀i = 1, 2, , p; G H G H G H λC = λA = µC = µ A = 0, ∀i ∈ B, µi = µi = 0, u ∈ C, λ G = ( λ G ) , λ H = (λ H ) , C c c∈C A a a∈A µ G = µ G , µ AH = ( µaH ) , µ = ( µ h , µ G , µ H ) ∈ R n + p , a∈A C ( c )c∈C λ = λ g , λ h , λ G , λ H ∈ R m + n + p , ( ) g = ( g1 , , g m ) : R q → R m , h = (h1 , , hn ) : R q → R n , G = (G1 , , G p ) : R q → R p , H = ( H1 , , H p ) : R q → R p , { } A = A( x) = {i = p : G ( x) = 0, H ( x) > 0} ; B = B( x) = {i = p : G ( x) = 0, H ( x) = 0} ; C = C ( x) = {i = p : G ( x) > 0, H ( x) = 0} I g = I g ( x) = i = m : gi ( x) = , Ta đặt i i i i i i Aµ+ = {i ∈ A : µiG > 0} ; Cµ+ = {i ∈ C : µiH > 0} ; BµG = {i ∈ B : µiH = 0, µiG > 0} ; BµH = {i ∈ B : µiG = 0, µiH > 0} Từ trở khơng có giả thiết thêm, để tiện lợi cơng việc phát biểu chúng tơi ln giả sử rằng: BµG ∪ BµH ∪ Aµ+ ∪ Cµ+ = φ , 89 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU hàm ràng buộc g, h, G, H hàm mục tiêu f ánh xạ tuyến tính (xem giáo trình Đại số tuyến tính GS TSKH Ngơ Việt Trung [9]) Để làm rõ ràng phát biểu tiểu mục tiếp theo, cung cấp ví dụ số minh họa cho mơ hình xây dựng bên sau: 2.2.1 Ví dụ Cho q = 2, C = (−1, 1) × [ −2, 3] , m = n = p = Xét toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân (LOPEC) không gian R sau: ( MWLOPEC ) : ( x1 , x2 )∈ C f ( x) = x1 − x2 g ( x) = x1 − x2 ≤ 0, h( x) = x1 − x2 = 0, G ( x) = x1 + x2 ≥ 0, H ( x) = x ≥ 0, G ( x), H ( x) = x1 x2 + x22 = Tính tốn trực tiếp ta nhận tập chấp nhận toán (LOPEC) K = {(0, 0)} Chọn vectơ chấp nhận x = (0, 0) ta thu I g = {1} , A = C = φ , B = {1} Khi mơ hình đối ngẫu dạng Mond-Weir tốn gốc (LOPEC) toán đối ngẫu (MWLOPEC) sau: ( MWLOPEC ) : m ax u1 ,u2 , λ1g , λ1h , λ1G , λ1H [ f (u ) = 2u1 − 3u2 ] 2v1 − 3v2 + λ1g ( v1 − 2v2 ) + ( λ1h − µ1h ) ( v1 − v2 ) − λ1G ( v1 + v2 ) − λ1H v2 ≥ ∀ ( v1 , v2 ) ∈ C − ( u1 , u2 ) ; g (u ) = u1 − 2u2 ≥ 0, h(u ) = u − u = 0, G (u ) = u1 + u2 ≤ 0, H (u ) = u ≤ 0, λ1g ≥ 0, λ1h ≥ 0, µ1h ≥ 0, λ1G ≥ 0, λ1H ≥ 0, − < u1 < 1, − ≤ u2 ≤ 2.2.2 Nhận xét Ta thấy mơ hình tốn gốc (LOPEC) toán đối ngẫu (MWLOPEC) đề xuất bên với hàm ràng buộc hàm mục tiêu tuyến tính giải cơng cụ đại số tuyến tính, nhiên để có sở tảng cho việc xây dựng thuật toán số tìm nghiệm hữu hiệu yếu (địa phương) chúng tương lai, mục đích chúng tơi báo xây dựng 90 Trần Văn Sự, Võ Văn Minh định lí tính đối ngẫu yếu tính đối ngẫu mạnh cho cặp tốn gốc-đối ngẫu (LOPEC) (MWLOPEC) 2.3 Kết báo 2.3.1 Định lý (tính đối ngẫu yếu) Cho x vectơ chấp nhận toán gốc (LOPEC) cặp ( u , λ ) vectơ chấp nhận toán đối ngẫu dạng Mond-Weir (MWDOPEC) Khi đó, với x vectơ chấp nhận tốn gốc (LOPEC), ta ln có bất đẳng thức sau f ( x) ≥ f (u ) Chứng minh: Vì ánh xạ f giả thiết tuyến tính nên f ( x − u ) = f ( x) − f (u ) (2.1) Các ánh xạ ràng buộc g, h, G H giả thiết tuyến tính, thành phần bên chúng hàm vô hướng tuyến tính Vậy, đẳng thức sau đúng: gi ( x − u ) = gi ( x) − gi (u ) ∀i ∈ I g (2.2) (− H i )( x − u ) = (− H i )( x) − (− H i )(u ), ∀i ∈ C ∪ B (2.3) (− H i )( x − u ) = (− H i )( x) − (− H i )(u ), ∀i ∈ C ∪ B (− H i )( x − u ) = (− H i )( x) − (− H i )(u ), ∀i ∈ C ∪ B (− H i )( x − u ) = (− H i )( x) − (− H i )(u ), ∀i ∈ C ∪ B (2.4) (2.5) (2.6) Theo giả thiết ban đầu ta có điều kiện ràng buộc Bµ ∪ Bµ ∪ Aµ ∪ Cµ = φ , nhân phương trình (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) (2.6) λig ≥ 0, ∀i ∈ I g ; λih > ∀i = 1, 2, , n; µih > ∀i = 1, 2, , n; λiG > ∀i ∈ A ∪ B; λiH > 0, ∀i ∈ B ∪ C , sau cộng chúng lại với ta được: G f ( x) − f (u ) + ∑ λig gi ( x) − ∑ λig gi (u ) + i∈I g ∑µ + j =1 n i∈I g h j (−h j )( x) − ∑µ j =1 n p p i =1 i =1 h j H + + ∑ λ h ( x) − ∑ λ h (u) j =1 n h j j j =1 n p (−h j )(u ) + ∑ λ i =1 G i h j j p ( −Gi ) ( x) −∑ λiG ( −Gi ) (u ) i =1 + ∑ λiH ( − H i ) ( x) −∑ λiH ( − H i ) (u ) (2.7) n = f (u − x) + ∑ λig gi ( x − u ) + ∑ ( λih − µih ) hi ( x − u ) i =1 i∈I g p p i =1 i =1 + ∑ λiG ( −Gi ) ( x − u ) + ∑ λiH ( − H i ) ( x − u ) Ta lại có cặp ( u , λ ) vectơ chấp nhận cho toán đối ngẫu dạng MondWeir (MWLOPEC) thêm nửa vectơ hiệu x − u ∈ C − u , theo định nghĩa ta suy 91 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU n f (u − x) + ∑ λig gi ( x − u ) + ∑ ( λih − µih ) hi ( x − u ) i∈I g p i =1 + ∑λ i =1 G i p ( −Gi ) ( x − u ) +∑ λiH ( − H i ) ( x − u ) ≥ i =1 Kết hợp bất đẳng thức với điều kiện (2.7) cho ta kết f ( x) − f (u ) + ∑ λig gi ( x) − ∑ λig gi (u ) + i∈I g i∈I g ∑ λ h ( x) − ∑ λ h (u) j =1 n h j j j =1 n h j j p p + ∑ µ hj (−h j )( x) − ∑ µ hj (−h j )(u ) + ∑ λiG ( −Gi ) ( x) −∑ λiG ( −Gi ) (u ) j =1 n i =1 i =1 j =1 n (2.8) p p i =1 i =1 + ∑ λiH ( − H i ) ( x) −∑ λiH ( − H i ) (u ) ≥ Lại có x vectơ chấp nhận toán quy hoạch toán học gốc (LOPEC), suy λig gi ( x) + ∑ λ jh h j ( x) + ∑ µ hj (−h j )( x) ∑ i∈I g j =1 n j =1 n p p + ∑ λiG ( −Gi ) ( x) + ∑ λiH ( − H i ) ( x) ≤ i =1 (2.9) i =1 Tiến hành cách tương tự cách bước trên, ta nhận ∑λ i∈I g g i gi ( x) + ∑ λ jh h j (u ) + ∑ µ hj (−h j )(u ) j =1 n j =1 n p p i =1 i =1 (2.10) + ∑ λiG ( −Gi ) (u ) + ∑ λiH ( − H i ) (u ) ≥ Kết hợp điều kiện (2.9)-(2.10) ta thu bất đẳng thức f ( x ) ≥ f ( u ) Điều phải chứng minh 2.3.2 Nhận xét: Chúng ta thấy tính đối ngẫu yếu cung cấp chặn hàm mục tiêu tốn gốc (LOPEC) Đó lý đối ngẫu có vai trò quan trọng nghiên cứu tốn quy hoạch tốn học nhờ nghiên cứu sâu cấu trúc lớp toán quy hoạch Trong trường hợp x ∈ K phát biểu tính đối ngẫu mạnh cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương sau 2.3.3 Định lý (tính đối ngẫu mạnh) Cho vectơ x ∈ K nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán gốc (LOPEC) Giả sử h ≡ 0, tồn phương chấp nhận v ∈ C − x cho 92 Trần Văn Sự, Võ Văn Minh gi (v) < 0, ∀i ∈ I g , (−Gi )(v) < 0, ∀i ∈ A ∪ B , (− H )(v) < 0, ∀i ∈ B ∪ C i ( g G H ) ( ) Khi tồn vectơ λ = λ , λ , λ ∈ R m + p cho cặp x, λ nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán đối ngẫu Mond-Weir (MWLOPEC) giá trị hàm mục tiêu chúng tương ứng Chứng minh: Theo giả thiết ban đầu, vectơ x ∈ K nghiệm hữu hiệu yếu địa phương tốn gốc (LOPEC) nên hệ sau khơng xảy ra: f (v ) < gi (v) < 0, ∀i ∈ I g , (−Gi )(v) < 0, ∀i ∈ A ∪ B, (− H )(v) < 0, ∀i ∈ B ∪ C , i v ∈ C − x Áp dụng Định lí 21.2 Giáo trình Rockafeller [8], tồn vectơ chấp nhận (τ , λ , µ ) ∈ R1+ m + p , τ ∈ ¡ + , λ = ( λ g , λ G , λ H ) ∈ R m + p µ = ( µ G , µ H ) ∈ R p không đồng thời không thỏa mãn bất đẳng thức sau p p i =1 i =1 τ f ( v) + ∑ λig gi (v) + ∑ λiG ( −Gi ) (v) + ∑ λiH ( − H i ) (v) ≥ 0, ∀v ∈ C − x (2.11) i∈I g Mặt khác, theo giả thiết ban đầu ta chọn phương v ∈ C − x cho gi (v) < 0, ∀i ∈ I g (2.12) (−Gi )(v) < 0, ∀i ∈ A ∪ B , (2.13) (− H i )(v) < 0, ∀i ∈ B ∪ C (2.14) Kết hợp điều kiện (2.11), (2.12), (2.13) (2.14) ta đến kết luận λ = λ Khơng tính tổng qt ta coi λ = λ coi λ = λ Áp dụng Định lí 2.1, ta nhận p p i =1 i =1 f ( x) ≥ f (u ) + ∑ λig gi (u ) + ∑ λiG ( −Gi ) (u ) + ∑ λiH ( − H i ) (u ) ≥ i∈I g (2.15) với cặp vectơ ( u , λ ) nghiệm chấp nhận toán đối ngẫu dạng Mond-Weir (MWLOPEC) Tiếp theo ta thấy p p i =1 i =1 f ( x) = f ( x) + ∑ λig gi ( x) + ∑ λiG ( −Gi ) ( x) + ∑ λiH ( − H i ) ( x) i∈I g (2.16) Thật vậy, ta ln có i ∈ I g ⇒ gi ( x) = 0; i ∈ A ∪ B ⇒ Gi ( x) = 0; i ∈ B ∪ C ⇒ H i ( x) = p Vì x ∈ K ⇒ ∑ Gi ( x) H i ( x) = Điều kéo theo kết sau được thỏa mãn i =1 93 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU p p i =1 i =1 ∑ λig gi ( x) + ∑ λiG ( −Gi ) ( x) + ∑ λiH ( − H i ) ( x) = ∑ λiG ( −Gi ) ( x) + ∑ λiH ( − H i ) ( x) i∈I g i∈C i∈ A Sử dụng khái niệm toán đối ngẫu (MWLOPEC) ta có i ∈ C ⇒ λiG = 0; i ∈ A ⇒ λiH = Vậy đẳng thức (2.16) thỏa mãn Một lần nửa, kết hợp (2.15) (2.16) ta p p f ( x) + ∑ λig gi ( x) + ∑ λiG ( −Gi ) ( x) + ∑ λiH ( − H i ) ( x) i∈I g i =1 i =1 p p i =1 i =1 ≥ f (u ) + ∑ λig gi (u ) + ∑ λiG ( −Gi ) (u ) + ∑ λiH ( − H i ) (u ) i∈I g với cặp vectơ ( u , λ ) nghiệm chấp nhận toán đối ngẫu (MWLOPEC) Hệ cặp vectơ ban đầu x, λ trở thành nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán đối ngẫu Mond-Weir (MWLOPEC), thêm nửa giá trị hàm mục tiêu chúng tương ứng ( ) Điều phải chứng minh 2.3.4 Nhận xét Các kết thu tiểu mục chưa nghiên cứu trước Khi G ≡ H ≡ , toán quy hoạch toán học (LOPEC) qui tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát, kết thu áp dụng trực tiếp cho mơ hình toán quy hoạch tuyến dạng min, toán vận tải, toán sản xuất đồng bộ, toán túi, v.v (xem Giáo trình quy hoạch tuyến tính Phí Mạnh Ban [10] cho chi tiết) Để mơ tả kết nhận được, chúng tơi cung cấp ví dụ số sau 2.3.5 Ví dụ Cho q = 2, C = [ 0, 3] × [ 0, 3] , m = p = Xét toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân (LOPEC) không gian R sau: ( LOPEC ) : f ( x) = x1 + x2 ( x1 , x2 )∈ C g ( x) = x1 − x2 ≤ 0, G ( x) = x − x ≥ 0, H ( x) = x2 ≥ 0, G ( x), H ( x) = ( x1 − x2 ) x2 = Khi tập chấp nhận tốn (LOPEC) có dạng 3 K = ( a, 5a ) ∈ ¡ : ≤ a ≤ 5 Dễ dàng thấy vectơ x = (0, 0) nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán gốc (LOPEC) Kiểm tra trực tiếp tập số ta thu Chọn hướng 94 Trần Văn Sự, Võ Văn Minh 1 v = , ∈ C − x , bất đẳng thức (2.12), (2.13) (2.14) thỏa mãn 2 Vậy tất giả thiết Định lí 2.3 Khi đó, mơ hình đối ngẫu dạng Mond-Weir cho tốn gốc (LOPEC) tốn (MWLOPEC) có dạng: ( MWLOPEC ) : m ax u1 ,u2 , λ1g , λ1G , λ1H f (u ) = 2u1 + 3u2 2v1 + 3v2 + λ1g ( 2v1 − v2 ) G H −λ1 ( 5v1 − v2 ) − λ1 v2 ≥ ∀ ( v1 , v2 ) ∈ C − ( u1 , u2 ) ; 2u1 − u2 ≥ 0, 5u1 − u2 ≤ 0, u2 ≤ 0, g G H λ1 ≥ 0, λ1 ≥ 0, λ1 ≥ 0, ≤ ui ≤ 3, i = 1, µ1H = 0, µ1G > G H µ1 = 0, µ1 > Giả sử khơng xảy điều kiện sau: BµG ∪ BµH ∪ Aµ+ ∪ Cµ+ = φ nghĩa Một lần nửa áp dụng Định lí 2.3, tồn vectơ ( g G H ) ( ) λ = λ , λ , λ ∈ R cho cặp x, λ nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán đối ngẫu dạng Mond-Weir (MWLOPEC) giá trị hàm mục tiêu chúng tương ứng Thật vậy, thử trực tiếp lại nhận định sau: Ta có x = (0, 0) nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (LOPEC) với giá trị hàm mục tiêu f ( x) = Mặt khác, giải trực tiếp tốn đối ngẫu dạng Mond-Weir (MWLOPEC), tìm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cặp vectơ (u, λ ) = ( 0, 0, 4, 2,1) giá trị hàm mục tiêu chúng f (u ) = Vậy, f ( x) = f (u ) Định lí kiểm tra đầy đủ Kết luận Bài báo cung cấp mơ hình đối ngẫu dạng Mond-Weir cho toán gốc (LOPEC) với ràng buộc cân bằng; chứng minh hai định lí tính đối ngẫu yếu tính đối ngẫu mạnh cho toán quy hoạch toán học gốc (LOPEC) toán đối ngẫu dạng Mond-Weir (MWLOPEC) liên kết với nó; số ứng dụng cụ thể toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân Kết đạt báo chưa nghiên cứu trước cơng cụ đại số tuyến tính 95 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.I Bot, S.-M Grad (2010), “Wolfe duality and Mond-Weir duality via perturbations”, Nonlinear Anal Theory Methods Appl., 73: 374-384 [2] S Dempe, A.B Zemkoho (2012), “Bilevel road pricing: Theoretical analysis and optimality conditions”, Ann Oper Research, 196: 223-240 [3] Z.Q Luo, J.S Pang, D Ralph (1996), “Mathematical problems with equilibrium constraints”, Cambridge University Press, Cambridge [4] M Mond, T Weir (1981), “Generallized concavity and duality, Generallized concavity in optimization and economics”, Academic Press, New York [5] N Movahedian, S Nabakhtian (2010), “Necessary and sufficient conditions for nonsmooth mathematical problems with equilibrium constraints”, Nonlinear Anal., 72: 2694-2705 [6] R Reemtsen, J.J Ruckmann (1998), “Semi-infinite programming”, Dordrecht: Kluwer [7] J J Ye (2005), “Necessary and sufficient optimality conditions for mathematical program with equilibrium constraints”, J Math Anal Appl., 307: 350-369 [8] R T Rockafellar (1970), “Convex Analysis”, Princeton Univ Press, Princeton [9] Ngô Việt Trung (2001), “Giáo trình đại số tuyến tính”, NXB KHTN&CN, Hà Nội [10] Phí Mạnh Ban (2007), “Quy hoạch tuyến tính”, NXB ĐHSP, Hà Nội Title: NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE MOND-WEIR TYPE DUAL PROBLEM OF MATHEMATICAL PROGRAMMING PROBLEM WITH EQUILIBRIUM CONSTRAINTS TRAN VAN SU VO VAN MINH Quang Nam University Abstract: The mathematical programming problem plays an important role in the theory of optimization and has been widly investigated in the field of applied mathematics and modellings in recently times by many researchers Given a mathematical programming problem with equilibrium constraints, in order to study the optimality condition of order one and the duality of these problem, we formulate the Mond-Weir type dual problem to such problem Under suitable initial conditions on the set, inequality and equality constraints, necessary and sufficient conditions between the original problem and the dual problem with respect to these problem are studied by using the tools of convex analysis and linear algebra Some applications to the mathematical programming problems are provided as well Key words: Mathematical programming problem with equilibrium constraints, Mond-Weir type dual problem, weak duality, S3trong duality, Necessary and sufficient condition for locally weak efficient solutions 96 ... đối ngẫu dạng Mond-Weir liên kết với toán gốc, bên cạnh cung cấp định lý tính đối ngẫu yếu đối ngẫu mạnh cho cặp toán 2.1 Bài toán gốc Xét toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân cho dạng sau:... đủ Kết luận Bài báo cung cấp mơ hình đối ngẫu dạng Mond-Weir cho toán gốc (LOPEC) với ràng buộc cân bằng; chứng minh hai định lí tính đối ngẫu yếu tính đối ngẫu mạnh cho toán quy hoạch toán học. .. toán đối ngẫu dạng Mond-Weir (MWLOPEC) liên kết với nó; số ứng dụng cụ thể toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân Kết đạt báo chưa nghiên cứu trước cơng cụ đại số tuyến tính 95 ĐIỀU KIỆN CẦN