Bài viết xây dựng và nghiên cứu một mô hình đối ngẫu dạng Wolfe cho bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng. Đầu tiên chúng đề xuất mô hình đối ngẫu dạng Wolfe và cung cấp một ví dụ để minh họa cho mô hình đối ngẫu. Thứ hai, chúng tôi thiết lập các định lí về tính đối ngẫu mạnh và tính đối ngẫu yếu cho cặp bài toán gốc (LOPEC) và bài toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC).
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 15 – 10 – 2018 Chấp nhận đăng: 25 – 12 – 2018 http://jshe.ued.udn.vn/ TÍNH ĐỐI NGẪU DẠNG WOLFE CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Trần Văn Sựa*, Lê Xn Hịab Tóm tắt: Đối ngẫu có vai trị quan trọng nghiên cứu toán quy hoạch tốn học tính đối ngẫu yếu cung cấp chặn hàm mục tiêu toán ban đầu (hay toán gốc) Trong báo chúng tơi xây dựng nghiên cứu mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cho toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân Đầu tiên chúng đề xuất mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cung cấp ví dụ để minh họa cho mơ hình đối ngẫu Thứ hai, chúng tơi thiết lập định lí tính đối ngẫu mạnh tính đối ngẫu yếu cho cặp toán gốc (LOPEC) toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) Cuối chúng tơi trình bày ví dụ để mơ tả kết tính đối ngẫu mạnh giấy Từ khóa: tốn tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng; đối ngẫu dạng Wolfe; định lí đối ngẫu mạnh; định lí đối ngẫu yếu; ánh xạ tuyến tính Giới thiệu Đối ngẫu chủ đề quan trọng nghiên cứu tốn quy hoạch tốn học, chẳng hạn tính đối ngẫu yếu cung cấp giá trị chặn cho hàm mục tiêu Tương tự toán quy hoạch tuyến tính tổng qt, thiết lập mơ hình đối ngẫu cho tốn ban đầu (hay cịn gọi tốn gốc), định lí tính đối ngẫu yếu tính đối ngẫu mạnh cho cặp tốn gốc tốn đối ngẫu ln giữ vai trò chủ đạo thường nghiên cứu trước tiên, xem, chẳng hạn [1, 2, 3, 4, 5] Trong tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt, tính đối ngẫu thiết lập phụ thuộc vào biến dấu, nghĩa toán gốc chọn biến x, toán đối ngẫu chọn biến y, dấu y phụ thuộc vào ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức toán gốc ngược lại Các hệ số hàm mục tiêu toán gốc lấy làm chặn toán đối ngẫu “max” chặn toán gốc “min” chọn làm hệ số aTrường Đại học Quảng Nam Đại học Kiến trúc Đà Nẵng * Tác giả liên hệ Trần Văn Sự Email: tranuu63@gmail.com bTrường toán đối ngẫu “max” Ma trận ràng buộc toán gốc “min” chuyển thành ma trận chuyển vị toán đối ngẫu “max” ngược lại Tuy nhiên, mơ hình đối ngẫu lại khơng phù hợp với lớp tốn tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân Đối với mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe (xem Wolfe [4]), tính đối ngẫu biến không xảy ra, vấn đề thuận lợi để xây dựng thuật toán với thời gian chạy chương trình nhanh Gần đây, thơng qua tài liệu trình bày mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe (xem [1,2,3,4,5]), ta thấy xây dựng mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cần công cụ đạo hàm theo hướng vi phân phù hợp để thiết lập mơ hình đối ngẫu định lí đối ngẫu mạnh yếu Tuy nhiên hàm tuyến tính, đạo hàm theo hướng đạt phương lấy đạo hàm Do đó, khơng cần sử dụng công cụ đạo hàm hay dạng vi phần áp đặt lên toán đối ngẫu dạng Wolfe, mà xây dựng trực tiếp mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe toán quy hoạch tuyến tính tổng qt Mục đích chúng tơi báo đề xuất mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cho tốn tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân Tiếp theo chúng tơi Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018), 27-33 | 27 Trần Văn Sự, Lê Xn Hịa nghiên cứu định lí tính đối ngẫu mạnh tính đối ngẫu yếu cặp toán gốc toán đối ngẫu dạng Wolfe Kết thu báo chưa nghiên cứu trước đây, tương lai chúng xem xét mở rộng để nghiên cứu cho lớp toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc cân xC g ( x) 0, h( x) = 0, G( x) 0, H ( x) 0, G( x), H ( x) = h: ¡ 2.1 Các kí hiệu Kí hiệu ¥ : Tập số tự nhiên; x, y = x y với x, y ¡ , s số T q q →¡ , g:¡ → ¡ n, G : ¡ q q → ¡ m, → ¡ p, H : ¡ q →¡ p hàm tuyến tính Tập chấp nhận (LOPEC) K với ¡ : Tập số thực; s tự nhiên, xT ma trận cột vectơ dòng x, x C : g ( x) 0, h( x) = 0, K := G( x) 0, H ( x) 0, G( x), H ( x) = ràng buộc mô tả dạng : Chuẩn không gian Banach thực g = ( g1 , , gm ) : ¡ 2.2 Các định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Một ánh xạ f : X → Y h = (h1 , , hn ) : ¡ f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y) x, y X , a, b ¡ q H = ( H1 , , H p ) : ¡ → ¡ n, q q → ¡ p, → ¡ p Chú ý thành phần bên hàm số hàm vô hướng ¡ q Cho trước vectơ chấp Định nghĩa 2.2.2 Xét toán gốc (P): f ( x) với x K X nhận x K , ta kí hiệu tập số: Ta nói rằng: a) Vectơ x K nghiệm tối ưu tồn cục tốn gốc (P) f ( x) f ( x) x K I g = I g ( x) = i = m : gi ( x) = ; B = B( x) = i = p : G ( x) = 0, H ( x) = 0 ; C = C ( x) = i = p : G ( x) 0, H ( x) = 0 A = A( x) = i = p : Gi ( x) = 0, H i ( x) ; i b) Vectơ x K nghiệm tối ưu địa phương toán gốc (P) f ( x) f ( x) x K y X : y − x với số dương Chú ý 1: Bài toán “max” định nghĩa cách tương tự Chú ý 2: Mỗi vectơ x K gọi điểm chấp nhận cho tốn gốc (P) Mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe → ¡ m, q G = (G1 , , G p ) : ¡ gọi tuyến tính Ở C tập khác rỗng ¡ q , hàm X, Y: Không gian Banach thực, 28 ( LOPEC ) : f ( x) Trong đó: f : ¡ Cơ sở lí thuyết Chúng ta xét tốn tốn tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng: i i i Bài toán đối ngẫu dạng Wolfe cho tốn gốc (LOPEC), kí hiệu (DWLOPEC) xác định sau (xem [1, 4]) : n g g ( u ) + ( jh − hj ) h j (u) i i iI j =1 ( DWLOPEC ) :m ax g p u, + f (u ) − ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ) i =1 cho ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018), 27-33 5v1 − 3v2 + 1g ( v1 − v2 ) f (v) + ig gi (v) + ( jh − hj ) h j (v) n iI g + ( 1h − 1h ) ( v1 + v2 ) − 1G v2 j =1 − ( iG Gi (v) + iH H i (v) ) i =1 v C − u ; 1g 0, 1h 0, i I g ; , j = 1, 2, , n; − ui 1, i = 1, p g i h j − 1H v1 ( v1 , v2 ) C − ( u1 , u2 ) ; 1h 0, 1G 0, 1H 0, h j iG , iH , iG , iH i = 1, 2, , p; Kí hiệu tập số CG = AH = CG = AH = 0, A+ = i A : iG 0 ; i B, iG = iH = 0, u C , CG = ( cG ) cC , AH = ( aH ) CG = ( cG )cC , AH = ( aH )aA , = (h , G , H ) ¡ n+2 p = ( g , h , G , H ) ¡ a A C+ = i C : iH 0 ; , BG = i B : iH = 0, iG 0 ; BH = i B : iG = 0, iH 0 , m+n+2 p Mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) mơ tả ví dụ số sau: Ví dụ Cho q = 2, C = [ − 1, 1] −1, 1 , m = n = p = Xét toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân (LOPEC) không gian ¡ mô tả sau: ( x1 , x2 ) C g ( x) = x1 − x2 0, − ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ) i =1 Khi tập chấp nhận K = (0, 0) Chọn x = (0,0) ta có I g = 1 , A = C = , B = 1 Khi mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe tốn gốc (LOPEC) tốn (DWLOPEC) có dạng: u1 ,u2 , 1g , 1h , 1G , 1H cho j =1 p G ( x), H ( x) = x1 x2 = m ax chấp nhận cho toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) Khi đó, BG BH A+ C+ = iI g H ( x) = x1 0, ( u, ) n G ( x) = x2 0, nhận cho toán gốc (LOPEC) f ( x) f (u ) + ig gi (u ) + ( jh − hj ) h j (u ) h( x) = x1 + x2 = 0, chấp Định lí 3.1 (Đối ngẫu yếu) Cho x chấp nhận với vectơ chấp nhận x tốn gốc (LOPEC), ta có ( LOPEC ) : f ( x) = x1 − x2 vectơ Một định lí đối ngẫu yếu cho tốn gốc (LOPEC) toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) phát biểu: 5u1 − 3u2 + 1g ( u1 − u2 ) + ( 1h − 1h ) ( u1 + u2 ) − 1G u2 − 1H u1 Chứng minh: Vì f hàm tuyến tính nên f ( x − u ) = f ( x) − f (u ) (3.1) Do g, h, G, H hàm tuyến tính nên thành phần bên hàm vơ hướng tuyến tính Do đó, ta có gi ( x − u) = gi ( x) − gi (u ) i I g (3.2) h j ( x − u) = h j ( x) − h j (u) j = 1,2, , n (3.3) (−hj )( x − u) = (−h j )( x) − (−h j )(u) j = 1,2, , n (3.4) 29 Trần Văn Sự, Lê Xuân Hòa Từ điều kiện (3.7)-(3.8) dẫn đến (−Gi )( x − u) = (−Gi )( x) − (−Gi )(u) i A B (3.5) iI g (3.6) Theo giả thiết BG BH A+ C+ = , ta nhân phương trình (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) (3.6) cho vô hướng i I g ; i = 1, 2, , n; g i h i i = 1, 2, , n; i A B; h i G i i B C , sau cộng dồn chúng lại với H i nhau, ta nhận kết f ( x) − f (u ) + ig g i ( x) − ig g i (u ) iI g + h j h j j =1 n + j =1 n h j ( x) − j =1 n h j j =1 n (−h j )(u ) + ( − i =1 h i i =1 i =1 p p i =1 i =1 Do x chấp nhận toán (LOPEC) nên bất đẳng thức sau xảy ra: gi ( x) i I g ( x), (3.10) h j ( x) = j = 1, 2, , n, (3.11) g i gi ( x) + + H i j =1 n j =1 n (3.12) (3.13) h j h j h j ( x) (−h j )( x) p + iG ( −Gi ) ( x) (3.14) i =1 ) h ( x − u) + iH ( − H i ) ( x) (3.7) i p i =1 i =1 Theo giả thiết ( u, ) vectơ chấp nhận cho toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) x − u C − u , ta có đánh giá sau: + ( ih − ih ) hi ( x − u ) n p + iG ( −Gi ) ( x − u ) Kết hợp điều kiện có (3.9) (3.14), sau nhân vế trái (3.14) với (-1), bất đẳng thức đổi chiều, ta suy kết sau: f ( x) f (u ) + ig gi (u ) iI g + h j (u ) + j =1 n hj (−h j )(u ) p p i =1 i =1 (3.8) − ig gi ( x) + jh h j ( x) j =1 n iI g i =1 + iH ( − H i ) ( x − u ) h j + iG ( −Gi ) (u ) + iH ( − H i ) (u ) iI g i =1 i =1 j =1 n f (u − x) + ig g i ( x − u ) 30 (3.9) p p i =1 hj (−h j )(u ) + iH ( − H i ) ( x) − iH ( − H i ) (u ) iI g + iG ( −Gi ) ( x − u ) + iH ( − H i ) ( x − u ) p j =1 n p iI g h i p = f (u − x) + ig gi ( x − u ) n h j (u ) + iG ( −Gi ) ( x) − iG ( −Gi ) (u ) ( − H i ) ( x) − ( − H i ) (u ) i =1 j =1 n hj (−h j )( x) − p H i h j ( x) − Kết hợp điều kiện (3.10), (3.11), (3.12) (3.13) ta nhận bất đẳng thức sau: i =1 + i =1 j =1 n iI g h j H i ( x) i = 1, 2, , p h j p p + h j Gi ( x) i = 1, 2, , p, h j (u ) + iG ( −Gi ) ( x) − iG ( −Gi ) (u ) i =1 j =1 n iI g (−h j )( x) − p + (− Hi )( x − u) = (− Hi )( x) − (− Hi )(u) i C B f ( x) − f (u ) + ig g i ( x) − ig g i (u ) + j =1 n p h j (−h j )( x) + iG ( −Gi ) ( x) i =1 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018), 27-33 p + iH ( − H i ) ( x) i =1 f (v ) gi (v) i I g , (−Gi )(v) i A B, (− H )(v) i B C , i v C − x f (u ) + ig gi (u ) iI g + j =1 n h j h j (u ) + j =1 n hj (−h j )(u ) p p i =1 i =1 + iG ( −Gi ) (u ) + iH ( − H i ) (u ) = f (u ) + ig gi (u ) + ( jh − hj ) h j (u ) n iI g j =1 Áp dụng Định lí 2.12 Giáo trình Rockafeller [6], tồn vectơ chấp nhận ( , , ) ¡ 1+ m+ p , ¡ +, − ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ) p = ( g , G , H ) ¡ i =1 Vậy, bất đẳng thức cuối nhận f ( x) f (u ) + ig gi (u ) + ( jh − hj ) h j (u ) = ( G , H ) ¡ n iI g j =1 − ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ) p Định lí 3.2 (Đối ngẫu mạnh) Cho x K nghiệm tối ưu địa phương cho toán gốc (LOPEC) tồn vC − x cho gi (v) i I g , (−Gi )(v) i A B (− H i )(v) i B C Khi đó, điều kiện B B A C = + H ( g G = , , + H )¡ chúng không đồng thời 0, thỏa mãn bất đẳng thức sau : p Tiếp theo chúng tơi phát biểu định lí đối ngẫu mạnh cho toán gốc (LOPEC) trường hợp bỏ ràng buộc đẳng thức h( x) = G , iI g Điều kết thúc chứng minh h 0, , f (v) + ig gi (v) i =1 Giả sử 2p m+2 p m+2 p tồn cho ( x, ) + iG ( −Gi ) (v) p + iH ( − H i ) (v) v C − x i =1 Mặt khác, theo giả thiết ban đầu tồn vectơ v C − x thỏa mãn gi (v) i I g , (3.16) (−Gi )(v) i A B , (3.17) vectơ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) giá trị hàm mục tiêu chúng tương ứng Chứng minh: Do x K nghiệm tối ưu địa phương toán gốc (LOPEC) nên hệ bất đẳng thức sau không xảy ra: (3.15) i =1 (− H i )(v) i B C (3.18) Kết hợp điều kiện (3.15), (3.16), (3.17) (3.18) ta nhận Khơng tính tổng qt tốn ta chọn giá trị vơ hướng = = Áp dụng Định lí 3.1, với vectơ ( u, ) nghiệm chấp nhận toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC), bất đẳng thức đúng: 31 Trần Văn Sự, Lê Xuân Hòa f ( x) f (u ) + ig gi (u ) iI g p + iG ( −Gi ) (u ) (3.19) i =1 p + iH ( − H i ) (u ) i =1 Mặt khác, khơng khó kiểm tra kết quả: f ( x) = f ( x) + ig gi ( x) iI g p p i =1 i =1 (3.20) + iG ( −Gi ) ( x) + iH ( − H i ) ( x) 1 chọn vectơ v = 2, C , lúc bất đẳng thức 2 (3.16), (3.17) (3.18) Do tất giả thiết Định lí 3.2 thỏa mãn Lúc mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cho tốn gốc (LOPEC tốn đối ngẫu (DWLOPEC) có dạng: u1 + 1g ( u2 − u1 ) ( DWLOPEC) : m ax +u2 − 1G ( 3u2 − u1 ) u1 , u2 , 1g , 1G , 1H − 1H u1 cho v1 + v2 + 1g ( v2 − v1 ) Kết hợp (3.19) (3.20) ta thu − 1G ( 3v2 − v1 ) − 1H v1 f ( x) + ig gi ( x) ( v1 , v2 ) C − ( u1 , u2 ) ; iI g p 1g 0, 1G 0, 1H 0, p + iG ( −Gi ) ( x) + iH ( − H i ) ( x) i =1 f (u ) + gi (u ) iI g ui 3, i = 1, i =1 g i p p i =1 i =1 H = 0, 1G Giả sử không xảy 1G , H 1 = 0, 1 + iG ( −Gi ) (u ) + iH ( − H i ) (u ) ( ) Vậy x, nghiệm tối ưu toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC), giá trị hàm mục tiêu chúng tương ứng Cuối chúng tơi cung cấp ví dụ để minh họa kết đạt bên sau: Ví dụ Cho q = 2, C = 0, 3 , m = p = Xét tốn tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân (LOPEC) ¡ sau: ( LOPEC ) : ( x1 , x2 ) C H ( x) = x1 0, Tập chấp nhận cho toán (LOPEC) K = ( 3a, a ) ¡ : a 1 Quan sát hàm mục tiêu f ( x) = x1 + x2 ta dễ dàng thấy nghiệm tối ưu toán gốc (LOPEC) x = (0,0) Kiểm tra khái số ta nhận I g = 1 , A = C = , B = 1 Vì x = (0,0) 32 ( g G = , , H )¡ ( cho x, ) nghiệm tối ưu toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) giá trị hàm mục tiêu chúng tương ứng Thật vậy, thử lại kết trực tiếp sau Ta có x = (0,0) nghiệm tối ưu toán gốc (u, ) = ( 0, 0, 2,1, 0) G ( x), H ( x) = ( 3x2 − x1 ) x1 = tập Khi đó, áp dụng Định lí 3.2, tồn vectơ phương pháp giải trực tiếp toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC), tìm nghiệm tối ưu cho toán đối ngẫu dạng Wolfe G ( x) = 3x2 − x1 0, BG BH A+ C+ = (LOPEC) giá trị hàm mục tiêu f ( x) = Tiếp theo, f ( x) = x1 + x2 g ( x) = x2 − x1 0, niệm nghĩa nên ta giá trị hàm mục tiêu f (u ) + i gi (u ) g iI g p ( ) − Gi (u ) + i H i (u ) = i =1 G i H Vậy định lí 3.2 kiểm tra ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018), 27-33 Nhận xét 3.1 Trong trường hợp C = ¡ q + (nón orthant khơng âm) H = G = tốn (LOPEC) trở thành tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt dạng “min” sau (xem [7, tr.14]): toàn tương lai kết áp dụng để xây dựng thuật toán số giải toán tối ưu tuyến tuyến với ràng buộc cân (LOPEC) tốn đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) ( LOPEC ) : f ( x) g ( x) 0, G ( x) ( H ( x) 0), h( x) = 0, x Do đó, kết thu bên áp dụng trực tiếp cho toán quy hoạch tuyến tính tổng quát dạng “min” chí toán vận tải toán bán hàng nhiều toán thực tế khác với điều kiện hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm tuyến tính Kết luận Bài báo xây dựng cách đầy đủ mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cho tốn tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân (LOPEC) Chứng minh hai định lí tính đối ngẫu yếu tính đối ngẫu mạnh cho toán gốc (LOPEC) toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) Kết đạt báo hoàn Tài liệu tham khảo [1] R I Bot, S -M Grad (2010) Wolfe duality and Mond-Weir duality via perturbations Nonlinear Anal Theory Methods Appl., 73(2), 374-384 [2] S Dempe, A B Zemkoho (2012) Bilevel road pricing: Theoretical analysis and optimality conditions Ann Oper Research, 196, 223-240 [3] Z Q Luo, J S Pang, D Ralph (1996) Mathematical problems with equilibrium constraints Cambridge University Press, Cambridge [4] P Wolfe (1961) A duality theorem for nonlinear programming Q J Appl Math, 19, 239-244 [5] J J Ye (2005) Necessary and sufficient optimality conditions for mathematical program with equilibrium constraints J Math Anal Appl., 307, 350-369 [6] R T Rockafellar (1970) Convex Analysis Princeton Univ Press, Princeton [7] Phí Mạnh Ban (2015) Quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm WOLFE TYPE DUALITY FOR LINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS WITH EQUILIBRIUM CONSTRAINTS Abstract: Duality has an important role in the study of mathematical programming problems , since the weak duality provides a lower bound to the objective function of the primal problem (or the original problem) In this article, we formulate and investigate a Wolfe type duality model for linear optimization problems with equilibrium constraints Firstly, we propose the Wolfe type duality model and give an example to illustrate the given dual model Secondly, we establish the weak duality and strong duality theorems for a pair of the primal problem (LOPEC) and the Wolfe type dual problem (DWLOPEC) Finally, we present an example to illustrate the strong duality result in the paper Key words: linear optimization problem with equilibrium constraints; wolfe type duality; strong duality theorem; weak duality theorem; linear mappings 33 ... ( x) Trong đó: f : ¡ Cơ sở lí thuyết Chúng ta xét toán toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng: i i i Bài toán đối ngẫu dạng Wolfe cho toán gốc (LOPEC), kí hiệu (DWLOPEC) xác định sau (xem... toán bán hàng nhiều toán thực tế khác với điều kiện hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm tuyến tính Kết luận Bài báo xây dựng cách đầy đủ mơ hình đối ngẫu dạng Wolfe cho tốn tối ưu tuyến tính với ràng. .. G = toán (LOPEC) trở thành toán quy hoạch tuyến tính tổng qt dạng “min” sau (xem [7, tr.14]): tồn tương lai kết áp dụng để xây dựng thuật toán số giải toán tối ưu tuyến tuyến với ràng buộc cân