Bài viết này nghiên cứu về lý thuyết về giải thuật tìm kiếm tối ưu Vortex Search (VS), lý thuyết và ứng dụng lý thuyết Chaos vào họ giải thuật MetaHeuristics. Chúng tôi đề xuất cải tiến giải thuật VS bằng cách lai quy luật phát sinh tập ứng viên giải thuật VS với hàm Chaotic Bernoulli Map. Kết quả kiểm chứng trên tập 20 hàm Benchmark cho thấy giải thuật mới có kết quả tốt hơn so với nguyên bản trên các tiêu chí đánh giá. Mời các bạn cùng tham khảo!
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Số 45A, 2020 GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TOÀN CỤC TRƯƠNG KHẮC TÙNG1, ĐỖ HÀ PHƯƠNG1, DƯƠNG ĐỨC HƯNG2 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Trường Đại Học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh, Việt Nam Đại học Huế, 03 Lê Lợi, Huế, Việt Nam tungtk@iuh.edu.vn Abstract Trong báo này, dựa nghiên cứu lý thuyết giải thuật tìm kiếm tối ưu Vortex Search (VS), lý thuyết ứng dụng lý thuyết Chaos vào họ giải thuật MetaHeuristics Chúng đề xuất cải tiến giải thuật VS cách lai quy luật phát sinh tập ứng viên giải thuật VS với hàm Chaotic Bernoulli Map Kết kiểm chứng tập 20 hàm Benchmark cho thấy giải thuật có kết tốt so với nguyên tiêu chí đánh giá Keywords Global optimization; Artificial intelligence; Chaotic number; Hybrid algorithm; CHAOTIC VORTEX SEARCH ALGORITHM FOR GLOBAL NUMERICAL OPTIMIZATION Abstract In this paper, based on theoretical studies of the optimal search algorithm Vortex Search (VS), the theory and application of Chaos theory to the Metaheuristics We propose to improve the VS algorithm by hybridization of the rule for generating the candidate solutions algorithm of VS wiith chaotic function by using the Bernoulli map Simulation results on a set of 20 Benchmark validation algorithms show that the new algorithm has better results than the old algorithm on the evaluation criterias Keywords Global optimization; Artificial intelligence; Chaotic number; Hybrid algorithm; MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, có nhiều nghiên cứu lý thuyết, ứng dụng cải tiến giải thuật tìm kiếm xấp xỉ tối ưu họ Metaheuristics[1][2][3][4][5] Hai vấn đề giải thuật ln gặp phải[2] chi phí thực thi dễ rơi vào bẫy cục địa phương làm ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng lời giải Đối với việc giải vấn đề cục địa phương ngồi hướng tiếp cận nghiên cứu tìm cảm hứng bầy đàn[2][5][6] tự nhiên, hướng đa bầy đàn Multi-Swarm[7] cịn có cách tiếp cận cải tiến giải thuật ứng dụng lý thuyết hỗn loạn[1][3][4] quan tâm nghiên cứu Trong số hàm chaos hàm Chaotic Bernoulli Map sử dụng phổ biến việc tạo chuỗi số thay sinh số ngẫu nhiên Trong báo tập trung vào kết hợp hàm Chaotic Bernoulli Map vào giải thuật VS chứng minh tính hiệu giải thuật thơng qua 20 hàm Benchmark Trong mục này, chúng tơi trình bày tóm lược nội dung: Bài tốn tối ưu tồn cục hàm đại số, tóm lược Metaheuristics, giải thuật Vortex Search Lý thuyết hỗn loạn 1.1 Bài toán tìm kiếm giải pháp tối ưu tồn cục Cho hàm số f: D → R, D ⊂ Rn; Tìm x ∈ D để f(x) đạt cực đại - Max hay cực tiểu – Min đó, Rn: Khơng gian số thực n chiều, D: miền ràng buộc khơng gian tìm kiếm lời giải tốn Vectơ x = (x1, x2, , xn)T ∈ D ⊂ Rn gọi giải pháp – Solution (một lời giải tốn tìm kiếm giải pháp tối ưu) Giá trị x* = (x1*, x2* , , x n*) ∈ Rn gọi giải pháp tối ưu toàn cục x* ∈ D f(x*) ≥ f(x), ∀x ∈ D với tốn cực đại hóa hay f(x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D với toán cực tiểu hóa Vectơ x’ ∈ Rn gọi giải pháp tối ưu địa phương x’∈ D tồn lân cận Nε đủ nhỏ điểm x’ cho f(x’) ≥ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D với toán cực đại hoá hay f(x’) ≤ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D với tốn cực tiểu hóa Dễ dàng nhận thấy điểm cực trị toàn cục cực trị địa phương điều ngược lại khơng © 2020 Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TỒN CỤC hẳn Hàm có cực trị thuộc nhóm U: Unimodal, hàm có nhiều cực trị thuộc nhóm M: Multimodal Nhóm Multimodal khiến tốn tìm kiếm lời giải tối ưu khó nhiều gặp vấn đề bẫy cục địa phương Hàm phân tách (Separate) áp dụng tính tốn tối ưu cách tập trung hướng tìm kiếm vào biến thành phần thực xoay vịng biến Trong đó, hàm không phân tách (Non-Separate) phức tạp nhiều hướng tìm kiếm phụ thuộc vào hay nhiều biến thành phần Bộ 20 hàm số kiểm chuẩn (Benchmark) đầu vào kiểm chứng kết báo phân bổ nhóm hàm: U: Unimodal, M: Multimodal, S: Separable, N: Non-Separable 1.2 Tóm lược Metaheuristics Trở lại tốn tối ưu tồn cục hàm đại số, có hai vấn đề việc tìm kiếm giải pháp tối ưu tồn cục hàm đại số vấn đề chi phí thực thi (thời gian, tài nguyên máy tính) vấn đề bẫy cục địa phương Đối với vấn đề chi phí thực thi, tiếp cận theo hướng xấp xỉ nghiên cứu để giải vấn đề Thay tìm kiếm lời giải tối ưu xác đưa giải pháp tốt chấp nhận đáp ứng yêu cầu thời gian lực máy tính[2][8] Đối với vấn đề bẫy cục địa phương, tiếp cận giải thuật tiến hóa, siêu tri thức Metaheuristic[2][8][9] nghiên cứu để giải vấn đề Thay việc tìm kiếm quy luật để phát lời giải, giải thuật Metaheuristics xác định khơng gian tìm kiếm lời giải, sau khởi tạo tập giải pháp ban đầu thực tiến hóa để làm tốt dần lên qua hệ Kết tốt từ tập giải pháp sau lời giải toán Họ giải thuật Metaheuristics tiến hành theo chiến lược thăm dò kết hợp với chiến lược khai thác Thăm dị nhằm tránh bỏ sót vùng tìm kiếm tiềm thực cách đưa yếu tố ngẫu nhiên tham gia vào xây dựng quần thể cá thể tìm kiếm hệ Khai thác nhằm tiếp cận nhanh điểm cực trị vùng tìm kiếm có nghĩa việc xây dựng quần thể tìm kiếm dựa thông tin tốt hệ Vấn đề Metaheuristic cân việc thăm dò khai thác, tập trung vào thăm dị khiến lời giải khơng chất lượng ngược lại tập trung vào khai thác lại khiến giải thuật dễ rơi vào bẫy cục địa phương Việc thực cách cố gắng cân xác xuất hướng vào việc thăm dò hướng vào việc khai thác Họ Metaheuristics gồm lớp giải thuật: Single-Solution Based (Simulated Annealing SA[10], Random Search[11], Pattern Search[12], Vortex Search[5][13]…) Population Based (Genetic Algorithm[8][9], Particle Swarm Optimization PSO[3][6][7], Social Spider Algorithm[14]…) Lớp giải thuật Single-Solution Based khởi tạo cá thể tìm kiếm ban đầu, với Population Based khởi tạo bầy đàn - tập cá thể tìm kiếm 1.3 Giải thuật Vortex Search Giải thuật tìm kiếm xốy Vortex Search (VS) hai đồng tác giả Berat Doğan, Tamer Ölmez nghiên cứu xuất bản[5][13] thuộc lớp giải thuật Single-Solution Based họ giải thuật Metaheuristics VS điểm mạnh thời gian thực thi nhanh tốc độ hội tụ cao cịn có vấn đề bẫy cục địa phương Dưới đoạn mã giã Psuedo-Code cho lớp giải thuật Single-Solution Based họ giải thuật Metaheuristics: Input: Khởi tạo cá giải pháp ban đầu s0; Bộ đếm hệ, ban đầu t = 0; Repeat Phát sinh tập cá thể ứng viên C(st) dựa vào cá thể st; Chọn cá thể ứng viên tốt st: st+1=Select(C(st)); st+1 = best(st, st+1); Cập nhật hệ t = t + 1; Until Thỏa điều kiện dừng; Output: Giải pháp tối ưu st Single-Solution đại diện cho lời giải toán, giải thuật họ Single-Solution Based Metaheuristics © 2020 Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TỒN CỤC gây dựng cá thể Single-Solution ban đầu làm tốt dần lên qua hệ Tại hệ, giải thuật phát sinh tập cá thể giải pháp ứng viên theo quy luật dựa vào Single-Solution chọn ứng viên tốt cho hệ đó, ứng viên tốt lời giải tốn hành bầu chọn thay làm lời giải toán Ý tưởng áp dụng chung cho giải thuật phát triển dựa Single-Solution Based Metaheuristics Các giải thuật Single-Solution Based (Pattern Search (PS), Random Search (RS), Vortex Search (VS)…) phát triển Single-Solution dựa vào việc đưa quy luật phát sinh tập ứng viên Giải thuật VS sử dụng quy luật phân phối chuẩn Gaussian-Distribution để phát sinh tập cá thể ứng viên Phân bố Gaussbảo đảm xác xuất để phát sinh cá thể ứng viên tìm kiếm gần vị trí gần tâm cao xác xuẩt phát sinh cá thể xa tâm tìm kiếm Dưới đoạn mã giả Psuedo-Code giải thuật VS: Inputs: Khởi tạo µ0 tâm tìm kiếm ban đầu; Khởi tạo r0 bán kính tìm kiếm ban đầu; Khởi tạo giá trị f(sbest ) = inf hàm mục tiêu toàn cục; Khởi tạo đếm lặp, ban đầu t = 0; Repeat Phát sinh tập cá thể ứng viên Ct(s) sử dụng quy luật phân bố Gauss dựa vào tâm tìm kiếm µt; Điều chỉnh cá thể Ct(s) ngồi phạm vi vào vùng tìm kiếm; Chọn giải pháp s* tốt từ tập ứng viên; IF s* tốt sbest THEN Cặp nhật sbest = s*; ELSE Giữ sbest; END Cập nhật tâm tìm kiếm µt = sbest; Giảm bán kính tìm kiếm rt+1 cho hệ t+1; Tăng hệ tìm kiếm t = t + 1; Until: Đạt số vòng lặp tối đa giải thuật; Output: Giá trị tối ưu f(sbest) giải thuật tìm Dưới cơng thức sử dụng cho giải thuật VS: = ≈ = = Trong = = − ( [ ] (1) ; ( − )− ( − )+ ≤ ≤ )+ ) (2) ; ; giá trị đặc trưng thứ i cá thể thứ k ( | ,∑ ) = ∑ = ( + ( , ) < ≥ (3) (4) (5) (2 ) |∑| − ( − ) ∑ ( − ) (6) (7) © 2020 Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TỒN CỤC 1.4 Lý thuyết Chaos Lý thuyết Chaos Henri Poincaré[15] phát nghiên cứu chuyển động tập đối tượng Bài tốn đặt cho biết vị trí quy luật chuyển động, xác định vị trí tập đối tượng thời điểm tương lai Gọi x vị trí đối tượng, giả sử đối tượng chuyển động theo hàm tác động gọi hàm quy luật g, hàm quy luật chuyển động có dạng: x t+1 =g(xt); t ∈ N Trong t + thời điểm thời điểm t Khi nghiên cứu để xây dựng hệ thống dự báo từ thông số đầu vào (vị trí x0, quy luật - tham số mơ tả hàm f) tiên đoán kết tương lai (ứng dụng nghiên cứu dự báo), nhà nghiên cứu phát đa số hàm quy luật tiên đốn kết tương lai (hàm hội tụ giá trị vơ cực) cịn tồn hàm nhạy cảm với đầu vào khiến cho kết hỗn độn khoảng giá trị (khơng tiên đốn được) Một hàm chuyển động Chaos có tính chất hỗn độn khoảng xác định T ánh xạ liên tiếp từ T lên mà khơng tiên đốn tương lai Có nghĩa khơng tiên đốn sau khoảng thời gian N chuyển động quay trở lại vị trí xuất phát = ( … ( ) ) Các hàm số Chaotic map xây dựng hàm có ánh xạ hỗn độn khoảng (0,1) Lý thuyết Chaos ứng dụng hệ thống tính tốn có yếu tố ngẫu nhiên tham gia Ứng dụng lý thuyết Chaos với việc cải tiến quy luật hình thành yếu tố ngẫu nhiên hướng nghiên cứu năm gần cho giải thuật tìm kiếm tối ưu[1][4][5] ĐỀ XUẤT GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH Tìm hiểu giải thuật VS cho thấy, việc nghiên cứu đề xuất giải thuật hay cải tiến giải thuật họ Single-Solution Based Metaheuristic việc phát hay cải tiến quy luật phát sinh tập ứng viên Những nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Chaos vào cải tiến giải thuật Metaheuristic[1][3][4] cho thấy kết hợp Chaotic vào quy luật phát sinh làm cho giải thuật có kết tốt hơn dựa số tiêu chí đánh giá Từ việc nghiên cứu ứng dụng cải tiến giải thuật VS, đề xuất giải thuật Chaotic Vortex Search (CHAOVS) dựa vào việc bổ sung quy luật Chaos vào hàm quy luật phát sinh tập ứng viên Hàm Chaotic chọn Bernoulli Map, định nghĩa sau: s(n+1)= fB(s(n)) Với điều kiện khởi tạo s(0) [-1,1] fB ánh xạ chaotic fB: [-1,1][-1,1] định nghĩa: + fB(s)= ; −1 ≤ − ; ≤ < ≤1 Trong tham số (-1,1) Giá trị s(0) sử dụng cho mô kết s(0) = 0.5 = 0.8 2.1 Quy luật phát sinh tập ứng viên Cs giải thuật VS Gọi μ0 tâm tìm kiếm ban đầu, μt tâm tìm kiếm hệ thứ t Khi tâm = [ 10 , 20 , … , ], D số chiều không gian tìm kiếm Trong đó: = ; [lowerlimiti, upperlimiti] ràng buộc cận cận không gian chiều thứ i Các cận cận trên tất chiều không gian với hàm chuẩn Benchmark thiết lập giá trị chung lowerlimit upplimit (xem bảng 4) Tại hệ tìm kiếm, sử dụng hàm quy luật phân phối chuẩn phát sinh ma trận CPsize,D có Psize dịng (kích thước quần thể) dịng chứa giá trị số ngẫu nhiên theo quy luật phân phối Gauss (dựa theo cơng thức số (6), (7)) có giá trị trung bình Mean 0, phương sai 1: C= ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ Ma trận C sử dụng mặt nạ tìm kiếm để xây dựng ma trận cơng cụ tìm kiếm Ct cho tâm tìm kiếm Mean độ lệch chuẩn (là bán kính tìm kiếm hệ t): © 2020 Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TỒN CỤC Trong bán kính ban đầu = ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ tính theo cơng thức (2): ( = )− ⋮ ( ) Bán kính tìm kiểm điều chỉnh giảm dần qua hệ theo công thức điều chỉnh: = ( , ); Với =1 = 1− ; MaxInt số lượng hệ giải thuật thực tìm kiếm Tham số x hiểu độ uốn hệ số giảm bán kính (Tham số x sử dụng cho mơ giải thuật x = 0.1) Ma trận công cụ tìm kiếm Ct dịch chuyển tới vị trí tâm tìm kiếm thực (với tâm tìm kiếm sử dụng để phát sinh tập ứng viên hệ t): C(st) = + ⋮ + ⋯ ⋱ ⋯ = [ 1−1 , 2−1 , … , + ⋮ + Trong −1 ] tâm tìm kiếm sử dụng cho phát sinh tập ứng viên hệ C(st) = + Đặt ; cá thể vi phạm ràng buộc chiều không gian thứ i (ràng buộc cận cận trên) thực điều chỉnh theo công thức (3) Sau thực điều chỉnh cá thể vi phạm, ta có tập cá thể ứng viên hệ t giải thuật VS (gọi CVS(st) ): CVS(st) = ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ CVS(s t) ma trận Psize×D Psize kích thước quần thể D số chiều khơng gian Trong = ( , , … , ) cá thể ứng viên thứ i tập quần thể Psize cá thể 2.2 Quy luật phát sinh tập ứng viên Cs giải thuật CHAOVS Sử dụng hàm Bernoulli map, phát sinh ma trận sử dụng để xây dựng quy luật phát sinh tập ứng viên mới: Bernoulli_map(Psize, D) = ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ giá trị số Chaotic phát sinh từ hàm Bernoulli map Chúng thực lai ghép với CVS(st) để tạo quy luật phát sinh tập ứng viên mới: CCHAOVS(st) = ⋮ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 3.1 Đầu vào giải thuật Để kiểm tra kết thực nghiệm để so sánh đối chiếu giải thuật cũ, kiểm chứng đầu vào 20 hàm số lấy từ liệu Benchmark Function[16] Kiểm chứng thực thi giải thuật thực phần mềm MATLAB R2013a, cấu hình máy CPU: Intel Core I5 5300u 2.3GHz, nhớ đệm 3MB Cache, RAM: 8GB - DDR3 1600MHz Bộ 20 hàm kiểm chứng chọn ngẫu nhiên chứa đặc điểm khác hàm chuẩn Benchmark: U-Unimodal (Hàm đơn cực trị), M-Multimodal (Hàm đa cực trị), S-Seperable (Hàm phân tách được), N-Non_Seperable (Hàm khơng phân tách được) © 2020 Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TOÀN CỤC Bảng 1: 20 Hàm Benchmark kiểm chứng kết giải thuật dựa vào U: Unimodal, M: Multimodal, S: Separable, N: Non-Separable C C: Func Name Mô tả Characteristics F1 Sphere US F2 Quartic US F3 Easom UN F4 Colville UN F5 Trid6 UN F6 Zakharov UN F7 F8 F9 F10 Schwefel 1.2 Foxholes Rastrigin Michalewicz2 UN MS MS MS F11 Six Hump Camel Back MN F12 Shubert MN F13 F14 Goldstein-Price Shekel5 MN Powersum MN F16 Hartman3 MN F18 Ackley Penalized ( )= MN MN ( ( )= ( )= + 500 − 1) − +( ( )= − 2.1 ( )= ( )= + (−( − ) − ( − ) ) 0.5 + ( − | | (2 − 10 / )) ) ) + 10] m = 10 + ( + 1) 0.5 | |+ +∑ [ ) +( − −4 + +4 ( + 1) 1+( + + 1) + − 14 + +3 ) 30 + (2 − ) (18 − 32 + 12 + 48 − 36 + 27 ) (19 − 14 ( )=− ( )= − ( )= exp − ( ) = −20exp (−0.2 ( )= ( ) ( )( ( )= ) + random[0,1) − ) + ( − 1) + ( − 1) + 90( + 10.1(( − 1) + ( − 1) ) + 19.8( − 1)( − 1) ( )= ( )= − ( ) ( ( ) ( ) = 100( MN F15 F17 ( )=− ( )= ( )= − exp ( + =1+ ( © 2020 Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh + + 1) ( ( − 1 − )− − ) cos(2 10 + ( − 1) [1 + 10 )) + 20 + ( , 10,100,4) ) ( )] + ( − 1) ) GIẢI THUẬT CHAOTIC VORTEX SEARCH CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TỒN CỤC ( , , , Langerman5 F19 MN Fletcherpowell10 F20 MN ( )=− ( )= ( − ) , 0, − ≤ (− − ) , ( (− )= = − ( ) − > ≤