Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector

LèI CÁM ƠN Em xin chân thành cám ơn Thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình hưóng dan, giúp đõ em suot thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn thay, cô to giái tíchkhoa Tốn, trưòng Đai hoc sư pham H Nđi ó tao moi ieu kiắn giỳp em hồn thành khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn gia đình ban bè tao moi đieu ki¾n thn loi cho em q trình thnc hi¾n khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lưu Th% Hong i LèI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna Thay giáo Nguyen Văn Tun khóa lu¾n “SN tách nón cho tốn toi ưu vector” đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kỳ đe tài khác Trong q trình hồn thành khóa lu¾n, em thùa ke nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lưu Th% Hong ii Mnc lnc Má đau 1 Bài toán toi ưu vector 1.1 Mđt so khỏi niắm c bỏn 1.2 Quan h¾ hai ngơi quan h¾ thú tn 1.3 Điem huu hi¾u 11 1.4 Sn ton tai cna điem huu hi¾u 14 1.5 Bài toán toi ưu vector (VOP) .15 1.6 Đoi ngau Lagrange 16 SN tách nón cho toán toi ưu vector 19 2.1 Sn tách vector không gian ánh 19 2.2 Sn tách nón cna t¾p 23 2.3 Áp dung cho toán toi ưu vector 29 Ket lu¾n 38 Tài li¾u tham kháo 39 iii Mé ĐAU Lý chon đe tài Phân tích khơng gian ánh (ISA) m®t phương pháp đe nghiên cúu tốn cnc tr% có ràng bu®c, bat thúc bien phân, tong quát có the ỏp dung cho mđt lúp cỏc bi toỏn, kớ hiắu P , mà có the bieu dien dưói m®t h¾ bat thúc tham so Trong vi¾c phân tích khụng gian ỏnh, mđt hắ bat ang thỳc tham so có the quy ve hai t¾p thích hop ròi K H cna không gian ánh tương úng vói P T¾p K đưoc đ%nh nghĩa ánh cna hàm tham gia P , H m®t nón loi chí phu thu®c vào kieu đieu ki¾n (đang thúc, bat thúc, ) lóp tốn P Sn ròi cna K H có the đưoc chí bang cách chỳng hai mỳc rũi cna mđt hàm vector tách Trong trưòng hop này, P m®t tốn toi ưu vector (VOP) có nghiên cúu đưoc đưa ra, chang han như: đieu ki¾n can toi ưu kieu Lagrange, đieu ki¾n cho điem n ngna, sn ton tai nghi¾m, đieu ki¾n quy phương pháp vơ hưóng hóa [1, 2, 6, 7, 9, 10] Muc đích cna khóa lu¾n nham phân tích sâu sn tách vector khơng gian ánh sn liên h¾ vói loai khác, như: tách tuyen tính tùng khúc tách nón Đ¾c bi¾t moi liên h¾ vói đieu ki¾n ton tai điem n ngna cho tốn toi ưu vector Khóa lu¾n đưoc chia thành hai chương Chương giói thi¾u m®t so kien thúc bán ve giái tích loi, ve tốn toi ưu vector phương pháp vơ húng húa Chng giúi thiắu mđt so ắc iem chung cna tách vector không gian ánh tương úng vói m®t tốn toi ưu vector Sau se phân tích moi quan h¾ giua tách vector tỏch nún ắc biắt, khúa luắn se trỡnh by mđt đieu ki¾n can đn cho sn ton tai cna tách nón quy cna t¾p K H Cuoi cùng, se áp dung cho toán toi ưu vector se chí sn tương đương cna tách vector vói sn tách nón Mnc đích nghiên cNu Bưóc đau làm quen vói nghiên cúu khoa hoc, tù hình thành tư logic đ¾c thù cna b® mơn Tìm hieu nhung kien thúc ve tốn toi ưu vector, phân tích moi quan h¾ giua sn tách nón sn tách vector cna t¾p không gian ánh Đe áp dung cho tốn toi ưu vector Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu sn tách nón cho tốn toi ưu vector đe chí đieu ki¾n can cho sn ton tai cna m®t điem yên ngna vector cna hàm Lagrange tương úng vói tốn toi ưu vector Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop theo sn chí đao cna ngưòi hưóng dan đe hoàn thành muc tiêu đe Cau trúc khóa lu¾n Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo đe tài bao gom chương: Chương 1: Bài toán toi ưu vector Chương 2: Sn tách nón cho tốn toi ưu vector Chương Bài toán toi ưu vector 1.1 Mđt so khỏi niắm c bỏn Giỏ sỳ E l khơng gian tuyen tính, R t¾p so thnc Đ%nh nghĩa 1.1 T¾p A ⊂ E đưoc goi loi, neu: ∀x1, x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : ™ λ ™ ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Ví dn 1.1 Các núa khơng gian t¾p loi Hình tam giác, hình tròn m¾t phang t¾p loi Hình cau đơn v% khơng gian Banach t¾p loi Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú A ⊂ E Giao cna tat cá t¾p loi chúa A đưoc goi bao loi cna t¾p A, kí hi¾u coA Nh¾n xét 1.1 a) coA l mđt loi ú l loi bé nhat chúa A; b) A loi chí A = coA Đ%nh nghĩa 1.3 T¾p C ⊂ E đưoc goi nón có đính tai neu: ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C C đưoc goi nón có đính tai x0, neu C − x0 nón có đính tai Đ%nh nghĩa 1.4 Nón C có đính tai oc goi l nún loi, neu C l mđt loi, nghĩa là: ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > ⇒ λx + µy ∈ C Ví dn 1.2 Các t¾p sau Rn: {ξ1, ξ2, , ξn ∈ Rn : ξi “ 0, i = 1, , n} (nón orthant khơng âm) {ξ1, ξ2, , ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, , n} (nón orthant dương) nón loi có đính tai Đó nón loi quan trong Rn Ngồi ra, neu cho D ⊆ Rm m®t nón loi, nón cnc dương cna D đưoc xác đ%nh bói: D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗, x >“ 0, ∀x ∈ D} Cho a, b ∈ Rm, a “D b chí a − b ∈ D; a “ chí “ 0, i = 1, , m Kí+hi¾u Rm := {x ∈ Rm : x “ 0} cho g : X → Rm Hàm g đưoc goi D-giong loi S ⊆ X chí : ∀x1, x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S, ˆ cho (1 − α)g(x1) + αg(x2) − g(x) ∈ D ˆ Đieu đưoc biet đen [13] rang g m®t hàm D-giong loi chí t¾p g(S) + D loi Đ%nh nghĩa 1.5 Phan tương đoi cna t¾p A ⊂ Rn phan cna A af f A (bao affine); kí hiắu l riA Cỏc iem thuđc riA oc goi l điem tương đoi cna t¾p A Nh¾n xét 1.2 intA := {x ∈ Rn : ∃s > 0, x + sB ⊂ A} , riA := {x ∈ af f A : ∃s > 0, (x + sB) ∩ af f A ⊂ A} , B hình cau đơn v% đóng Rn Tiep theo se xem xét m®t so nón thưàng g¾p Cho C nón loi khơng gian vector tơpơ E Kí hi¾u l(C) := C ∩ (−C) (phan tuyen tính cna C); clC (bao đóng cna C); m®t t¾p A ⊆ E, Ac phan bù cna A E, nghĩa Ac = E\A Đ%nh nghĩa 1.6 Chúng ta nói nón C là: (a) Nhon neu l(C) = 0; (b) Nón sac neu bao đóng cna nhon; (c) Nón có giá ch¾t neu C\l(C) đưoc chúa m®t núa khơng gian mó thuan nhat; (d) Nón neu (clC) + C\l(C) ⊆ C, ho¾c tương đương clC + C\l(C) ⊆ C\l(C) Ví dn 1.3 Cho Rn không gian Euclid n-chieu Khi đó, nón orthant khơng âm Rn gom tat cá vectơr cna Rn vói toa đ® khơng âm nón + loi, sac, đóng, có giá ch¾t nón ỳng Tắp {0} cng l mđt nún, nhng l nún tam thưòng T¾p hop cna vector vói toa đ® đau tiên dương m®t nón đúng, nhon, có giá ch¾t khơng nón sac Bat kì núa khơng gian đóng thuan nhat nón đúng, có giá ch¾t khơng nón nhon Cho Ω không gian vectơr gom tat cá dãy x = {xn} so thnc Cho C = {x ∈ Ω : xn “ 0, ∀n}, C nón nhon, loi Tuy nhiên, ta chưa biet nón C nón ho¾c nón sac ta chưa biet tơpơ xác đ %nh khơng gian Nón thú tn tù đien: Cho p l = ,x ∈ Ω : "x" = ( p1 |xn| )p , , ™ p < ∞ Kí hi¾u C hop cna dãy mà so hang đau tiên khác khơng cna dãy dương Đây m®t nón loi, goi nón thú tn tù đien Nó nón nhon khơng nón khơng phái nón có giá ch¾t M¾nh đe 1.1 Nón C chs m®t các đieu ki¾n sau thố mãn: (a) C đóng; (b) C\l(C) mó, khác rong; (c) C hop cúa giao cúa núa không gian mó núa khơng gian đóng E Chúng minh (a) Hien nhiên (b) Neu C\l(C) mó intC ƒ= ∅ intC = C\l(C) Do đó, ta có clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C, hay C nón (c) Giá sú C = {0} ∪ (∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ó Hλ núa khơng gian đóng ho¾c mó E Neu tat cá Hλ đóng đieu tương đương vói C đóng Do đó, ta có the giá sú nhat m®t núa khơng gian mó l(C) = {0} b ∈ C\l(C) chí b ∈ Hλ, ∀λ ∈ Λ Hơn the nua, ta thay a ∈ clC chí a ∈ clHλ, ∀λ ∈ Λ nên clHλ + Hλ ∈ Hλ x¯ × D∗ cho ∈R ton tai (Θ¯ , Λ¯ )∈ (int C)∗ int K K w(u, v; Θ¯ , Λ¯ ) §intK O, ∀(u, v) ∈ Kx¯ , Λ¯ g(x¯) = O; (2.33) (b) (x¯, Λ¯ ) X ìK l mđt iem yờn ngna yeu cúa L(x; Θ¯ , Λ) D∗ ∗ Λ¯ g(x¯) = O ∈ (intC)int X × DK∗ , vói Θ¯ K Chúng minh tương tn Đ%nh lí 2.3 Tù đ%nh lí trưóc, chúng minh đưoc đieu ki¾n toi ưu yên ngna sau H¾ 2.2 Các m¾nh đe sau thố mãn: (a) Neu (x¯, Λ¯ ) X ìK l mđt iem vector yờn ngna cỳa L(x; Θ¯ , D∗ Λ) X × DK∗ , vói Θ¯ ∈ (Co)K∗o x¯ m®t v.m.p cúa (2.1) (b) Neu (x¯, Λ¯ ) ∈ X m®t điem vector yên ngna yeu cúa L(x; Θ¯ K , ) ìD v g(x) = O l mđt v.m.p cúa X × K vói ∈ Θ¯ D∗ (intC)∗ K x¯ (2.3) Chúng minh (a) De dàng nh¾n thay tù Θ¯ ∈ (Co)∗ Ko Λ¯ w(u, v; Θ¯ , Λ¯o O, ∀(u, v) ∈ H ) “K ∈ D∗ K (2.34) Do tù (2.27) (2.34) suy (2.6) thoá mãn (b) Chú ý rang x¯ v.m.p cna (2.3) chí ∗ Tù Θ¯ ∈ (intC) int K Λ¯ Kx¯ ∩ (intC × D) = ∅ ∈ D∗ , ta có K (2.35) w(u, v; Θ¯ , Λ¯ ) “intK O, (u, v) (intC ì D), (2.36) vỡ vắy ieu ki¾n thú nhat cna (2.33) (2.36) suy (2.35) thố mãn Trong [1, 9, 12] phân tích sâu sac tiêu chuan cna điem toi ưu yên ngna toi ưu vector Khi nón C D đa di¾n tính tách nón quy có the de dàng bieu dien qua so hang cna tách vector tuyen tính Đ%nh lí 2.5 Cho x¯ ∈ R, C D nón đa di¾n Khi clconeEx¯ ∩ Hu = ∅, chs ton tai Θ¯ K := Rk + ∈ (Co)∗ , Λ ∈ vói k ∈ N thích hop int K D∗ (2.37) cho (2.14) thố mãn vói K Chúng minh Giá sú (2.37) thố mãn Theo Đ%nh lí 2.2, ton tai mđt nún loi a diắn P cho H ⊂ intP, Ex¯ ⊆ cl(P C ) = (intP )C Do đó, ton tai ma tr¾n Θ¯ (2.38) ∈ Rk×l mà hàng thú i đưoc cho bói θ¯i ∈ C ∗ Λ¯ ∈ Rk×m mà hàng thú i cho bói λ¯ i ∈ D∗ , i = 1, , k cho intP = (u, v) ∈ Rk+m : w(u, v; Θ¯ , Λ¯ ) “intK O , K := Rk+, k ∈ N thích hop w đ%nh nghĩa bói (2.11) Bao hàm thúc đau tiên (2.38) tương đương vói đieu ki¾n Θ¯ u + Λ¯ v “intK O, ∀(u, v) ∈ H (2.39) Tù (2.39) ta thay rang Θ¯ u “intK O, ∀u ∈ Co , Λ¯ v “K O, ∀v ∈ D, đieu suy rang Θ¯ Λ¯ int (2.38) tương đương vóiK(2.14) ∈ (Co)∗ Bây giò, giá sú ton tai Θ¯ ∈ D∗ Bao hàm thúc thú hai K ∈ (Co)∗ , ∈ Λ ∗ ¯ D int K cho (2.14) thố K mãn Theo (b) cna M¾nh đe 2.3, có H Kx¯ tách nón quy Theo H¾ q 2.1 vói A := Kx¯ có (2.37) thố mãn Tù Đ%nh lí 2.5, thay rang, nói chung tách tuyen tính tùng khúc quy khơng đn đám báo cho sn ton tai điem yên ngna cna hàm Lagrange (2.24) Đe đat đưoc đieu này, ta can phái đưa đieu ki¾n manh (2.37) ket chí sau Đ%nh lí 2.6 Cho ton tai Θ¯ x¯ ∈ R, C D nón đa di¾n Neu clconeEx¯ ∩ clH = {O} , (2.40) ∈ , ∈ D∗ , cho (x¯, Λ¯ ) ∈ X điem yên Λ × D∗ (Co)∗ ¯ intK K ngna vector cúa L(x; Θ¯ , Λ) X × D∗ , vói K := Rk K K k ∈ N thích + hop Chúng minh Tù (2.40) thố mãn nên (2.37) thố mãn Theo Đ%nh lí 2.2 ton tai mđt nún loi a diắn P cho (2.38) thố mãn Do ton tai ma tr¾n ∈ Rk×l mà hàng thú i đưoc cho bói θ¯i ∈ C ∗ ∈ Rk×m Θ¯ Λ¯ mà hàng thú i cho bói λ¯ i ∈ D∗ , i = 1, , k, cho: k+m ¯ ¯ P = (u, v) ∈ R ; w(u, v; Θ , Λ ) “K O , K := Rk , k ∈ N thích hop Đe đat đưoc đieu này, + se chúng minh rang (a) Đ%nh lí 2.3 thố mãn Tương tn chúng minh Đ%nh lí 2.5 có the thay rang ∈ (C )∗ ∈ D∗ o ¯ Θ¯ int Λ K K Theo (2.23) Bưóc cna Đ%nh lí 2.2, ta thay rang P = clH +clM clM = cone Q+ B(O; d) , (2.41) ó Q đưoc đ%nh nghĩa bói (2.20) d đ%nh nghĩa bói (2.22) vói A := Kx¯ Tù (2.41) (2.22) ta thay rang clconeEx¯ ∩ clM = {O} (2.42) Do tù (2.42) suy rang clconeEx¯ ∩ P = {O} (2.43) Giá sú phán chúng, ton tai dãy {λn } ⊂ R+ {(un , )} ⊂ Ex¯ cho u,v) ∈ P \ {O} , ˆ u, v) clM Tù ˆ ∈ Ex¯ − clH = Kx¯ − (clH + clH) = Kx¯ − clH = Ex¯ , u˜ dãy ,(un λ − n − , v˜ λ λn(uu˜ n − n ), ⊂ Ex¯ v˜ ) → (ˆ ˆ ∈ clconeEx¯ , − λ λ n Neu (ˆ (2.44) u, v) n v) = O (u¯, v¯) = (u˜, v˜) ∈ (clH)\ {O} Tù (u¯, v¯) ∈ clconeEx¯ (2.40) khơng thố mãn, đieu vơ lí Do (ˆ v) ƒ= O (2.44) đieu cho thay (2.43) mâu thuan vói (2.42) Do Kx¯ ⊂ Ex¯ ⊆ clconeEx¯ kéo theo (2.27) V¾y đ%nh lí đưoc chúng minh Ví dn 2.1 Xét tốn (2.1) vói giá thiet sau: l = 2, m = n = 1, X = [−1, 1], C = R2 ; f1(x) = − x2, f2(x) = 2x − x2, + g(x) = x Ta có H = (u1, u2, v) ∈ R3; u1 “ 0, u2 “ 0, v = 0, (u1, u2) ƒ= (0, 0) Vói x ∈ [0, 1] v.m.p cna toán (2.1), chon x¯ = , 2 Kx¯ = (u1 , u2 , v) ∈ R : u1 = v , u2 = v − 2v, v ∈ [−1, 1] Ex¯ = {(u1 , u2 , w) ∈ R3 : u1 = v − h1 , u2 = v − 2v − h2 , w = v − h3 , v ∈ [−1, 1]; hi “ 0, i = 1, 2, 3}, coneEx¯ = {(u1 , u2 , w) ∈ R3 : u1 = λ(v − h1 ), u2 = λ(v − 2v − h2 ), w = λ(v − h3), v ∈ [−1, 1]; hi “ 0, i = 1, 2, 3; λ “ 0} Chúng ta muon áp dung Đ%nh lí 2.4 can phái chí rang ton tai m®t điem yên ngna vector yeu cna hàm Lagrange đưoc đ%nh nghĩa bói (2.24) Do v¾y (2.37) phái thố mãn, nên ta giá sú đieu ki¾n thú nhat (2.33) đieu ki¾n thú hai (2.33) thố mãn Tù g(x¯) = 0, giá sú phán chúng clconeEx¯ ∩ Hu ƒ= ∅ Do đó, ton tai dãy {(u1n , u2n , wn )} ⊂ coneE cho {(u1n , u2n , wn )} → (u¯1 , u¯2 , 0) ∈ Hu ton tai dãy x¯ {λn} ⊂ R+, {vn} ⊂ X, {hin} ⊂ R+, i = 1, 2, cho {(u1n, u2n, wn)} = (λn(v2 − h1n)), λn(v2 − 2vn − h2n), λn(vn − h3n) n n Tù {vn} ⊂ X = [1, 1] l mđt compact, chỳng ta cú the thay bang m®t dãy neu can, giá sú {vn } → v¯ ∈ X Có hai trưòng hop xáy (a) ∃γ > ∃n¯ ∈ N cho λn > γ > 0, ∀n “ n¯; (b) ∃ {λnk } ⊂ {λn} cho {λnk } → Xét trưòng hop (a) Tù {wn = λn(vn − h3n)} → λn > 0, ∀n “ n¯ suy {h3n } → v¯ “ {vn − h3n } → ho¾c tương đương 2 Tù λn (v − h1n ), λn (v − 2vn − h2n ) → (u¯1 , u¯2 ), v¯ λn > {vn } → n n 0, ∀n n¯ Khi {hin } , i = 1, b% ch¾n “ có the giá sú (thay the dãy neu can) l mđt dóy hđi tu hi : = lim n→+∞ {hin} “ 0, i = 1, 2, đ¾c bi¾t lim n→+∞ (v − 2vn − h2n ) = v¯2 − 2v¯ − h¯ ™ 0, (2.45) dau “ “” cna bat thúc hien nhiên v¯ ∈ [0, 1] h¯ “ n2 M¾t khác lim λ (v − 2vn − h2n ) = u¯2 “ 0, n n→+∞ lim (v2 − 2v − h ) “ n 2n n→+∞ n (2.46) Tù (2.45) (2.46) ta có v¯2 − 2v¯ − h¯ = 0, nghĩa v¯ = h¯ = đieu suy u¯2 = Do +(u¯1 , u¯2 ) ∈ R2 \ {(0, 0)}, suy u¯1 > Ta có thúc sau (u¯1 , u¯2 ) = (u¯1 + u¯2 , u¯1 + (u1n + u2n, u1n + wn) 0) = lim n→+∞ = λn(2v2 − 2vn − h1n − h2n, v2 + − h1n − h3n), lim n→+∞ n n n ∈ N cho ∀n “ ˆ n nên ta có h¾ sau  λn (2v − 2vn ) “ λn (h1n + h3n ) + u¯1 − ε n  λn (vn2 + ) “ λn (h1n + h3n ) + u¯1 − ε Neu chon m®t so ε nhó tuỳ ý ve phái cna moi bat thúc trưóc dương thnc sn ta có h¾   v −v>  0  v +v>  v ∈ X (2.47) Tù v2 − v > ⇔ v ƒ∈ [−1, 0] v2 + v > ⇔ v ƒ∈ [0, 1] có đưoc m®t đieu mâu thuan Bây giò xét trưòng hop (b) Đe đơn gián ta kớ hiắu {nk } búi {n} t nhat mđt hai dãy {u1n} , {u2n} khơng the h®i tu tói 0, {λnn} → suy v2 − h1n → +∞ ho¾c − 2vn − h2n → +∞ Ta thay rang h1n → +∞ ho¾c h2n → +∞ ({vn} dãy b% ch¾n) Đieu vơ lí {vn} b% ch¾n Cuoi de dàng thay (2.26) thố mãn vói Θ¯ K := x¯ R2 , + =( Λ¯ 10 ) , = ( 1) , = Mà đieu ki¾n đau tiên (2.33) khơng tương đương vói h¾ (2.47) đieu chúng tó rang 2.4 có đưoc (2.26) Λ¯ g(x¯) = Theo Đ %nh lí KET LUắN Trờn õy l ton bđ nđi dung khúa luắn “SU tách nón cho tốn toi ưu vector ” Khóa lu¾n phân tích moi quan h¾ giua sn tách nón sn tách vector Áp dung ket khơng gian ánh tương úng vói tốn toi ưu vector Chúng thay rang sn ton tai cna tách vector, tương đương vói sn ton tai cna m®t điem yên ngna vector cna hàm Lagrange tương úng vói tốn toi ưu vector Do thòi gian nghiên cúu lnc han che nên khóa lu¾n mói chí đat đưoc m®t so ket q nhat đ%nh Em rat mong thay cơ, ban góp ý nh¾n xét đe khóa lu¾n đưoc đay đn hồn thi¾n Trưóc ket thúc khóa lu¾n này, m®t lan nua em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đoi vói thay giáo trưòng, đ¾c bi¾t Thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lưu Th% Hong Tài li¾u tham kháo [1] G Bigi, Saddlepoint optimality criteria in vector optimization, in Optimization in Economics, Finance and Industry, G P Crespi, G Giorgi, A Guarreggio, D La Torre, E Miglierina, and M Rocca, eds., Datanova, Milano, 2002, pp 85-102 [2] G Bigi and M Pappalardo, Regularity conditions in vector optimization, J Optim Theory Appl 102(1999), pp 83-96 [3] P.H Dien, G Mastroeni, M Papalardo, and P.H Quang, Regularity conditions for constrained extremum problems via image space, J Optim Theory Appl 80 (1994), pp 19-37 [4] F Giannessi, Theorems of the alternative and optimality conditions, J Optim Theory Appl 42 (1984), pp 331-365 [5] F Giannessi, Constrained Optimization and Image Space Analysis, Volume 1: Separation of Sets and Optimality Conditions, Springer, New York, 2005 [6] F Giannessi, G Mastroeni, and L Pellegrini, On the theory of vector optimization and variational inequalities Image space analysis and separation, in vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, F Giannessi, ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1999, pp 153-215 40 [7] F Giannessi and L Pellegrini, Image space analysis for vector optimzation and variational inequalities: Scalarization, in Advances in Combinatorial and Global Optimization, A Migdalas, P Pardalos, and R Burkard, eds., World Scientific, New Jersey, London, Singapore, Hong Kong, 2001, pp 97-110 [8] Z.F Li and S.Y Wang, Lagrange multipliers and saddle points in multiobjective optimization, J Optim Theory Appl 83 (1994), pp 63-81 [9] D.T Luc, Theory of Vector Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1989 [10] G Mastroeni and M Pappalardo, On the existence of solutions to a vector optimization problem, in Equilibrium Problems: Nonsmooth Optimization and Variational Inequality Models, F Giannessi, A Maugeri, and P.M Pardalos, eds., Kluwer, Dordrecht, 2001, pp 175185 [11] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970 [12] Y Sawaragy, H Nakayama, and T Tanino, Theory of Multiobjective Optimization, Academic Press, New York, 1985 [13] F Tardella, On the image of a constrained extremum problem and some applications to the existence of a minimum, J Optim Theory Appl 60 (1989), pp 93-104 ... 14 1.5 Bài toán toi ưu vector (VOP) .15 1.6 Đoi ngau Lagrange 16 SN tách nón cho toán toi ưu vector 19 2.1 Sn tách vector không gian ánh 19 2.2 Sn tách nón cna t¾p ... tốn toi ưu vector, phân tích moi quan h¾ giua sn tách nón sn tách vector cna t¾p không gian ánh Đe áp dung cho tốn toi ưu vector Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu sn tách nón cho tốn toi ưu vector đe... tài li¾u tham kháo đe tài bao gom chương: Chương 1: Bài toán toi ưu vector Chương 2: Sn tách nón cho tốn toi ưu vector Chương Bài tốn toi ưu vector 1.1 M®t so khái ni¾m bán Giá sú E khơng gian