sự tách nón cho bài toán tối ưu vector

sự tách nón cho bài toán tối ưu vector, quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự, điểm hữu hiệu, sự tồn tại của điểm hữu hiệu, bài toán tối ưu vector, đối ngẫu Lagrange, sự tách nón trong không gian ảnh, sự tách nón của các tập,

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lưu Thị Hồng i LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận “Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector” được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác. Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lưu Thị Hồng ii Mục lục Mở đầu 1 1 Bài toán tối ưu vector 4 1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP) . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Đối ngẫu Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector 19 2.1. Sự tách vector trong không gian ảnh . . . . . . . . . . . 19 2.2. Sự tách nón của các tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Áp dụng cho bài toán tối ưu vector . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phân tích không gian ảnh (ISA) là một phương pháp để nghiên cứu các bài toán cực trị có ràng buộc, bất đẳng thức biến phân, và tổng quát hơn có thể áp dụng cho một lớp các bài toán, kí hiệu là P , mà có thể biểu diễn dưới một hệ bất đẳng thức tham số. Trong việc phân tích không gian ảnh, một hệ bất đẳng thức tham số có thể quy về hai tập con thích hợp rời nhau K và H của không gian ảnh tương ứng với P . Tập K được định nghĩa như là ảnh của các hàm tham gia trong P , trong khi H là một nón lồi chỉ phụ thuộc vào kiểu điều kiện (đẳng thức, bất đẳng thức, ) trên lớp các bài toán P . Sự rời nhau của K và H có thể được chỉ ra bằng cách đặt chúng trong hai tập mức rời nhau của một hàm vector tách. Trong trường hợp này, khi P là một bài toán tối ưu vector (VOP) đã có các nghiên cứu được đưa ra, chẳng hạn như: các điều kiện cần tối ưu kiểu Lagrange, các điều kiện cho điểm yên ngựa, sự tồn tại nghiệm, điều kiện chính quy và phương pháp vô hướng hóa [1, 2, 6, 7, 9, 10]. Mục đích chính của khóa luận này nhằm phân tích sâu hơn sự tách vector trong không gian ảnh và sự liên hệ với các loại khác, như: tách tuyến tính từng khúc và tách nón. Đặc biệt là mối liên hệ với điều kiện tồn tại điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu vector. Khóa luận được chia thành hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, về bài toán tối ưu vector và phương pháp vô hướng hóa. Chương 2 giới thiệu một số đặc điểm chung của tách vector trong không gian ảnh tương ứng với một bài toán tối ưu vector. Sau đó sẽ 2 phân tích mối quan hệ giữa tách vector và tách nón. Đặc biệt, khóa luận sẽ trình bày một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của tách nón chính quy của các tập K và H. Cuối cùng, chúng ta sẽ áp dụng cho bài toán tối ưu vector và sẽ chỉ ra sự tương đương của tách vector với sự tách nón. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù của bộ môn. Tìm hiểu những kiến thức về bài toán tối ưu vector, phân tích mối quan hệ giữa sự tách nón và sự tách vector của 2 tập cũng như trong không gian ảnh. Để áp dụng cho bài toán tối ưu vector. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sự tách nón cho bài toán tối ưu vector để chỉ ra điều kiện cần cho sự tồn tại của một điểm yên ngựa vector của hàm Lagrange tương ứng với bài toán tối ưu vector. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của người hướng dẫn để hoàn thành mục tiêu đề ra. 3 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì đề tài bao gồm 2 chương: Chương 1: Bài toán tối ưu vector. Chương 2: Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector. Chương 1 Bài toán tối ưu vector 1.1. Một số khái niệm cơ bản Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực. Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu: ∀x 1 , x 2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0  λ  1 ⇒ λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ A. Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của tập A, và kí hiệu coA. Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A; b) A lồi khi và chỉ khi A = coA. Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu: ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. C được gọi là nón có đỉnh tại x 0 , nếu C − x 0 là nón có đỉnh tại 0. 5 Định nghĩa 1.4. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một tập lồi, nghĩa là: ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C. Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong R n : {ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ∈ R n : ξ i  0, i = 1, , n} (nón orthant không âm) {ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ∈ R n : ξ i > 0, i = 1, , n} (nón orthant dương) là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong R n . Ngoài ra, nếu cho D ⊆ R m là một nón lồi, nón cực dương của D được xác định bởi: D ∗ := {x ∗ ∈ R m :< x ∗ , x > 0, ∀x ∈ D} . Cho a, b ∈ R m , a  D b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a  0 khi và chỉ khi a i  0, i = 1, , m. Kí hiệu R m + := {x ∈ R m : x  0} và cho g : X → R m . Hàm g được gọi là D-giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi : ∀x 1 , x 2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S, sao cho (1 − α)g(x 1 ) + αg(x 2 ) − g(x) ∈ D. Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D-giống lồi khi và chỉ khi tập g(S) + D là lồi. Định nghĩa 1.5. Phần trong tương đối của tập A ⊂ R n là phần trong của A trong affA (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A. 6 Nhận xét 1.2. intA := {x ∈ R n : ∃ > 0, x + B ⊂ A} , riA := {x ∈ affA : ∃ > 0, (x + B) ∩ affA ⊂ A} , trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong R n . Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp Cho C là nón lồi trong không gian vector tôpô E. Kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con A ⊆ E, A c là phần bù của A trong E, nghĩa là A c = E\A. Định nghĩa 1.6. Chúng ta nói nón C là: (a) Nhọn nếu l(C) = 0; (b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn; (c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian mở thuần nhất; (d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương clC + C\l(C) ⊆ C\l(C). Ví dụ 1.3. 1. Cho R n là không gian Euclid n-chiều. Khi đó, nón orthant không âm R n + gồm tất cả các vectơr của R n với toạ độ không âm là nón lồi, sắc, đóng, có giá chặt và là nón đúng. Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường. Tập là hợp của 0 và các vector với toạ độ đầu tiên dương là một nón đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc. Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt nhưng không là nón nhọn. 7 2. Cho Ω là không gian vectơr gồm tất cả dãy x = {x n } số thực. Cho C = {x ∈ Ω : x n  0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta chưa biết nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên không gian này. 3. Nón thứ tự từ điển: Cho l p =  x ∈ Ω : x = (  |x n | p ) 1 p  , 1  p < ∞. Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của dãy là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là nón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt. Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện sau thoả mãn: (a) C là đóng; (b) C\l(C) là mở, khác rỗng; (c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không gian đóng trong E. Chứng minh. (a) Hiển nhiên. (b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C, hay C là nón đúng. (c) Giả sử C = {0} ∪(∩ {H λ : λ ∈ Λ}), ở đây H λ là nửa không gian đóng hoặc mở trong E. Nếu tất cả H λ là đóng thì điều này tương đương với C là đóng. Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì l(C) = {0} và b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ H λ , ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa, ta thấy a ∈ clC khi và chỉ khi a ∈ clH λ , ∀λ ∈ Λ nên clH λ + H λ ∈ H λ . [...]... giữa sự tách vector và sự tách nón Thiết lập kết quả cho sự tồn tại của sự tách nón, nó là sự mở rộng tương tự trong [3] cho các bài toán tối ưu vô hướng Định nghĩa 2.3 A ∈ Rn gọi là tách nón từ B ∈ Rn khi và chỉ khi tồn tại một nón lồi P ∈ Rn sao cho B ⊆ clP, A ⊆ cl(P c ) Ngoài ra, nếu intP = ∅ và B ⊆ intP thì A và B được gọi là tách nón chính quy Nếu nón P là nửa không gian thì A và B được gọi là tách. .. Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có các mối quan hệ sau: 1 cx by với mỗi x là điểm chấp nhận được của (LP), y là điểm chấp nhận được của (LD); 2 (LP) có nghiệm tối ưu khi và chỉ khi (LD) có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của chúng bằng nhau; 3 Nếu (LP) không có nghiệm tối ưu thì (LD) không có nghiệm tối ưu và ngược lại; 4 (LP) là bài toán đối ngẫu của (LD) Kí hiệu E1 , E2 , E3 là các không gian vector. .. nó là nón được sinh ra bởi tổng của 2 đa diện Do đó clH + clM là đa diện, đóng Vì vậy, từ H + M ⊆ clH + clM , kéo theo cl(H + M ) ⊆ clM + clH Bao hàm thức ngược thoả mãn với cặp tập lồi bất kì [11] Vậy (2.23) thoả mãn và clP là một tập đa diện 2.3 Áp dụng cho bài toán tối ưu vector Trong phần này, chúng ta áp dụng cho bài toán tối vector (VOP) để đưa ra các kết quả về sự tồn tại của sự tách nón Đặc... i Nếu ta xét hàm w : Rl+m → Rk , cho bởi công thức ∗ ∗ w = w(u, v; Θ, Λ) := Θu + Λv, Θ ∈ CK , Λ ∈ DK , (2.11) ∗ ∗ thì w là một hàm tách vector tuyến tính, với Ω := CK × DK trong Định nghĩa 2.1 23 2.2 Sự tách nón của các tập Sự tách nón là một ví dụ quan trọng đầu tiên của việc tách phi tuyến Điều này được trình bày trong [3] về các điều kiện chính quy cho các bài toán cực trị có ràng buộc Trong phần... sao cho: ao ∈ D(yo ) ∩ M ax(D(Y | C)) Theo định lí đối ngẫu yếu khi đó không có bộ 3 điểm chấp nhận được (x, a, b) của VOP sao cho ao >C a Điều này có nghĩa là ao ∈ M in(F (Xo ) | C) Vậy xo là nghiệm tối ưu của VOP Định nghĩa 1.14 Ta nói cặp (xo , yo ) ∈ X × Y là một điểm yên ngựa của L(.) nếu: L(xo , yo ) ∩ M ax(L(xo , Y ) | C) ∩ M in(L(yo , X) | C) = ∅ Chương 2 Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector. .. tương ứng với nón Co : x ∈ R là vector cực tiểu (toàn cục) (v m p) của (2.1) khi ¯ và chỉ khi f (¯) x Co f (x), ∀x ∈ R (2.2) Nếu C = Rl thì (2.1) trở thành bài toán tối ưu vector Pareto cổ điển + Bài toán tối ưu vector yếu là thường tương ứng với (2.1) và được 20 định nghĩa bởi minintC f (x) với ràng buộc x ∈ R, (2.3) trong đó minintC là vector cực tiểu tương ứng với nón intC: x ∈ R là ¯ v.p.m (toàn... 12] đã phân tích sâu sắc các tiêu chuẩn của điểm tối ưu yên ngựa trong tối ưu vector Khi các nón C và D là đa diện thì tính tách nón chính quy có thể dễ dàng biểu diễn qua các số hạng của tách vector tuyến tính 33 Định lí 2.5 Cho x ∈ R, C và D là các nón đa diện Khi đó ¯ clconeEx ∩ Hu = ∅, ¯ (2.37) ∗ ¯ khi và chỉ khi tồn tại Θ ∈ (Co )∗ , Λ ∈ DK sao cho (2.14) thoả mãn với intK K := Rk với k ∈ N thích... ngẫu Lagrange Trong quy hoạch toán học tương ứng với mỗi bài toán gốc có một bài toán đối ngẫu Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu của nó lập thành 17 một cặp Để thấy được ý tưởng của phương pháp này, ta xét bài toán quy hoạch tuyến tính, kí hiệu (LP): mincx với ràng buộc x ∈ Rn , Ax b, trong đó, c ∈ Rn , b ∈ Rm và A là ma trận (n × m) Thì bài toán đối ngẫu của nó kí hiệu là (LD) viết dưới dạng: maxby... một tập con của một nón đa diện P thì với tập bất kì A sao cho A ∩ P = ∅, A và B là tách được tuyến tính từng khúc và các vector ∗ ki trong (2.12) có thể thấy trong P ∗ Bây giờ, chúng ta phân tích mối quan hệ giữa sự tách vector và sự tách nón 24 Mệnh đề 2.3 Cho K ⊂ Rk là một nón lồi với intK = ∅, w là một hàm tách vector tuyến tính được xác định bởi (2.11) với ∗ ∗ ¯ ¯ (Θ, Λ) = (Θ, Λ) ∈ CK × DK (a)... 2.1 Sự tách vector trong không gian ảnh Cho nón C ⊂ Rl Trong mục này ta sẽ giả sử C là nón lồi, đóng, nhọn, khác rỗng Kí hiệu Co := C\ {O} Cho f : X → Rl và g : X → Rm là các hàm vector được xác định trên một tập con X của không gian Banach χ Chúng ta xét VOP sau: minCo f (x) với ràng buộc x ∈ R := {x ∈ X : g(x) D O} , (2.1) với D là nón lồi, đóng trong Rm và minCo là vector cực tiểu tương ứng với nón . những kiến thức về bài toán tối ưu vector, phân tích mối quan hệ giữa sự tách nón và sự tách vector của 2 tập cũng như trong không gian ảnh. Để áp dụng cho bài toán tối ưu vector. 3. Nhiệm vụ. nghiên cứu Nghiên cứu sự tách nón cho bài toán tối ưu vector để chỉ ra điều kiện cần cho sự tồn tại của một điểm yên ngựa vector của hàm Lagrange tương ứng với bài toán tối ưu vector. 4. Phương pháp. 16 2 Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector 19 2.1. Sự tách vector trong không gian ảnh . . . . . . . . . . . 19 2.2. Sự tách nón của các tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Áp dụng cho