Mục tiêu của nghiên cứu nhằm sử dụng các giả thiết về tính lồi mạnh của hàm số thực để thiết lập các điều kiện đủ cho sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu tại điểm đang xét.
Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 SỰ ĐẶT CHỈNH HƯLDER CHO BÀI TỐN TỐI ƯU Lâm Quốc Anh1, Nguyễn Hữu Danh2 Trần Ngọc Tâm3 Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô (Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Khoa Cơ bản, Trường Đại học Nam Cần Thơ Ngày nhận: 15/3/2018 Ngày phản biện: 08/4/2018 Ngày duyệt đăng: 25/4/2018 TÓM TẮT Mục tiêu nghiên cứu nhằm sử dụng giả thiết tính lồi mạnh hàm số thực để thiết lập điều kiện đủ cho đặt chỉnh toán tối ưu điểm xét Trong báo này, toán tối ưu không gian định chuẩn nghiên cứu Trước hết chúng tơi đề xuất khái niệm đặt chỉnh Hưlder cho toán xét Bằng cách áp dụng giả thiết tính lồi mạnh tính liên tục Hưlder giảm nhẹ ánh xạ ràng buộc hàm mục tiêu, thiết lập điều kiện đủ cho khái niệm đề xuất Với cách tiếp cận khác so với kết trước đây, kết đạt kết đáp ứng cho trường hợp mà trước không áp dụng Từ khóa: Bài tốn tối ưu, tính lồi mạnh, đặt chỉnh Hưlder Trích dẫn: Lâm Quốc Anh, Nguyễn Hữu Danh Trần Ngọc Tâm, 2018 Sự đặt chỉnh HƯLDER cho tốn tối ưu Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế, Trường Đại học Tây Đô 03: 148-156 *Thạc sĩ Nguyễn Hữu Danh, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đơ 148 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô GIỚI THIỆU Tối ưu chủ đề quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng thực tế Chính mà chủ đề nghiên cứu tốn ln dành nhiều quan tâm nhà toán học nước giới Trong báo này, nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn tối ưu thực để tìm điều kiện nhằm đảm bảo cho dãy nghiệm xấp xỉ dần đến nghiệm xác tốn ban đầu Cần ý tốn khơng đặt chỉnh khơng có ý nghĩa mặt thực tế mơ hình tốn học xấp xỉ tốn thực tế nghiệm tốn khơng đặt chỉnh xa với nghiệm toán ban đầu Như vậy, chủ đề tính đặt chỉnh gần với tính ổn định nghiệm tốn Tính đặt chỉnh tốn hiểu theo hai hướng Hướng thứ đặt chỉnh giới thiệu nhà toán học Hadamard (Hadamard, 1902) thường gọi đặt chỉnh Hadamard Theo đó, tốn gọi đặt chỉnh Hadamard tốn có nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu toán Hướng thứ hai đặt chỉnh nhà toán học Tykhonov đề xuất (Tykhonov, 1966) Bài toán gọi đặt chỉnh Tykhonov có nghiệm nhất, đồng thời dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm (Morgan and Scalzo, 2006) Khái niệm S , , x Số 03 - 2018 đặt chỉnh Hưlder nhà tốn học Bednarczuk đề xuất nghiên cứu cho toán tối ưu (Bednarczuk, 2007) Đây vấn đề có tính ứng dụng cao nhiều nhà toán học nước giới quan tâm nghiên cứu Mục tiêu báo nhằm sử dụng giả thiết tính lồi mạnh hàm số thực để thiết lập điều kiện đủ cho đặt chỉnh toán tối ưu điểm xét Trong Mục 2, chúng tơi trình bày mơ hình tốn nhắc lại số khái niệm có sử dụng phần Kết báo trình bày Mục MƠ HÌNH BÀI TỐN Trong báo này, khơng có giả thiết thêm X , M không gian định chuẩn Cho A X tập khác rỗng, K : A ánh xạ đa trị có giá trị lồi f : A M hàm giá trị thực Với ( , ) M , ta xét toán tối ưu sau: ( O P ) : m in f ( x , ) x K ( ) (1) Với ( , ) M , ta kí hiệu tập nghiệm xấp xỉ (OP) S , , , tức là: K ( ) | f ( x , ) f ( y , ) , y K ( ) 149 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm cần thiết sử dụng cho phần Định nghĩa 2.1 (Anh et al, 2012) Cho f : X Khi đó, f ( x1 ) f ( x ) l x1 x liên tục x nên f không x d ( a , B ) in f d ( a , b ) , b B a d(a,b) b , x1 , x U B a d(a,B) = inf d(a,b) b ,x U Ví dụ sau tính liên tục Hưlder calm yếu thật so với tính liên tục Hölder e ( A, B ) su p d ( a , B ), b A B A Ví dụ 2.1 Cho f : 1, 1, xác định sau x, x f (x) , x x Vì x (b) f gọi l - liên tục Hölder calm x X tồn lân cận U x cho f (x) f (x ) l x x x Cho hai tập A , B X , ta nhắc lại định nghĩa loại khoảng cách (a) f gọi l - liên tục Hölder x X tồn lân cận U x cho hội tụ Số 03 - 2018 e(A,B) H ( A , B ) m a x e ( A , B ), e ( B , A ) , Khi đó, f liên tục Hölder calm Thật vậy, với x 1, , x B A e(A,B) e(B,A) f ( x ) f (1) x , x f ( x ) f (1) H(A,B) = max {e(A,B), e(B,A)} x 1 x 1 ( A, B ) su p d ( a , b ) a A , b B x 1 x Nhưng với x , tồn dãy x n 1, y n 1, \ 150 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô f B b = d(A,B) = sup d(a,b) a A, b B Định nghĩa 2.2 (Anh et al, 2013) Cho K : A ánh xạ đa trị Khi đó, (a) K gọi l - liên tục Hölder khoảng cách H tồn lân cận N cho H K ( 1 ) , K ( ) l 1 , 1 , N (b) K gọi l - liên tục Hölder Nếu ta thay H (a) (b) ta có khái niệm liên tục Hưlder liên tục Hölder calm khoảng cách Định nghĩa 2.3 (Anh et al, 2015) Một hàm số f : X gọi lồi tập lồi A X với x , x A t ( ,1) , tx tf ( x ) (1 t ) f ( x ) h t (1 t ) x x Trong mục này, chúng tơi trình bày kết báo, tính đặt chỉnh Hưlder tốn (OP) điểm xét Vì tồn nghiệm tốn (OP) nghiên cứu báo (Chen and Graven, 1994; Kazmi, 1996; Lee et al, 1998; Peter et al, 2010) nên ta giả sử nghiệm toán khác rỗng lân cận điểm xét Định nghĩa 3.1 Bài toán (OP) gọi đặt chỉnh Hölder điểm , hai điều kiện sau thỏa mãn: calm khoảng cách H tồn lân cận N cho H K ( ) , K ( ) l , N f (1 t ) x SỰ ĐẶT CHỈNH HƯLDER CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU A a tx Số 03 - 2018 (1 t ) x tf ( x ) (1 t ) f ( x ) Định nghĩa 2.4 (Anh et al, 2015) Một hàm số f : X gọi h -lồi mạnh tập lồi A X với x , x A t ( ,1) , (a) S 0, , đơn phần tử; (b) liên tục Hölder calm khoảng cách , , S Định lý 3.1 Giả sử điều kiện sau nghiệm (i) K l - liên tục Hölder calm khoảng cách , tức tồn lân cận N cho K ( ), K ( ) l , N ; (ii) tồn lân cận U cho với U , f ( , ) h -lồi mạnh m -liên tục Hölder K ( ) ; (iii) với x K ( N ) , f ( x , ) n -liên tục Hölder calm 151 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đơ Số 03 - 2018 Khi tốn (OP) đặt chỉnh Hölder , Chứng minh Với x0 S 0, , x S , , , ta 1 2n x0 x h Ta thấy (2) thỏa mãn x0 x Vì vậy, giả sử x x Vì Do x0 S 0, , K ( ) lồi nên x S , , x0 x h (2) , ta có f ( y , ) f ( x0 , ) 0, y K ( ), (3) f ( z , ) f ( x , ) 0, z K ( ) (4) K ( ) Thay y x0 x vào (3), ta x0 x f , f Từ tính lồi mạnh f x0 , (5) suy x0 x f , f 2 x0 , f x, h x0 x (6) Kết hợp (6) với (5), ta Thay z x0 x h x0 x f x, f x0 , (7) vào (4), ta x0 x f , f Từ tính lồi mạnh f ta suy 152 x, (8) Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô x0 x f , f 2 x0 , f x, Số 03 - 2018 h x0 x Kết hợp với (8), ta h x0 x x0 , f x, f (9) Từ (7) (9), ta h x0 x f x, Sử dụng tính Hưlder calm x, f x0 , f f h x0 x f x0 , (iii), ta có 2n Suy (2) chứng minh Bây ta chứng minh với x S 0, , x0 S 0, , 3 m2 l x0 x h Nếu x1 K ( ) x2 K ( ) Vì K ( ) x0 y x Từ giả thiết ; (11) (12) nghiệm (OP), nên K ( ) f y, f x, 0, y K ( ); (13) f z, f x0 , , z K ( ) (14) lồi nên ta có x x2 K ( ) Thay (10) x0 x2 l x cho x x1 l Vì (10) hiển nhiên Vì vậy, ta giả sử x x0 x (i), tồn x x2 vào (13) z x1 vào (14), ta được: 153 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô x x2 f , f f x1 , Mặt khác, tính lồi mạnh f cho ta 1 h x0 x f x0 , x0 , f x, 0; (15) (16) x, f Số 03 - 2018 x0 x f , (17) Cộng (15) với (17), ta h x0 x f x0 , Nhân (18) với (16) với x0 x x x2 f , f , 2 x, f (18) cộng lại, ta h x0 x f x1 , Tính liên tục Hưlder f h x0 x f x0 x x x2 f , f , 2 x, cho ta m x1 x m x1 x x x2 m x0 x m x2 x0 Kết hợp (19) với (11) (12), ta h x0 x m2 1 l từ ta suy (10) Ta thấy rằng, với x S 0, , x S , , , x x x x0 x0 x Do đó, 154 , (19) Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô S 0, , , S , , tức S 3 m2 l h Số 03 - 2018 2n h h , Hölder calm , , Cho , bất đẳng thức cho ta đường kính S , , đơn phần tử Vậy tốn (OP) đặt chỉnh Hưlder điểm , KẾT LUẬN Bằng cách sử dụng giả thiết tính lồi mạnh, thiết lập thành công điều kiện đủ cho đặt chỉnh Hölder toán (OP) điểm xét, đáp ứng mục tiêu đặt Các kết đạt có ý nghĩa toán học ứng dụng, tiên đốn quy trình vật lý Nếu tốn xét đặt chỉnh khơng phải lo lắng lỗi nhỏ trình đo đạc, q trình tạo sai sót lớn tiên đốn Bên cạnh đó, kết báo mở rộng nghiên cứu cho toán quan trọng tối ưu toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng… TÀI LIỆU THAM KHẢO Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2012 On Hölder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75, 2293-2303 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., Van, D.T.M., 2013 On Hölder calmness and Hölder well-posedness of vector quasi-equilibrium problems Vietnam Journal of Mathematics 41, 507-517 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2015 On Hölder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities TOP 23, 151167 Bednarczuk, E., 2007 Stability Analysis for Parametric Vector Optimization Problems Polish Academy of Sciences, Warszawa Chen, G.Y and Graven, B.D., 1994 Existence and continuity of solutions for vector optimization, Journal of Optimization Theory and Applications 81, 459-468 Hadamard, J., 1902 Sur le problèmes aux dérivees partielles et leur signification physique Princeton University Bulletin 13, 49-52 Kazmi, K R., 1996 Existence of solutions for vector optimization Applied Mathematics Letters 9, 19-22 Lee, G.M., Kim, D.S., Kuk, H., 1998 Existence of Solutions for Vector Optimization problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 220, 90-98 Morgan, J and Scalzo, V., 2006 Discontinuous but well-posed 155 Tạp chí Nghiên cứu khoa học Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô optimization problems SIAM Journal on Optimization 17, 861-870 10 Peter, I K., Rosanna, M., Igor, V.N., 2010 On existence of efficient solutions to vector optimization problems in Banach spaces Note Mathematical 30, 25-39 Số 03 - 2018 11 Tykhonov, A.N., 1966 On the stability of the functional optimization problem USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics 6, 28-33 HÖLDER WELLPOSEDNESS FOR OPTIMIZATION PROBLEMS Lam Quoc Anh1, Nguyen Huu Danh2 and Tran Ngoc Tam3 Teacher Education College, Can tho University Faculty of Basic Sciences, Tay University (Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Faculty of Basic Sciences, Nam Can Tho University ABSTRACT In this paper, we study optimization problems in normed spaces Firstly, we propose the notion of Hölder wellposedness for such problems After that, by using strong convexity assumptions and Hölder camlness continuity of constrained map and objective function, we establish sufficient conditions of the Hölder wellposedness for the reference considered problems Our approach is different from the existing ones in the literature, and hence the obtained results are new and applicable for the cases where previous results were still limited Keywords: Optimization problem, strong convexity, Hölder wellposedness 156 ... Theo đó, tốn gọi đặt chỉnh Hadamard tốn có nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu toán Hướng thứ hai đặt chỉnh nhà toán học Tykhonov đề xuất (Tykhonov, 1966) Bài toán gọi đặt chỉnh Tykhonov... chủ đề tính đặt chỉnh gần với tính ổn định nghiệm tốn Tính đặt chỉnh tốn hiểu theo hai hướng Hướng thứ đặt chỉnh giới thiệu nhà toán học Hadamard (Hadamard, 1902) thường gọi đặt chỉnh Hadamard... THIỆU Tối ưu chủ đề quan trọng toán học có nhiều ứng dụng thực tế Chính mà chủ đề nghiên cứu toán dành nhiều quan tâm nhà toán học nước giới Trong báo này, nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn tối ưu thực