Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)

Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC TÔ MINH QUYẾT PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Thái Nguyên - 2017 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC TÔ MINH QUYẾT PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT MINIMAX CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: TOÁN ÚNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC PGS TS ĐO VĂN LƯU Thái Nguyên - 2017 ii i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Cận tham số phat cua phương pháp hàm phat minimax xác cho toán tối ưu đơn mục tiêu không kha vi 1.1 Các khái niệm ket qua liên quan 1.2 Phương pháp hàm phat minimax xác .6 1.3 Sn tương đương cna toán toi ưu có ràng buộc toán toi ưu phat Phương pháp hàm phat minimax xác định lí điểm yên ngựa cho toán toi ưu véc - tơ loi không trơn 22 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ .22 2.2 Phương pháp hàm phat minimax xác định lí điểm yên ngna cho toán toi ưu véc - tơ không trơn 25 2.3 Trưòng hop đặc biệt 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khao 45 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thay PGS.TS Đỗ Văn Lưu, ngưòi trực tiếp hưóng dẫn luận văn, tận tình chi bao hưóng dan tìm hưóng nghiên cúu, tìm kiem tài liệu, giai quyet van đe, nhờ mói hoàn thành luận văn cao học cna Tù tận đáy lòng, xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói Thay cna se co gang nua để xứng đáng vói công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tao trưòng Đai học Khoa học - Đai học Thái Nguyên quan tâm giúp đõ suot thòi gian học tập tai trưòng Tôi xin cảm ơn quý thay cô Khoa Toán - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyen Thị Thu Thny, trưong Khoa Toán - Tin, quan tâm, động viên, trao đoi đóng góp nhung ý kien quý báu suot trình hqc tập, nghiên cúu hoàn thành luận văn Cuoi cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tói ngưòi thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Nhung ngưòi động viên, chia sẻ khó khăn suot thòi gian qua đặc biệt thòi gian theo hqc khóa thac sy tai trưòng Đai học Khoa hqc - Đai học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 24 tháng năm 2017 Tác gia luận văn Tô Minh Quyet Bang ký hi¾u R Rn Rm + T KKT trưòng so thnc không gian Euclide n-chieu orthant không âm cna Rm chuyen v% cna véc - tơ Karush-Kuhn-Tucker B ∂fi(x) ∧ ∨ I(x¯) gi+ L(x, µ, ν) P∞(x, c) (P∞(c)) V P∞(x, c) (V P∞(c)) hình cau đơn v% mo Rn dưói vi phân cna hàm loi fi tai x ho¾c t¾p chi so ràng bu®c tích cnc bang neu gi(x) ≤ 0, bang gi(x) neu gi(x) > hàm Lagrange hàm phat minimax xác toán toi ưu phat hàm phat minimax xác véc - tơ toán toi ưu véc - tơ phat Ma đau Phương pháp hàm phat xác cho phép đưa m®t toán toi ưu phi tuyen có ràng bu®c ve m®t toán toi ưu ràng bu®c cho nghi¾m cna toán toi ưu phat nghi¾m cna toán toi ưu có ràng bu®c ban đau Antczak ([2], 2013) nghiên cúu moi quan h¾ giua nghi¾m cna toán toi ưu vô hưóng có ràng bu®c nghi¾m cna toán toi ưu ràng bu®c vói hàm muc tiêu m®t hàm phat minimax xác chi c¾n dưói cna tham so phat đe hai toán tương đương Jayswall Choudhury ([7], 2016) thiet l¾p đ%nh lí điem yên ngna cho toán toi ưu véc - tơ có ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax xác xác đ%nh đieu ki¾n đe toán toi ưu véc - tơ có ràng bu®c tương đương vói toán ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax xác Đây đe tài nhieu tác gia quan tâm nghiên cúu Chính v¾y, chqn đe tài: "Phương pháp hàm phat minimax xác cho toán toi ưu không trơn" Muc đích cna lu¾n văn trình bày phương pháp hàm phat minimax xác đ%nh lí điem yên ngna cho toán toi ưu đơn muc tiêu cna T Antczak (đăng Tap chí J Optim Theory Appl 159 (2013), 437 - 453) cho toán toi ưu véc - tơ cna A Jayswal - S Choudhury (đăng Tap chí J Optim Theory Appl 169 (2016), 179 - 199) có ràng bu®c thúc bat thúc Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương trình bày n®i dung cna lu¾n văn, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương 1: "C¾n dưói cna tham so phat cna phương pháp hàm phat minimax xác cho toán toi ưu đơn muc tiêu không kha vi" trình bày ket qua cna Antczak [2] ve phương pháp hàm phat minimax xác, sn tương đương cna toán toi ưu có ràng bu®c toán toi ưu ràng bu®c phat đưoc chúng minh tham so phat lón m®t giá tr% c¾n dưói Chương 2: "Phương pháp hàm phat minimax xác đ%nh lí điem yên ngna cho toán toi ưu véc - tơ loi không trơn" trình bày ket qua cna Jayswal - Choudhury [7], phương pháp hàm phat minimax xác đ%nh lí điem yên ngna cho toán toi ưu véc - tơ loi không trơn vói hàm Lipschitz đ%a phương Chương C¾n dưái cua tham so phat cua phương pháp hàm phat minimax xác cho toán toi ưu đơn mnc tiêu không kha vi Chương trình bày phương pháp hàm phat minimax xác sn tương đương cna toán toi ưu có ràng bu®c toán toi ưu phat ràng bu®c Các ket qua trình bày chương cna T Antczak [2] 1.1 Các khái ni¾m ket qua liên quan Hàm f : X → R xác đ%nh t¾p loi X ⊂ Rn đưoc gqi loi neu vói ∀z, x ∈ R λ ∈ [0, 1], ta có f (λz + (1 − λ)x) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x) Đ%nh nghĩa 1.1.1 Dưói vi phân cna hàm loi f : Rn → R tai x ∈ Rn đưoc xác đ%nh sau: ∂f (x) := {ξ ∈ Rn : f (z) − f (x) ≥ ξT (z − x), ∀z ∈ Rn} Đ%nh nghĩa 1.1.2 Trên vi phân cna hàm lõm f : Rn → R tai x ∈ Rn đưoc xác đ%nh sau: ∂f (x) := {ξ ∈ Rn : f (z) − f (x) ≤ ξT (z − x), ∀z ∈ Rn} Nh¾n xét 1.1.3 Tù đ%nh nghĩa cna hàm loi f : Rn → R tai x, suy ra: f (z) − f (x) ≥ ξT (z − x),∀ξ ∈ ∂f (x), (1.1) vói ∀z ∈ Rn, ∂f (x) kí hi¾u dưói vi phân cna f tai x Tương tn, vói hàm lõm f : Rn → R tai x, ta có bat thúc: f (z) − f (x) ≤ ξT (z − x),∀ξ ∈ ∂f (x), (1.2) vói ∀z ∈ Rn Trưóc chúng minh ket qua cho toán (P ), ta can bo đe sau đây: Bo đe 1.1.4 Gia su ϕk, k = 1, , p, hàm giá tr% thnc xác đ%nh X ⊂ Rn Vói x ∈ X, ta có p 1≤k≤ p α∈ Ω k= max ϕk(x) = max Σ αkϕk(x), p Ω := {α = (α1, , αp) Σ p : αk = 1} ∈R + k=1 Bài toán cnc tr% xét o toán toi ưu phi tuyen tong quát có ràng bu®c thúc bat thúc: (P ) f (x), x ∈ D = {x ∈ X : gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈ J}, I = {1, , m}, J = {1, , s}, f : X → R gi : X → R, i ∈ I, hj : X → R, j ∈ J hàm Lipschitz đ%a phương t¾p khác rong X ∈ Rn D t¾p chap nh¾n đưoc cna toán (P ) Đe đơn gian ta se đưa vào m®t so kí hi¾u: g := (g1, , gm) : X → Rm h := (h1, , hs) : X → Rs Hơn nua, ta kí hi¾u t¾p chi so ràng bu®c bat thúc tích cnc tai x∈D I(x¯) := {i ∈ I : gi (x¯) = 0} Đ%nh lý 1.1.5 [9] Gia su x¯ nghi¾m cua toán (P ) m®t đieu ki¾n quy thích hop thóa mãn tai x¯ Khi ton tai nh¾n tu Lagrange λ¯ ∈ Rm µ¯ ∈ Rs cho m s i= j= ∈ ∂f (x¯) + Σ λ¯ i ∂gi (x¯) + Σ µ¯i ∂hj (x¯), λ¯ i gi (x¯) = 0, (1.4) λ¯ ≥ (1.3) i ∈ I, (1.5) Đ%nh nghĩa 1.1.6 Điem x¯ ∈ D đưoc gqi điem Karush-Kuhn-Tucker toán (P ) neu ton tai nhân tu Lagrange λ¯ ∈ Rm µ¯ ∈ Rs cho đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) 1.2 Phương pháp hàm phat minimax xác Năm 1978 Charalambous [4] đưa vào m®t lóp hàm phat xác không kha vi sau: s m [αig (x)] + Pp(x, α, β, c) := f (x) Σ Σj=1i i= +c + p [βj|h+j (x)|]p Σ p c tham so phat, p ≥ 1, αi > 0, i = 1, , m, βj > 0, j = 1, , s Vói m®t ràng bu®c bat thúc gi(x) ≤ 0, hàm g+(x) đưoc đ%nh nghĩa i boi 0, gi(x) ≤ (1.6) g+(x) := 0, i gi(x), gi(x) > bang vói mqi x thoa mãn ràng bu®c có giá tr% dương ràng bu®c b% vi pham Hơn nua, sn vi pham lón o gi(x) ≤ đat giá tr% g+(x) Như v¾y hàm g+(x) có đưoc điem phat liên quan vói ràng bu®c gi(x) ≤ 0.i Vói p =i xét tham so αi, i = 1, , m, βj, j = 1, , s bang 1, ta nh¾n đưoc hàm phat xác không kha vi đưoc gqi hàm phat xác Tù (2.24) (2.25), ta suy fi (x¯) + c max j{g + (x¯), |hk (x¯)|} 1≤j≤ m 1≤k≤ q > fi (xˆ) + c max j{g + (xˆ), |hk (xˆ)|}, ∀i ∈ I 1≤j≤ m 1≤k≤ q điem chap nh¾n đưoc cna Đieu mâu thuan vói (2.22) Vì v¾y, x¯ toán toi ưu véc - tơ (V P ) Như v¾y, tù (2.19), ta ket lu¾n x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cna toán (V P ) Bây giò, ta se chi (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cna toán (V P ) Vì x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cna toán toi ưu véc - tơ (V P ), ton m p tai nhân tu Lagrange λ¯ ∈ R ν¯ ∈ Rq cho đieu ki¾n + , µ¯ ∈+R KKT thoa mãn tai x¯ Tù đieu ki¾n KKT (2.2) tính chap nh¾n đưoc cna x¯ (V P ), ta có m µT g(x¯) ≤ µ¯T g(x¯), ∀µ ∈ + R Khi đó, ta có f (x¯) + µT g(x¯)e + ν T h(x¯)e ≤ f (x¯) +µ¯T g(x¯)e + ν¯T h(x¯)e, ∀µ+∈ Rm, ν¯ ∈ Rq Tù đ%nh nghĩa cna hàm Lagrange véc - tơ, bat thúc kéo theo L(x¯, µ, ν) ≤ L(x¯, µ¯, ν¯), ∀µ+∈ Rm, ∀ν ∈ Rq (2.26) Ta chúng minh Đ%nh nghĩa 2.1.10 (ii) cna điem yên ngna (Pareto) cna (V P ) Gia su ngưoc lai L(x, µ¯, ν¯) < L(x¯, µ¯, ν¯), ∀x ∈ X Tù đ%nh nghĩa cna hàm Lagrange véc - tơ, ta nh¾n đưoc f (x) + µ¯T g(x)e + ν¯T h(x)e < f (x¯) + µ¯T g(x¯)e + ν¯T h(x¯)e, ∀x ∈ X Khi đó, ta có m fi (x) + ν¯ k hk (x¯), Σ j= q µ¯j gj (x) + Σ k= m ν¯k hk (x) < fi (x¯) + j= Σ q µ¯j gj (x¯) + k= Σ vói mqi x ∈ X mqi i ∈ I Nhân ca hai ve cna bat thúc vói λ¯ i , i ∈ I, ta đưoc λ¯ ¯ i fi (x) + λ i m q j= k= Σ µ¯j gj (x) + λ¯ i m ≤ λ¯ i fi (x¯) + λ¯ i , Σ Σ ν¯k hk (x) q µ¯j gj (x¯) + λ¯ i Σ ν¯k hk (x¯), vói mqi x ∈ X mqi i ∈ I, bat thúc ch¾t vói nhat m®t i ∈ I p Σ Lay tong theo i ∈ I su dung đieu ki¾n KKT λ¯ i = 1, ta suy i=1 p m q i= j= k= 1 Σ λ¯ i fi (x) + p < Σ i= Σ µ¯j gj (x) + m λ¯ i fi (x¯) + j= Σ Σ ν¯k hk (x) q µ¯j gj (x¯) + Σ ν¯k hk (x¯) (2.27) k=1 vói mqi x ∈ X M¾t khác, theo gia thiet, fi , i ∈ I, gj , j ∈ J(x¯), hk , k ∈ K + (x¯) loi X, hk , k ∈ K − (x¯) lõm X Do đó, ta có fi (x) − fi (x¯) ≥ iξ T (x − x¯), ∀ξj ∈ ∂fi (x¯), i ∈ I, (2.28) gj (x) − gj (x¯) ≥ jξˆT (x − x¯), ∀ξˆj ∈ ∂gj (x¯), j ∈ J(x¯), (2.29) hk (x) − hk (x¯) ≥ kξ˜T (x − x¯), ∀ξ˜k ∈ ∂hk (x¯), k ∈ K + (x¯), (2.30) hk (x) − hk (x¯) ≤ kξ˜T (x − x¯), ∀ξ˜k ∈ ∂hk (x¯), k ∈ K − (x¯) (2.31) vói mqi x ∈ X Nhân (2.28) − (2.31) vói nhân tu Lagrange tương úng λ¯ i , i ∈ I, µ¯j , j ∈ J(x¯), ν¯k , k ∈ K + (x¯) ∪ K − (x¯), ta có λ¯ i fi (x) − λ¯ i fi (x¯) ≥i λ¯ i ξ T (x − x¯), ∀ξi ∈ ∂fi (x¯), i ∈ I, (2.32) µ¯j gj (x) − µ¯j gj (x¯) ≥ µ¯j ξˆT (x − x¯), ∀ξˆj ∈ ∂gj (x¯), j ∈ J(x¯), j (2.33) ν¯k hk (x) − ν¯k hk (x¯) ≥ kν¯k ξ˜T (x − x¯), ∀ξ˜k ∈ ∂hk (x¯), k ∈ K + (x¯) ∪ K − (x¯) (2.34) vói mqi x ∈ X Lay tong theo i ∈ I, j ∈ J(x¯), k ∈ K + (x¯) ∪ K − (x¯) ca hai ve cna (2.32) − (2.34), tương úng, sau c®ng bat thúc, ta đưoc Σ Σ Σ µ¯j gj (x¯) ¯ ¯ λ i fi (x) − λ i fi (x¯) + µ¯j gj (x) Σ − i∈I i∈I j∈J (x¯) Σ + ≥ Σ µ¯j ξˆT + j∈J (x¯) i ν¯k hk (x¯) k∈K + (x¯)∪K − (x¯) Σ λ¯ i ξ T + i∈I Σ ν¯k hk (x) − k∈K + (x¯)∪K − (x¯) Σ j∈J (x¯) Σ ν¯k ξ˜T Σ(x − x¯), k∈K + (x¯)∪K − (x¯) j k ξi ∈ ∂fi (x¯), i ∈ I, ξˆj ∈ ∂gj (x¯), j ∈ J(x¯), ξ˜k ∈ ∂hk (x¯), k ∈ K + (x¯) ∪ K − (x¯), x ∈ X Su dung ca nhân tu Lagrange bang bat thúc kéo theo p Σ p λ¯ i fi (x) − Σ m λ¯ i fi (x¯) + Σ m µ¯j gj (x) − Σ q µ¯j gj (x¯) + Σ ν¯k hk (x) i=1 − q Σk=1 i=1 j=1 Σ p Σ ν¯k hk (x¯) ≥Σ ¯ λ ξ i=1 +i m j=1 µ¯j ξ + ˆT q Σ k=1 Σ(x ˜T − x¯), ∀x ∈ X k j k=1 T i ν¯ ξk j=1 Bang cách su dung đieu ki¾n KKT (2.1), ta thu đưoc p Σ i=1 p λ¯ i fi (x) − m − Σ Σ i= m λ¯ i fi (x¯) + j=1 q µ¯j gj (x¯) + Σ µ¯j gj (x) q Σ ν¯k hk (x) − Σ ν¯k hk (x¯) ≥ Khi đó, bat thúc sau tương đương p Σ m Σ ¯ i= λ i fi (x)+ j= 1 µ¯ g j j q Σ (x)+ k= ν¯1 k hk ( p m Σ x) ≥ Σ i= λ¯ i fi (x¯)+ j= 1 µ¯j gj q (x¯) ν¯k hk (x¯) Σ + vói mqi x ∈ X, mâu thuan vói (2.27) Vì v¾y, ta ket lu¾n (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cna toán toi ưu véc - tơ (V P ) Đ%nh lý đưoc chúng minh Q M¾nh đe 2.2.8 Gia su x¯ nghi¾m huu hi¾u cua toán không ràng bu®c phat (V P∞(c¯)) vói hàm phat minimax xác Khi đó, không ton tai x ∈ D cho f (x) ≤ f (x¯.) ChNng minh Chúng minh tương tn M¾nh đe 2.2.6 Q Đ%nh lý 2.2.9 Gia su x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cua toán không ràng bu®c phat (V P∞(c¯)) vói hàm phat minimax xác Gia su (i) D t¾p compact cua Rn, (ii) V P∞(x, c) ≮ V P∞(x¯, c) thóa mãn vói mqi x ∈ D c > c¯ Khi đó, x¯ nghi¾m huu hi¾u cua toán toi ưu véc - tơ (V P ) Hơn nua, gia su rang hàm mnc tiêu f ràng bu®c bat thúc gj , j ∈ J(x¯), ràng bu®c thúc hk , k ∈ K + (x¯) = {k ∈ K : ν¯k > 0} loi X, hàm ràng bu®c hk , k ∈ K − (x¯) = {k ∈ K : ν¯k < 0} lõm X Khi đó, (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cua toán toi ưu véc - tơ (V P ) ChNng minh Chúng minh tương tn Đ%nh lý 2.2.7 Q Ví dn 2.2.10 Xét toán toi ưu véc - tơ sau: (VP1) 2|x1 f (x) = (x2 + x | + 4, e + 2| | + 1) x2 g1(x) = 3x2 − x1 ≤ 0, g2(x) = 4x2 − x2 ≤ 0, h(x) = x1 − x2 = fi : X → R, i = 1, 2, gj : X → R, j = 1, 2, h : X → R hàm Lipschitz đ%a phương X = (−1, 1) × (−1, 1) T¾p tat ca điem chap nh¾n đưoc cna (V P 2) đưoc cho boi D = {x = (x1, x2) ∈ X : ≤ x1 ∧ ≤ x2 ∧ x1 = x2} ≤ ≤ D compact X Bài toán toi ưu véc - tơ không ràng bu®c phat (V P 2∞(c¯)) vói hàm phat minimax xác đưoc xây dnng sau: V P∞(x, c¯) =(x2 + 2|x1| + + c¯max{max{0, 3x2 − x1 }, 1 max{0, 4x − x2}, |x1 − x2|}, x e + 2|x2 | + + c¯max{max{0, 3x1 − x1}, max{0, 4x − x2}, |x1 − x2|}) 2 Rõ ràng, x¯ = (0, 0) nghi¾m huu hi¾u cna toán toi ưu véc - tơ không ràng bu®c phat (V P 2∞(c¯)) vói hàm phat minimax xác, c¯ = Khi đó, vói mqi x ∈ D c > c¯, V P∞ (x, c) = (x12 + 2| | + 4, xe + 2| | + 1) x1 x2 V P∞(x¯, c) = (4, 2) Như v¾y, ta suy V P∞(x, c) ≮ V P∞(x¯, c), ∀x ∈ D c > c¯ Do đó, theo Đ%nh lý 2.2.9, x¯ = (0, 0) nghi¾m huu hi¾u cna toán toi ưu véc - tơ goc (V P 2) Hàm Lagrange véc - tơ đưoc cho boi L(x, µ, ν) =(x2 + 2|x1| + + µ1(3x2 − x1) 1 2 | + + µ2(4x22 − x2) + ν(x1 − x2), e2x + 2|x 2 + µ1(3x1 − x1) + µ2(4x −2x ) + ν(x1 − x2)) 2 µ = (µ1, µ2) ∈ R+ , ν ∈ R e = (1, 1) Vì mqi gia thiet cna Đ%nh lý 2.2.9 đeu thoa mãn, nên (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cna toán toi ưu véc - tơ (V P 2), µ¯1 = ν¯ + 1, µ¯2 = − ν¯ −1 ≤ ν¯ ≤ Đ%nh lý 2.2.11 Gia su x¯ điem chap nh¾n đưoc cua toán toi ưu véc tơ (V P ) cho đieu ki¾n can KKT (2.1) −(2.3) thóa mãn tai x¯ vói nhân tu Lagrange λ¯ ∈ Rk , µ¯ ∈ Rm ν¯ ∈ Rq Gia su hàm mnc tiêu f ràng bu®c bat thúc gj , j ∈ J(x¯), ràng bu®c thúc hk , k ∈ K + (x¯) = {k ∈ K : ν¯k > 0} loi X, hàm ràng bu®c hk , k ∈ K − (x¯) = {k ∈ K : ν¯k < 0} lõm X Hơn nua, neu tham so phat c đưoc gia đ%nh đu lón (túc c ≥ q Σ m Σ µ¯j + j=1 |ν¯k |), x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cua toán toi ưu véc - tơ không ràng k=1 bu®c phat (V P∞(c)) vói hàm phat minimax xác ChNng minh Trưóc het, ta chi (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cna toán toi ưu véc - tơ (V P ) Vì x¯ điem chap nh¾n đưoc cna toán toi ưu véc - tơ (V P ) thoa mãn đieu ki¾n can KKT, the, tù đieu ki¾n KKT (2.2) tính chap nh¾n đưoc cna x¯ (V P ), ta có m µT g(x¯) ≤ µ¯T g(x¯), ∀µ ∈ + R Tù đó, ta suy f (x¯) + µT g(x¯)e + ν T h(x¯)e ≤ f (x¯) +µ¯T g(x¯)e + ν¯T h(x¯)e, ∀µ+∈ Rm, ν¯ ∈ Rq Tù đ%nh nghĩa cna hàm Lagrange véc - tơ, bat thúc kéo theo L(x¯, µ, ν) ≤ L(x¯, µ¯, ν¯), ∀µ+∈ Rm, ∀ν ∈ Rq (2.35) Vì fi , i ∈ I, gj , j ∈ J(x¯), hk , k ∈ K + (x¯) loi X, hk , k ∈ K − (x¯) lõm X, cho nên, tương tn Đ%nh lý 2.2.7, ta có p Σ p λ¯ i fi (x) − ν¯k hk (x) i=1 − q Σk=1 Σ m λ¯ i fi (x¯) + i=1 Σ j=1 Σ p Σ ν¯k hk (x¯) ≥Σ ¯ λ ξ i=1 +i T i m m µ¯j gj (x) − Σ q µ¯j gj (x¯) + j=1 µ¯j ξˆT q Σ + j Σ k=1 ˜T k Σ(x − x¯), ∀x ∈ X k=1 j=1 ν¯ ξk Tù gia thiet, đieu ki¾n can KKT (2.1) − (2.3) thoa mãn tai dung đieu ki¾n KKT (2.1), bat thúc kéo theo x¯ Như v¾y, su p p Σ λ¯ i fi (x) − i=1 Σ m λ¯ i fi (x¯) + i= m − Σ Σ µ¯j gj (x) j=1 q µ¯j gj (x¯) + j=1 q Σ ν¯k hk (x) − k=1 Σ ν¯k hk (x¯) ≥ 0, k=1 p Σ vói mqi x ∈ X Bây giò, su dung đieu ki¾n KKT (2.3), túc là, λ¯ i = 1, i=1 bat thúc có the viet sau Σi=1 p q m λ µ¯j gj (x) ν ¯ + ¯ i m −(f(f i (x¯) Σ + i( x) + Σk=1 Σ Σj = k h k ( x ) ) Σ µ¯j gj (x¯) + q ν¯k hk (x¯ )) ≥ 0, ∀x ∈ X Tù đieu ki¾n KKT (2.3), ta suy λ¯ i > vói nhat m®t phan tu i ∈ I Tù suy q m Σ j fi (x) + µ¯j gj (x) ν¯k hk (x)Σ =1 + Σk =1 Σ q Σ m ν¯k hk (x ≥ − fi (x¯) Σ µ¯j gj (x¯) + + ¯) 0, k= vói nhat m®t i ∈ I vói mqi x ∈ X Như v¾y, ta nh¾n đưoc f (x) + µ¯T g(x)e + ν¯T h(x)e ≮ f (x¯) + µ¯T g(x¯)e + ν¯T h(x¯)e, ∀x ∈ X Tù đ%nh nghĩa hàm Lagrange véc - tơ, ta suy L(x, µ¯, ν¯) ≮ L(x¯, µ¯, ν¯), ∀x ∈ X (2.36) Tù (2.35) (2.36), ta suy (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cna toán toi ưu véc - tơ (V P ) Vì v¾y, su dung Đ%nh lý 2.2.4, ta ket lu¾n x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cna toán toi ưu véc - tơ không ràng bu®c phat (V P∞(c)) Đ%nh lý đưoc chúng minh Q H¾ qua 2.2.12 Gia su x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cua toán toi ưu véc - tơ (V P ) cho đieu ki¾n can KKT (2.1) −(2.3) thóa mãn tai x¯ vói nhân tu Lagrange λ¯ ∈ Rk , µ¯ ∈ Rm ν¯ ∈ Rq Gia su hàm mnc tiêu f ràng bu®c bat thúc gj , j ∈ J(x¯), ràng bu®c thúc hk , k ∈ K + (x¯) = {k ∈ K : ν¯k > 0} loi X, hàm ràng bu®c hk , k ∈ K − (x¯) = {k ∈ K : ν¯k < 0} lõm X m Σ Hơn nua, neu tham so phat c đưoc gia đ%nh đu lón (túc c ≥ µ¯j + j=1 q Σ |ν¯k |), x¯ nghi¾m huu hi¾u yeu cua toán toi ưu véc - tơ không ràng k=1 bu®c phat (V P∞(c)) vói hàm phat minimax xác ChNng minh Ket qua đưoc suy trnc tiep tù Đ%nh lý 2.2.11, boi mqi nghi¾m huu hi¾u yeu đeu điem chap nh¾n đưoc 2.3Trưàng hap đ¾c bi¾t Trong phan này, ta xét trưòng hop tuyen tính cna toán toi ưu véc - tơ (V P ), có nghĩa hàm fi(x), i ∈ I tuyen tính gj(x), j ∈ J hk(x), k ∈ K affine Trong trưòng hop gia thiet loi/ lõm cna hàm toán toi ưu véc - tơ (V P ) thoa mãn Ví du sau minh hqa cách tiep c¾n hàm phat minimax xác đe tìm nghi¾m cna toán toi ưu véc - tơ tuyen tính Ví dn 2.3.1 Xét toán toi ưu véc - tơ tuyen tính sau (VP3) f (x) = (x1 + x2, 2x1 − 3x2) g1(x) = − x1 ≤ 0, g2(x) = x1 − ≤ 0, g3(x) = − x2 ≤ 0, g4(x) = x2 − ≤ 0, h(x) = x1 − x2 + = fi : X → R, i = 1, 2, gj : X → R, j = 1, 2, 3, h : X → R hàm Lipschitz đ%a phương X = (0, 3) × (0, 3) T¾p điem chap nh¾n đưoc cna (V P 3) đưoc cho boi D = {x = (x1, x2) ∈ X : ≤ x1 ≤ ∧ ≤ x2 ≤ ∧ x2 = x1 + 1} D compact Bây giò, toán toi ưu véc - tơ không ràng bu®c phat (V P 3∞(c¯)) vói hàm phat minimax xác đưoc xây dnng sau: V P∞(x, c¯) =(x1 + x2 + c¯max{max{0, − x1 }, max{0, x1 − 2}, max{0, − x2}, max{0, x2 − 3}, |x1 − x2 + 1|}, 2x1 − 3x2 + c¯max{max{0, − x1}, max{0, x1 − 2}, max{0, − x2}, max{0, x2 − 3}, |x1 − x2 + 1|}) Rõ ràng, x¯ = (1, 2) nghi¾m huu hi¾u cna toán toi ưu véc - tơ không ràng bu®c phat (V P 3∞(c¯)) vói hàm phat minimax xác, c¯ = Khi đó, vói mqi x ∈ D c > c¯, V P∞(x, c) = (x1 + x2, 2x1 − 3x2) V P∞(x¯, c) = (3, −4) Như v¾y, ta suy V P∞(x, c) ≮ V P∞(x¯, c), ∀x ∈ D c > c¯ Do đó, theo Đ%nh lý 2.2.9, x¯ = (1, 2) nghi¾m huu hi¾u cna toán toi ưu véc - tơ goc (V P 3) Hàm Lagrange véc - tơ đưoc cho boi L(x, µ, ν) =(x1 + x2 + µ1(1 − x1) + µ2(x1 − 2) + µ3(2 − x2) + µ4(x2 − 3) + ν(x1 − x2 + 1), 2x1 − 3x2 + µ1(1 − x1) + µ2(x1 − 2) + µ3(2 − x2) + µ4(x2 − 3) + ν(x1 − x2 + 1)), µ = (µ1, µ2, µ3, µ4) ∈ +R4 , ν ∈ R e = (1, 1) Boi mqi gia thiet cna Đ%nh lý 2.2.9 đeu thoa mãn, nên (x¯, µ¯, ν¯) điem yên ngna (Pareto) cna toán toi ưu véc - tơ (V P 3), µ¯ = (1, 0, 1, 0), ν¯ = Tương tn, nghi¾m huu hi¾u điem yên ngna véc - tơ cna nhieu toán toi ưu véc - tơ tuyen tính phúc tap có the tìm đưoc bang phương pháp hàm phat minimax xác Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày phương pháp hàm phat minimax xác đ %nh lý điem yên ngna cna Antczak [2] cho toán toi ưu đơn muc tiêu có ràng bu®c, cna Jayswall - Choudhury [7] cho toán toi ưu véc - tơ loi không trơn có ràng bu®c Lu¾n văn bao gom n®i dung sau đây: -Phương pháp hàm phat minimax xác cna T Antczak [2] cho toán toi ưu đơn muc tiêu không kha vi có ràng bu®c thúc bat thúc; -Sn tương đương cna toán toi ưu đơn muc tiêu có ràng bu®c toán toi ưu phat ràng bu®c tham so phat lón m®t ngưõng thích hop; -Phương pháp hàm phat minimax xác cna A Jaywall S Choudhury [7] cho toán toi ưu véc - tơ loi không trơn có ràng bu®c thúc bat thúc; -Đ%nh lý điem yên ngna cho toán toi ưu véc - tơ loi không trơn; -Các ví du minh hqa cho ket qua trình bày Phương pháp hàm phat minimax xác cho toán toi ưu không trơn đe tài đưoc nhieu tác gia quan tâm nghiên cúu Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1]Đo Văn Lưu (2000), Giai tích loi, NXB Khoa Hqc Ky Thu¾t, Hà N®i Tieng Anh [2] Antczak T (2013), "A lower bound for the penalty parameter in the exact minimax penalty function method for solving nondifferentiable ex- tremum problems", J Optim Theory Appl 159, pp 437 – 453 [3] Antczak T (2013), "Saddle point criteria and the exact minimax penalty function method in nonconvex programming", Taiwan J Math 17, pp 559 – 581 Charalambous, Ch (1978), "A lower bound for the controlling param- eters of the exact penalty functions", Math Program 15, pp 278 – 290 [4] Cra [5] ven, B.D (1989), "Nonsmooth multiobjective programming", Nu- mer Funct Anal Optim 10, pp 49 – 64 [6] Kim, M.H (2005), "Duality theorem and vector saddle point theorem for nonsmooth vector optimization problem", J Appl Math Comput 18, pp 539 – 551 [7] Jayswal A., Choudhury S (2016) , "An exact minimax penalty function method and saddle point criteria for nonsmooth convex vector optimization problems", J Optim Theory Appl 169 , pp 179 – 199 [8] Pietrzykowski, T (1969), "An exact potential method for constrained maxima ", SIAM J Numer Anal 6, pp 294 – 304 Rockafellar, R.T (1970), Princeton University Press Princeton, New Jersey [9] Convex Analysis, ... bu®c xác đ%nh o toán toi ưu phat minimax toán toi ưu phat vói hàm phat minimax xác Ý tưong cna phương pháp hàm phat minimax xác giai toán toi ưu có ràng bu®c phi tuyen (P ) qua toán toi ưu ràng... cua phương pháp hàm phat minimax xác cho toán tối ưu đơn mục tiêu không kha vi 1.1 Các khái niệm ket qua liên quan 1.2 Phương pháp hàm phat minimax xác .6 1.3 Sn tương đương cna toán. .. ngna cho toán toi ưu véc - tơ có ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax xác xác đ%nh đieu ki¾n đe toán toi ưu véc - tơ có ràng bu®c tương đương vói toán ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax