Bài toán vận tải

1  Bài toán vận tải 3.1 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Cần vận chuyển hàng hoá từ m kho (điểm phát) P i , i=1,2,…,m đến n nơi tiêu thụ (điểm thu) T j , j=1,2,…,n. Lượng hàng có ở mỗi kho P i là a i , i=1,2,…,m. Lượng hàng cần ở mỗi nơi tiêu thụ T j là b j , j=1,2,…,n. Chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng từ kho P i đến nơi tiêu thụ T j là c ij , i=1,2,…m, j=1,2,…,n. Cho biết tổng lượng hàng ở các kho bằng tổng lượng hàng cần tiêu thụ. Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất và đảm bảo yêu cầu thu phát. 2  Bài toán vận tải Gọi x ij là lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát P i đến điểm thu T j , x ij  0. Tổng chi phí vận chuyển là: f = c 11 x 11 + c 12 x 12 + … + c mn x mn hay f = c ij x ij Lượng hàng vận chuyển đi từ kho P i , i=1,2,…,m: x i1 + x i2 + … + x in = a i hay x ij = a i , i=1,2,…,m. Lượng hàng vận chuyển đến nơi tiêu thụ T j , j=1,2,…,n: x 1j + x 2j + … + x mj = b j hay x ij = b j , j=1,2,…,n. Do lượng hàng phát ra bằng lượng hàng thu vào nên ta có: a i = b j , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n 3  Bài toán vận tải Bài toán vận tải là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta cũng có thể giải bằng phương pháp đơn hình. Mô hình toán học của bài toán là: Tìm x = (x 11 , x 12 , … , x mn ) sao cho f = c ij x ij  min với các điều kiện ràng buộc sau đây x ij = a i , i=1,2,…,m. x ij = b j , j=1,2,…,n. x ij  0, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n. trong đó a i = b j (điều kiện cân bằng thu phát) Ta trình bày dưới dạng bảng sau còn gọi là bảng vận tải: 4  Bài toán vận tải Thu Phát b 1 b 2 … b n a 1 c 11 x 11 c 12 x 12 … c 1n x 1n a 2 c 21 x 21 c 22 x 22 … c 2n x 2n … … … … … a m c m1 x m1 c m2 x m2 … c mn x mn 5  Bài toán vận tải 3.2 Một số khái niệm Ta g ọi vectơ  Ô (i, j) là ô nằm trên dòng i, cột j cho ta xác định lượng hàng cũng như cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ P i đến T j . Ô chọn là ô (i, j) mà x ij > 0, ô loại là ô (i, j) mà x ij = 0.  Dây chuyền là một tập hợp các ô chọn sao cho không có quá hai ô liên tiếp nằm trên cùng một dòng hoặc cột.  Chu trình là một dây chuyền khép kín. Số các ô trong một chu trình là số chẵn. Số các ô tối đa trong bảng không tạo thành chu trình là m + n  1. Với m + n  1 ô không tạo thành chu trình ta có thể bổ sung thêm một ô bất kỳ để có ít nhất một chu trình. Xét bảng vận tải m  n. 6  Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ             Dây chuyền Không là dây chuyền                 Một số chu trình thường gặp 7  Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ  Ma trận cước phí là ma trận (c ij ) với c ij là cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ P i đến T j .  Phương án hay ma trận phương án là ma trận (x ij ) với x ij là lượng hàng cần vận chuyển từ P i đến T j . Một phương án cực biên là phương án có số ô chọn tương ứng không tạo thành chu trình tối đa là m + n  1, nếu số ô này bằng đúng m + n  1 ta có phương án cực biên không suy biến, ngược lại ta có phương án cực biên suy biến. Trường hợp phương án cực biên suy biến ta có thể bổ sung thêm một số “ô chọn 0” để có m + n  1 ô không tạo thành chu trình. Lưu ý: Bài toán vận t ải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu. 8  Bài toán vận tải 3.3 Tìm phương án cực biên ban đầu Ta g ọi vectơ  Tìm ô có cước phí bé nhất, phân phối lượng hàng tối đa có thể vào ô đó.  Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng, tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng. 3.3.1 Phương pháp “min” cước VD29: Tìm phương án cực biên ban đầu 30 60 50 40 45 1 5 7 2 80 5 7 4 9 55 12 2 3 6 9  Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ VD30: Tìm phương án cực biên ban đầu 130 140 120 160 180 20 18 22 25 170 15 25 30 15 200 45 30 40 35 30 60 50 40 45 1 30 5 7 2 15 80 5 7 5 4 50 9 25 55 12 2 55 3 6 Phương án cực biên 30 0 0 15 x = 0 5 50 25 0 55 0 0 Giá trị mục tiêu f = 630 10  Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ 130 140 120 160 180 20 18 140 22 40 25 170 15 130 25 30 15 40 200 45 30 40 80 35 120  Tính hiệu số cước phí của hai ô có cước phí bé nhất trên các dòng và cột. 3.3.2 Phương pháp Vogel Phương án cực biên 0 140 40 0 x = 130 0 0 40 0 0 80 120 Giá trị mục tiêu f = 13350