Ch ơng 3 . Bài toán vận tải Bài 1. Mô hình toán học và các tính chất cơ bản I. Phát biểu bài toán (dạng cổ điển) Bảng kế hoạch và chi phí vận tải hàng hoá T P B 1 B 2 . B n b 1 b 2 . b n A 1 A 2 A m a 1 a 2 a m c 11 c 12 . c 1n c 21 c 22 . c 2n . c m1 c m2 . c mn P = = m i 1 a i = = n j 1 b j = T (bài toán cân bằng thu phát). Cớc phí vận chuyển một đv hàng từ A i B j là c ij 0 (i = m,1 ; j = n,1 ). Yêu cầu: Hãy lập kh vận chuyển hàng sao cho: (i) Các trạm phát, phát hết hàng; các trạm thu, thu đủ hàng. (ii) Tổng c ớc phí vận chuyển là nhỏ nhất. II. Dạng toán học 1. Dạng toán học Đặt x ij là lợng hàng chuyển từ A i tới B j T P B 1 B 2 . B n b 1 b 2 . b n Ma trận phân phối hàng: 1 A 1 A 2 … A m a 1 a 2 … a m c 11 c 12 . c… 1n c 21 c 22 . c… 2n … … …. … c m1 c m2 . c… mn X = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn x x x x x x x x x ÷ ÷ ÷ ÷ f(X) = c 11 x 11 + c 12 x 12 + + c… mn x mn → Min Rµng buéc ph¸t: x 11 + x 12 + + x… 1n = a 1 x 21 + x 22 + + x… 2n = a 2 … … … x m1 + x m2 + + x… mn = a m Rµng buéc thu: x 11 + x 21 + + x… m1 = b 1 x 12 + x 22 + + x… m2 = b 2 … … … x 1n + x 2n + + x… mn = b n Rµng buéc dÊu: x ij ≥ 0, ∀ i = 1,m ; j = 1,n . D¹ng rót gän: f(X) = 1 n j= ∑ 1 m i= ∑ c ij x ij → Min Rµng buéc ph¸t: 1 n j= ∑ x ij = a i (i = 1,m ) Rµng buéc thu: 1 m i= ∑ x ij = b j ( j = 1,n ) Rµng buéc dÊu: x ij ≥ 0 ∀ i = 1,m ; j = 1,n . D¹ng ma trËn: 2 Ký hiệu A ij là cột hệ số của ẩn x ij trong hệ ràng buộc T, P và là cột thứ ij của ma trận hệ số A. C, X là các véc tơ theo thứ tự : 11, 12, , 1n, 21, 22, , 2n, , m1, m2, , mn. B = (a 1 , a 2 , , a m , b 1 , b 2 , , b n ). f(X) = CX Min AX = B X 0 2. Tính chất của ma trận hệ số A A có m + n dòng và mìn cột; A ij = E i + E m+j (E là véc tơ đơn vị m + n chiều); h(A) = m + n - 1. Xét trờng hợp m = 3, n = 4: A = 100010001000 010001000100 001000100010 000100010001 111100000000 000011110000 000000001111 x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 Chú ý. Bài toán vận tải chỉ có 1 trạm phát hoặc 1 trạm thu là bài toán tầm thờng (chỉ có 1 p.á duy nhất). Vì thế ta chỉ xét bài toán có ít nhất 2 trạm phát và 2 trạm thu. III. Dạng bảng của bài toán vận tải 1. Bảng vận tải (Kích th ớc m x n) T P b 1 b 2 b n a 1 c 11 x 11 c 12 x 12 c 1n x 1n a 2 c 21 c 22 c 2n 3 x 21 x 22 x 2n a m c m1 x m1 c m2 x m2 c mn x mn Trên mỗi ô (i, j): c ij là cớc phí vận chuyển, x ij là lợng hàng vận chuyển từ trạm phát A i tới trạm thu B j (Lợng hàng của ô (i, j)) 2. Khái niệm ô chọn và ô loại Giả sử X = (x ij ) mxn là một phơng án phân phối hàng. x ij là lợng hàng phân vào ô (i, j). Nếu x ij > 0 thì (i, j) đợc gọi là ô chọn: Nếu x ij = 0 thì (i, j) đợc gọi là ô loại: Ô chọn giả: 3. Khái niệm vòng trên bảng vận tải a) Định nghĩa. [1] [2] [6] [5] [3] [4] Các ô của một vòng V bất kỳ có dạng sau: V = {(i 0 , j 0 ), (i 0 , j 1 ), (i 1 , j 1 ), , (i k , j k ), (i k , j 0 )} hoặc V = {(i 0 , j 0 ), (i 1 , j 0 ), (i 1 , j 1 ), , (i k , j k ), (i 0 , j k )}. 4 c ij x ij c ij c ij 0 V C là các ô trên V có tt chẵn; V L là các ô trên V có tt lẻ. b)Tập hợp ô có chứa vòng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [1] [ ] [2] [3] [4] [ ] [8] [7] [6] [5] c)Tính chất của vòng. Tính chất 1. Số ô của vòng V bất kỳ là một số chẵn. Tính chất 2. Cho S là một tập hợp các ô trên bảng vận tải. Mỗi ô 5 (i, j) S tơng ứng với một cột A ij của ma trận A. Ký hiệu tập hợp các véc tơ cột của A tơng ứng với S là W = {A ij : (i, j) S}. Khi đó ta có: S chứa vòng khi và chỉ khi W là hệ phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. + S chứa V = {(i 0 , j 0 ), (i 0 , j 1 ), (i 1 , j 1 ), , (i k , j k ), (i k , j 0 )}. Từ A ij = E i + E m+j ta có: A i0j0 - A i0j1 + A i1j1 - + A ikjk - A ikj0 = 0 (*) (*) chứng tỏ {A ij : (i, j) V} phụ thuộc tuyến tính. Mà {A ij : (i, j) V} là một hệ con của W. Vậy W là pttt. + Giả sử W phụ thuộc tuyến tính. Theo định nghĩa ta có: ( , ) 0 ij ij i j W A = (**). + Chọn đợc ô (i 0 , j 0 ) do i0j0 0. + Chọn ô (i 0 , j 1 ) do i0j1 0. + Chọn ô (i 1 , j 1 ) do i1j1 0. . + Chọn ô (i k , j k ). + Chọn ô (i k , j 0 ). V = {(i 0 , j 0 ), (i 0 , j 1 ), (i 1 , j 1 ), , (i k , j k ), (i k , j 0 )}. IV. Các tính chất của bài toán vận tải 1. Tính giải đ ợc . Bài toán vận tải luôn có p.á tối u. Chứng minh. f(X) = = n j 1 = m i 1 c ij x ij Min Ràng buộc phát: = n j 1 x ij = a i (i = m,1 ) Ràng buộc thu: = m i 1 x ij = b j ( j = n,1 ) Ràng buộc dấu: x ij 0 i = m,1 ; j = n,1 . + Bài toán có p.á. x 0 ij = a i b j /K (K = P = T) 6 + Hàm mục tiêu f(X) bị chặn trên tập các p.á. 2. Ph ơng án cực biên (cơ bản) của bài toán vận tải a) Tiêu chuẩn. P.á X = (x ij ) mxn là p.á cực biên (cơ bản) khi và chỉ khi tập hợp các ô chọn của X là {ô (i, j) : x ij > 0} không chứa vòng. Chứng minh. Dựa vào tiêu chuẩn p.á cực biên của bài toán chính tắc và tính chất 2 của vòng. Ví dụ: P.á không cực biên T P 50 100 70 80 X = 407000 4002010 008040 120 6 [40] 8 [80] 11 4 70 9 [10] 12 [20] 7 10 [40] 110 5 13 9 [70] 11 [40] Ví dụ: P.á cực biên T P 50 100 70 80 X = 407000 400300 007050 120 6 [50] 8 [70] 11 4 70 9 12 [30] 7 10 [40] 110 5 13 9 [70] 11 [40] Hệ quả. Điều kiện cần cho một p.á cơ bản là số ô chọn m + n -1. b) Phơng án cơ bản suy biến và không suy biến P.á cơ bản X là không suy biến nếu số ô chọn của nó là m + n -1. Nếu số ô chọn < m + n - 1 là p.á cơ bản suy biến. 7 c) Tập ô chọn cơ sở. X là p.á cơ bản. S là tập ô chọn cơ sở của X: + S gồm m + n - 1 ô không chứa vòng. + S chứa các ô chọn của X. Các ô của S đều đợc đánh dấu: Chú ý. Nếu X không suy biến thì S gồm m + n - 1 ô chọn (thật) của X và S là duy nhất. Nếu X suy biến thì trong S sẽ có một số ô chọn giả (x ij = 0) và X có thể có nhiều S. T P 50 100 70 80 X 1 = 407000 400300 007050 120 6 [50] 8 [70] 11 4 70 9 12 [30] 7 10 [40] 110 5 13 9 [70] 11 [40] m + n - 1 = 6. X 1 không suy biến. Tập ô chọn cơ sở duy nhất: S = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}. T P 50 100 70 80 X 2 = 800300 07000 007050 120 6 [50] 8 [70] 11 4 70 9 [0] 12 7 [70] 10 110 5 13 [30] 9 11 [80] m + n - 1 = 6. X 2 là cơ bản suy biến. Tập ô chọn cơ sở: S = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (?)}. 8 c ij x ij . Ch ơng 3 . Bài toán vận tải Bài 1. Mô hình toán học và các tính chất cơ bản I. Phát biểu bài toán (dạng cổ điển) Bảng kế hoạch và chi phí vận tải hàng hoá T P B 1 B 2 ý. Bài toán vận tải chỉ có 1 trạm phát hoặc 1 trạm thu là bài toán tầm thờng (chỉ có 1 p.á duy nhất). Vì thế ta chỉ xét bài toán có ít nhất 2 trạm phát và 2 trạm thu. III. Dạng bảng của bài toán. j 1 ), (i 1 , j 1 ), , (i k , j k ), (i k , j 0 )}. IV. Các tính chất của bài toán vận tải 1. Tính giải đ ợc . Bài toán vận tải luôn có p.á tối u. Chứng minh. f(X) = = n j 1 = m i 1 c ij x ij