Tài liệu Bài toán giải bằng PP CM bài toán phụ

Cho: a + b + c = 5 ab + bc + ca = 8 cmr: 1 ≤ a,b,c ≤ 7/3. Giải: • Bổ đề: Cho : x + y + z = 2 (1) và xy + yz + zx = 1 (2) cmr: x,y,z ≥ 0 Từ (1) ta có: y + z = 2 – x Thay vào (2) ta được: x(2-x) + yz – 1 = 0 <=> x 2 – 2x + 1 – yz = 0 Vì tồn tại x,y,z thỏa mãn (1) và (2) nên (3) tồn tại nghiệm x. Có: ∆’ = 1 – (1-yz) ≥ 0  yz ≥ 0.  y,z cùng dấu. Chứng minh tương tự ta có: x,z cùng dấu. x,y cùng dấu. kết hợp với (1) => x,y,z ≥ 0 • cm: 1 ≤ a,b,c. Ta có: (a – 1)(b – 1) = ab – (a + b) + 1. (b – 1)(c – 1) = bc – (b + c) + 1. (c – 1)(a – 1) = ca – (c + a) + 1. Nên: (a – 1)(b – 1) + (b – 1)(c – 1) + (c – 1)(a – 1) = (ab + bc + ac) – 2*(a + b + c) + 3 = 8 – 2*5 + 3 = 1 (4) Ta có: a + b + c = 5 => (a – 1) + (b – 1) + (c – 1) = 2 (5) Đặt: x = a – 1 y = b – 1 z = c – 1 (4) và (5) trở thành: xy + yz + zx = 1 x + y + z = 2 theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0 nên: a – 1 ≥ 0 => a ≥ 1. Tương tự: b,c ≥ 1. • cm: a,b,c ≤ 7/3. Ta có: (7/3 – a)(7/3 – b) = (7/3) 2 – 7/3(a + b) + ab. (7/3 – b)(7/3 – c) = (7/3) 2 – 7/3(b + c) + bc. (7/3 – c)(7/3 – a) = (7/3) 2 – 7/3(c + a) + ca. Nên: (7/3 – a)(7/3 – b) + (7/3 – b)(7/3 – c) + (7/3 – c)(7/3 – a) = 3*(7/3) 2 – 7/3*2*(a + b + c) + (ab + bc + ca) = 49/3 – 70/3 +8 = 1 (6) Ta có: 7 – (a + b + c) = (7/3 – a) + (7/3 – b) + (7/3 – c) = 2 (7) Đặt x = 7/3 – a y = 7/3 – b z = 7/3 – c (6) và (7) trở thành: xy + yz + zx = 1 x + y + z = 2 theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0 nên: 7/3 – a ≥ 0 => 7/3 ≥ a. Tương tự: b,c ≤ 7/3. . Cho: a + b + c = 5 ab + bc + ca = 8 cmr: 1 ≤ a,b,c ≤ 7/3. Giải: • Bổ đề: Cho : x + y + z = 2 (1) và xy + yz + zx = 1 (2) cmr: x,y,z ≥ 0 Từ (1) ta có: y +. tương tự ta có: x,z cùng dấu. x,y cùng dấu. kết hợp với (1) => x,y,z ≥ 0 • cm: 1 ≤ a,b,c. Ta có: (a – 1)(b – 1) = ab – (a + b) + 1. (b – 1)(c – 1) = bc